Mecânica quântica

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Descrição da física na escala atômica

Função de onda do elétron em um átomo de hidrogênio em diferentes níveis de energia. A mecânica quântica não pode prever a localização exata de uma partícula no espaço, apenas a probabilidade de encontrá-la em locais diferentes. As áreas mais brilhantes representam uma maior probabilidade de encontrar o elétron.

A mecânica quântica é uma teoria fundamental da física que fornece uma descrição das propriedades físicas da natureza na escala de átomos e partículas subatômicas. É a base de toda a física quântica, incluindo química quântica, teoria quântica de campos, tecnologia quântica e ciência da informação quântica.

A física clássica, a coleção de teorias que existia antes do advento da mecânica quântica, descreve muitos aspectos da natureza em uma escala comum (macroscópica), mas não é suficiente para descrevê-los em escalas pequenas (atômicas e subatômicas). A maioria das teorias da física clássica pode ser derivada da mecânica quântica como uma aproximação válida em grande escala (macroscópica).

A mecânica quântica difere da física clássica porque a energia, o momento, o momento angular e outras quantidades de um sistema limitado são restritas a valores discretos (quantização); os objetos têm características de partículas e ondas (dualidade onda-partícula); e há limites para a precisão com que o valor de uma quantidade física pode ser previsto antes de sua medição, dado um conjunto completo de condições iniciais (o princípio da incerteza).

A mecânica quântica surgiu gradualmente de teorias para explicar observações que não podiam ser conciliadas com a física clássica, como a solução de Max Planck em 1900 para o problema da radiação do corpo negro e a correspondência entre energia e frequência em Albert Einstein& #39;s papel de 1905, que explicou o efeito fotoelétrico. Essas primeiras tentativas de entender os fenômenos microscópicos, agora conhecidas como a "velha teoria quântica", levaram ao pleno desenvolvimento da mecânica quântica em meados da década de 1920 por Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac e outros. A teoria moderna é formulada em vários formalismos matemáticos especialmente desenvolvidos. Em um deles, uma entidade matemática chamada função de onda fornece informações, na forma de amplitudes de probabilidade, sobre quais medidas de energia, momento e outras propriedades físicas de uma partícula podem resultar.

Visão geral e conceitos fundamentais

A mecânica quântica permite o cálculo de propriedades e comportamento de sistemas físicos. É tipicamente aplicado a sistemas microscópicos: moléculas, átomos e partículas subatômicas. Demonstrou-se que vale para moléculas complexas com milhares de átomos, mas sua aplicação a seres humanos levanta problemas filosóficos, como o amigo de Wigner, e sua aplicação ao universo como um todo permanece especulativa. As previsões da mecânica quântica foram verificadas experimentalmente com um grau extremamente alto de precisão.

Uma característica fundamental da teoria é que ela geralmente não pode prever com certeza o que acontecerá, mas apenas fornecer probabilidades. Matematicamente, uma probabilidade é encontrada tomando o quadrado do valor absoluto de um número complexo, conhecido como amplitude de probabilidade. Isso é conhecido como regra de Born, em homenagem ao físico Max Born. Por exemplo, uma partícula quântica como um elétron pode ser descrita por uma função de onda, que associa a cada ponto do espaço uma amplitude de probabilidade. A aplicação da regra de Born a essas amplitudes fornece uma função de densidade de probabilidade para a posição que o elétron terá quando um experimento for realizado para medi-lo. Isso é o melhor que a teoria pode fazer; não pode dizer com certeza onde o elétron será encontrado. A equação de Schrödinger relaciona a coleção de amplitudes de probabilidade que pertencem a um momento com a coleção de amplitudes de probabilidade que pertencem a outro.

Uma consequência das regras matemáticas da mecânica quântica é uma compensação na previsibilidade entre diferentes quantidades mensuráveis. A forma mais famosa desse princípio da incerteza diz que não importa como uma partícula quântica é preparada ou quão cuidadosamente os experimentos sobre ela são organizados, é impossível ter uma previsão precisa para uma medição de sua posição e também ao mesmo tempo para uma medição. de seu impulso.

Outra consequência das regras matemáticas da mecânica quântica é o fenômeno da interferência quântica, frequentemente ilustrado com o experimento da dupla fenda. Na versão básica desse experimento, uma fonte de luz coerente, como um feixe de laser, ilumina uma placa perfurada por duas fendas paralelas, e a luz que passa pelas fendas é observada em uma tela atrás da placa. A natureza ondulatória da luz faz com que as ondas de luz que passam pelas duas fendas interfiram, produzindo faixas claras e escuras na tela – um resultado que não seria esperado se a luz consistisse em partículas clássicas. No entanto, a luz sempre é absorvida na tela em pontos discretos, como partículas individuais em vez de ondas; o padrão de interferência aparece por meio da densidade variável dessas partículas atingidas na tela. Além disso, versões do experimento que incluem detectores nas fendas descobrem que cada fóton detectado passa por uma fenda (como faria uma partícula clássica), e não por ambas as fendas (como faria uma onda). No entanto, tais experimentos demonstram que as partículas não formam o padrão de interferência se for detectado por qual fenda elas passam. Outras entidades de escala atômica, como elétrons, exibem o mesmo comportamento quando disparadas em direção a uma fenda dupla. Esse comportamento é conhecido como dualidade onda-partícula.

Outro fenômeno contra-intuitivo previsto pela mecânica quântica é o tunelamento quântico: uma partícula que se depara com uma barreira de potencial pode atravessá-la, mesmo que sua energia cinética seja menor que o máximo do potencial. Na mecânica clássica esta partícula estaria presa. O tunelamento quântico tem várias consequências importantes, permitindo decaimento radioativo, fusão nuclear em estrelas e aplicações como microscopia de tunelamento de varredura e diodo de túnel.

Quando os sistemas quânticos interagem, o resultado pode ser a criação do emaranhamento quântico: suas propriedades se tornam tão entrelaçadas que uma descrição do todo apenas em termos das partes individuais não é mais possível. Erwin Schrödinger chamou o emaranhamento de "...o traço característico da mecânica quântica, aquele que impõe seu afastamento total das linhas clássicas de pensamento". O emaranhamento quântico permite as propriedades contraintuitivas da pseudotelepatia quântica e pode ser um recurso valioso em protocolos de comunicação, como distribuição de chaves quânticas e codificação superdensa. Ao contrário do equívoco popular, o emaranhamento não permite o envio de sinais mais rápido que a luz, conforme demonstrado pelo teorema da não comunicação.

