Matriz ortogonal

Na álgebra linear, uma matriz ortogonal ou matriz ortonormal , é uma matriz quadrada real cujas colunas e linhas são vetores ortonormais.

Uma maneira de expressar isso é $$Não. Q^{\mathrm (T) Q=Q^{\mathrm Eu...$$Onde? Q^T é a transpose de Q e Eu... é a matriz de identidade.

Isso leva à caracterização equivalente: uma matriz Q é ortogonal se sua transpose é igual ao seu inverso: $$Não. Q^{\mathrm Q^{-1}$$Onde? Q^{- Sim.} é o inverso de Q.

Uma matriz ortogonal q é necessariamente invertível (com inverso q −1 = q t ), unitário ( q −1 = q ∗ ), onde q ∗ é o adjunto hermitiano (transposição conjugada) de q e, portanto, normal ( q ∗ q = qq ∗ ) sobre os números reais. O determinante de qualquer matriz ortogonal é +1 ou -1. Como transformação linear, uma matriz ortogonal preserva o produto interno dos vetores e, portanto, atua como uma isometria do espaço euclidiano, como rotação, reflexão ou rotoreflexão. Em outras palavras, é uma transformação unitária.

O conjunto de n × n matrizes ortogonais, sob multiplicação, forma o grupo O ( n ) , conhecido como grupo ortogonal. O subgrupo então ( n ) consistindo em matrizes ortogonais com determinante +1 é chamado de grupo ortogonal especial, e cada um de seus elementos é uma matriz ortogonal especial especial . Como uma transformação linear, toda matriz ortogonal especial atua como uma rotação.

Uma matriz ortogonal é a especialização real de uma matriz unitária, e assim sempre uma matriz normal. Embora consideremos apenas matrizes reais aqui, a definição pode ser usada para matrizes com entradas de qualquer campo. No entanto, as matrizes ortogonais surgem naturalmente de produtos do ponto, e para matrizes de números complexos que levam ao invés da exigência unitária. Matrizes ortogonais preservam o produto do ponto, assim, para vetores u e v em um n-espaço real Euclidiano $$Não. }\cdot (mathbf) }=\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} }\right)}$$Onde? Q é uma matriz ortogonal. Para ver a conexão interna do produto, considere um vetor v em um n- espaço euclidiano real. Escrito com respeito a uma base ortonormal, o comprimento quadrado de v é v^Tv. Se uma transformação linear, em forma de matriz Qv, preserva comprimentos vetoriais, então $$(v) }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} } }^{\mathrm {T} } (Q{\mathbf {v} } })={\mathbf {v} }^{\mathrm (T) }Q^{\mathrm Não.$$

Assim, isometrias lineares-dimensionais finitas-rotações, reflexões e suas combinações-produziram matrizes ortogonais. O inverso também é verdadeiro: as matrizes ortogonais implicam transformações ortogonais. No entanto, a álgebra linear inclui transformações ortogonais entre espaços que podem não ser dimensionais finitos nem da mesma dimensão, e estes não possuem matriz ortogonal equivalente.

Matrizes ortogonais são importantes por várias razões, teóricas e práticas. O n × n matrizes ortogonais formam um grupo sob multiplicação de matrizes, o grupo ortogonal indicado por O ( n ) , que - com seus subgrupos - é amplamente utilizado na matemática e nas ciências físicas. Por exemplo, o grupo pontual de uma molécula é um subgrupo de O (3). Como as versões de ponto flutuante das matrizes ortogonais têm propriedades vantajosas, elas são essenciais para muitos algoritmos na álgebra linear numérica, como a decomposição de QR. Como outro exemplo, com a normalização apropriada, a transformação de cosseno discreto (usada na compressão MP3) é representada por uma matriz ortogonal.

Abaixo estão alguns exemplos de pequenas matrizes ortogonais e possíveis interpretações.

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\0&1\\\end{bmatrix}}}}}$ (transformação de identidade)
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \\end{bmatrix}}}$ (rotação sobre a origem)
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\0&-1\\\end{bmatrix}}}$ (reflexão em x- eixos?
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$ (permutação de eixos de coordenadas)

As matrizes ortogonais mais simples são as matrizes 1 × 1 [1] e [-1], que podemos interpretar como a identidade e uma reflexão da linha real através da linha através da origem.

