Mecânica de continuidade

Mecânica contínua é um ramo da mecânica que lida com a deformação e transmissão de forças através de materiais modelados como uma massa contínua em vez de partículas discretas. O matemático francês Augustin-Louis Cauchy foi o primeiro a formular tais modelos no século XIX.

Um modelo contínuo assume que a substância do objeto preenche completamente o espaço que ocupa. Isso ignora o fato de que a matéria é feita de átomos, mas fornece uma descrição suficientemente precisa da matéria em escalas de comprimento muito maiores do que as distâncias interatômicas. O conceito de um meio contínuo permite a análise intuitiva da matéria a granel usando equações diferenciais que descrevem o comportamento dessa matéria de acordo com as leis físicas, como conservação de massa, conservação de momento e conservação de energia. As informações sobre o material específico são expressas em relações constitutivas.

A mecânica do contínuo trata as propriedades físicas de sólidos e fluidos independentemente de qualquer sistema de coordenadas específico no qual eles são observados. Essas propriedades são representadas por tensores, que são objetos matemáticos com a propriedade saliente de serem independentes de sistemas de coordenadas. Isso permite a definição de propriedades físicas em qualquer ponto do contínuo, de acordo com funções contínuas matematicamente convenientes. As teorias de elasticidade, plasticidade e mecânica dos fluidos são baseadas nos conceitos da mecânica do contínuo.

Conceito de contínuo

O conceito de contínuo é a base da estrutura matemática para o estudo de forças e deformações em larga escala em materiais. Embora os materiais sejam compostos de átomos e moléculas discretos, separados por espaços vazios ou rachaduras microscópicas e defeitos cristalográficos, os fenômenos físicos podem frequentemente ser modelados considerando uma substância distribuída por alguma região do espaço. Um continuum é um corpo que pode ser continuamente subdividido em elementos infinitesimais com propriedades materiais locais definidas em qualquer ponto particular. As propriedades do material a granel podem, portanto, ser descritas por funções contínuas e sua evolução pode ser estudada usando a matemática do cálculo.

Além da suposição de continuidade, duas outras suposições independentes são freqüentemente empregadas no estudo da mecânica do contínuo. Estes são a homogeneidade (suposição de propriedades idênticas em todos os locais) e isotropia (suposição de propriedades vetoriais invariantes direcionais). Caso essas premissas auxiliares não sejam globalmente aplicáveis, o material pode ser segregado em seções onde elas são aplicáveis para simplificar a análise. Para casos mais complexos, uma ou ambas as suposições podem ser descartadas. Nesses casos, métodos computacionais são freqüentemente usados para resolver as equações diferenciais que descrevem a evolução das propriedades dos materiais.

Principais áreas

Uma área adicional da mecânica contínua compreende as espumas elastoméricas, que exibem uma curiosa relação hiperbólica tensão-deformação. O elastômero é um verdadeiro continuum, mas uma distribuição homogênea de vazios confere a ele propriedades incomuns.

Formulação de modelos

Figura 1. Configuração de um corpo contínuo

Modelos de mecânica de continuum começam atribuindo uma região em espaço euclidiano tridimensional ao corpo material B{displaystyle {mathcal {B}}} ser modelado. Os pontos nesta região são chamados de partículas ou pontos materiais. Diferente configurações ou estados do corpo correspondem a diferentes regiões no espaço euclidiano. A região correspondente à configuração do corpo no momento )Não. é etiquetado κ κ )(B){displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}}}.

Uma partícula particular dentro do corpo em uma configuração particular é caracterizada por um vetor de posição

x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13xEu...eEu...,(x) = _{i=1}^{3}x_{i}mathbf {e} _{i},}

Onde? eEu...{displaystyle mathbf {e} _{i}} são os vetores de coordenadas em algum quadro de referência escolhido para o problema (Ver figura 1). Este vetor pode ser expresso como uma função da posição da partícula X{displaystyle mathbf {X} } } em alguns configuração de referência, por exemplo, a configuração no momento inicial, de modo que

x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =κ κ )(X).{displaystyle mathbf {x} =kappa _{t}(mathbf {X}).}

Esta função precisa ter várias propriedades para que o modelo faça sentido físico. κ κ )()) ){displaystyle kappa _{t}(cdot)} precisa ser:

• contínuo no tempo, de modo que o corpo muda de uma maneira que é realista,
• globalmente invertível em todos os momentos, de modo que o corpo não pode se cruzar,
• orientação-preservação, como as transformações que produzem reflexos do espelho não são possíveis na natureza.

Para a formulação matemática do modelo, κ κ )()) ){displaystyle kappa _{t}(cdot)} também é assumido ser duas vezes continuamente diferencial, de modo que equações diferenciais que descrevem o movimento podem ser formuladas.

Forças contínuas

A mecânica do contínuo lida com corpos deformáveis, em oposição a corpos rígidos. Um sólido é um corpo deformável que possui resistência ao cisalhamento, sc. um sólido pode suportar forças de cisalhamento (forças dentro de um paralelo igual ao amcspasm's da superfície do material simbiótico na qual eles agem). Os fluidos, por outro lado, não suportam forças de cisalhamento.

