Modus ponens

Na lógica proposicional, modus ponens (MP), também conhecido como modus ponendo ponens (latim para "método de colocar colocando"), eliminação de implicação ou afirmação do antecedente, é uma forma e regra de argumento dedutivo de inferência. Pode ser resumido como "P implica Q. P é verdadeiro. Portanto, Q também deve ser verdadeiro."

Modus ponens está intimamente relacionado a outra forma válida de argumento, modus tollens. Ambos têm formas aparentemente semelhantes, mas inválidas, como afirmar o consequente, negar o antecedente e evidência de ausência. O dilema construtivo é a versão disjuntiva do modus ponens. O silogismo hipotético está intimamente relacionado ao modus ponens e às vezes é considerado como "duplo modus ponens."

A história do modus ponens remonta à antiguidade. O primeiro a descrever explicitamente a forma de argumento modus ponens foi Teofrasto. Ele, junto com modus tollens, é um dos padrões padrão de inferência que pode ser aplicado para derivar cadeias de conclusões que levam ao objetivo desejado.

Explicação

A forma de um argumento modus ponens se assemelha a um silogismo, com duas premissas e uma conclusão:

1. Se P, então Q.
2. P.
3. Portanto, Q.

A primeira premissa é uma afirmação condicional ("se-então"), ou seja, que P implica Q. A segunda premissa é uma afirmação de que P, o antecedente da afirmação condicional, é o caso. A partir dessas duas premissas, pode-se concluir logicamente que Q, o consequente da reivindicação condicional, também deve ser o caso.

Um exemplo de argumento que se encaixa na forma modus ponens:

1. Se hoje é terça-feira, então John vai trabalhar.
2. Hoje é terça-feira.
3. Portanto, João vai trabalhar.

Este argumento é válido, mas não tem relação com a veracidade de qualquer uma das declarações do argumento; para modus ponens ser um argumento sólido, as premissas devem ser verdadeiras para quaisquer instâncias verdadeiras da conclusão. Um argumento pode ser válido, mas não sólido, se uma ou mais premissas forem falsas; se um argumento for válido e todas as premissas forem verdadeiras, então o argumento é válido. Por exemplo, John pode estar indo trabalhar na quarta-feira. Nesse caso, o raciocínio para John ir trabalhar (porque é quarta-feira) é infundado. O argumento só é válido às terças-feiras (quando o João vai trabalhar), mas válido todos os dias da semana. Um argumento proposicional usando modus ponens é considerado dedutivo.

Em cálculos sequenciais de conclusão única, modus ponens é a regra de corte. O teorema de eliminação de corte para um cálculo diz que toda prova envolvendo Corte pode ser transformada (geralmente, por um método construtivo) em uma prova sem Corte e, portanto, que Corte é admissível.

A correspondência de Curry–Howard entre provas e programas relaciona modus ponens à aplicação da função: se f é uma função do tipo P → Q e x é do tipo P, então f x é do tipo Q.

Na inteligência artificial, modus ponens é freqüentemente chamado de encadeamento direto.

Notação formal

A regra modus ponens pode ser escrita em notação sequencial como

P→ → Q,P? ? QNão. Pto Q,;P;;vdash ;;Q}

onde P, Q e P → Q são declarações (ou proposições) em uma linguagem formal e ⊢ é um símbolo metalógico que significa que Q é uma consequência sintática de P e P → Q em algum sistema lógico.

Justificação via tabela verdade

A validade do modus ponens na lógica clássica de dois valores pode ser claramente demonstrada pelo uso de uma tabela verdade.

Em instâncias de modus ponens assumimos como premissas que p → q é verdadeiro e p é verdadeiro. Apenas uma linha da tabela verdade - a primeira - satisfaz essas duas condições (p e p → q). Nesta linha, q também é verdadeiro. Portanto, sempre que p → q for verdadeiro e p for verdadeiro, q também deverá ser verdadeiro.