O 2 × 2 matrizes têm a forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}p&t\q&u\end{bmatrix}},}$$que a ortogonalidade exige satisfazer as três equações $${\displaystyle {\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\0&=pq+tu.\end{aligned}}}$$

Considerando a primeira equação, sem perda de generalidade, deixe p = cos θ , q = sin θ ; Então t = - q , u = = p ou t = q , u = - p . Podemos interpretar o primeiro caso como uma rotação por θ (onde θ = 0 é a identidade) e a segunda como uma reflexão em uma linha em um ângulo de ⁠ θ / 2 < /span> ⁠ .

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \\end{bmatrix}}{\text{ (rotação), }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\end{bmatrix}}{\text{ (reflexão)}}}$$

O caso especial da matriz de reflexão com θ = 90 ° gera um reflexo sobre a linha a 45 ° dado por Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x e, portanto, trocas x e Sim.; é uma matriz de permutação, com um único 1 em cada coluna e linha (e de outra forma 0): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$

A identidade também é uma matriz de permutação.

Uma reflexão é sua própria inversa, o que implica que uma matriz de reflexão é simétrica (igual à sua transposição) e ortogonal. O produto de duas matrizes de rotação é uma matriz de rotação e o produto de duas matrizes de reflexão também é uma matriz de rotação.

Independentemente da dimensão, é sempre possível classificar matrizes ortogonais como puramente rotativas ou não, mas para 3 × 3 matrizes e maiores as matrizes não-rotacionais podem ser mais complicadas do que reflexos. Por exemplo, $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\0&0&0&-1\end{bmatrix}}{\text{ e }}{\begin{bmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&0&0&0-1\end{bmatrix}}}$$

Representar uma inversão através da origem e uma rotainversão , respectivamente, sobre o z -xis.

As

rotações se tornam mais complicadas em dimensões mais altas; Eles não podem mais ser completamente caracterizados por um ângulo e podem afetar mais de um subespaço plano. É comum descrever uma matriz de rotação 3 × 3 em termos de eixo e ângulo, mas isso só funciona em três dimensões. Acima de três dimensões, são necessários dois ou mais ângulos, cada um associado a um plano de rotação.

No entanto, temos blocos de construção elementares para permutações, reflexões e rotações que se aplicam em geral.

A permutação mais elementar é uma transposição, obtida da matriz de identidade trocando duas linhas. Qualquer n × n A matriz de permutação pode ser construída como um produto não mais que n - 1 transposições.

Uma reflexão do Householder é construída a partir de um vetor não-null v como $$- Sim. Não. - Sim. }^{\mathrm {T} }}{{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} Sim.$$

Aqui o numerador é uma matriz simétrica, enquanto o denominador é um número, a magnitude quadrada de v . Esta é uma reflexão no hiperplano perpendicular a v (negando qualquer componente vetorial paralelo a v ). Se v é um vetor de unidade, então q = i - 2 vv t é suficiente. Uma reflexão do chefe de família é normalmente usada para zero zero a parte inferior de uma coluna. Qualquer matriz ortogonal de tamanho n × n pode ser construída como um produto de na maioria das vezes n tais reflexões.

Uma rotação de givens atua em um subespaço bidimensional (planar), abranjado por dois eixos de coordenadas, girando por um ângulo escolhido. Normalmente, é usado para zero uma única entrada subdiagonal. Qualquer matriz de rotação de tamanho n × n pode ser construída como um produto de na maioria das vezes ⁠ n ( n - 1) / 2 ⁠ tais rotações. No caso de matrizes 3 × 3 , três dessas rotações são suficientes; E, ao corrigir a sequência, podemos descrever todas as matrizes de rotação 3 × 3 (embora não exclusivamente) em termos dos três ângulos utilizados, geralmente chamados de ângulos de Euler.