Seguindo a dinâmica clássica de Newton e Euler, o movimento de um corpo material é produzido pela ação de forças externamente aplicadas que são assumidas de dois tipos: forças de superfície FC{displaystyle mathbf {F} _{C}} e forças corporais FB{displaystyle mathbf {F} _{B}}. Assim, a força total F{displaystyle {mathcal {F}}} aplicado a um corpo ou a uma porção do corpo pode ser expresso como:

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =FC+FB{displaystyle {mathcal {F}}=mathbf {F} _{C}+mathbf {F} _{B}}

Forças de superfície

Forças de superfície ou forças de contato, expressas como força por unidade de área, podem atuar tanto na superfície delimitadora do corpo, como resultado do contato mecânico com outros corpos, ou em superfícies internas imaginárias que ligam partes do corpo, como resultado da interação mecânica entre as partes do corpo de cada lado da superfície (princípio de tensões de Euler-Cauchy). Quando um corpo sofre a ação de forças de contato externas, as forças de contato internas são então transmitidas de ponto a ponto dentro do corpo para equilibrar sua ação, de acordo com a terceira lei de Newton do movimento de conservação do momento linear e do momento angular (para corpos contínuos, essas leis são chamadas de equações de movimento de Euler). As forças de contato internas estão relacionadas com a deformação do corpo através de equações constitutivas. As forças internas de contato podem ser matematicamente descritas pela forma como se relacionam com o movimento do corpo, independentemente da composição do material do corpo.

A distribuição de forças de contato internas em todo o volume do corpo é considerada contínua. Portanto, existe uma densidade da força de contato ou Campo de tração Cauchy T(n,x,)){displaystyle mathbf {T} (mathbf {n}mathbf {x}t)} que representa esta distribuição em uma configuração particular do corpo em um determinado momento )- Sim.. Não é um campo vetorial porque depende não só da posição x(x) de um ponto material particular, mas também na orientação local do elemento superficial, tal como definido pelo seu vetor normal n- Sim..

Qualquer área diferencial DS- Sim. com vetor normal n- Sim. de uma determinada área de superfície interna SNão. S,!, amarrando uma parte do corpo, experimenta uma força de contato DFC{displaystyle dmathbf {F} _{C},!} decorrente do contato entre ambas as partes do corpo em cada lado de SNão. S,!, e é dada por

DFC= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =T(n)DS{displaystyle dmathbf {F}} _{C}=mathbf {T} ^{(mathbf {n})},dS}

Onde? T(n){displaystyle mathbf {T} ^{(mathbf {n})}} é o tração da superfície, também chamado vetor de stress, traçãoou vetor de tração. O vetor de stress é um vector indiferente (ver o princípio de stress de Euler-Cauchy).

A força de contacto total na superfície interna particular SNão. S,! é então expressa como a soma (superfície integral) das forças de contato em todas as superfícies diferenciais DS- Sim.:

FC= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ ST(n)DS{displaystyle mathbf {F} _{C}=int _{S}mathbf {T} ^{(mathbf {n})},dS}

Na mecânica do contínuo, um corpo é considerado livre de tensão se as únicas forças presentes forem as forças interatômicas (iônicas, metálicas e forças de van der Waals) necessárias para manter o corpo unido e manter sua forma na ausência de todas as influências externas, incluindo atração gravitacional. As tensões geradas durante a fabricação do corpo para uma configuração específica também são excluídas ao considerar as tensões em um corpo. Portanto, as tensões consideradas na mecânica do contínuo são apenas aquelas produzidas pela deformação do corpo, sc. são consideradas apenas as mudanças relativas nas tensões, não os valores absolutos das tensões.

Forças corporais

Forças do corpo são forças originárias de fontes fora do corpo que atuam no volume (ou massa) do corpo. Dizer que as forças do corpo são devidas a fontes externas implica que a interação entre diferentes partes do corpo (forças internas) se manifestam apenas através das forças de contato. Estas forças surgem da presença do corpo em campos de força, por exemplo. campo gravitacional (forças gravitacionais) ou campo eletromagnético (forças eletromagnéticas), ou de forças inerciais quando os corpos estão em movimento. Como se presume que a massa de um corpo contínuo seja distribuída continuamente, qualquer força originária da massa também é distribuída continuamente. Assim, as forças do corpo são especificadas por campos vetoriais que são assumidos como contínuos em todo o volume do corpo, Ou seja. agindo em cada ponto nele. As forças do corpo são representadas por uma densidade de força corporal b)(x,)){displaystyle mathbf {b} (mathbf {x}t)} (por unidade de massa), que é um campo de vetor indiferente quadro.

No caso de forças gravitacionais, a intensidade da força depende, ou é proporcional à densidade de massa ? ? (x,)){displaystyle mathbf {rho } (mathbf {x}t),!} do material, e é especificado em termos de força por unidade de massa (b)Eu...Não. b_{i},!}) ou por unidade de volume (pEu...Não. p_{i},!}). Estas duas especificações estão relacionadas através da densidade material pela equação ? ? b)Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =pEu...{displaystyle rho b_{i}=p_{i},!}. Da mesma forma, a intensidade das forças eletromagnéticas depende da força (carga elétrica) do campo eletromagnético.

A força corporal total aplicada a um corpo contínuo é expressa como

FB= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ Vb)Dm= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ V? ? b)DV{displaystyle mathbf {F} _{B}=int _{V}mathbf {b} ,dm=int _{ V}rho mathbf {b} ,dV}

As forças do corpo e as forças de contato que atuam no corpo levam a momentos correspondentes de força (torques) em relação a um determinado ponto. Assim, o torque total aplicado M{displaystyle {mathcal {M}}} sobre a origem é dada por

M= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =MC+MB{displaystyle {mathcal {M}}=mathbf {M} _{C}+mathbf {M} _{B}}

Em determinadas situações, não comumente consideradas na análise do comportamento mecânico dos materiais, torna-se necessário incluir dois outros tipos de forças: são as tensões conjugadas (binários de superfície, torques de contato) e momentos corporais. Tensões conjugadas são momentos por unidade de área aplicados em uma superfície. Momentos de corpo, ou binários de corpo, são momentos por unidade de volume ou por unidade de massa aplicada ao volume do corpo. Ambos são importantes na análise de tensão para um sólido dielétrico polarizado sob a ação de um campo elétrico, materiais onde a estrutura molecular é levada em consideração (e.g. ossos), sólidos sob a ação de um campo magnético externo campo, e a teoria do deslocamento de metais.

