Modus tollens

Na lógica proposicional, modus tollens () (MT), também conhecido como modus tollendo tollens (latim para "método de remover retirando") e negar o consequente, é uma forma de argumento dedutivo e uma regra de inferência. Modus tollens assume a forma de "Se P, então Q. Não Q. Portanto, não P." É uma aplicação da verdade geral de que se uma afirmação é verdadeira, então sua contrapositiva também é. A forma mostra que a inferência de P implica Q para a negação de Q implica a negação de P é um argumento válido.

A história da regra de inferência modus tollens remonta à antiguidade. O primeiro a descrever explicitamente a forma de argumento modus tollens foi Teofrasto.

Modus tollens está intimamente relacionado com modus ponens. Existem duas formas de argumentação semelhantes, mas inválidas: afirmar o conseqüente e negar o antecedente. Veja também contraposição e prova por contrapositiva.

Explicação

A forma de um argumento modus tollens se assemelha a um silogismo, com duas premissas e uma conclusão:

Se P, então Q.

Não. Q.

Portanto, não P.

A primeira premissa é uma afirmação condicional ("se-então"), como P implica Q. A segunda premissa é uma afirmação de que Q, o consequente da reivindicação condicional, não é o caso. A partir dessas duas premissas pode-se concluir logicamente que P, o antecedente da afirmação condicional, também não é o caso.

Por exemplo:

Se o cão detectar um intruso, o cão ladrará.

O cão não ladra.

Portanto, nenhum intruso foi detectado pelo cão.

Supondo que ambas as premissas sejam verdadeiras (o cachorro irá latir se detectar um intruso, e de fato não latir), segue-se que nenhum intruso foi detectado. Este é um argumento válido, pois não é possível que a conclusão seja falsa se as premissas forem verdadeiras. (É concebível que possa ter havido um intruso que o cão não detectou, mas isso não invalida o argumento; a primeira premissa é "se o cão detectar um intruso". O importante é que o cão detecte ou não um intruso, não se existe um.)

Outro exemplo:

Se sou o assassino do machado, posso usar um machado.

Não posso usar um machado.

Portanto, não sou o assassino do machado.

Outro exemplo:

Se o Rex é uma galinha, então é um pássaro.

O Rex não é um pássaro.

Portanto, Rex não é uma galinha.

Relação com modus ponens

Cada uso de modus tollens pode ser convertido em um uso de modus ponens e um uso de transposição para a premissa que é uma implicação material. Por exemplo:

Se P, então Q. (premise – implicação material)

Se não Q, então não P. (derivado da transposição)

Não. Q(premise)

Portanto, não P. (derivado por Modus ponens)

Da mesma forma, todo uso de modus ponens pode ser convertido em um uso de modus tollens e transposição.

Notação formal

A regra modus tollens pode ser declarada formalmente como:

P→ → Q,? ? Q∴ ∴ ? ? P{displaystyle {frac {Pto Q,neg Q} Por isso neg P}}}

Onde? P→ → QNão. Pto Q. significa a afirmação "P implica Q". ? ? Q{displaystyle neg Q} significa "não é o caso de Q" (ou em breve "não Q"). Então, sempre que "P→ → QNão. Pto Q."e"? ? Q{displaystyle neg Q}" cada um aparece por si mesmos como uma linha de prova, então "? ? P{displaystyle neg P}" pode validamente ser colocado em uma linha subsequente.

A regra modus tollens pode ser escrita em notação sequencial:

P→ → Q,? ? Q? ? ? ? PNão. Pto Q,neg Qvdash neg P}

Onde? ? ? - Sim. é um símbolo metalógico que significa que ? ? P{displaystyle neg P} é uma consequência sintática de P→ → QNão. Pto Q. e ? ? Q{displaystyle neg Q} em algum sistema lógico;

ou como a declaração de uma tautologia funcional ou teorema da lógica proposicional:

((P→ → Q)∧ ∧ ? ? Q)→ → ? ? P(Pto Q)land neg Q)to neg P}

Onde? PNão. P. e QNão. são proposições expressas em algum sistema formal;

ou incluindo suposições:

)) ? ? P→ → Q)) ? ? ? ? Q)) ? ? ? ? P{displaystyle vdash {displaystyle {displaystyle vdash {displaystyle vdash {displaystyle Gamma vdash Pto Q~~~~ Gamma vdash neg Q}{Gamma vdash neg P}}}

no entanto, como a regra não altera o conjunto de suposições, isso não é estritamente necessário.