Uma rotação de Jacobi tem a mesma forma que uma rotação de givens, mas é usada para zerar as duas entradas fora da diagonal de A 2 × 2 Submatriz simétrica.

Uma matriz quadrada real é ortogonal se e somente se suas colunas formarem uma base ortonormal do espaço euclidiano r n Com o produto comum de ponto euclidiano comum, o que é o caso se e somente se suas linhas formarem uma base ortonormal de r n . Pode ser tentador supor que uma matriz com colunas ortogonais (não ortonormais) seriam chamadas de matriz ortogonal, mas essas matrizes não têm interesse especial e nenhum nome especial; Eles apenas satisfazem m t m = d , com d Uma matriz diagonal.

O determinante de qualquer matriz ortogonal é +1 ou −1. Isso se segue de fatos básicos sobre determinantes, como segue: $${\displaystyle 1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm) {T} }Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }\right)\det(Q)={\bigl (}\det(Q){\bigr)}^{2}.$$

O converso não é verdadeiro; ter um determinante de ±1 não é garantia de ortogonalidade, mesmo com colunas ortogonais, como mostrado pelo contraexemplo seguinte. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$$

Com matrizes de permutação, o determinante corresponde à assinatura, sendo +1 ou -1 como a paridade da permutação é par ou ímpar, pois o determinante é uma função alternada das linhas.

Mais forte que a restrição determinante é o fato de que uma matriz ortogonal sempre pode ser diagonalizada sobre os números complexos para exibir um conjunto completo de valores próprios, todos os quais devem ter (complexo) módulo 1.

O inverso de toda matriz ortogonal é novamente ortogonal, assim como o produto da matriz de duas matrizes ortogonais. De fato, o conjunto de todos n × n matrizes ortogonais satisfaz todos os axiomas de um grupo. É um grupo compacto de Lie of Dimension ⁠ n ( n -1) / 2 ⁠ , chamado de grupo ortogonal e indicado por o ( n ) .

As matrizes ortogonais cujo determinante é +1 formam um subgrupo normal conectado ao caminho de o ( n ) do índice 2, o grupo ortogonal especial então ( n ) de rotações. O grupo quociente o ( n )/SO ( n ) é isomórfico para o (1) , com a escolha do mapa de projeção [+1] ou [-1] de acordo com o determinante. Matrizes ortogonais com determinante -1 não incluem a identidade e, portanto, não formam um subgrupo, mas apenas um coset; também está (separadamente) conectado. Assim, cada grupo ortogonal cai em dois pedaços; E porque o mapa de projeção se divide, o ( n ) é um produto semidireta de então ( n ) por o (1) . Em termos práticos, uma afirmação comparável é que qualquer matriz ortogonal pode ser produzida tomando uma matriz de rotação e possivelmente negando uma de suas colunas, como vimos com 2 × 2 matrizes. Se n é estranho, então o produto semidireta é de fato um produto direto e qualquer matriz ortogonal pode ser produzida com uma rotação, tomando uma rotação Matrix e possivelmente negando todas as suas colunas. Isso segue da propriedade dos determinantes que negar uma coluna nega o determinante e, assim, negar um número ímpar (mas nem mesmo) de colunas nega o determinante.

Agora considere ( n + 1) × ( n + 1) matrizes ortogonais com entrada inferior direita igual a 1. O restante da última coluna (e última linha) deve ser zeros, e o produto de qualquer dessas matrizes tem a mesma forma. O restante da matriz é um n × n matriz ortogonal; Assim o ( n ) é um subgrupo de o ( n + 1) < /span> (e de todos os grupos superiores).

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&0\\&\mathrm {O} (n)&\vdots \\&&&0\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$$

Como uma reflexão elementar na forma de uma matriz do chefe de família pode reduzir qualquer matriz ortogonal a essa forma restrita, uma série de tais reflexões pode trazer qualquer matriz ortogonal à identidade; Assim, um grupo ortogonal é um grupo de reflexão. A última coluna pode ser fixada em qualquer vetor de unidade e cada opção fornece uma cópia diferente de o ( n ) em O ( n + 1) ; Dessa maneira, o ( n + 1) é um pacote sobre a esfera da unidade s n com fiber o ( n ) .