Os materiais que exibem pares de corpos e tensões de pares, além de momentos produzidos exclusivamente por forças, são chamados de materiais polares. Materiais apolares são então aqueles materiais com apenas momentos de forças. Nos ramos clássicos da mecânica do contínuo, o desenvolvimento da teoria das tensões é baseado em materiais apolares.

Assim, a soma de todas as forças e torques aplicados (em relação à origem do sistema de coordenadas) no corpo pode ser dada por

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ VumDm= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ STDS+∫ ∫ V? ? b)DV{displaystyle {mathcal {F}}=int _{V}mathbf {a} ,dm=int _{S}mathbf {T} ,dS+int _{V}rho mathbf {b} ,dV}

M= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ SR× × TDS+∫ ∫ VR× × ? ? b)DV{displaystyle {mathcal {M}}=int _{S}mathbf {r} times mathbf {T} ,dS+int _{V}mathbf {r} times rho mathbf {b} ,dV}

Cinemática: movimento e deformação

Figura 2. Movimento de um corpo contínuo.

Uma mudança na configuração de um corpo contínuo resulta em um deslocamento. O deslocamento de um corpo tem dois componentes: um deslocamento rígido do corpo e uma deformação. Um deslocamento de corpo rígido consiste em uma tradução simultânea e rotação do corpo sem alterar sua forma ou tamanho. Deformação implica a mudança na forma e/ou tamanho do corpo de uma configuração inicial ou não deformada κ κ 0(B){displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}}} para uma configuração atual ou deformada κ κ )(B){displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}}} (Figura 2).

O movimento de um corpo contínuo é uma sequência temporal contínua de deslocamentos. Assim, o corpo material ocupará diferentes configurações em diferentes momentos, de modo que uma partícula ocupa uma série de pontos no espaço que descrevem uma linha de trajetória.

Há continuidade durante o movimento ou deformação de um corpo contínuo no sentido de que:

• Os pontos de material que formam uma curva fechada em qualquer instante sempre formarão uma curva fechada a qualquer momento subsequente.
• Os pontos de material que formam uma superfície fechada em qualquer instante sempre formarão uma superfície fechada a qualquer momento subsequente e a matéria dentro da superfície fechada permanecerá sempre dentro.

É conveniente identificar uma configuração de referência ou condição inicial de que todas as configurações subsequentes são referenciadas. A configuração de referência não precisa ser aquela que o corpo ocupará. Muitas vezes, a configuração em )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não. é considerado a configuração de referência, κ κ 0(B){displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}}}. Os componentes XEu...Não. X_{i}} do vetor de posição X{displaystyle mathbf {X} } } de uma partícula, tomada em relação à configuração de referência, são chamadas as coordenadas de material ou de referência.

Ao analisar o movimento ou a deformação dos sólidos, ou o escoamento dos fluidos, é necessário descrever a sequência ou evolução das configurações ao longo do tempo. Uma descrição do movimento é feita em termos das coordenadas do material ou referencial, chamada descrição do material ou descrição lagrangiana.

Descrição lagrangiana

Na descrição lagrangiana, a posição e as propriedades físicas das partículas são descritas em termos de coordenadas materiais ou referenciais e tempo. Neste caso a configuração de referência é a configuração em )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não.. Um observador no quadro de referência observa as mudanças na posição e propriedades físicas à medida que o corpo material se move no espaço à medida que o tempo avança. Os resultados obtidos são independentes da escolha de tempo inicial e configuração de referência, κ κ 0(B){displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}}}. Esta descrição é normalmente usada em mecânica sólida.

Na descrição Lagrangian, o movimento de um corpo contínuo é expresso pela função de mapeamento χ χ ()) ){displaystyle chi (cdot)} (Figura 2),

x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =χ χ (X,)){displaystyle mathbf {x} =chi (mathbf {X}t)}

que é um mapeamento da configuração inicial κ κ 0(B){displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}}} na configuração atual κ κ )(B){displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}}}, dando uma correspondência geométrica entre eles, ou seja, dando o vetor de posição x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =xEu...eEu...(x) =x_{i}mathbf {e} _{i}} que uma partícula X- Sim., com um vetor de posição X{displaystyle mathbf {X} } } na configuração não deformada ou de referência κ κ 0(B){displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}}}, ocupará na configuração atual ou deformada κ κ )(B){displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}}} no momento )Não.. Os componentes xEu...Não. x_{i}} são chamadas de coordenadas espaciais.

Propriedades físicas e cinemáticas PEu...JJ...... {displaystyle P_{ijldots }}, ou seja, propriedades termodinâmicas e velocidade de fluxo, que descrevem ou caracterizam características do corpo material, são expressas como funções contínuas de posição e tempo, ou seja,. PEu...JJ...... = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =PEu...JJ...... (X,)){displaystyle P_{ijldots }=P_{ijldots }(mathbf {X}t)}.

O material derivado de qualquer propriedade PEu...JJ...... {displaystyle P_{ijldots }} de um continuum, que pode ser um escalar, vetor ou tensor, é a taxa de tempo de mudança dessa propriedade para um grupo específico de partículas do corpo contínuo em movimento. O derivado material também é conhecido como o derivado substancialou comovendo derivadoou derivado convectivo. Pode-se pensar como a taxa em que a propriedade muda quando medida por um observador que viaja com esse grupo de partículas.

