Logaritmo natural

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Logarithm para a base da constante matemática e

O logaritmo natural de um número é seu logaritmo na base da constante matemática $e$ , que é um número irracional e transcendental aproximadamente igual a $2,718 281828459$ . O logaritmo natural de $x$ geralmente é escrito como $ln x$ , $log e x$ , ou às vezes, se a e é implícito, simplesmente $log x$ . Às vezes, parênteses são adicionados para maior clareza, fornecendo $ln(x)$ , $log e (x)$ ou $log(x)$ . Isso é feito principalmente quando o argumento do logaritmo não é um único símbolo, para evitar ambigüidade.

O logaritmo natural de $x$ é a potência de $e$ teria que ser elevado para igual a $x$ . Por exemplo, $ln 7.5$ é $2.0149...$ , porque $e 2.0149... = 7.5$ . O logaritmo natural do próprio $e$ , $ln e$ , é $1$ , porque $e 1 = e$ , enquanto o logaritmo natural de $1$ é $0$ , pois $e 0 = 1$ .

O logaritmo natural pode ser definido para qualquer número real positivo $a$ como a área sob a curva $y = 1/ x$ de $1$ a $a$ (com a área sendo negativa quando $0 < a < 1$ ). A simplicidade dessa definição, que é igualada em muitas outras fórmulas envolvendo o logaritmo natural, leva ao termo "natural". A definição do logaritmo natural pode então ser estendida para fornecer valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos diferentes de zero, embora isso leve a uma função multivalorada: consulte Logaritmo complexo para mais informações.

A função logaritmo natural, se considerada como uma função real de uma variável real positiva, é a função inversa da função exponencial, levando às identidades:

{displaystyle {begin{aligned}e^{ln x}&=xqquad {text{ if }}xin mathbb {R} _{+}\ln e^{x}&=xqquad {text{ if }}xin mathbb {R} end{aligned}}}

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapeia a multiplicação de números positivos na adição:

{displaystyle ln(xcdot y)=ln x+ln y~.}

Os logaritmos podem ser definidos para qualquer base positiva diferente de 1, não só $e$ . No entanto, os logaritmos em outras bases diferem apenas por um multiplicador constante do logaritmo natural, e podem ser definidos em termos deste último, ${displaystyle log _{b}x=ln x/ln b=ln xcdot log _{b}e}$ .

Os logaritmos são úteis para resolver equações nas quais a incógnita aparece como o expoente de alguma outra quantidade. Por exemplo, os logaritmos são usados para resolver a meia-vida, a constante de decaimento ou o tempo desconhecido em problemas de decaimento exponencial. Eles são importantes em muitos ramos da matemática e disciplinas científicas e são usados para resolver problemas envolvendo juros compostos.

História

O conceito de logaritmo natural foi elaborado por Gregoire de Saint-Vincent e Alphonse Antonio de Sarasa antes de 1649. Seu trabalho envolveu a quadratura da hipérbole com a equação $xy = 1$ , por determinação da área dos setores hiperbólicos. A solução deles gerou o "logaritmo hiperbólico" função, que tinha as propriedades agora associadas ao logaritmo natural.

Uma das primeiras menções ao logaritmo natural foi feita por Nicholas Mercator em seu trabalho Logarithmotechnia, publicado em 1668, embora o professor de matemática John Speidell já tivesse compilado uma tabela do que de fato eram efetivamente logaritmos naturais em 1619. Foi dito que os logaritmos de Speidell estavam na base $e$ , mas isso não é inteiramente verdade devido a complicações com os valores sendo expressos como números inteiros.

Convenções de notação

As notações $ln x$ e $log e x$ referem-se inequivocamente ao logaritmo natural de $x$ e $log x$ sem uma base explícita também pode se referir ao logaritmo natural. Esse uso é comum em matemática, juntamente com alguns contextos científicos, bem como em muitas linguagens de programação. Em alguns outros contextos, como química, no entanto, $log x$ pode ser usado para denotar o logaritmo comum (base 10). Também pode se referir ao logaritmo binário (base 2) no contexto da ciência da computação, particularmente no contexto da complexidade do tempo.