Estado

Embora o modus ponens seja uma das formas de argumento mais comumente usadas na lógica, ele não deve ser confundido com uma lei lógica; em vez disso, é um dos mecanismos aceitos para a construção de provas dedutivas que inclui a "regra de definição" e a "regra da substituição". Modus ponens permite eliminar uma declaração condicional de uma prova ou argumento lógico (os antecedentes) e, assim, não levar esses antecedentes adiante em uma cadeia cada vez maior de símbolos; por esse motivo, o modus ponens às vezes é chamado de regra do distanciamento ou lei do distanciamento. Enderton, por exemplo, observa que "modus ponens pode produzir fórmulas mais curtas a partir de fórmulas mais longas", e Russell observa que "o processo de inferência não pode ser reduzido a símbolos. Seu único registro é a ocorrência de ⊦q [o conseqüente]... uma inferência é o abandono de uma premissa verdadeira; é a dissolução de uma implicação".

Uma justificativa para a "confiança na inferência é a crença de que se as duas afirmações anteriores [os antecedentes] não estão erradas, a afirmação final [o consequente] não está errada". Em outras palavras: se uma afirmação ou proposição implica uma segunda, e a primeira afirmação ou proposição é verdadeira, então a segunda também é verdadeira. Se P implica Q e P é verdadeiro, então Q é verdadeiro.

Correspondência com outras estruturas matemáticas

Semântica algébrica

Na lógica matemática, a semântica algébrica trata cada frase como um nome para um elemento em um conjunto ordenado. Tipicamente, o conjunto pode ser visualizado como uma estrutura de treliça com um único elemento (o "sempre verdadeiro") no topo e outro elemento único (o "sempre fosso") na parte inferior. A equivalência lógica torna-se identidade, de modo que quando ? ? (P∧ ∧ Q){displaystyle neg {(Pwedge Q)}} e ? ? P∨ ∨ ? ? Q{displaystyle neg {P}vee neg {Q}}, por exemplo, são equivalentes (como é padrão), então ? ? (P∧ ∧ Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? P∨ ∨ ? ? Q{displaystyle neg {(Pwedge Q)}=neg {P}vee neg {Q}}. A implicação lógica torna-se uma questão de posição relativa: PNão. P. logicamente implica QNão. apenas no caso P≤ ≤ QNão. Pleq Q, i.e., quando ou P= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =QNão. P=Q ou outro PNão. P. encontra-se abaixo QNão. e está ligado a ele por um caminho ascendente.

Neste contexto, dizer que PNão. e P→ → QNão. Prightarrow Q juntos implicam QNão.— isto é, afirmar Modus ponens como válido – é dizer que P∧ ∧ (P→ → Q)≤ ≤ QNão. Pwedge (Prightarrow Q)leq Q}. Na semântica para lógica proposicional básica, a álgebra é booleana, com → → Não. interpretado como o material condicional: P→ → Q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? P∨ ∨ QNão. Prightarrow Q=neg {P}vee Q}. Confirmando que P∧ ∧ (P→ → Q)≤ ≤ QNão. Pwedge (Prightarrow Q)leq Q} é então simples, porque P∧ ∧ (P→ → Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P∧ ∧ QNão. Pwedge (Prightarrow Q)=Pwedge Q}. Com outros tratamentos de → → Não., a semântica se torna mais complexa, a álgebra pode ser não-Boolean, e a validade do modus ponens não pode ser tomada como garantida.

Cálculo de probabilidade

Modus ponens representa uma instância da Lei da probabilidade total que, para uma variável binária, é expressa como:

Pr(Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pr(Q∣ ∣ P)Pr(P)+Pr(Q∣ ∣ ? ? P)Pr(? ? P){displaystyle Pr(Q)=Pr(Qmid P)Pr(P)+Pr(Qmid lnot P)Pr(lnot P),},

onde por exemplo. Pr(Q){displaystyle Pr(Q)} denota a probabilidade de QNão. e a probabilidade condicional Pr(Q∣ ∣ P){displaystyle Pr(Qmid P)} generaliza a implicação lógica P→ → QNão. Pto Q.. Assuma que Pr(Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle Pr(Q)=1} é equivalente a QNão. ser verdade, e isso Pr(Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle Pr(Q)=0} é equivalente a QNão. ser FALSE. É então fácil ver que Pr(Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle Pr(Q)=1} quando Pr(Q∣ ∣ P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle Pr(Qmid P)=1} e Pr(P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle Pr(P)=1}. Assim, a lei da probabilidade total representa uma generalização de Modus ponens.