Na descrição Lagrangian, o material derivado de PEu...JJ...... {displaystyle P_{ijldots }} é simplesmente o derivado parcial com relação ao tempo, e o vetor de posição X{displaystyle mathbf {X} } } é mantido constante como não muda com o tempo. Assim, temos

DD)Não.PEu...JJ...... (X,))]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ ∂ ∂ )Não.PEu...JJ...... (X,))]Não. {d}{dt}}[P_{ijldots }(mathbf {X}t)]={frac {partial }{partial t}}[P_{ijldots }(mathbf {X}t)]}

A posição instantânea x(x) é uma propriedade de uma partícula, e seu derivado material é o velocidade de fluxo instantânea v(v) da partícula. Portanto, o campo de velocidade de fluxo do continuum é dado por

v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x:: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =DxD)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ χ χ (X,))∂ ∂ ){displaystyle mathbf {v} ={dot {mathbf {x}} }}={frac {dmathbf {x} }{dt}}={frac {partial chi (mathbf {X}t)}{partial t}}}

Da mesma forma, o campo de aceleração é dado por

um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =v:: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x" " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D2xD)2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ 2χ χ (X,))∂ ∂ )2{displaystyle mathbf {a} ={dot {mathbf {v}} * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * }}={frac {d^{2}mathbf {x} }{dt^{2}}}={frac {partial ^{2}chi (mathbf {X}t)}{partial t^{2}}}}

A continuidade na descrição lagrangiana é expressa pela continuidade espacial e temporal do mapeamento da configuração de referência à configuração atual dos pontos materiais. Todas as quantidades físicas que caracterizam o continuum são descritas desta forma. Nesse sentido, a função χ χ ()) ){displaystyle chi (cdot)} e PEu...JJ...... ()) ){displaystyle P_{ijldots }(cdot)} são de valor único e contínuo, com derivados contínuos em relação ao espaço e tempo para qualquer ordem é necessária, geralmente para o segundo ou terceiro.

Descrição euleriana

Continuidade permite o inverso de χ χ ()) ){displaystyle chi (cdot)} traçar para trás onde a partícula atualmente localizada em x(x) foi localizado na configuração inicial ou referenciada κ κ 0(B){displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}}}. Neste caso, a descrição do movimento é feita em termos das coordenadas espaciais, em que caso se chama a descrição espacial ou descrição euleriana, ou seja, a descrição espacial. a configuração atual é tomada como a configuração de referência.

A descrição euleriana, introduzida por d'Alembert, foca na configuração atual κ κ )(B){displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}}}, dando atenção ao que está ocorrendo em um ponto fixo no espaço à medida que o tempo progride, em vez de dar atenção às partículas individuais à medida que se movem através do espaço e do tempo. Esta abordagem é convenientemente aplicada no estudo do fluxo de fluidos onde a propriedade cinemática de maior interesse é a taxa em que a mudança está ocorrendo em vez da forma do corpo do fluido em um momento de referência.

Matematicamente, o movimento de um contínuo usando a descrição euleriana é expresso pela função de mapeamento

X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =χ χ - Sim. - Sim. 1(x,)){displaystyle mathbf {X} =chi ^{-1}(mathbf {x}t)}

que fornece um rastreamento da partícula que agora ocupa a posição x(x) na configuração atual κ κ )(B){displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}}} à sua posição original X{displaystyle mathbf {X} } } na configuração inicial κ κ 0(B){displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}}}.

Uma condição necessária e suficiente para que essa função inversa exista é que o determinante da Matriz Jacobiana, muitas vezes chamada simplesmente de Jacobiana, seja diferente de zero. Por isso,

JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|∂ ∂ χ χ Eu...∂ ∂ XJJ|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|∂ ∂ xEu...∂ ∂ XJJ|≠ ≠ 0[displaystyle J=left|{frac] _{i}}{partial X_{J}}}right|=left|{frac {partial x_{i}}{partial X_{J}}}right|neq 0

Na descrição euleriana, as propriedades físicas PEu...JJ...... {displaystyle P_{ijldots }} são expressas como

PEu...JJ...... = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =PEu...JJ...... (X,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =PEu...JJ...... Não.χ χ - Sim. - Sim. 1(x,)),)]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =pEu...JJ...... (x,)){displaystyle P_{ijldots }=P_{ijldots }(mathbf {X}t)=P_{ijldots }[chi ^{-1}(mathbf {x}t),t]=p_{ijldots }(mathbf {x}t)}

onde a forma funcional de PEu...JJ...... {displaystyle P_{ijldots }} na descrição Lagrangian não é o mesmo que a forma de pEu...JJ...... {displaystyle p_{ijldots }} na descrição euleriana.

O derivado material de pEu...JJ...... (x,))}(mathbf {x}t)}, usando a regra da cadeia, é então

DD)Não.pEu...JJ...... (x,))]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ ∂ ∂ )Não.pEu...JJ...... (x,))]+∂ ∂ ∂ ∂ xkNão.pEu...JJ...... (x,))]DxkD){displaystyle {frac {d}{dt}}[p_{ijldots }(mathbf {x}t)]={frac {partial ? t}}[p_{ijldots }(mathbf {x}t)]+{frac ? x_{k}}}[p_{ijldots }(mathbf {x}t)]{frac {dx_{k}}{dt}}}

O primeiro termo no lado direito desta equação dá a taxa de mudança local da propriedade pEu...JJ...... (x,))}(mathbf {x}t)} ocorrendo em posição x(x). O segundo termo do lado direito é o taxa de conversão e expressa a contribuição da posição de mudança de partícula no espaço (moção).