Da mesma forma, Então...n) é um subgrupo de Então...n + 1); e qualquer matriz ortogonal especial pode ser gerada por rotações de plano Givens usando um procedimento analógico. A estrutura do pacote persiste: Então...n) SO(n + 1) → Sⁿ. Uma única rotação pode produzir um zero na primeira linha da última coluna e série de n - 1 rotações vão zero tudo menos a última linha da última coluna de uma n × n matriz de rotação. Uma vez que os planos são fixos, cada rotação tem apenas um grau de liberdade, seu ângulo. Por indução, Então...n) por conseguinte, $$(n-1)+(n-2)+\cdots +1={\frac {n(n-1)}{2}}}$$graus de liberdade, e assim faz On).

As matrizes de permutação são ainda mais simples; Eles formam, não um grupo de mentiras, mas apenas um grupo finito, a ordem n! Grupo simétrico s n . Pelo mesmo tipo de argumento, s n é um subgrupo de s _{n + 1} . As permutações uniformes produzem o subgrupo de matrizes de permutação do determinante +1, a ordem ⁠ < i> n ! / 2 ⁠ < /span> Grupo alternativo.

Mais amplamente, o efeito de qualquer matriz ortogonal se separa em ações independentes em subespaços bidimensionais ortogonais. Isto é, se q é ortogonal especial, então sempre se pode encontrar uma matriz ortogonal p , uma mudança de base (rotacional), que traz q no bloco Formulário diagonal:

$$Não. P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n{\text{ even}}),\ P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1&&&&&&&&&\ddots ?$$

onde as matrizes R₁, R_k são 2 × 2 matrizes de rotação, e com as restantes entradas zero. Excepcionalmente, um bloco de rotação pode ser diagonal, ±Eu.... Assim, negando uma coluna, se necessário, e observando que uma 2 × 2 reflexão diagonaliza para um +1 e −1, qualquer matriz ortogonal pode ser trazido à forma $${\displaystyle P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&\&\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\&\\ddots &\&&\pm 1\end{matrix}}\end{matrix}},}$$

As matrizes r 1 , ..., r k Dê pares conjugados de valores próprios situados no círculo unitário no plano complexo; Portanto, esta decomposição confirma que todos os valores próprios têm valor absoluto 1. se n é estranho, há pelo menos um autovalor real, +1 ou -1; Para uma rotação 3 × 3 , o vetor próprio associado a +1 é o eixo de rotação.

Suponha que as entradas de Q são funções diferenciadas de )e isso ) = 0 dá Q = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Eu.... Diferenciando a condição ortogonal $$Não. Q^{\mathrm Não.$$produção $${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm Q+Q^{\mathrm Não. Não.$$

Avaliação ) = 0 (Q = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Eu...) depois implica $${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm Não. {Q}}.}$$

Em termos de grupo de mentiras, isso significa que a álgebra de mentira de um grupo matricial ortogonal consiste em matrizes simétricas de inclinação. Seguindo a outra direção, a matriz exponencial de qualquer matriz simétrica de inclinação é uma matriz ortogonal (de fato, ortogonal especial).

Por exemplo, a física de objetos tridimensionais chama velocidade angular é uma rotação diferencial, portanto, um vetor na álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ tangente a Então, (3). Conduzido ω - Sim.x θ, - Sim., - Sim.)com v - Sim.x, Sim., zangão.) sendo um vetor unitário, a forma de matriz skew-symmetric correta de ω é $$Não. \Omega ={\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}.}$$

A exponencial é a matriz ortogonal para rotação em torno do eixo v por ângulo θ; definição c = cos ⁠θ/2⁠, S = pecado ⁠θ/2⁠, $$(em inglês)={\begin{bmatrix}1-2s^{2}+2x^{2}s^{2}2xys^{2}-2zsc&2xzs^{2}+2y^{2}+2ysc\2xys^{2}2$$