Lógica subjetiva

Modus ponens representa uma instância do operador de dedução binomial na lógica subjetiva expressa como:

ω ω Q‖ ‖ PA= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(ω ω Q|PA,ω ω Q|? ? PA)⊚ ⊚ ω ω PA{displaystyle omega _{Q|P}^{A}=(omega _{Q|P}^{A},omega _{Q|lnot P}^{A})circledcirc omega _{P}^{A},},

Onde? ω ω PA{displaystyle omega _{P}^{A}} denota a opinião subjetiva sobre PNão. P. como expresso pela fonte ANão. A., e a opinião condicional ω ω Q|PA{displaystyle omega _{Q|P}^{A}} generaliza a implicação lógica P→ → QNão. Pto Q.. A opinião marginal deduzida sobre QNão. é denotado por ω ω Q‖ ‖ PA{displaystyle omega _{Q|P}^{A}}. O caso em que ω ω PA{displaystyle omega _{P}^{A}} é uma opinião TRUE absoluta sobre PNão. P. é equivalente à fonte ANão. A. dizendo: PNão. P. é TRUE, e o caso em que ω ω PA{displaystyle omega _{P}^{A}} é uma opinião absoluta sobre FALSE PNão. P. é equivalente à fonte ANão. A. dizendo: PNão. P. É FALSE. O operador de dedução ⊚ ⊚ - Não. de lógica subjetiva produz uma opinião absoluta TRUE deduzida ω ω Q‖ ‖ PA{displaystyle omega _{Q|P}^{A}} quando a opinião condicional ω ω Q|PA{displaystyle omega _{Q|P}^{A}} é VERDADEIRO absoluto e a opinião antecedente ω ω PA{displaystyle omega _{P}^{A}} é verdade absoluta. Assim, a dedução lógica subjetiva representa uma generalização de ambos Modus ponens e a Lei da probabilidade total.

Alegados casos de falha

Filósofos e linguistas identificaram uma variedade de casos em que o modus ponens parece falhar. Vann McGee, por exemplo, argumentou que modus ponens pode falhar para condicionais cujos consequentes são eles próprios condicionais. O seguinte é um exemplo:

1. Ou Shakespeare ou Hobbes escreveram Hamlet!.
2. Se Shakespeare ou Hobbes escreveram Hamlet!Então, se Shakespeare não o fez, o Hobbes fez.
3. Portanto, se Shakespeare não escreveu Hamlet!Foi o Hobbes.

Desde que Shakespeare escreveu Hamlet, a primeira premissa é verdadeira. A segunda premissa também é verdadeira, pois partir de um conjunto de autores possíveis limitados apenas a Shakespeare e Hobbes e eliminar um deles deixa apenas o outro. No entanto, a conclusão pode parecer falsa, já que descartar Shakespeare como o autor de Hamlet deixaria inúmeros candidatos possíveis, muitos deles alternativas mais plausíveis do que Hobbes.

A forma geral de contra-exemplos do tipo McGee para Modus ponens é simplesmente P,P→ → (Q→ → R){displaystyle P,Prightarrow (Qrightarrow R)}Consequentemente, Q→ → RNão. Qrightarrow R.; não é essencial que PNão. P. ser uma disjunção, como no exemplo dado. Que estes tipos de casos constituem falhas Modus ponens permanece uma visão controversa entre os lógicos, mas as opiniões variam sobre como os casos devem ser descartados.

Na lógica deôntica, alguns exemplos de obrigação condicional também levantam a possibilidade de falha do modus ponens. Esses são casos em que a premissa condicional descreve uma obrigação baseada em uma ação imoral ou imprudente, por exemplo, "Se Doe matar sua mãe, ele deve fazê-lo gentilmente" para o qual a duvidosa conclusão incondicional seria "Doe deveria assassinar gentilmente sua mãe." Parece que se Doe está de fato assassinando gentilmente sua mãe, então por modus ponens ele está fazendo exatamente o que deveria, incondicionalmente, estar fazendo. Aqui, novamente, a falha do modus ponens não é um diagnóstico popular, mas às vezes é discutida.

Possíveis falácias

A falácia de afirmar o conseqüente é uma interpretação errônea comum do modus ponens.