A continuidade na descrição euleriana é expressa pela continuidade espacial e temporal e pela diferenciação contínua do campo de velocidade de fluxo. Todas as quantidades físicas são definidas desta forma em cada instante do tempo, na configuração atual, como uma função da posição vetorial x(x).

Campo de deslocamento

O vetor juntando-se às posições de uma partícula PNão. P. na configuração não deformada e configuração deformada é chamado o vetor de deslocamento u(X,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uEu...eEu...{displaystyle mathbf {u} (mathbf {X}t)=u_{i}mathbf {e} _{i}}, na descrição Lagrangian, ou U(x,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =UJJEJJ{displaystyle mathbf {U} (mathbf {x}t)=U_{J}mathbf {E} _{J}}Na descrição euleriana.

Um campo de deslocamento é um campo vetorial de todos os vetores de deslocamento para todas as partículas do corpo, que relaciona a configuração deformada com a configuração não deformada. É conveniente fazer a análise da deformação ou movimento de um corpo contínuo em termos do campo de deslocamento. Em geral, o campo de deslocamento é expresso em termos das coordenadas do material como

u(X,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)+x(X,))- Sim. - Sim. XouuEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α Eu...JJb)JJ+xEu...- Sim. - Sim. α α Eu...JJXJJ{displaystyle mathbf {u} (mathbf {X}t)=mathbf {b}) +mathbf {x} (mathbf {X}t)-mathbf {X} qquad {text{or}}qquad u_{i}=alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-alpha _{iJ}X_{J}}

ou em termos de coordenadas espaciais como

U(x,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)+x- Sim. - Sim. X(x,))ouUJJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)JJ+α α JJEu...xEu...- Sim. - Sim. XJJ{displaystyle mathbf {U} (mathbf {x}t)=mathbf {b}) +mathbf {x} -mathbf {X} (mathbf {x}t)qquad {text{or}}qquad U_{J}=b_{J}+alpha _{Ji}x_{i}-X_{J},}

Onde? α α JJEu...{displaystyle alpha _{Ji}} são a direção cosinas entre os sistemas de coordenadas materiais e espaciais com vetores unitários EJJ{displaystyle mathbf {E} _{J}} e eEu...{displaystyle mathbf {e} _{i}}, respectivamente. Assim

EJJ)) eEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α JJEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α Eu...JJ{displaystyle mathbf {E} _{J}cdot mathbf {e}} _{i}=alpha _{Ji}=alpha _{iJ}}

e a relação entre uEu...Não. u_{i}} e UJJNão. U_{J}} é então dada por

uEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α Eu...JJUJJouUJJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α JJEu...uEu...Não. u_{i}=alpha _{iJ}U_{J}qquad {text{or}}qquad U_{J}=alpha _{Ji}u_{i}}

Sabendo que

eEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α Eu...JJEJJ(e) _{i}=alpha _{iJ}mathbf {E} _{J}}

então

u(X,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uEu...eEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uEu...(α α Eu...JJEJJ)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =UJJEJJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =U(x,)){displaystyle mathbf {u} (mathbf {X}t)=u_{i}mathbf {e}) _{i}=u_{i}(alpha) _{iJ}mathbf {E} _{J})=U_{J}mathbf {E} _{J}=mathbf {U} (mathbf {x}t)}

É comum sobrepor os sistemas de coordenadas para as configurações não deformadas e deformadas, o que resulta em b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle mathbf {b} - Sim., e a direção cosines tornar-se Kronecker deltas, i.e.

EJJ)) eEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =δ δ JJEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =δ δ Eu...JJ{displaystyle mathbf {E} _{J}cdot mathbf {e}} _{i}=delta _{Ji}=delta _{iJ}}

Assim, temos

u(X,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x(X,))- Sim. - Sim. XouuEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =xEu...- Sim. - Sim. δ δ Eu...JJXJJ{displaystyle mathbf {u} (mathbf {X}t)=mathbf {x}) (mathbf {X}t)-mathbf {X} qquad {text{or}}qquad u_{i}=x_{i}-delta _{iJ}X_{J}}

ou em termos de coordenadas espaciais como

U(x,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x- Sim. - Sim. X(x,))ouUJJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =δ δ JJEu...xEu...- Sim. - Sim. XJJ{displaystyle mathbf {U} (mathbf {x}t)=mathbf {x}) -mathbf {X} (mathbf {x}t)qquad {text{or}}qquad U_{J}=delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}

Equações governantes

A mecânica do contínuo lida com o comportamento de materiais que podem ser aproximados como contínuos para determinados comprimentos e escalas de tempo. As equações que regem a mecânica de tais materiais incluem as leis de equilíbrio de massa, momento e energia. Relações cinemáticas e equações constitutivas são necessárias para completar o sistema de equações governantes. Restrições físicas na forma das relações constitutivas podem ser aplicadas exigindo que a segunda lei da termodinâmica seja satisfeita sob todas as condições. Na mecânica contínua dos sólidos, a segunda lei da termodinâmica é satisfeita se a forma de Clausius-Duhem da desigualdade de entropia for satisfeita.

As leis de equilíbrio expressam a ideia de que a taxa de variação de uma quantidade (massa, momento, energia) em um volume deve surgir de três causas:

1. a quantidade física em si flui através da superfície que liga o volume,
2. há uma fonte da quantidade física na superfície do volume, ou/e,
3. há uma fonte da quantidade física dentro do volume.

Vamos. Ω Ω Não. - Sim. ser o corpo (um subconjunto aberto do espaço euclidiano) e deixar ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega } ser sua superfície (o limite de Ω Ω Não. - Sim.).