Reescritas mais complexas envolvendo modus tollens são frequentemente vistas, por exemplo, na teoria dos conjuntos:

P⊆ ⊆ QNão. Psubseteq Q}

x∉ ∉ QNão.

∴ ∴ x∉ ∉ P{displaystyle therefore xnotin P.

("P é um subconjunto de Q. x não está em Q. Portanto, x não está em P.")

Também na lógica de predicados de primeira ordem:

Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas x:P(x)→ → Q(x){displaystyle forall x:~P(x)to Q(x)}

? ? Q(Sim.){displaystyle neg Q(y)}

∴ ∴ ? ? P(Sim.){displaystyle therefore ~neg P(y)}

("Para todo x, se x é P, então x é Q. y não é Q. Portanto, y não é P.")

Estritamente falando, essas não são instâncias de modus tollens, mas podem ser derivadas de modus tollens usando algumas etapas extras.

Justificação via tabela verdade

A validade do modus tollens pode ser claramente demonstrada por meio de uma tabela verdade.

Em instâncias de modus tollens assumimos como premissas que p → q é verdadeiro e q é falso. Há apenas uma linha da tabela verdade – a quarta linha – que satisfaz essas duas condições. Nesta linha, p é falso. Portanto, em todo caso em que p → q é verdadeiro e q é falso, p também deve ser falso.

Prova formal

Via silogismo disjuntivo

Passo	Proposição	Derivação
1	P→ → QNão. Prightarrow Q	Conduzido
2	? ? Q{displaystyle neg Q}	Conduzido
3	? ? P∨ ∨ Q{displaystyle neg Plor Q}	Implicação material (1)
4	? ? P{displaystyle neg P}	syllogism disjuntivo (3,2)

Via reductio ad absurdum

Passo	Proposição	Derivação
1	P→ → QNão. Prightarrow Q	Conduzido
2	? ? Q{displaystyle neg Q}	Conduzido
3	PNão. P.	Consumo
4	QNão.	Modus ponens (1,3)
5	Q∧ ∧ ? ? QNão. Qland neg Q}	Introdução de conjunção (2,4)
6	? ? P{displaystyle neg P}	Reductio ad absurdum (3,5)
7	? ? Q→ → ? ? P{displaystyle neg Qrightarrow neg P}	Introdução condicional (2,6)

Via contraposição

Passo	Proposição	Derivação
1	P→ → QNão. Prightarrow Q	Conduzido
2	? ? Q{displaystyle neg Q}	Conduzido
3	? ? Q→ → ? ? P{displaystyle neg Qrightarrow neg P}	Contraposição (1)
4	? ? P{displaystyle neg P}	Modus ponens (2,3)

Correspondência com outras estruturas matemáticas

Cálculo de probabilidade

Modus tollens representa uma instância da lei da probabilidade total combinada com a lei de Bayes' teorema expresso como:

Pr(P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pr(P∣ ∣ Q)Pr(Q)+Pr(P∣ ∣ ? ? Q)Pr(? ? Q){displaystyle Pr(P)=Pr(Pmid Q)Pr(Q)+ Pr(Pmid lnot Q)Pr(lnot Q),},

onde as condições Pr(P∣ ∣ Q){displaystyle Pr(Pmid Q)} e Pr(P∣ ∣ ? ? Q){displaystyle Pr(Pmid lnot Q)} são obtidos com (a forma estendida de) teorema de Bayes expressa como:

Pr(P∣ ∣ Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pr(Q∣ ∣ P)um(P)Pr(Q∣ ∣ P)um(P)+Pr(Q∣ ∣ ? ? P)um(? ? P){displaystyle Pr(Pmid Q)={frac {Pr(Qmid P),a(P)}{Pr(Qmid P),a(P)+Pr(Qmid lnot P),a(lnot P)}};;} e Pr(P∣ ∣ ? ? Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pr(? ? Q∣ ∣ P)um(P)Pr(? ? Q∣ ∣ P)um(P)+Pr(? ? Q∣ ∣ ? ? P)um(? ? P){displaystyle ;;;Pr(Pmid lnot Q)={frac {Pr(lnot Qmid P),a(P)}{Pr(lnot Qmid P),a(P)+ Pr(lnot Qmid lnot P),a(lnot P)}}}.