Definições

O logaritmo natural pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Inverso de exponencial

A definição mais geral é como a função inversa de $e^{x}$ , para que ${displaystyle e^{ln(x)}=x}$ . Porque... $e^{x}$ é positivo e invertível para qualquer entrada real $x$ , esta definição de $ln(x)$ é bem definido para qualquer positivo x. Para os números complexos, $e^{z}$ não é invertível, por isso $ln(z)$ é uma função multivalorizada. A fim de fazer $ln(z)$ uma função de saída única adequada, portanto, precisamos restringi-la a um ramo principal particular, muitas vezes denotado por ${displaystyle operatorname {Ln} (z)}$ . Como a função inversa de $e^{z}$ , $ln(z)$ pode ser definido invertendo a definição usual de $e^{z}$ :

{displaystyle e^{z}=lim _{nto infty }left(1+{frac {z}{n}}right)^{n}}

Fazer isso gera:

{displaystyle ln(z)=lim _{nto infty }ncdot ({sqrt[{n}]{z}}-1)}

Esta definição, portanto, deriva seu próprio ramo principal do ramo principal de n-ésimas raízes.

Definição integral

I um

como a área da região sombreada sob a curva

f (x) = 1/ x

a partir de

1

para

um

. Se

um

menos do que

1

, a área tomada para ser negativa.

A área sob o hiperbola satisfaz a regra do logaritmo. Aqui.

A (S,))

denota a área sob a hiperbola entre

S

)

O logaritmo natural de um número real positivo $a$ pode ser definido como a área sob o gráfico da hipérbole com a equação $y = 1/ x$ entre $x = 1$ e $x = a$ . esta é a integral

{displaystyle ln a=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},dx.}

Se $a$ for menor que $1$ , essa área será considerada ser negativo.

Esta função é um logaritmo porque satisfaz a propriedade multiplicativa fundamental de um logaritmo:

{displaystyle ln(ab)=ln a+ln b.}

Isso pode ser demonstrado dividindo a integral que define $ln ab$ em duas partes e, em seguida, fazendo a substituição de variável $x = em$ (então $dx = a dt$ ) na segunda parte, conforme segue:

{displaystyle {begin{aligned}ln ab=int _{1}^{ab}{frac {1}{x}},dx&=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},dx+int _{a}^{ab}{frac {1}{x}},dx\[5pt]&=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},dx+int _{1}^{b}{frac {1}{at}}a,dt\[5pt]&=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},dx+int _{1}^{b}{frac {1}{t}},dt\[5pt]&=ln a+ln b.end{aligned}}}

Em termos elementares, isso é simplesmente escalar por $1/ a$ na direção horizontal e por $a$ na direção vertical. A área não muda sob esta transformação, mas a região entre $a$ e $ab$ é reconfigurado. Porque a função $a /(ax)$ é igual à função $1/ x$ , a área resultante é precisamente $ln b$ .

O número $e$ pode então ser definido como o número real único $a$ tal que $ln a = 1$ .

O logaritmo natural também possui uma representação integral imprópria, que pode ser derivada com o teorema de Fubini da seguinte forma:

${displaystyle ln left(xright)=int _{1}^{x}{frac {1}{u}}du=int _{1}^{x}int _{0}^{infty }e^{-tu} dt du=int _{0}^{infty }int _{1}^{x}e^{-tu} du dt=int _{0}^{infty }{frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt}$

Propriedades

${displaystyle ln 1=0}$
${displaystyle ln e=1}$
$0;{text{and }};y>0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">I⁡ ⁡ (xSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =I⁡ ⁡ x+I⁡ ⁡ Sim.parax>0eSim.>0{displaystyle ln(xy)=ln x+ln yquad {text{for }};x>0;{text{and }};y>0}0;{text{and }};y>0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadc8b5815591a884a92b90f72dc571da3a8db37" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.271ex; height:2.843ex;"/>$
${displaystyle ln(x/y)=ln x-ln y}$
$0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">I⁡ ⁡ (xSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Sim.I⁡ ⁡ xparax>0{displaystyle ln(x^{y})=yln xquad {text{for }};x>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525c7cfa5c3779af39c5f1ad063c7f1fef366490" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.35ex; height:2.843ex;"/>$
$<math alttext="{displaystyle ln x<ln yquad {text{for }};0<xI x<I Sim.para0<x<Sim.{displaystyle ln x<ln yquad {text{for }};0<x<y}} <img alt="{displaystyle ln x<ln yquad {text{for }};0<x$
$lim _{{xto 0}}{frac {ln(1+x)}{x}}=1$
$0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Limpar.α α → → 0xα α - Sim. - Sim. 1α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =I⁡ ⁡ xparax>0{displaystyle lim _{alpha to 0}{frac {x^{alpha - Sim. }}=ln xquad {text{for }};x>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffdf20e3bd949f7095ade82873d87fdfbf5150dc" style="vertical-align: -2.005ex; width:30.037ex; height:5.343ex;"/>$
$0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x- Sim. - Sim. 1x≤ ≤ I⁡ ⁡ x≤ ≤ x- Sim. - Sim. 1parax>0(x-1}{x}}leq ln xleq x-1quad {text{for}}quad x>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd8d97775e47c1771dc9ddddf7d14107f07045b" style="vertical-align: -1.838ex; width:34.376ex; height:5.176ex;"/>$
${displaystyle ln {(1+x^{alpha })}leq alpha xquad {text{for}}quad xgeq 0;{text{and }};alpha geq 1}$