Outra possibilidade aberta pelo emaranhamento é o teste de "variáveis ocultas", propriedades hipotéticas mais fundamentais do que as quantidades abordadas na própria teoria quântica, cujo conhecimento permitiria previsões mais exatas do que a teoria quântica pode fornecer. Uma coleção de resultados, mais significativamente o teorema de Bell, demonstrou que amplas classes de tais teorias de variáveis ocultas são de fato incompatíveis com a física quântica. De acordo com o teorema de Bell, se a natureza realmente opera de acordo com qualquer teoria de variáveis ocultas locais, então os resultados de um teste de Bell serão limitados de uma maneira particular e quantificável. Muitos testes de Bell foram realizados, usando partículas emaranhadas, e mostraram resultados incompatíveis com as restrições impostas por variáveis ocultas locais.

Não é possível apresentar estes conceitos de forma mais do que superficial sem introduzir a matemática real envolvida; entender a mecânica quântica requer não apenas manipular números complexos, mas também álgebra linear, equações diferenciais, teoria de grupos e outros assuntos mais avançados. Assim, este artigo apresentará uma formulação matemática da mecânica quântica e examinará sua aplicação a alguns exemplos úteis e frequentemente estudados.

Formulação matemática

Na formulação matematicamente rigorosa da mecânica quântica, o estado de um sistema mecânico quântico é um vetor $psi$ pertencente a um espaço (separável) complexo Hilbert ${mathcal {H}}$ . Este vetor é postulado para ser normalizado sob o produto interno do espaço de Hilbert, ou seja, obedece ${displaystyle langle psipsi rangle =1}$ , e é bem definido até um número complexo de módulo 1 (a fase global), ou seja, $psi$ e ${displaystyle e^{ialpha }psi }$ representar o mesmo sistema físico. Em outras palavras, os possíveis estados são pontos no espaço projetivo de um espaço de Hilbert, geralmente chamado de espaço projetivo complexo. A natureza exata deste espaço de Hilbert depende do sistema – por exemplo, para descrever a posição e o momentum o espaço de Hilbert é o espaço de funções complexas de integração quadrada ${displaystyle L^{2}(mathbb {C})}$ , enquanto o espaço de Hilbert para a rotação de um único protão é simplesmente o espaço de vetores complexos bidimensionais ${mathbb C}^{2}$ com o produto interno habitual.

Quantidades físicas de interesse – posição, impulso, energia, rotação – são representadas pelos observáveis, que são operadores lineares hermitianos (mais precisamente, auto-ajuntos) atuando no espaço de Hilbert. Um estado quântico pode ser um eigenvector de um observável, no qual se chama um eigenstate, e o eigenvalue associado corresponde ao valor do observável nesse eigenstate. Mais geralmente, um estado quântico será uma combinação linear dos eigenstates, conhecido como uma superposição quântica. Quando um observável é medido, o resultado será um de seus valores de eigen com probabilidade dada pela regra Nascida: no caso mais simples o valor de eigen $lambda$ é não degenerado e a probabilidade é dada por ${displaystyle |langle {vec {lambda }},psi rangle |^{2}}$ , onde ${displaystyle {vec {lambda }}}$ é seu eigenvector associado. Mais geralmente, o eigenvalue é degenerado e a probabilidade é dada por ${displaystyle langle psiP_{lambda }psi rangle }$ , onde $P_{lambda }$ é o projetor em seu eigenspace associado. No caso contínuo, essas fórmulas dão ao invés a densidade de probabilidade.

Após a medição, se o resultado $lambda$ foi obtido, o estado quântico é postulado para colapso ${displaystyle {vec {lambda }}}$ , no caso não degenerado, ou ${displaystyle P_{lambda }psi /{sqrt {langle psiP_{lambda }psi rangle }}}$ , no caso geral. A natureza probabilística da mecânica quântica decorre assim do ato de medição. Este é um dos aspectos mais difíceis dos sistemas quânticos para entender. Foi o tema central nos famosos debates de Bohr-Einstein, em que os dois cientistas tentaram esclarecer esses princípios fundamentais por meio de experimentos de pensamento. Nas décadas seguintes à formulação da mecânica quântica, a questão do que constitui uma "medida" foi extensivamente estudada. Novas interpretações da mecânica quântica foram formuladas que eliminam o conceito de "vale da função de onda" (veja, por exemplo, a interpretação de muitos mundos). A ideia básica é que quando um sistema quântico interage com um aparelho de medição, suas respectivas funções de onda se tornam emaranhadas para que o sistema quântico original deixe de existir como uma entidade independente. Para obter detalhes, consulte o artigo sobre medição na mecânica quântica.

A evolução temporal de um estado quântico é descrita pela equação de Schrödinger:

{displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}psi (t)=Hpsi (t).}

Aqui. $H$ denota o Hamiltoniano, o observável correspondente à energia total do sistema, e $hbar$ é a constante de Planck reduzida. A constante $ihbar$ é introduzido de modo que o Hamiltoniano é reduzido ao Hamiltoniano clássico em casos em que o sistema quântico pode ser aproximado por um sistema clássico; a capacidade de fazer tal aproximação em certos limites é chamado de princípio de correspondência.

A solução desta equação diferencial é dada por

{displaystyle psi (t)=e^{-iHt/hbar }psi (0).}

O operador ${displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}$ é conhecido como o operador de evolução do tempo, e tem a propriedade crucial que é unitário. Esta evolução do tempo é determinística no sentido de que – dado um estado quântico inicial $psi (0)$ – faz uma previsão definitiva do que o estado quântico $psi(t)$ será a qualquer momento.

Fig. 1: Densidades de probabilidade correspondentes às funções de onda de um elétron em um átomo de hidrogênio que possui níveis de energia definidos (aumento do topo da imagem para o fundo: n = 1, 2, 3,...) e momenta angular (aumento da esquerda para a direita: S, p, D,...). As áreas densas correspondem a maior densidade de probabilidade em uma medição de posição. Tais funções de onda são diretamente comparáveis às figuras de Chladni de modos acústicos de vibração na física clássica e também são modos de oscilação, possuindo uma energia afiada e assim, uma frequência definida. O impulso angular e a energia são quantificados e tomam apenas valores discretos como os mostrados. (Como é o caso de frequências ressonantes em acústica.)