Deixe o movimento dos pontos materiais no corpo ser descrito pelo mapa

x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =χ χ (X)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x(X){displaystyle mathbf {x} ={boldsymbol {chi }}(mathbf {X})=mathbf {x} (mathbf {X})}

Onde? X{displaystyle mathbf {X} } } é a posição de um ponto na configuração inicial e x(x) é a localização do mesmo ponto na configuração deformada.

O gradiente de deformação é dado por

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ x∂ ∂ X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? x.{displaystyle {boldsymbol {F}}={frac {partial mathbf {x} }{partial mathbf {X} }}=nabla mathbf {x} ~.}

Leis de equilíbrio

Vamos. f(x,))(x}t)} ser uma quantidade física que está fluindo através do corpo. Vamos. g(x,)){displaystyle g(mathbf {x}t)} ser fontes na superfície do corpo e deixe h(x,)){displaystyle h(mathbf {x}t)} ser fontes dentro do corpo. Vamos. n(x,)){displaystyle mathbf {n} (mathbf {x}t)} ser a unidade externa normal para a superfície ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega }. Vamos. v(x,)){displaystyle mathbf {v} (mathbf {x}t)} ser a velocidade de fluxo das partículas físicas que carregam a quantidade física que está fluindo. Além disso, deixe a velocidade em que a superfície delimitada ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega } está se movendo unNão. U_{n}} (na direção n- Sim.).

Então, as leis de equilíbrio podem ser expressas na forma geral

DD)Não.∫ ∫ Ω Ω f(x,))DV]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ ∂ ∂ Ω Ω f(x,))Não.un(x,))- Sim. - Sim. v(x,)))) n(x,))]DA+∫ ∫ ∂ ∂ Ω Ω g(x,))DA+∫ ∫ Ω Ω h(x,))DV.{displaystyle {cfrac {d}{dt}}left[int * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

As funções f(x,))(x}t)}, g(x,)){displaystyle g(mathbf {x}t)}e h(x,)){displaystyle h(mathbf {x}t)} pode ser escalar valorizado, vetor avaliado, ou tensor avaliado - dependendo da quantidade física que a equação de equilíbrio lida com. Se houver limites internos no corpo, as descontinuidades de salto também precisam ser especificadas nas leis de equilíbrio.

Se tomarmos o ponto de vista euleriano, pode -se mostrar que as leis de equilíbrio de massa, momento e energia para um sólido podem ser escritas como (assumindo que o termo da fonte é zero para as equações de massa e momento angular)

? ? :: +? ? (? ? )) v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de massa? ? v:: - Sim. - Sim. ? ? )) σ σ - Sim. - Sim. ? ? b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de Momentum Linear (A primeira lei do casulo de movimento)σ σ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ TBalanço de Momentum Angular (Segunda lei do casulo)? ? e:: - Sim. - Sim. σ σ :(? ? v)+? ? )) q- Sim. - Sim. ? ? S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de Energia.{displaystyle {begin{aligned}{dot {rho }}+rho ({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {v})&=0&&qquad {text{Balance of Mass}}\rho ~{dot {mathbf {v} - Sim. - Sim. }}-rho ~mathbf {b} &=0&&qquad {text{Balance of Linear Momentum (A primeira lei de movimento de Cauchy)}}\{boldsymbol Sim. &= Sim. ^{^{ T}&&qquad {text{Balance of Angular Momentum (Segunda lei de movimento de Cauchy)}}\rho ~{dot {e}}-{boldsymbol ({boldsymbol {nabla }}mathbf {v})+{boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {q} -rho ~s&=0&&qquad {text{Balance of Energy.}}end{aligned}}}

Nas equações acima ? ? (x,)){displaystyle rho (mathbf {x}t)} é a densidade de massa (current), ? ? :: - Sim. é o derivado do tempo material de ? ? - Sim., v(x,)){displaystyle mathbf {v} (mathbf {x}t)} é a velocidade da partícula, v:: - Sim. é o derivado do tempo material de v(v), σ σ (x,)){displaystyle {boldsymbol {sigma }}(mathbf {x}t)} é o tensor de estresse Cauchy, b)(x,)){displaystyle mathbf {b} (mathbf {x}t)} é a densidade da força corporal, e(x,))(x}t)} é a energia interna por unidade de massa, e:: - Não. é o derivado do tempo material de eNão., q(x,)){displaystyle mathbf {q} (mathbf {x}t)} é o vetor de fluxo de calor, e S(x,)){displaystyle s(mathbf {x}t)} é uma fonte de energia por unidade de massa.

Com relação à configuração de referência (o ponto de vista lagrangiano), as leis de equilíbrio podem ser escritas como

? ? - Não.(F)- Sim. - Sim. ? ? 0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de massa? ? 0x" " - Sim. - Sim. ? ? ∘ ∘ )) PT- Sim. - Sim. ? ? 0b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de Momentum LinearF)) PT= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P)) FTBalanço de Momentum Angular? ? 0e:: - Sim. - Sim. PT:F:: +? ? ∘ ∘ )) q- Sim. - Sim. ? ? 0S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de Energia.{displaystyle {begin{aligned}rho ~det({boldsymbol {F}})-rho _{0}&=0&qquad {text{Balance of Mass}}rho _{0}~{ddot {mathbf {x} - Sim. - Sim. }}_{circ }cdot {P}}^{T}-rho _{0}~mathbf {b} &=0&&qquad {text{Balance of Linear Momentum}}\{boldsymbol {F}}cdot {boldsymbol {P}}^{T}&={boldsymbol {P}}cdot {boldsymbol {F}}^{T}&&qquad {text{Balance of Angular Momentum}}\rho _{0}~{dot {e}}-{boldsymbol {P}}^{T}: {F}}}+ - Sim. rc }cdot mathbf {q} -rho _{0}~s&=0&qquad {text{Balance of Energy.}}end{aligned}}}