A análise

numérica tira proveito de muitas das propriedades de matrizes ortogonais para álgebra linear numérica, e elas surgem naturalmente. Por exemplo, muitas vezes é desejável calcular uma base ortonormal para um espaço ou uma mudança ortogonal de bases; Ambos assumem a forma de matrizes ortogonais. Ter determinante ± 1 e todos os autovalores de magnitude 1 são de grande benefício para a estabilidade numérica. Uma implicação é que o número da condição é 1 (que é o mínimo); portanto, os erros não são ampliados ao se multiplicar com uma matriz ortogonal. Muitos algoritmos usam matrizes ortogonais, como reflexões do chefe de família e rotações de givens por esse motivo. Também é útil que, não apenas seja uma matriz ortogonal invertível, mas seu inverso está disponível essencialmente livre, trocando índices.

Permutações são essenciais para o sucesso de muitos algoritmos, incluindo a eliminação gaussiana do cavalo de batalha com articulação parcial (onde as permutações fazem o giratório). No entanto, eles raramente parecem explicitamente como matrizes; Sua forma especial permite uma representação mais eficiente, como uma lista de n índices.

Da mesma forma, os algoritmos que usam matrizes de trabalho doméstico e givens normalmente usam métodos especializados de multiplicação e armazenamento. Por exemplo, uma rotação de givens afeta apenas duas linhas de uma matriz que ele multiplica, alterando uma multiplicação completa de ordem n 3 para uma ordem muito mais eficiente n . Quando os usos dessas reflexões e rotações introduzem zeros em uma matriz, o espaço desocupado é suficiente para armazenar dados suficientes para reproduzir a transformação e fazê -lo de maneira robusta. (Seguindo Stewart (1976), não armazenamos um ângulo de rotação, que é caro e mal comportado.)

Decomposição

Várias decomposições importantes da matriz (Golub & amp; Van Loan 1996) envolvem matrizes ortogonais, incluindo especialmente:

Decomposição QR

M = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = QR, Q ortogonal, R superior triangular

Decomposição do valor singular

M = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = UΣV^T, U e V ortogonal, Σ matriz diagonal

Eigendecomposição de uma matriz simétrica (decomposição segundo o teorema espectral)

S = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Q:Q^T, S simétrica, Q ortogonal, : diagonal

Descomposição polar

M = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = QS, Q ortogonal, S simétrico positivo-semidefinito

Exemplos

Considere um sistema sobredeterminado de equações lineares, como pode ocorrer com medidas repetidas de um fenômeno físico para compensar erros experimentais. Escrever Ax = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b), onde A é m × n, m > n. A QR decomposição reduz A para superior triangular R. Por exemplo, se A é 5 × 3 então R tem o formulário $$Não. R={\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\0&\cdot &\cdot \\0&0&\cdot \\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

O problema dos mínimos quadrados lineares é encontrar o x que minimiza » a x - b ‖ /span>, que é equivalente a projetar b para o subespaço abrangido pelas colunas de a . Assumindo as colunas de a (e, portanto, R ) são independentes, a solução de projeção é encontrada em a t a x = a t b . Agora a t a é quadrado ( n × n ) e invertível, e também igual a r t r . Mas as linhas inferiores de zeros em r são supérfluas no produto, o que já está na forma fatorada do triangular superior triangular inferior triangular , como na eliminação gaussiana (decomposição de Cholesky). Aqui a ortogonalidade é importante não apenas para reduzir a t a = ( r t q t ) qr para r t r , mas também para permitir a solução sem ampliar problemas numéricos.

No caso de um sistema linear que é subdeterminado, ou uma matriz não invertível, a decomposição de valor singular (SVD) é igualmente útil. Com a fatorado como u σ v t , uma solução satisfatória usa o moore-penrose pseudoinverse, v σ + u t , onde σ + apenas substitui cada diagonal diferente de zero entrada com seu recíproco. Set x para v σ + U t b .