Prova
A declaração é verdadeira $x=0$ E agora mostramos isso $frac{d}{dx} ln{(1+x^alpha)} leq frac{d}{dx} (alpha x)$ para todos $x$ , que completa a prova pelo teorema fundamental do cálculo. Portanto, queremos mostrar isso $frac{d}{dx} ln{(1+x^alpha)} = frac{alpha x^{alpha - 1}}{1 + x^alpha} leq alpha = frac{d}{dx} (alpha x)$ (Nota de que ainda não provamos que esta afirmação é verdadeira.) Se isso é verdade, então multiplicando a declaração média pela quantidade positiva $(1+x^alpha) / alpha$ e subtrair $x^{alpha }$ nós teríamos obtido $x^{alpha-1} leq x^alpha + 1$ $x^{alpha-1} (1-x) leq 1$ Esta declaração é trivialmente verdadeira para $xgeq 1$ já que o lado esquerdo é negativo ou zero. Para $<math alttext="{displaystyle 0leq x0\leq \leq x<1{displaystyle 0leq x<1}} <img alt="0 le x$ ainda é verdade, uma vez que ambos os fatores à esquerda são menos de 1 (recall que $alpha ge 1$ ). Assim, esta última afirmação é verdadeira e repetindo nossos passos em ordem inversa, achamos que $frac{d}{dx} ln{(1+x^alpha)} leq frac{d}{dx} (alpha x)$ para todos $x$ . Isto completa a prova. Uma prova alternativa é observar que ${displaystyle (1+x^{alpha })leq (1+x)^{alpha }}$ sob as condições dadas. Isso pode ser provado, por exemplo, pelas desigualdades normativas. Tomando logaritmos e usando ${displaystyle ln(1+x)leq x}$ completa a prova.

Prova

A declaração é verdadeira $x=0$ E agora mostramos isso $frac{d}{dx} ln{(1+x^alpha)} leq frac{d}{dx} (alpha x)$ para todos $x$ , que completa a prova pelo teorema fundamental do cálculo. Portanto, queremos mostrar isso

frac{d}{dx} ln{(1+x^alpha)} = frac{alpha x^{alpha - 1}}{1 + x^alpha} leq alpha = frac{d}{dx} (alpha x)

(Nota de que ainda não provamos que esta afirmação é verdadeira.) Se isso é verdade, então multiplicando a declaração média pela quantidade positiva $(1+x^alpha) / alpha$ e subtrair $x^{alpha }$ nós teríamos obtido

x^{alpha-1} leq x^alpha + 1

x^{alpha-1} (1-x) leq 1

Esta declaração é trivialmente verdadeira para $xgeq 1$ já que o lado esquerdo é negativo ou zero. Para $<math alttext="{displaystyle 0leq x0\leq \leq x<1{displaystyle 0leq x<1}} <img alt="0 le x$ ainda é verdade, uma vez que ambos os fatores à esquerda são menos de 1 (recall que $alpha ge 1$ ). Assim, esta última afirmação é verdadeira e repetindo nossos passos em ordem inversa, achamos que $frac{d}{dx} ln{(1+x^alpha)} leq frac{d}{dx} (alpha x)$ para todos $x$ . Isto completa a prova.