Nas equações acima Pr(Q){displaystyle Pr(Q)} denota a probabilidade de QNão.e um(P)(P)} denota a taxa de base (aka. probabilidade prévia) de PNão. P.. A probabilidade condicional Pr(Q∣ ∣ P){displaystyle Pr(Qmid P)} generaliza a declaração lógica P→ → QNão. Pto Q., ou seja, além de atribuir TRUE ou FALSE também podemos atribuir qualquer probabilidade à declaração. Assuma que Pr(Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle Pr(Q)=1} é equivalente a QNão. ser verdade, e isso Pr(Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle Pr(Q)=0} é equivalente a QNão. ser FALSE. É então fácil ver que Pr(P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle Pr(P)=0} quando Pr(Q∣ ∣ P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle Pr(Qmid P)=1} e Pr(Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle Pr(Q)=0}. Isso é porque Pr(? ? Q∣ ∣ P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1- Sim. - Sim. Pr(Q∣ ∣ P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não. Pr(lnot Qmid P)=1-Pr(Qmid P)=0} assim Pr(P∣ ∣ ? ? Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle Pr(Pmid lnot Q)=0} na última equação. Portanto, os termos do produto na primeira equação sempre têm um fator zero para que Pr(P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle Pr(P)=0} que é equivalente a PNão. P. ser FALSE. Assim, a lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes representa uma generalização de Tollens de modusto.

Lógica subjetiva

Modus tollens representa uma instância do operador de abdução na lógica subjetiva expressa como:

ω ω P‖ ‖ ~ ~ QA= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(ω ω Q|PA,ω ω Q|? ? PA)⊚ ⊚ ~ ~ (umP,ω ω QA){displaystyle omega _{P{tilde - Sim. _{Q|P}^{A},omega _{Q|lnot P}^{A}){widetilde (a_{P},,omega _{Q}^{A}),},

Onde? ω ω QA{displaystyle omega _{Q}^{A}} denota a opinião subjetiva sobre QNão.e (ω ω Q|PA,ω ω Q|? ? PA)(omega _{Q|P}^{A},omega _{Q|lnot P}^{A})} denota um par de opiniões condicionais binomiais, como expresso por fonte ANão. A.. O parâmetro umPNão. a_{P}} denota a taxa de base (aka. a probabilidade prévia) de PNão. P.. Parecer marginal abduzido PNão. P. é denotado ω ω P‖ ‖ ~ ~ QA{displaystyle omega _{P{tilde - Sim.. A opinião condicional ω ω Q|PA{displaystyle omega _{Q|P}^{A}} generaliza a declaração lógica P→ → QNão. Pto Q., isto é, além de atribuir TRUE ou FALSE a fonte ANão. A. pode atribuir qualquer opinião subjetiva à declaração. O caso em que ω ω QA{displaystyle omega _{Q}^{A}} é uma opinião TRUE absoluta é equivalente à fonte ANão. A. dizendo: QNão. é TRUE, e o caso em que ω ω QA{displaystyle omega _{Q}^{A}} é uma opinião FALSE absoluta é equivalente à fonte ANão. A. dizendo: QNão. É FALSE. O operador de rapto ⊚ ⊚ ~ ~ {displaystyle {displaystyle {cHFF0000}}) de lógica subjetiva produz uma opinião abduzida FALSE absoluta ω ω P‖ ‖ ~ ~ QA{displaystyle omega _{P{widetilde - Sim. quando a opinião condicional ω ω Q|PA{displaystyle omega _{Q|P}^{A}} é VERDADEIRO absoluto e consequente opinião ω ω QA{displaystyle omega _{Q}^{A}} é absoluta FALSE. Assim, a abdução lógica subjetiva representa uma generalização de ambos Tollens de modusto e da Lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes.