Média aritmética

Em matemática e estatística, a média aritmética (arr-ith-MET-ik), média aritmética ou apenas a média ou média (quando o contexto é claro), é a soma de uma coleção de números dividida pela contagem de números na coleção. A coleção geralmente é um conjunto de resultados de um experimento, um estudo observacional ou uma pesquisa. O termo "média aritmética" é preferido em alguns contextos matemáticos e estatísticos porque ajuda a distingui-lo de outros tipos de meios, como geométricos e harmônicos.

Além da matemática e da estatística, a média aritmética é freqüentemente usada em economia, antropologia, história e, até certo ponto, em quase todos os campos acadêmicos. Por exemplo, a renda per capita é a renda média aritmética da população de uma nação.

Embora a média aritmética seja frequentemente usada para relatar tendências centrais, não é uma estatística robusta: ela é muito influenciada por outliers (valores muito maiores ou menores do que a maioria dos outros). Para distribuições assimétricas, como a distribuição de renda para a qual a renda de algumas pessoas é substancialmente mais alta do que a da maioria, a média aritmética pode não coincidir com a noção de "meio". #34;. Nesse caso, estatísticas robustas, como a mediana, podem fornecer uma melhor descrição da tendência central.

Definição

Dado um conjunto de dados X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x1,... ... ,xn?Não. X=\{x_{1},\ldotsx_{n}\}}, o significa aritmética (também) significa ou média), denotado x? ? (x) (leia) xNão. bar), é a média do nNão. valores x1,... ... ,xn{\displaystyle x_{1},\ldotsx_{n}}.

A média aritmética é a medida mais utilizada e facilmente compreendida do conjunto de dados da tendência central. Em estatísticas, a média do termo refere-se a qualquer medida da tendência central. A média aritmética de um conjunto de dados observados é igual à soma dos valores numéricos de cada observação, divididos pelo número total de observações. Simbolicamente, para um conjunto de dados que consiste nos valores x1,... ... ,xn{\displaystyle x_{1},\dotsx_{n}}, a média aritmética é definida pela fórmula:

x? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n(Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nxEu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x1+x2+⋯ ⋯ +xnn{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}

(Para obter uma explicação sobre o operador de soma, consulte somatório.)

Por exemplo, se os salários mensais de 10.Não. empregados são (2500,2700,24:00,2300,2550,2650,2750,2450,2600,24:00?{\displaystyle \{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}}, então a média aritmética é:

2500+2700+24:00+2300+2550+2650+2750+2450+2600+24:0010.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2530(2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}}=2530)

Se o conjunto de dados é uma população estatística (isto é, consiste em cada observação possível e não apenas um subconjunto deles), então a média dessa população é chamada de a população média e denotado pela letra grega μ μ - Sim.. Se o conjunto de dados é uma amostra estatística (um subconjunto da população), é chamado de amostra média (que para um conjunto de dados X- Sim. é denotado como X? ? {\displaystyle {\overline {X}}}).

A média aritmética pode ser definida de forma semelhante para vetores em múltiplas dimensões, não apenas valores escalares; isto é frequentemente referido como um centroid. Mais geralmente, porque a média aritmética é uma combinação convexa (significando sua soma de coeficientes para 1Não. 1), pode ser definido em um espaço convexo, não apenas um espaço vetorial.

Propriedades motivadoras

A média aritmética tem várias propriedades que a tornam interessante, especialmente como medida de tendência central. Esses incluem:

• Se os números x1,... ... ,xnNão. x_{1},\dotscx_{n}} significa x? ? (x), então (x1- Sim. - Sim. x? ? )+⋯ ⋯ +(xn- Sim. - Sim. x? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0}. Desde então xEu...- Sim. - Sim. x? ? Não. x_{i}- (x) é a distância de um determinado número à média, uma maneira de interpretar esta propriedade é dizendo que os números à esquerda da média são equilibrados pelos números à direita. A média é o único número para o qual os resíduos (deviações da estimativa) soma a zero. Isso também pode ser interpretado como dizendo que a média é translacionalmente invariante no sentido de que para qualquer número real umNão., x+um? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x? ? +umNão. A superlinha (x+a) = (x)+a).
• Se for necessário usar um único número como um valor "típico" para um conjunto de números conhecidos x1,... ... ,xnNão. x_{1},\dotscx_{n}}, então a média aritmética dos números faz isso melhor desde que minimiza a soma de desvios quadrados do valor típico: a soma de (xEu...- Sim. - Sim. x? ? )2(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}. A média da amostra também é o melhor preditor único, porque tem o menor erro quadrado da raiz média. Se a média aritmética de uma população de números é desejada, então a estimativa do que é imparcial é a média aritmética de uma amostra extraída da população.

• A média aritmética é independente da escala das unidades de medição, no sentido de que Avg(cum1,⋯ ⋯ ,cumn)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c) ) Avg(um1,⋯ ⋯ ,umn).{\displaystyle {\text{avg}}(ca_{1},\cdotsca_{n})=c\cdot {\text{avg}}(a_{1},\cdotsa_{n}).} Assim, por exemplo, calcular uma média de litros e, em seguida, converter para galões é o mesmo que converter para galões primeiro e, em seguida, calcular a média. Isso também é chamado de homogeneidade de primeira ordem.

Propriedades adicionais

• A média aritmética de uma amostra é sempre entre os maiores e menores valores nessa amostra.
• A média aritmética de qualquer quantidade de grupos de números de tamanho igual juntos é a média aritmética dos meios aritméticos de cada grupo.

Contraste com a mediana

A média aritmética pode ser contrastada com a mediana. A mediana é definida de tal forma que não mais da metade os valores são maiores, e não mais da metade são menores do que ele. Se os elementos nos dados aumentarem aritmicamente quando colocados em alguma ordem, então a média mediana e aritmética são iguais. Por exemplo, considere a amostra de dados (1,2,3,4?{\displaystyle \{1,2,3,4\}}. A média é 2.5.Sim., como é a mediana. No entanto, quando consideramos uma amostra que não pode ser arranjada para aumentar aritmicamente, como (1,2,4,8,16.?Não. \{1,2,4,8,16\}}, a média mediana e aritmética pode diferir significativamente. Neste caso, a média aritmética é 6.2Não., enquanto a mediana é 4Não. 4. O valor médio pode variar consideravelmente da maioria dos valores na amostra e pode ser maior ou menor do que a maioria.

Existem aplicações deste fenômeno em muitos campos. Por exemplo, desde a década de 1980, a renda mediana nos Estados Unidos aumentou mais lentamente do que a média aritmética da renda.

Generalizações

Média ponderada

Uma média ponderada, ou média ponderada, é uma média em que alguns pontos de dados contam mais fortemente do que outros em que eles recebem mais peso no cálculo. Por exemplo, a média aritmética de 3Não. 3 e 5Não. 5 o 3+52= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =4(3+5}{2}}=4}, ou equivalente 312+512= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =4(1}{2}}+5{\frac {1}{2}}=4}. Em contraste, peso significa em que o primeiro número recebe, por exemplo, o dobro do peso que o segundo (talvez porque é assumido aparecer duas vezes mais frequentemente na população geral de que esses números foram amostrados) seria calculado como 323+513= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =113{\displaystyle 3{\frac {2}{3}}+5{\frac {1}{3}}={\frac (11) {3}}. Aqui os pesos, que necessariamente somam a um, são 23Não. Não. e 13Não. Não., o primeiro sendo o dobro o último. A média aritmética (às vezes chamada de "média não ponderada" ou "média igualmente ponderada") pode ser interpretada como um caso especial de uma média ponderada em que todos os pesos são iguais ao mesmo número (12Não. Não. no exemplo acima e 1nNão. Não. em uma situação com nNão. os números sendo mediados).

Distribuições de probabilidade contínuas

Comparação de duas distribuições toras-normais com mediana igual, mas espeto diferente, resultando em vários meios e modos

Se uma propriedade numérica, e qualquer amostra de dados dela, pode assumir qualquer valor de um intervalo contínuo em vez de, por exemplo, apenas inteiros, então a probabilidade de um número cair em algum intervalo de valores possíveis pode ser descrita integrando uma distribuição de probabilidade contínua em todo esse intervalo, mesmo quando a probabilidade ingênua para um número de amostra tomando um certo valor de infinitos é zero. Nesse contexto, o análogo de uma média ponderada, na qual existem infinitas possibilidades para o valor preciso da variável em cada intervalo, é chamado de média da distribuição de probabilidade. A distribuição de probabilidade mais amplamente encontrada é chamada de distribuição normal; ele tem a propriedade de que todas as medidas de sua tendência central, incluindo não apenas a média, mas também a mediana mencionada acima e a moda (os três Ms), são iguais. Essa igualdade não vale para outras distribuições de probabilidade, conforme ilustrado para a distribuição log-normal aqui.

Ângulos

É necessário cuidado especial ao usar dados cíclicos, como fases ou ângulos. Tomando a média aritmética de 1° e 359° produz um resultado de 180°. Isso é incorreto por dois motivos:

• Em primeiro lugar, as medições de ângulo só são definidas até uma constante aditiva de 360° (2D D - Sim. ou ? ? - Sim., se medir em radianos). Assim, estes poderiam ser facilmente chamados 1° e -1°, ou 361° e 719°, uma vez que cada um deles produz uma média diferente.
• Em segundo lugar, nesta situação, 0° (ou 360°) é geometricamente um melhor média valor: há menor dispersão sobre ele (os pontos são tanto 1° a partir dele e 179° a partir de 180°, a média putativa).

Na aplicação geral, tal descuido fará com que o valor médio se mova artificialmente para o meio da faixa numérica. Uma solução para esse problema é usar a formulação de otimização (ou seja, definir a média como o ponto central: o ponto sobre o qual se tem a menor dispersão) e redefinir a diferença como uma distância modular (ou seja, a distância no círculo: então a distância modular entre 1° e 359° é 2°, não 358°).

Prova sem palavras da desigualdade de meios aritméticos e geométricos:
PRNão. PR é o diâmetro de um círculo centrado em ONão. O.; seu raio AONão. AO é o meio aritmético de umNão. e b)Não.. Usando o teorema geométrico médio, triângulo PGRNão.' altitude GQNão. GQ! é a média geométrica. Para qualquer relação um:b)Não., AO≥ ≥ GQAO\geq GQ.

Símbolos e codificação

A média aritmética é muitas vezes denotada por uma barra (vinculum ou macron), como em x? ? (x).

Alguns softwares (processadores de texto, navegadores da web) podem não exibir o caractere "x̄" símbolo corretamente. Por exemplo, o símbolo HTML "x̄" combina dois códigos — a letra base "x" mais um código para a linha acima (̄ ou ¯).

Em alguns formatos de documento (como PDF), o símbolo pode ser substituído por "¢" (cent) quando copiado para um processador de texto como o Microsoft Word.