Uma prova alternativa é observar que ${displaystyle (1+x^{alpha })leq (1+x)^{alpha }}$ sob as condições dadas. Isso pode ser provado, por exemplo, pelas desigualdades normativas. Tomando logaritmos e usando ${displaystyle ln(1+x)leq x}$ completa a prova.

Derivado

A derivada do logaritmo natural como uma função de valor real nos reais positivos é dada por

frac{d}{dx} ln x = frac{1}{x}.

Como estabelecer essa derivada do logaritmo natural depende de como ela é definida em primeira mão. Se o logaritmo natural for definido como a integral

{displaystyle ln x=int _{1}^{x}{frac {1}{t}},dt,}

então a derivada segue imediatamente da primeira parte do teorema fundamental do cálculo.

Por outro lado, se o logaritmo natural é definido como o inverso da função exponencial (natural), então o derivado (para x > 0) pode ser encontrado usando as propriedades do logaritmo e uma definição da função exponencial. Da definição do número ${displaystyle e=lim _{uto 0}(1+u)^{1/u},}$ a função exponencial pode ser definida como ${displaystyle e^{x}=lim _{uto 0}(1+u)^{x/u}=lim _{hto 0}(1+hx)^{1/h}}$ , onde ${displaystyle u=hx,h=u/x.}$ O derivado pode então ser encontrado a partir dos primeiros princípios.

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}ln x&=lim _{hto 0}{frac {ln(x+h)-ln x}{h}}\&=lim _{hto 0}left[{frac {1}{h}}ln left({frac {x+h}{x}}right)right]\&=lim _{hto 0}left[ln left(left(1+{frac {h}{x}}right)^{frac {1}{h}}right)right]quad &&{text{all above for logarithmic properties}}\&=ln left[lim _{hto 0}left(1+{frac {h}{x}}right)^{frac {1}{h}}right]quad &&{text{for continuity of the logarithm}}\&=ln e^{1/x}quad &&{text{for the definition of }}e^{x}=lim _{hto 0}(1+hx)^{1/h}\&={frac {1}{x}}quad &&{text{for the definition of the ln as inverse function.}}end{aligned}}}

Além disso, temos:

{displaystyle {frac {d}{dx}}ln ax={frac {d}{dx}}(ln a+ln x)={frac {d}{dx}}ln a+{frac {d}{dx}}ln x={frac {1}{x}}.}

assim, ao contrário de sua função inversa $e^{{ax}}$ , uma constante na função não altera o diferencial.

Série

Os polinômios Taylor para ln(1 +x) fornecer apenas aproximações precisas no intervalo −1 <x≤ 1. Além de alguns x> 1, os polinômios Taylor de maior grau são cada vez mais pior. aproximações.

Uma vez que o logaritmo natural é indefinido em 0, $ln(x)$ em si não tem uma série Maclaurin, ao contrário de muitas outras funções elementares. Em vez disso, procura-se expansões de Taylor em torno de outros pontos. Por exemplo, se ${displaystyle vert x-1vert leq 1{text{ and }}xneq 0,}$ então

{displaystyle {begin{aligned}ln x&=int _{1}^{x}{frac {1}{t}},dt=int _{0}^{x-1}{frac {1}{1+u}},du\&=int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+cdots),du\&=(x-1)-{frac {(x-1)^{2}}{2}}+{frac {(x-1)^{3}}{3}}-{frac {(x-1)^{4}}{4}}+cdots \&=sum _{k=1}^{infty }{frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.end{aligned}}}

Esta é a série de Taylor para ln x em torno de 1. Uma mudança de variáveis produz a série de Mercator:

{displaystyle ln(1+x)=sum _{k=1}^{infty }{frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-cdots}

válido para |x| ≤ 1 e x ≠ −1.

Leonhard Euler, desconsiderando ${displaystyle xneq -1}$ , no entanto, aplicaram esta série a x= −1 para mostrar que a série harmônica é igual ao logaritmo natural de 1/(1 − 1), isto é, ao logaritmo do infinito. Hoje em dia, mais formalmente, pode-se provar que a série harmônica truncada em N está perto do logaritmo de N, quando N é grande, com a diferença convergindo para a constante Euler-Mascheroni.

A figura é um gráfico de ln(1 + x) e alguns de seus polinômios de Taylor em torno de 0. Essas aproximações convergem para a função apenas na região −1 < x ≤ 1; fora dessa região, os polinômios de Taylor de grau mais alto evoluem para aproximações piores para a função.

Um caso especial útil para inteiros positivos n, tomando ${displaystyle x={tfrac {1}{n}}}$ , é:

{displaystyle ln left({frac {n+1}{n}}right)=sum _{k=1}^{infty }{frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={frac {1}{n}}-{frac {1}{2n^{2}}}+{frac {1}{3n^{3}}}-{frac {1}{4n^{4}}}+cdots }

Se ${displaystyle operatorname {Re} (x)geq 1/2,}$ então

{displaystyle {begin{aligned}ln(x)&=-ln left({frac {1}{x}}right)=-sum _{k=1}^{infty }{frac {(-1)^{k-1}({frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=sum _{k=1}^{infty }{frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\&={frac {x-1}{x}}+{frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+cdots end{aligned}}}

Agora, a tomar ${displaystyle x={tfrac {n+1}{n}}}$ para inteiros positivos nTemos:

{displaystyle ln left({frac {n+1}{n}}right)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k(n+1)^{k}}}={frac {1}{n+1}}+{frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{frac {1}{4(n+1)^{4}}}+cdots }

Se ${displaystyle operatorname {Re} (x)geq 0{text{ and }}xneq 0,}$ então

{displaystyle ln(x)=ln left({frac {2x}{2}}right)=ln left({frac {1+{frac {x-1}{x+1}}}{1-{frac {x-1}{x+1}}}}right)=ln left(1+{frac {x-1}{x+1}}right)-ln left(1-{frac {x-1}{x+1}}right).}

Desde

{displaystyle {begin{aligned}ln(1+y)-ln(1-y)&=sum _{i=1}^{infty }{frac {1}{i}}left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}right)=sum _{i=1}^{infty }{frac {y^{i}}{i}}left((-1)^{i-1}+1right)\&=ysum _{i=1}^{infty }{frac {y^{i-1}}{i}}left((-1)^{i-1}+1right){overset {i-1to 2k}{=}};2ysum _{k=0}^{infty }{frac {y^{2k}}{2k+1}},end{aligned}}}

chegamos a

{displaystyle {begin{aligned}ln(x)&={frac {2(x-1)}{x+1}}sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{2k+1}}{left({frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}right)}^{k}\&={frac {2(x-1)}{x+1}}left({frac {1}{1}}+{frac {1}{3}}{frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{frac {1}{5}}{left({frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}right)}^{2}+cdots right).end{aligned}}}

Usando a substituição ${displaystyle x={tfrac {n+1}{n}}}$ novamente para inteiros positivos nTemos:

{displaystyle {begin{aligned}ln left({frac {n+1}{n}}right)&={frac {2}{2n+1}}sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\&=2left({frac {1}{2n+1}}+{frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+cdots right).end{aligned}}}

Esta é, de longe, a convergência mais rápida da série descrita aqui.

O logaritmo natural também pode ser expresso como um produto infinito:

{displaystyle ln(x)=(x-1)prod _{k=1}^{infty }left({frac {2}{1+{sqrt[{2^{k}}]{x}}}}right)}

Dois exemplos podem ser:

{displaystyle ln(2)=left({frac {2}{1+{sqrt {2}}}}right)left({frac {2}{1+{sqrt[{4}]{2}}}}right)left({frac {2}{1+{sqrt[{8}]{2}}}}right)left({frac {2}{1+{sqrt[{16}]{2}}}}right)...}

{displaystyle pi =(2i+2)left({frac {2}{1+{sqrt {i}}}}right)left({frac {2}{1+{sqrt[{4}]{i}}}}right)left({frac {2}{1+{sqrt[{8}]{i}}}}right)left({frac {2}{1+{sqrt[{16}]{i}}}}right)...}

A partir dessa identidade, podemos facilmente obter isso:

{displaystyle {frac {1}{ln(x)}}={frac {x}{x-1}}-sum _{k=1}^{infty }{frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}

Por exemplo:

{displaystyle {frac {1}{ln(2)}}=2-{frac {sqrt {2}}{2+2{sqrt {2}}}}-{frac {sqrt[{4}]{2}}{4+4{sqrt[{4}]{2}}}}-{frac {sqrt[{8}]{2}}{8+8{sqrt[{8}]{2}}}}cdots }

O logaritmo natural na integração

O logaritmo natural permite integração simples de funções da forma g(x) = f '(x )/f(x): uma antiderivada de g(x) é dada por ln (|f(x)|). Este é o caso por causa da regra da cadeia e do seguinte fato:

{displaystyle {frac {d}{dx}}ln left|xright|={frac {1}{x}}, xneq 0}

Em outras palavras, ao integrar sobre um intervalo da linha real que não inclui $x=0$ então

{displaystyle int {frac {1}{x}},dx=ln |x|+C}

Onde? C é uma constante arbitrária de integração. Da mesma forma, quando a integral é sobre um intervalo onde $f(x)neq 0$ ,

{displaystyle int {{frac {f'(x)}{f(x)}},dx}=ln |f(x)|+C.}

Por exemplo, considere a integral de tan(x) sobre um intervalo que não inclui pontos onde tan(x) é infinito:

{displaystyle int tan x,dx=-int {frac {{frac {d}{dx}}cos x}{cos x}},dx=-ln left|cos xright|+C=ln left|sec xright|+C.}

O logaritmo natural pode ser integrado usando integração por partes:

{displaystyle int ln x,dx=xln x-x+C.}

Deixe:

{displaystyle u=ln xRightarrow du={frac {dx}{x}}}

{displaystyle dv=dxRightarrow v=x}

então:

{displaystyle {begin{aligned}int ln x,dx&=xln x-int {frac {x}{x}},dx\&=xln x-int 1,dx\&=xln x-x+Cend{aligned}}}

Cálculo eficiente

Para ln(x) onde x > 1, quanto mais próximo o valor de x estiver de 1, mais rápida será a taxa de convergência de sua série de Taylor centrada em 1. As identidades associadas ao logaritmo podem ser aproveitadas para explorar isso:

{displaystyle {begin{aligned}ln 123.456&=ln(1.23456cdot 10^{2})\&=ln 1.23456+ln(10^{2})\&=ln 1.23456+2ln 10\&approx ln 1.23456+2cdot 2.3025851.end{aligned}}}

Tais técnicas foram usadas antes das calculadoras, referindo-se a tabelas numéricas e realizando manipulações como as acima.

Logaritmo natural de 10

O logaritmo natural de 10, que tem a expansão decimal 2.30258509..., desempenha um papel, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados em notação científica, como uma mantissa multiplicada por uma potência de 10:

{displaystyle ln(acdot 10^{n})=ln a+nln 10.}

Isso significa que é possível calcular efetivamente os logaritmos de números com magnitude muito grande ou muito pequena usando os logaritmos de um conjunto relativamente pequeno de decimais no intervalo $[1, 10)$ .

Alta precisão

Para calcular o logaritmo natural com muitos dígitos de precisão, a abordagem da série de Taylor não é eficiente, pois a convergência é lenta. Especialmente se $x$ estiver próximo de 1, uma boa alternativa é usar o método de Halley ou o método de Newton para inverter a função exponencial, porque a série da função exponencial converge mais rapidamente. Para encontrar o valor de $y$ para dar $exp(y) - x = 0$ usando o método de Halley, ou equivalente para dar $exp(y /2) - x exp(- y /2) = 0$ usando o método de Newton, a iteração simplifica para

{displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2cdot {frac {x-exp(y_{n})}{x+exp(y_{n})}}}

que tem convergência cúbica para $ln(x)$ .

Outra alternativa para cálculo de precisão extremamente alta é a fórmula

ln x approx frac{pi}{2 M(1,4/s)} - m ln 2,

onde $M$ denota a média aritmética-geométrica de 1 e $4/ s$ , e

2^{p/2},}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x2m>2p/2,Não. s=x2^{m}>2^{p/2},}2^{p/2},}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97043486e689440687aae21cc96aae4c4aa8c0b" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.967ex; height:3.176ex;"/>

com $m$ escolhido para que $p$ bits de precisão é atingido. (Para a maioria das finalidades, o valor de 8 para m é suficiente.) De fato, se esse método for usado, a inversão de Newton do logaritmo natural pode, inversamente, ser usada para calcular a função exponencial com eficiência. (As constantes ln 2 e π podem ser pré-calculadas com a precisão desejada usando qualquer uma das várias séries de convergência rápida conhecidas.) Ou, a seguinte fórmula pode ser usada:

{displaystyle ln x={frac {pi }{Mleft(theta _{2}^{2}(1/x),theta _{3}^{2}(1/x)right)}},quad xin (1,infty)}

onde

{displaystyle theta _{2}(x)=sum _{nin mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},quad theta _{3}(x)=sum _{nin mathbb {Z} }x^{n^{2}}}

são as funções teta de Jacobi.