No acima, P(P}}} é o primeiro tensor de estresse Piola-Kirchhoff, e ? ? 0{displaystyle rho _{0}} é a densidade de massa na configuração de referência. O primeiro tensor de estresse Piola-Kirchhoff está relacionado com o tensor de estresse Cauchy por

P= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =JJσ σ )) F- Sim. - Sim. TOnde?JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Não.(F)- Não. {P}}=J~{boldsymbol - Sim. {F}}^{-T}~{text{where}}~J=det({boldsymbol) {F}}}

Podemos, alternativamente, definir o tensor de tensão nominal N(N}}} que é a transposição do primeiro tensor de estresse Piola-Kirchhoff tal que

N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =PT= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =JJF- Sim. - Sim. 1)) σ σ .- Não. {N}} = * {P}}^{T}=J~{boldsymbol {F}}^{-1}cdot {boldsymbol Sim. Sim.

Então as leis de equilíbrio tornam-se

? ? - Não.(F)- Sim. - Sim. ? ? 0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de massa? ? 0x" " - Sim. - Sim. ? ? ∘ ∘ )) N- Sim. - Sim. ? ? 0b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de Momentum LinearF)) N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =NT)) FTBalanço de Momentum Angular? ? 0e:: - Sim. - Sim. N:F:: +? ? ∘ ∘ )) q- Sim. - Sim. ? ? 0S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Balanço de Energia.{displaystyle {begin{aligned}rho ~det({boldsymbol {F}})-rho _{0}&=0&qquad {text{Balance of Mass}}rho _{0}~{ddot {mathbf {x} - Sim. - Sim. }}_{circ }cdot {N}}-rho _{0}~mathbf {b} &=0&&qquad {text{Balance of Linear Momentum}}\{boldsymbol {F}}cdot {boldsymbol {N}}&= {N}}^{T}cdot {boldsymbol {F}}^{T}&qquad {text{Balance of Angular Momentum}}\rho _{0}~{dot {e}}-{boldsymbol (N}}: {F}}}+ - Sim. rc }cdot mathbf {q} -rho _{0}~s&=0&qquad {text{Balance of Energy.}}end{aligned}}}

Os operadores nas equações acima são definidos como tal que

? ? v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...,JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13∂ ∂ vEu...∂ ∂ xJJeEu...⭐ ⭐ eJJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vEu...,JJeEu...⭐ ⭐ eJJ;? ? )) v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13∂ ∂ vEu...∂ ∂ xEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vEu...,Eu...;? ? )) S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...,JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13∂ ∂ SEu...JJ∂ ∂ xJJeEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ Eu...JJ,JJeEu....(v) =sum _{i,j=1}^{3}{frac v_{i}} x_{j}}}mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}=v_{i,j}mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}~~~~{boldsymbol - Sim. = _{i=1}^{3}{frac v_{i}} x_{i}}}=v_{i,i}~~~~~{boldsymbol - Sim. Sim. {S}}=sum _{i,j=1}^{3}{frac S_{ij}} x_{j}}}~mathbf {e} _{i}=sigma _{ij,j}~mathbf {e} _{i}~.}

Onde? v(v) é um campo vetorial, S- Não. (S) é um campo tensor de segunda ordem, e eEu...{displaystyle mathbf {e} _{i}} são os componentes de uma base ortonormal na configuração atual. Também,

? ? ∘ ∘ v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...,JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13∂ ∂ vEu...∂ ∂ XJJEEu...⭐ ⭐ EJJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vEu...,JJEEu...⭐ ⭐ EJJ;? ? ∘ ∘ )) v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13∂ ∂ vEu...∂ ∂ XEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vEu...,Eu...;? ? ∘ ∘ )) S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...,JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13∂ ∂ SEu...JJ∂ ∂ XJJEEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =SEu...JJ,JJEEu...- Sim. rc }mathbf {v} =sum _{i,j=1}^{3}{frac v_{i}} X_{j}}}mathbf {E} _{i}otimes mathbf {E} _{j}=v_{i,j}mathbf {E} _{i}otimes mathbf {E} _{j}~~~~{boldsymbol - Sim. }cdot mathbf {v} = _{i=1}^{3}{frac v_{i}} X_{i}}}=v_{i,i}~~~~~{boldsymbol }cdot (em inglês) {S}}=sum _{i,j=1}^{3}{frac S_{ij}} X_{j}}}~mathbf Não. _{i}=S_{ij,j}~mathbf {E} _{i}}

Onde? v(v) é um campo vetorial, S- Não. (S) é um campo tensor de segunda ordem, e EEu...{displaystyle mathbf] {E} _{i}} são os componentes de uma base ortonormal na configuração de referência.

O produto interno é definido como

A:B= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...,JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13AEu...JJBEu...JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =traços⁡ ⁡ (ABT).- Não. {A}}:{boldsymbol {B}}=sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=operatorname {trace} ({boldsymbol {A}}{boldsymbol {B}}^{T})~.}

Desigualdade Clausius-Duhem

A desigualdade de Clausius-Duhem pode ser usada para expressar a segunda lei da termodinâmica para materiais elástico-plásticos. Essa desigualdade é uma afirmação sobre a irreversibilidade dos processos naturais, especialmente quando a dissipação de energia está envolvida.

Assim como nas leis de equilíbrio na seção anterior, assumimos que há um fluxo de uma quantidade, uma fonte da quantidade e uma densidade interna da quantidade por unidade de massa. A quantidade de interesse neste caso é a entropia. Assim, presumimos que há um fluxo de entropia, uma fonte de entropia, uma densidade de massa interna ? ? - Sim. e uma entropia específica interna (ou seja, entropia por unidade de massa) ? ? - Sim. na região de interesse.