Algumas funções de onda produzem distribuições de probabilidade que são independentes do tempo, como autoestados do hamiltoniano. Muitos sistemas que são tratados dinamicamente na mecânica clássica são descritos por tais sistemas "estáticos" funções de onda. Por exemplo, um único elétron em um átomo não excitado é retratado classicamente como uma partícula movendo-se em uma trajetória circular ao redor do núcleo atômico, enquanto na mecânica quântica ele é descrito por uma função de onda estática ao redor do núcleo. Por exemplo, a função de onda do elétron para um átomo de hidrogênio não excitado é uma função esfericamente simétrica conhecida como orbital s (Fig. 1).

Soluções analíticas da equação de Schrödinger são conhecidas por muito poucos hamiltonianos de modelos relativamente simples, incluindo o oscilador harmônico quântico, a partícula em uma caixa, o cátion di-hidrogênio e o átomo de hidrogênio. Até mesmo o átomo de hélio - que contém apenas dois elétrons - desafiou todas as tentativas de um tratamento totalmente analítico.

No entanto, existem técnicas para encontrar soluções aproximadas. Um método, chamado teoria da perturbação, usa o resultado analítico para um modelo mecânico quântico simples para criar um resultado para um modelo relacionado, mas mais complicado (por exemplo) pela adição de uma energia potencial fraca. Outro método é chamado de "equação semi-clássica de movimento", que se aplica a sistemas para os quais a mecânica quântica produz apenas pequenos desvios do comportamento clássico. Esses desvios podem então ser calculados com base no movimento clássico. Esta abordagem é particularmente importante no campo do caos quântico.

Princípio da incerteza

Uma consequência do formalismo quântico básico é o princípio da incerteza. Em sua forma mais familiar, isso afirma que nenhuma preparação de uma partícula quântica pode implicar simultaneamente previsões precisas tanto para uma medição de sua posição quanto para uma medição de seu impulso. Tanto a posição quanto o impulso são observáveis, o que significa que eles são representados por operadores Hermitianos. Operador de posição ${hat {X}}$ e operador momentum $hat{P}$ não comutar, mas antes satisfazer a relação de comutação canônica:

{displaystyle [{hat {X}},{hat {P}}]=ihbar.}

Dado um estado quântico, a regra Born nos permite calcular valores de expectativa para ambos $X$ e $P$ , e além disso para poderes deles. Definir a incerteza para um observável por um desvio padrão, temos

{displaystyle sigma _{X}={sqrt {langle {X}^{2}rangle -langle {X}rangle ^{2}}},}

e da mesma forma para o momento:

{displaystyle sigma _{P}={sqrt {langle {P}^{2}rangle -langle {P}rangle ^{2}}}.}

O princípio da incerteza afirma que

{displaystyle sigma _{X}sigma _{P}geq {frac {hbar }{2}}.}

Qualquer desvio padrão pode, em princípio, ser feito arbitrariamente pequeno, mas não ambos simultaneamente. Esta desigualdade generaliza-se a pares arbitrários de operadores autônomos $A$ e $B$ . O comutador destes dois operadores é

{displaystyle [A,B]=AB-BA,}

e isso fornece o limite inferior do produto dos desvios padrão:

{displaystyle sigma _{A}sigma _{B}geq {frac {1}{2}}left|langle [A,B]rangle right|.}

Outra consequência da relação de comutação canônica é que os operadores de posição e impulso são Fourier transformam-se uns dos outros, de modo que uma descrição de um objeto de acordo com seu momentum é a transformada Fourier de sua descrição de acordo com sua posição. O fato de que a dependência em ímpeto é a transformação Fourier da dependência em posição significa que o operador momentum é equivalente (até um ${displaystyle i/hbar }$ fator) para tomar o derivado de acordo com a posição, uma vez que na diferenciação de análise Fourier corresponde à multiplicação no espaço dual. É por isso que em equações quânticas no espaço de posição, o impulso $p_{i}$ é substituído por ${displaystyle -ihbar {frac {partial }{partial x}}}$ , e em particular na equação não-relativista Schrödinger no espaço de posição o termo momentum-squared é substituído por um Laplacian vezes $-hbar ^{2}$ .

Sistemas compostos e emaranhamento

Quando dois sistemas quânticos diferentes são considerados juntos, o espaço de Hilbert do sistema combinado é o produto tensor dos espaços de Hilbert dos dois componentes. Por exemplo, deixe $A$ e $B$ ser dois sistemas quânticos, com espaços de Hilbert ${displaystyle {mathcal {H}}_{A}}$ e ${displaystyle {mathcal {H}}_{B}}$ , respectivamente. O espaço de Hilbert do sistema composto é então

{displaystyle {mathcal {H}}_{AB}={mathcal {H}}_{A}otimes {mathcal {H}}_{B}.}

Se o estado para o primeiro sistema é o vetor ${displaystyle psi _{A}}$ e o estado para o segundo sistema é ${displaystyle psi _{B}}$ , então o estado do sistema composto é

{displaystyle psi _{A}otimes psi _{B}.}

Nem todos os estados no espaço conjunto Hilbert ${displaystyle {mathcal {H}}_{AB}}$ pode ser escrito nesta forma, no entanto, porque o princípio da superposição implica que as combinações lineares desses "estados separados" ou "estados do produto" também são válidas. Por exemplo, se ${displaystyle psi _{A}}$ e $phi _{A}$ são ambos os estados possíveis para o sistema $A$ , e também ${displaystyle psi _{B}}$ e $phi _{B}$ são ambos os estados possíveis para o sistema $B$ , então

{displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}left(psi _{A}otimes psi _{B}+phi _{A}otimes phi _{B}right)}

é um estado de junção válido que não é separável. Os estados que não são separáveis são chamados emaranhados.

Se o estado de um sistema composto for emaranhado, é impossível descrever o sistema componente $A$ ou o sistema $B$ por um vetor de estado. Em vez disso, pode-se definir matrizes de densidade reduzida que descrevem as estatísticas que podem ser obtidas fazendo medições em qualquer um dos sistemas componentes sozinhos. Porém, isso necessariamente causa uma perda de informação: conhecer as matrizes de densidade reduzida dos sistemas individuais não é suficiente para reconstruir o estado do sistema composto. Assim como as matrizes de densidade especificam o estado de um subsistema de um sistema maior, analogamente, medidas de valor de operador positivo (POVMs) descrevem o efeito em um subsistema de uma medição realizada em um sistema maior. POVMs são amplamente utilizados na teoria da informação quântica.