O caso de uma matriz invertível quadrada também possui juros. Suponha, por exemplo, que a é uma matriz de rotação 3 × 3 foi calculado como a composição de inúmeras reviravoltas. O ponto flutuante não corresponde ao ideal matemático de números reais; portanto, a perdeu gradualmente sua verdadeira ortogonalidade. Um processo Gram -Schmidt pode ortogonalizar as colunas, mas não é o mais confiável, nem o mais eficiente, nem o método mais invariante. A decomposição polar considera uma matriz em um par, uma das quais é a matriz ortogonal mais próxima da matriz dada, ou uma das mais próximas se a matriz fornecida for singular. (A proximidade pode ser medida por qualquer norma matricial invariante sob uma mudança de base ortogonal, como a norma espectral ou a norma de Frobenius.) Para uma matriz quase ortogonal, a convergência rápida ao fator ortogonal pode ser alcançado por A " O método de Newton; Abordagem devido a Higham (1986) (1990), com média repetidamente da matriz com sua transposição inversa. Dubrulle (1999) publicou um método acelerado com um teste de convergência conveniente.

Por exemplo, considere uma matriz não-ortogonal para a qual o algoritmo de média simples toma sete passos $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.8125&0.0625\\3.4375&2.6875\end{bmatrix}}\rightarrow \cdots \rightarrow (begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}}$$e que aceleração apara a dois passos (com γ = 0.353553, 0.565685).

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.41421&-1.06066\\1.06066&1.41421\end{bmatrix}}\rightarrow (begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}}$$

Gram-schmidt produz uma solução inferior, mostrada por uma distância de Frobenius de 8.28659 em vez do mínimo 8.12404.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.393919&-0.9145\0.9145&0.393919\end{bmatrix}}}$$

Randomização

Algumas aplicações numéricas, como métodos de Monte Carlo e exploração de espaços de dados de alta dimensão, requerem geração de matrizes ortogonais aleatórias uniformemente distribuídas. Nesse contexto, 'uniforme " é definido em termos de medida HAAR, que exige essencialmente que a distribuição não mude se multiplicada por qualquer matriz ortogonal escolhida livremente. As matrizes ortogonalizadas com entradas aleatórias independentes distribuídas uniformemente não resultam em matrizes ortogonais uniformemente distribuídas, mas a decomposição do QR de entradas aleatórias normalmente distribuídas independentes, desde que o diagonal de r contém apenas entradas positivas (Mezzadri 2006). Stewart (1980) substituiu isso por uma idéia mais eficiente de que Diaconis & amp; Shahshahani (1987) mais tarde generalizou como o algoritmo de subgrupo " (em que forma funciona tão bem quanto a permutações e rotações). Para gerar um ( n + 1) × ( n + 1) matriz ortogonal, tome um n × n um e um vetor de dimensão uniforme uniformemente distribuído n + 1 . Construa uma reflexão do chefe de família do vetor e aplique -o à matriz menor (incorporada no tamanho maior com 1 no canto inferior direito).

Matriz ortogonal mais próxima

O problema de encontrar a matriz ortogonal Q mais próximo uma determinada matriz M está relacionado com o problema Orthogonal Procrustes. Existem várias maneiras diferentes de obter a solução única, a mais simples de que está tomando a decomposição do valor singular de M e substituindo os valores singulares por uns. Outro método expressa o R explicitamente, mas requer o uso de uma raiz quadrada matriz: $${\displaystyle Q=M\left(M^{\mathrm {T}M\right)^{-{\frac {1}{2}}}$$

Isso pode ser combinado com o método babilônico para extrair a raiz quadrada de uma matriz para dar uma recorrência que converge para uma matriz ortogonal quadraticamente: $$Não. Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n}\right)^{-1}}$$Onde? Q₀ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M.

Essas iterações são estáveis, desde que o número da condição de m é menor que três.