Vamos. Ω Ω Não. - Sim. ser tal região e deixar ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega } ser o seu limite. Em seguida, a segunda lei da termodinâmica afirma que a taxa de aumento de ? ? - Sim. nesta região é maior ou igual à soma da que é fornecida Ω Ω Não. - Sim. (como um fluxo ou de fontes internas) e a mudança da densidade de entropia interna ? ? ? ? {displaystyle rho eta } devido ao material que flui dentro e fora da região.

Vamos. ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega } mover com uma velocidade de fluxo unNão. U_{n}} e deixe partículas dentro Ω Ω Não. - Sim. ter velocidades v(v). Vamos. n- Sim. ser a unidade externa normal para a superfície ∂ ∂ Ω Ω {displaystyle partial Omega }. Vamos. ? ? - Sim. ser a densidade da matéria na região, q? ? (q) ser o fluxo de entropia na superfície, e RNão. ser a fonte de entropia por unidade de massa. Então a desigualdade de entropia pode ser escrita como

DD)(∫ ∫ Ω Ω ? ? ? ? DV)≥ ≥ ∫ ∫ ∂ ∂ Ω Ω ? ? ? ? (un- Sim. - Sim. v)) n)DA+∫ ∫ ∂ ∂ Ω Ω q? ? DA+∫ ∫ Ω Ω ? ? RDV.{displaystyle {cfrac {d}{dt}}left(int) _{Omega }rho ~eta ~{text{dV}}right)geq int _{partial Omega }rho ~eta ~(u_{n}-mathbf {v} cdot mathbf {n})~{text{dA}}+int _{partial Omega }{bar {q}}~{text{dA}}+int O que foi? ~r~{text{dV}}.}

O fluxo de entropia escalar pode estar relacionado ao fluxo vetorial na superfície pela relação q? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. ? ? (x))) n{displaystyle {bar {q}}=-{boldsymbol {psi }}(mathbf {x})cdot mathbf {n} }. Sob a suposição de condições isotérmicas incrementais, temos

? ? (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =q(x)T;R= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ST{displaystyle {boldsymbol {psi }}(mathbf {x})={cfrac {mathbf {q} (mathbf {x}{T}}~~~r={cfrac Não.

Onde? q- Sim. é o vetor de fluxo de calor, SNão. é uma fonte de energia por unidade de massa, e TNão. T. é a temperatura absoluta de um ponto material em x(x) no momento )Não..

Temos então a desigualdade de Clausius-Duhem na forma integral:

DD)(∫ ∫ Ω Ω ? ? ? ? DV)≥ ≥ ∫ ∫ ∂ ∂ Ω Ω ? ? ? ? (un- Sim. - Sim. v)) n)DA- Sim. - Sim. ∫ ∫ ∂ ∂ Ω Ω q)) nTDA+∫ ∫ Ω Ω ? ? STDV.{displaystyle {{cfrac {d}{dt}}left(int _{Omega }rho ~eta ~{text{dV}}right)geq int _{partial Omega }rho ~eta ~(u_{n}-mathbf {v} cdot mathbf {n})~{text{dA}}-int _{partial Omega }{cfrac {mathbf {q} cdot mathbf {n} }{T}}~{text{dA}}+int - Sim. ~s}{T}}~{text{dV}}.}}

Podemos mostrar que a desigualdade de entropia pode ser escrita na forma diferencial como

? ? ? ? :: ≥ ≥ - Sim. - Sim. ? ? )) (qT)+? ? ST.- Não. }}geq -{boldsymbol {nabla }}cdot left({cfrac {mathbf {q} }{T}}right)+{cfrac - Sim.

Em termos da tensão de Cauchy e da energia interna, a desigualdade de Clausius-Duhem pode ser escrita como

? ? (e:: - Sim. - Sim. T? ? :: )- Sim. - Sim. σ σ :? ? v≤ ≤ - Sim. - Sim. q)) ? ? TT.{displaystyle {rho ~({dot {e}}-T~{dot {eta }})-{boldsymbol - Sim. O que é que se passa? - Sim.) T}{T}}.}}

Validade

A validade da suposição contínua pode ser verificada por uma análise teórica, na qual alguma periodicidade clara é identificada ou existe homogeneidade estatística e ergodicidade da microestrutura. Mais especificamente, a hipótese do contínuo depende dos conceitos de um volume elementar representativo e separação de escalas com base na condição de Hill-Mandel. Esta condição fornece uma ligação entre o ponto de vista de um experimentalista e um teórico sobre equações constitutivas (campos lineares e não lineares elásticos/inelásticos ou acoplados), bem como uma forma de média espacial e estatística da microestrutura. Quando a separação de escalas não se sustenta, ou quando se deseja estabelecer um continuum de resolução mais fina que o tamanho do elemento de volume representativo (RVE), um elemento de volume estatístico (SVE) é empregado, o que resulta em campos contínuos aleatórios. O último então fornece uma base micromecânica para elementos finitos estocásticos (SFE). Os níveis de SVE e RVE vinculam a mecânica contínua à mecânica estatística. Experimentalmente, o RVE só pode ser avaliado quando a resposta constitutiva é espacialmente homogênea.

Aplicativos

• Mecânica de continuidade
  • Mecânica sólida
  • Mecânica fluída
• Engenharia
  • Engenharia civil
  • Engenharia mecânica
  • Engenharia aeroespacial
  • Engenharia biomédica
  • Engenharia química

Notas explicativas