Conforme descrito acima, o emaranhamento é uma característica fundamental dos modelos de processos de medição nos quais um aparelho fica emaranhado com o sistema que está sendo medido. Os sistemas que interagem com o ambiente em que residem geralmente ficam emaranhados com esse ambiente, um fenômeno conhecido como decoerência quântica. Isso pode explicar por que, na prática, os efeitos quânticos são difíceis de observar em sistemas maiores que os microscópicos.

Equivalência entre formulações

Existem muitas formulações matematicamente equivalentes da mecânica quântica. Uma das mais antigas e comuns é a "teoria da transformação" proposto por Paul Dirac, que unifica e generaliza as duas primeiras formulações da mecânica quântica - mecânica matricial (inventada por Werner Heisenberg) e mecânica ondulatória (inventada por Erwin Schrödinger). Uma formulação alternativa da mecânica quântica é a formulação integral do caminho de Feynman, na qual uma amplitude da mecânica quântica é considerada como uma soma de todos os caminhos clássicos e não clássicos possíveis entre os estados inicial e final. Esta é a contrapartida da mecânica quântica do princípio de ação na mecânica clássica.

Simetrias e leis de conservação

O Hamiltoniano $H$ é conhecido como o gerador de energia da evolução do tempo, uma vez que define um operador de evolução do tempo unitário ${displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }}$ para cada valor de $t$ . A partir dessa relação $U(t)$ e $H$ , segue-se que qualquer observável $A$ que comuta com $H$ será conservada: seu valor de expectativa não mudará ao longo do tempo. Esta declaração generaliza, como matematicamente, qualquer operador ermitiano $A$ pode gerar uma família de operadores unitários parametrizados por uma variável $t$ . Sob a evolução gerada por $A$ , qualquer observável $B$ que comuta com $A$ será conservado. Além disso, se $B$ é conservado pela evolução sob $A$ , então $A$ é conservado sob a evolução gerada por $B$ . Isso implica uma versão quântica do resultado comprovado por Emmy Noether na mecânica clássica (Lagrangian): para cada simetria diferencial de um Hamiltoniano, existe uma lei de conservação correspondente.

Exemplos

Partícula livre

Densidade de probabilidade de espaço de posição de um pacote de onda gaussiano que se move em uma dimensão no espaço livre

O exemplo mais simples de um sistema quântico com um grau de liberdade de posição é uma partícula livre em uma única dimensão espacial. Uma partícula livre é aquela que não está sujeita a influências externas, de modo que seu hamiltoniano consiste apenas em sua energia cinética:

{displaystyle H={frac {1}{2m}}P^{2}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}

A solução geral da equação de Schrödinger é dada por

{displaystyle psi (x,t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{hat {psi }}(k,0)e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}mathrm {d} k,}

que é uma superposição de todas as ondas planas possíveis ${displaystyle e^{i(kx-{frac {hbar k^{2}}{2m}}t)}}$ , que são eigenstates do operador momentum com momentum ${displaystyle p=hbar k}$ . Os coeficientes da superposição são ${displaystyle {hat {psi }}(k,0)}$ , que é a transformação Fourier do estado quântico inicial ${displaystyle psi (x,0)}$ .

Não é possível que a solução seja um único autoestado de momento, ou um único autoestado de posição, pois estes não são estados quânticos normalizáveis. Em vez disso, podemos considerar um pacote de ondas gaussianas:

{displaystyle psi (x,0)={frac {1}{sqrt[{4}]{pi a}}}e^{-{frac {x^{2}}{2a}}}}

que tem transformada de Fourier e, portanto, distribuição de momento

{displaystyle {hat {psi }}(k,0)={sqrt[{4}]{frac {a}{pi }}}e^{-{frac {ak^{2}}{2}}}.}

Nós vemos isso como nós fazemos $a$ menor o spread em posição fica menor, mas o spread em momentum fica maior. Por outro lado, fazendo $a$ maior nós fazemos o spread em momentum menor, mas o spread em posição fica maior. Isso ilustra o princípio da incerteza.

Ao deixarmos o pacote de ondas gaussianas evoluir no tempo, vemos que seu centro se move pelo espaço a uma velocidade constante (como uma partícula clássica sem forças atuando sobre ela). No entanto, o pacote de ondas também se espalhará com o passar do tempo, o que significa que a posição se torna cada vez mais incerta. A incerteza no momento, no entanto, permanece constante.

Partícula em uma caixa

Caixa de energia potencial 1-dimensional (ou potencial infinito bem)

A partícula em uma caixa de energia potencial unidimensional é o exemplo mais matematicamente simples onde as restrições levam à quantificação dos níveis de energia. A caixa é definida como tendo zero energia potencial em todos os lugares interior uma determinada região e, portanto, energia potencial infinita em todos os lugares fora aquela região. Para o caso unidimensional no $x$ direção, a equação Schrödinger independente do tempo pode ser escrita

-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=Epsi.

Com o operador diferencial definido por

{hat {p}}_{x}=-ihbar {frac {d}{dx}}

a equação anterior é evocativa do análogo clássico da energia cinética,

{frac {1}{2m}}{hat {p}}_{x}^{2}=E,

com estado $psi$ neste caso ter energia $E$ coincidente com a energia cinética da partícula.

As soluções gerais da equação de Schrödinger para a partícula em uma caixa são

{displaystyle psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}qquad qquad E={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}

ou, da fórmula de Euler,

{displaystyle psi (x)=Csin(kx)+Dcos(kx).!}

As paredes potenciais infinitas da caixa determinam os valores de ${displaystyle C,D,}$ e $k$ em $x=0$ e $x=L$ Onde? $psi$ Deve ser zero. Assim, $x=0$ ,

{displaystyle psi (0)=0=Csin(0)+Dcos(0)=D}

e $D=0$ . Em $x=L$ ,

{displaystyle psi (L)=0=Csin(kL),}

em que $C$ não pode ser zero, pois isso entraria em conflito com o postulado que $psi$ tem norma 1. Portanto, desde ${displaystyle sin(kL)=0}$ , ${displaystyle kL}$ deve ser um inteiro múltiplos de $pi$ ,

k={frac {npi }{L}}qquad qquad n=1,2,3,ldots.