Usando uma aproximação de primeira ordem do inverso e a mesma inicialização resulta na iteração modificada:

$$Não. N_{n}=Q_{n}^{\mathrm (T) }Q_{n}}$$$$Não. P_{n] {1}{2}}Q_{n}N_{n}}$$$$Não. Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}N_{n}-3P_{n}}$$

Gire e pin

Um problema técnico sutil afeta alguns usos de matrizes ortogonais. Não apenas os componentes do grupo com +1 e -1 não estão conectados entre si, mesmo o componente +1, então ( n ) , é não simplesmente conectado (exceto para So (1), que é trivial). Assim, às vezes é vantajoso, ou mesmo necessário, trabalhar com um grupo de cobertura de So ( n ), o grupo de spin, spin ( n ) . Da mesma forma, o ( n ) possui grupos de cobertura, os grupos de pinos, pino ( n ). Para n & gt; 2 , spin ( n ) está simplesmente conectado e, portanto, o grupo de cobertura universal para então (< i> n ) . De longe, o exemplo mais famoso de um grupo de spin é spin (3) , o que nada mais é do que su (2) ou O grupo de quaternions da unidade.

Os grupos PIN e spin são encontrados nas álgebras de Clifford, que podem ser construídas a partir de matrizes ortogonais.

Matrizes retangulares

se q não é uma matriz quadrada, então as condições q t q = i e qq < sup> t = i não são equivalentes. A condição q t q = i diz que o As colunas de q são ortonormais. Isso só pode acontecer se q for um m × n Matrix com n ≤ m (devido à dependência linear). Da mesma forma, qq t = i diz que as linhas de q são ortonormal, que requer n ≥ m .

Não há terminologia padrão para essas matrizes. São chamadas de várias matrizes semi-ortogonais " " matrizes ortonormais ", " matrizes ortogonais-e às vezes simplesmente "matrizes com linhas ortonormais/colunas" 34;.

Para o caso n ≤ m , matrizes com colunas ortonormais podem ser referidas como quadros k ortogonais e Eles são elementos do distrito de Stiefel.

Ver também

• Sistema biorthogonal

Notas

1. ^ «Paul's online math notes», Paul Dawkins, Lamar University, 2008. Teorema 3(c)
2. ^ "Encontrando a Matriz Ortonormal mais próxima", Berthold K.P. Horn, MIT.
3. ^ "Newton's Method for the Matrix Square Root" Arquivado em 2011-09-29 na Wayback Machine, Nicholas J. Higham, Mathematics of Computation, Volume 46, Number 174, 1986.

Referências

• Diaconis, Persi; Shahshahani, Mehrdad (1987), "O algoritmo de subgrupo para gerar variáveis aleatórias uniformes", Probabilidade na Engenharia e Ciências da Informação, 1: 15–32, doi:10.1017/S0269964800000255, ISSN 0269-9648, S2CID 122752374
• Dubrulle, Augustin A. (1999), "An Optimum Iteration for the Matrix Polar Decomposition", Transações eletrônicas em Análise Numérica, 8: 21–25
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Computação de Matriz (3/e ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Higham, Nicholas (1986), "Computar a Decomposição Polar - com Aplicações" (PDF), SIAM Journal on Scientific and Statistics Computing, 7 (4): 1160–1174, doi:10.1137/09079, ISSN 0196-5204
• Higham, Nicholas; Schreiber, Robert (julho de 1990), "Decomposição polar mais fácil de uma matriz arbitrária", SIAM Journal on Scientific and Statistics Computing, 11 (4): 648–655, CiteSeerX 10.1.1.230.4322, doi:10.1137/0911038, ISSN 0196-5204, S2CID 14268409 [1]
• Stewart, G. W. (1976), "The Economical Storage of Plane Rotations", Adicionar ao cesto, 25 (2): 137–138, doi:10.1007/BF01462266, ISSN 0029-599X, S2CID 120372682
• Stewart, G. W. (1980), «The Efficient Generation of Random Orthogonal Matrices with an Application to Condition Estimators» (em inglês). SIAM Journal on Numerical Analysis, 17. (3): 403–409, Bibcode:1980SJNA...17..403S, doi:10.1137/0717034, ISSN 0036-1429
• Mezzadri, Francesco (2006), "Como gerar matrizes aleatórias dos grupos compactos clássicos", Avisos da Sociedade Matemática Americana, 54, arXiv:matemática-ph/0609050, Bibcode:2006math.ph...9050M

Ligações externas

• "Matriz ortogonal", Enciclopédia da Matemática, EMS Press, 2001 [1994]
• Programa Tutorial e Interativo em Matriz Ortogonal