Esta restrição $k$ implica uma restrição nos níveis de energia, produzindo

${displaystyle E_{n}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$

Um poço de potencial finito é a generalização do problema do poço de potencial infinito para poços de potencial com profundidade finita. O problema do poço de potencial finito é matematicamente mais complicado do que o problema da partícula infinita em uma caixa, pois a função de onda não é fixada em zero nas paredes do poço. Em vez disso, a função de onda deve satisfazer condições de contorno matemáticas mais complicadas, pois é diferente de zero em regiões fora do poço. Outro problema relacionado é o da barreira de potencial retangular, que fornece um modelo para o efeito de tunelamento quântico que desempenha um papel importante no desempenho de tecnologias modernas, como memória flash e microscopia de tunelamento de varredura.

Oscilador harmônico

Algumas trajetórias de um oscilador harmônico (ou seja, uma bola anexada a uma mola) na mecânica clássica (A-B) e mecânica quântica (C-H). Na mecânica quântica, a posição da bola é representada por uma onda (chamada função de onda), com a parte real mostrada em azul e a parte imaginária mostrada em vermelho. Algumas das trajetórias (como C, D, E e F) são ondas permanentes (ou "estados estacionários"). Cada frequência de onda permanente é proporcional a um possível nível de energia do oscilador. Esta " quantização energética" não ocorre na física clássica, onde o oscilador pode ter qualquer um energia.

Como no caso clássico, o potencial para o oscilador harmônico quântico é dado por

{displaystyle V(x)={frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}.}

Esse problema pode ser resolvido resolvendo diretamente a equação de Schrödinger, que não é trivial, ou usando o "método da escada" proposto pela primeira vez por Paul Dirac. Os autoestados são dados por

{displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}}cdot left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}cdot e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}cdot H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),qquad }

{displaystyle n=0,1,2,ldots.}

onde H_n são os polinômios de Hermite

{displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left(e^{-x^{2}}right),}

e os níveis de energia correspondentes são

{displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2}right).}

Este é outro exemplo que ilustra a discretização de energia para estados ligados.

Interferômetro Mach-Zehnder

Esquema de um interferômetro Mach-Zehnder

O interferômetro Mach–Zehnder (MZI) ilustra os conceitos de superposição e interferência com álgebra linear na dimensão 2, em vez de equações diferenciais. Pode ser visto como uma versão simplificada do experimento da dupla fenda, mas é interessante por si só, por exemplo, no apagador quântico de escolha retardada, no testador de bomba Elitzur-Vaidman e em estudos de emaranhamento quântico.

Podemos modelar um fóton que atravessa o interferômetro considerando que em cada ponto pode estar em uma superposição de apenas dois caminhos: o caminho "mais baixo" que começa a partir da esquerda, vai direto através de ambos os divisores de feixe, e termina no topo, e o caminho "mais alto" que começa a partir do fundo, vai direto através de ambos os divisores de feixe, e termina à direita. O estado quântico do fóton é, portanto, um vetor ${displaystyle psi in mathbb {C} ^{2}}$ que é uma superposição do caminho "mais baixo" ${displaystyle psi _{l}={begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}}}$ e o caminho "mais alto" ${displaystyle psi _{u}={begin{pmatrix}0\1end{pmatrix}}}$ , isto é, ${displaystyle psi =alpha psi _{l}+beta psi _{u}}$ para complexo $alphabeta$ . A fim de respeitar o postulado que ${displaystyle langle psipsi rangle =1}$ nós exigimos que ${displaystyle |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1}$ .

Ambos os divisores de feixe são modelados como matriz unitária ${displaystyle B={frac {1}{sqrt {2}}}{begin{pmatrix}1&i\i&1end{pmatrix}}}$ , o que significa que, quando um fóton encontra o divisor de feixe, ele permanecerá no mesmo caminho com uma amplitude de probabilidade $1/{sqrt {2}}$ , ou ser refletido para o outro caminho com uma amplitude de probabilidade ${displaystyle i/{sqrt {2}}}$ . O deslocamento de fase no braço superior é modelado como a matriz unitária ${displaystyle P={begin{pmatrix}1&0\0&e^{iDelta Phi }end{pmatrix}}}$ , o que significa que, se o fóton estiver no caminho "acima" ele ganhará uma fase relativa de ${displaystyle Delta Phi }$ , e permanecerá inalterado se estiver no caminho inferior.

Um fóton que entra no interferômetro da esquerda será então acionado com um divisor de feixe $B$ , um deslocador de fase $P$ , e outro divisor de feixe $B$ , e assim acabar no estado

{displaystyle BPBpsi _{l}=ie^{iDelta Phi /2}{begin{pmatrix}-sin(Delta Phi /2)\cos(Delta Phi /2)end{pmatrix}},}

e as probabilidades de ser detectado à direita ou no topo são dadas respectivamente por

{displaystyle p(u)=|langle psi _{u},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=cos ^{2}{frac {Delta Phi }{2}},}

{displaystyle p(l)=|langle psi _{l},BPBpsi _{l}rangle |^{2}=sin ^{2}{frac {Delta Phi }{2}}.}

Pode-se, portanto, usar o interferômetro de Mach-Zehnder para estimar a mudança de fase estimando essas probabilidades.

É interessante considerar o que aconteceria se o fóton estivesse definitivamente nos caminhos "mais baixos" ou "mais altos" entre os divisores do feixe. Isso pode ser realizado bloqueando um dos caminhos, ou equivalentemente removendo o primeiro divisor de feixe (e alimentando o fóton da esquerda ou do fundo, conforme desejado). Em ambos os casos não haverá mais interferência entre os caminhos, e as probabilidades são dadas por ${displaystyle p(u)=p(l)=1/2}$ , independentemente da fase ${displaystyle Delta Phi }$ . A partir disso podemos concluir que o fóton não toma um caminho ou outro após o primeiro divisor de feixe, mas sim que está em uma verdadeira superposição quântica dos dois caminhos.

Aplicativos

A mecânica quântica teve enorme sucesso em explicar muitas das características do nosso universo, no que diz respeito a pequenas quantidades e quantidades discretas e interações que não podem ser explicadas pelos métodos clássicos. A mecânica quântica é muitas vezes a única teoria que pode revelar os comportamentos individuais das partículas subatômicas que compõem todas as formas de matéria (elétrons, prótons, nêutrons, fótons e outros). A física do estado sólido e a ciência dos materiais dependem da mecânica quântica.

Em muitos aspectos, a tecnologia moderna opera em uma escala em que os efeitos quânticos são significativos. Aplicações importantes da teoria quântica incluem química quântica, óptica quântica, computação quântica, ímãs supercondutores, diodos emissores de luz, amplificador óptico e laser, transistor e semicondutores, como o microprocessador, imagens médicas e de pesquisa, como ressonância magnética e elétrons. microscopia. As explicações para muitos fenômenos biológicos e físicos estão enraizadas na natureza da ligação química, principalmente a macromolécula DNA.

Relação com outras teorias científicas

Mecânica clássica

As regras da mecânica quântica afirmam que o espaço de estado de um sistema é um espaço de Hilbert e que os observáveis do sistema são operadores hermitianos atuando em vetores naquele espaço - embora não nos digam qual espaço de Hilbert ou quais operadores. Estes podem ser escolhidos adequadamente para obter uma descrição quantitativa de um sistema quântico, uma etapa necessária para fazer previsões físicas. Um guia importante para fazer essas escolhas é o princípio da correspondência, uma heurística que afirma que as previsões da mecânica quântica se reduzem às da mecânica clássica no regime de grandes números quânticos. Pode-se também começar a partir de um modelo clássico estabelecido de um sistema particular e, em seguida, tentar adivinhar o modelo quântico subjacente que daria origem ao modelo clássico no limite de correspondência. Essa abordagem é conhecida como quantização.

Quando a mecânica quântica foi originalmente formulada, ela foi aplicada a modelos cujo limite de correspondência era a mecânica clássica não relativística. Por exemplo, o conhecido modelo do oscilador harmônico quântico usa uma expressão explicitamente não relativística para a energia cinética do oscilador e é, portanto, uma versão quântica do oscilador harmônico clássico.

As complicações surgem com sistemas caóticos, que não possuem bons números quânticos, e o caos quântico estuda a relação entre descrições clássicas e quânticas nesses sistemas.

A decoerência quântica é um mecanismo através do qual os sistemas quânticos perdem a coerência e, portanto, se tornam incapazes de exibir muitos efeitos tipicamente quânticos: as superposições quânticas tornam-se simplesmente misturas probabilísticas e o emaranhamento quântico torna-se simplesmente correlações clássicas. A coerência quântica não é tipicamente evidente em escalas macroscópicas, exceto talvez em temperaturas próximas do zero absoluto nas quais o comportamento quântico pode se manifestar macroscopicamente.

Muitas propriedades macroscópicas de um sistema clássico são consequência direta do comportamento quântico de suas partes. Por exemplo, a estabilidade da matéria bruta (consistindo de átomos e moléculas que entrariam em colapso rapidamente apenas sob forças elétricas), a rigidez dos sólidos e as propriedades mecânicas, térmicas, químicas, ópticas e magnéticas da matéria são resultados da interação de cargas elétricas sob as regras da mecânica quântica.

Relatividade especial e eletrodinâmica

As primeiras tentativas de fundir a mecânica quântica com a relatividade especial envolviam a substituição da equação de Schrödinger por uma equação covariante, como a equação de Klein-Gordon ou a equação de Dirac. Embora essas teorias fossem bem-sucedidas em explicar muitos resultados experimentais, elas tinham certas qualidades insatisfatórias decorrentes de sua negligência da criação relativística e aniquilação de partículas. Uma teoria quântica totalmente relativística exigiu o desenvolvimento da teoria quântica de campos, que aplica a quantização a um campo (em vez de a um conjunto fixo de partículas). A primeira teoria quântica de campos completa, a eletrodinâmica quântica, fornece uma descrição totalmente quântica da interação eletromagnética. A eletrodinâmica quântica é, juntamente com a relatividade geral, uma das teorias físicas mais precisas já concebidas.

O aparelho completo da teoria quântica de campo é muitas vezes desnecessário para descrever sistemas eletrodinâmicos. Uma abordagem mais simples, que tem sido usada desde o início da mecânica quântica, é tratar partículas carregadas como objetos mecânicos quânticos sendo acionados por um campo eletromagnético clássico. Por exemplo, o modelo quântico elementar do átomo de hidrogênio descreve o campo elétrico do átomo de hidrogênio usando um clássico ${displaystyle textstyle -e^{2}/(4pi epsilon _{_{0}}r)}$ Potencial de Coulomb. Esta abordagem "semi-classical" falha se as flutuações quânticas no campo eletromagnético desempenham um papel importante, como na emissão de fótons por partículas carregadas.

As teorias de campos quânticos para a força nuclear forte e a força nuclear fraca também foram desenvolvidas. A teoria quântica de campo da força nuclear forte é chamada de cromodinâmica quântica e descreve as interações de partículas subnucleares, como quarks e glúons. A força nuclear fraca e a força eletromagnética foram unificadas, em suas formas quantizadas, em uma única teoria quântica de campos (conhecida como teoria eletrofraca), pelos físicos Abdus Salam, Sheldon Glashow e Steven Weinberg.

Relação com a relatividade geral

Embora as previsões da teoria quântica e da relatividade geral tenham sido apoiadas por evidências empíricas rigorosas e repetidas, seus formalismos abstratos se contradizem e se mostraram extremamente difíceis de incorporar em um modelo consistente e coeso. A gravidade é insignificante em muitas áreas da física de partículas, de modo que a unificação entre a relatividade geral e a mecânica quântica não é uma questão urgente nessas aplicações específicas. No entanto, a falta de uma teoria correta da gravidade quântica é uma questão importante na cosmologia física e a busca dos físicos por uma elegante "Teoria de Tudo" (DEDO DO PÉ). Consequentemente, resolver as inconsistências entre ambas as teorias tem sido um dos principais objetivos da física dos séculos XX e XXI. Este TOE combinaria não apenas os modelos da física subatômica, mas também derivaria as quatro forças fundamentais da natureza de uma única força ou fenômeno.

Uma proposta para fazer isso é a teoria das cordas, que postula que as partículas pontuais da física de partículas são substituídas por objetos unidimensionais chamados cordas. A teoria das cordas descreve como essas cordas se propagam pelo espaço e interagem umas com as outras. Em escalas de distância maiores que a escala da corda, uma corda se parece com uma partícula comum, com sua massa, carga e outras propriedades determinadas pelo estado vibratório da corda. Na teoria das cordas, um dos muitos estados vibracionais da corda corresponde ao gráviton, uma partícula da mecânica quântica que carrega força gravitacional.

Outra teoria popular é a gravidade quântica em loop (LQG), que descreve as propriedades quânticas da gravidade e é, portanto, uma teoria do espaço-tempo quântico. LQG é uma tentativa de fundir e adaptar a mecânica quântica padrão e a relatividade geral padrão. Esta teoria descreve o espaço como um tecido extremamente fino "tecido" de loops finitos chamados redes de spin. A evolução de uma rede de spin ao longo do tempo é chamada de espuma de spin. A escala de comprimento característica de uma espuma de spin é o comprimento de Planck, aproximadamente 1,616 × 10⁻³⁵ m, e assim comprimentos menores que o comprimento de Planck não são fisicamente significativos em LQG.

Implicações filosóficas

Problema não resolvido na física:

Existe uma interpretação preferida da mecânica quântica? Como a descrição quântica da realidade, que inclui elementos como a "superposição dos estados" e "vapor a função da onda", dá origem à realidade que percebemos?

(problemas mais não resolvidos na física)

Desde a sua criação, os muitos aspectos e resultados contra-intuitivos da mecânica quântica provocaram fortes debates filosóficos e muitas interpretações. Os argumentos centram-se na natureza probabilística da mecânica quântica, nas dificuldades com o colapso da função de onda e no problema de medição relacionado e na não localidade quântica. Talvez o único consenso que existe sobre essas questões seja que não há consenso. Richard Feynman disse uma vez: "Acho que posso dizer com segurança que ninguém entende a mecânica quântica". De acordo com Steven Weinberg, "Não há agora, em minha opinião, nenhuma interpretação inteiramente satisfatória da mecânica quântica."

As opiniões de Niels Bohr, Werner Heisenberg e outros físicos são frequentemente agrupadas como a "interpretação de Copenhague". De acordo com essas visões, a natureza probabilística da mecânica quântica não é uma característica temporária que eventualmente será substituída por uma teoria determinística, mas é uma renúncia final da ideia clássica de "causalidade". Bohr, em particular, enfatizou que qualquer aplicação bem definida do formalismo da mecânica quântica deve sempre fazer referência ao arranjo experimental, devido à natureza complementar das evidências obtidas em diferentes situações experimentais. As interpretações do tipo Copenhague permanecem populares no século XXI.

Albert Einstein, ele próprio um dos fundadores da teoria quântica, estava preocupado com sua aparente falha em respeitar alguns princípios metafísicos acalentados, como determinismo e localidade. As trocas de longa duração de Einstein com Bohr sobre o significado e o status da mecânica quântica são agora conhecidas como os debates de Bohr-Einstein. Einstein acreditava que a mecânica quântica subjacente deve ser uma teoria que proíbe explicitamente a ação à distância. Ele argumentou que a mecânica quântica era incompleta, uma teoria válida, mas não fundamental, análoga a como a termodinâmica é válida, mas a teoria fundamental por trás dela é a mecânica estatística. Em 1935, Einstein e seus colaboradores Boris Podolsky e Nathan Rosen publicaram um argumento de que o princípio da localidade implica a incompletude da mecânica quântica, um experimento mental mais tarde denominado paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen. Em 1964, John Bell mostrou que o princípio de localidade de EPR, junto com o determinismo, era na verdade incompatível com a mecânica quântica: eles implicavam restrições nas correlações produzidas por sistemas de distância, agora conhecidos como desigualdades de Bell, que podem ser violadas por emaranhados partículas. Desde então, vários experimentos foram realizados para obter essas correlações, com o resultado de que elas de fato violam as desigualdades de Bell e, assim, falsificam a conjunção de localidade com determinismo.

A mecânica bohmiana mostra que é possível reformular a mecânica quântica para torná-la determinística, ao preço de torná-la explicitamente não local. Atribui não só uma função de onda a um sistema físico, mas também uma posição real, que evolui de forma determinística sob uma equação orientadora não local. A evolução de um sistema físico é sempre dada pela equação de Schrödinger junto com a equação orientadora; nunca há um colapso da função de onda. Isso resolve o problema de medição.

A interpretação de muitos mundos de Everett, formulada em 1956, sustenta que todas as possibilidades descritas pela teoria quântica simultaneamente ocorrem em um multiverso composto principalmente de paralelos independentes universos. Esta é uma consequência da remoção do axioma do colapso do pacote de ondas. Todos os estados possíveis do sistema medido e do aparelho de medição, junto com o observador, estão presentes em uma superposição quântica física real. Enquanto o multiverso é determinístico, percebemos um comportamento não determinístico regido por probabilidades, pois não observamos o multiverso como um todo, mas apenas um universo paralelo por vez. Exatamente como isso deveria funcionar tem sido objeto de muito debate. Várias tentativas foram feitas para entender isso e derivar a regra de Born, sem consenso sobre se foram bem-sucedidas.

A mecânica quântica relacional apareceu no final dos anos 1990 como um derivado moderno das ideias do tipo Copenhagen, e o QBism foi desenvolvido alguns anos depois.

História

Max Planck é considerado o pai da teoria quântica.

A mecânica quântica foi desenvolvida nas primeiras décadas do século XX, impulsionada pela necessidade de explicar fenômenos que, em alguns casos, já haviam sido observados em épocas anteriores. A investigação científica sobre a natureza ondulatória da luz começou nos séculos XVII e XVIII, quando cientistas como Robert Hooke, Christiaan Huygens e Leonhard Euler propuseram uma teoria ondulatória da luz baseada em observações experimentais. Em 1803, o polímata inglês Thomas Young descreveu o famoso experimento da dupla fenda. Esta experiência desempenhou um papel importante na aceitação geral da teoria ondulatória da luz.

Durante o início do século 19, a pesquisa química de John Dalton e Amedeo Avogadro deu peso à teoria atômica da matéria, uma ideia que James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann e outros desenvolveram para estabelecer a teoria cinética dos gases. Os sucessos da teoria cinética deram mais credibilidade à ideia de que a matéria é composta de átomos, mas a teoria também tinha deficiências que só seriam resolvidas pelo desenvolvimento da mecânica quântica. Embora a concepção inicial de átomos da filosofia grega fosse de que eles eram unidades indivisíveis - a palavra "átomo" derivando do grego para "incortável" – o século XIX viu a formulação de hipóteses sobre a estrutura subatômica. Uma descoberta importante a esse respeito foi a observação de Michael Faraday em 1838 de um brilho causado por uma descarga elétrica dentro de um tubo de vidro contendo gás a baixa pressão. Julius Plücker, Johann Wilhelm Hittorf e Eugen Goldstein continuaram e aprimoraram o trabalho de Faraday, levando à identificação de raios catódicos, que J. J. Thomson descobriu consistir em partículas subatômicas que seriam chamadas de elétrons.

O problema da radiação do corpo negro foi descoberto por Gustav Kirchhoff em 1859. Em 1900, Max Planck propôs a hipótese de que a energia é irradiada e absorvida em "quanta" (ou pacotes de energia), gerando um cálculo que combinou com precisão os padrões observados de radiação de corpo negro. A palavra quantum deriva do latim, significando "quão grande" ou "quanto". De acordo com Planck, quantidades de energia podem ser pensadas como divididas em "elementos" cujo tamanho (E) seria proporcional à sua frequência (ν):

E=hnu

onde h é a constante de Planck. Planck insistiu cautelosamente que este era apenas um aspecto dos processos de absorção e emissão de radiação e não era a realidade física da radiação. Na verdade, ele considerou sua hipótese quântica um truque matemático para obter a resposta certa, e não uma descoberta considerável. No entanto, em 1905, Albert Einstein interpretou a hipótese quântica de Planck de forma realista e a usou para explicar o efeito fotoelétrico, no qual a luz brilhante em certos materiais pode ejetar elétrons do material. Niels Bohr então desenvolveu as ideias de Planck sobre a radiação em um modelo do átomo de hidrogênio que previu com sucesso as linhas espectrais do hidrogênio. Einstein desenvolveu ainda mais essa ideia para mostrar que uma onda eletromagnética como a luz também poderia ser descrita como uma partícula (mais tarde chamada de fóton), com uma quantidade discreta de energia que depende de sua frequência. Em seu artigo "On the Quantum Theory of Radiation," Einstein expandiu a interação entre energia e matéria para explicar a absorção e emissão de energia pelos átomos. Embora ofuscado na época por sua teoria geral da relatividade, este artigo articulou o mecanismo subjacente à emissão estimulada de radiação, que se tornou a base do laser.

A Conferência Solvay de 1927 em Bruxelas foi a quinta conferência mundial de física.

Esta fase é conhecida como a velha teoria quântica. Nunca completa ou autoconsistente, a antiga teoria quântica era antes um conjunto de correções heurísticas da mecânica clássica. A teoria é agora entendida como uma aproximação semi-clássica da mecânica quântica moderna. Resultados notáveis desse período incluem, além do trabalho de Planck, Einstein e Bohr mencionados acima, o trabalho de Einstein e Peter Debye sobre o calor específico dos sólidos, a prova de Bohr e Hendrika Johanna van Leeuwen de que a a física não pode explicar o diamagnetismo e a extensão de Arnold Sommerfeld do modelo de Bohr para incluir efeitos relativísticos especiais.

Em meados da década de 1920, a mecânica quântica foi desenvolvida para se tornar a formulação padrão da física atômica. Em 1923, o físico francês Louis de Broglie apresentou sua teoria das ondas de matéria afirmando que as partículas podem exibir características de onda e vice-versa. Com base na abordagem de de Broglie, a mecânica quântica moderna nasceu em 1925, quando os físicos alemães Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan desenvolveram a mecânica matricial e o físico austríaco Erwin Schrödinger inventou a mecânica ondulatória. Born introduziu a interpretação probabilística da função de onda de Schrödinger em julho de 1926. Assim, todo o campo da física quântica emergiu, levando a sua aceitação mais ampla na Quinta Conferência Solvay em 1927.

Em 1930, a mecânica quântica havia sido unificada e formalizada por David Hilbert, Paul Dirac e John von Neumann, com maior ênfase na medição, na natureza estatística de nosso conhecimento da realidade e na especulação filosófica sobre o 'observador&#39.;. Desde então, permeou muitas disciplinas, incluindo química quântica, eletrônica quântica, óptica quântica e ciência da informação quântica. Ele também fornece uma estrutura útil para muitos recursos da tabela periódica moderna de elementos e descreve os comportamentos dos átomos durante a ligação química e o fluxo de elétrons em semicondutores de computador e, portanto, desempenha um papel crucial em muitas tecnologias modernas. Embora a mecânica quântica tenha sido construída para descrever o mundo do muito pequeno, ela também é necessária para explicar alguns fenômenos macroscópicos, como supercondutores e superfluidos.

Notas explicativas

^ Veja, por exemplo, testes de precisão do QED. O refinamento relativista da mecânica quântica conhecida como eletrodinâmica quântica (QED) foi mostrado para concordar com a experiência dentro de 1 parte em 10⁸ para algumas propriedades atômicas.
^ O físico John C. Baez adverte, "não há nenhuma maneira de entender a interpretação da mecânica quântica sem também ser capaz de resolver problemas de mecânica quântica– para entender a teoria, você precisa ser capaz de usá-la (e vice-versa)". Carl Sagan delineou o "subpinning matemático" da mecânica quântica e escreveu: "Para a maioria dos estudantes de física, isso pode ocupá-los de, digamos, terceiro grau para a escola de pós-graduação precoce - cerca de 15 anos. [...] O trabalho do popularizador da ciência, tentando atravessar alguma ideia da mecânica quântica para um público geral que não passou por esses rituais de iniciação, é assustador. Na verdade, não há popularizações bem sucedidas da mecânica quântica na minha opinião – em parte por esta razão."
^ Um eigenstate momentum seria uma onda perfeitamente monocromática de extensão infinita, que não é quadrado-integrável. Da mesma forma, uma posição eigenstate seria uma distribuição Dirac delta, não integrável quadrado e tecnicamente não uma função em tudo. Consequentemente, nem pode pertencer ao espaço da partícula Hilbert. Os médicos às vezes introduzem "bases" fictícias para um espaço de Hilbert que compreende elementos fora desse espaço. Estes são inventados para conveniência cálculo e não representam estados físicos.
^ Veja, por exemplo, as Palestras Feynman sobre Física para algumas das aplicações tecnológicas que usam mecânica quântica, por exemplo, transistores (volistores) III., pp. 14–11 ff), circuitos integrados, que são tecnologia de seguimento em física de estado sólido (vol II, pp. 8–6) e lasers (vol III., pp. 9–13).
^ ver fenômenos quânticos macroscópicos, condensado Bose-Einstein e máquina Quantum
^ A forma publicada do argumento EPR foi devido a Podolsky, e o próprio Einstein não estava satisfeito com ele. Em suas próprias publicações e correspondência, Einstein usou um argumento diferente para insistir que a mecânica quântica é uma teoria incompleta.

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