Baseado em uma proposta de William Kahan e implementado pela primeira vez na calculadora Hewlett-Packard HP-41C em 1979 (referido em "LN1" no visor, apenas), algumas calculadoras, sistemas operacionais (para exemplo Berkeley UNIX 4.3BSD), sistemas de álgebra computacional e linguagens de programação (por exemplo C99) fornecem uma função especial logaritmo natural mais 1, alternativamente denominada LNP1 ou log1p para fornecer resultados mais precisos para logaritmos próximos de zero passando argumentos x, também próximos de zero, para uma função log1p(x), que retorna o valor ln(1+x), em vez de passar um valor y próximo a 1 para uma função que retorna ln(y). A função log1p evita na aritmética de ponto flutuante um quase cancelamento do termo absoluto 1 com o segundo termo da expansão de Taylor do ln. Isso mantém o argumento, o resultado e as etapas intermediárias todos próximos de zero, onde podem ser representados com mais precisão como números de ponto flutuante.

Além da base $e$ , o padrão IEEE 754-2008 define funções logarítmicas semelhantes próximas a 1 para logaritmos binários e decimais: $log 2 (1 + x)$ e $log 10 (1 + x)$ .

Funções inversas semelhantes denominadas "expm1", "expm" ou "exp1m" também existem, todos com o significado de $expm1(x) = exp(x) - 1$ .

Uma identidade em termos da tangente hiperbólica inversa,

{displaystyle mathrm {log1p} (x)=log(1+x)=2~mathrm {artanh} left({frac {x}{2+x}}right),,}

fornece um valor de alta precisão para pequenos valores de $x$ em sistemas que não implementam $log1p(x)$ .

Complexidade computacional

A complexidade computacional de calcular o logaritmo natural usando a média aritmética-geométrica (para ambos os métodos acima) é O(M(n) ln n). Aqui n é o número de dígitos de precisão no qual o logaritmo natural deve ser calculado e M(n) é a complexidade computacional da multiplicação dois números de n dígitos.

Frações contínuas

Embora nenhuma fração contínua simples esteja disponível, várias frações contínuas generalizadas estão disponíveis, incluindo:

{displaystyle {begin{aligned}ln(1+x)&={frac {x^{1}}{1}}-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-{frac {x^{4}}{4}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots \[5pt]&={cfrac {x}{1-0x+{cfrac {1^{2}x}{2-1x+{cfrac {2^{2}x}{3-2x+{cfrac {3^{2}x}{4-3x+{cfrac {4^{2}x}{5-4x+ddots }}}}}}}}}}end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}ln left(1+{frac {x}{y}}right)&={cfrac {x}{y+{cfrac {1x}{2+{cfrac {1x}{3y+{cfrac {2x}{2+{cfrac {2x}{5y+{cfrac {3x}{2+ddots }}}}}}}}}}}}\[5pt]&={cfrac {2x}{2y+x-{cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-ddots }}}}}}}}end{aligned}}}

Essas frações contínuas - particularmente a última - convergem rapidamente para valores próximos a 1. No entanto, os logaritmos naturais de números muito maiores podem ser facilmente calculados, adicionando repetidamente os de números menores, com convergência igualmente rápida.

Por exemplo, como 2 = 1,25³ × 1,024, o logaritmo natural de 2 pode ser calculado como:

{displaystyle {begin{aligned}ln 2&=3ln left(1+{frac {1}{4}}right)+ln left(1+{frac {3}{125}}right)\[8pt]&={cfrac {6}{9-{cfrac {1^{2}}{27-{cfrac {2^{2}}{45-{cfrac {3^{2}}{63-ddots }}}}}}}}+{cfrac {6}{253-{cfrac {3^{2}}{759-{cfrac {6^{2}}{1265-{cfrac {9^{2}}{1771-ddots }}}}}}}}.end{aligned}}}

Além disso, como 10 = 1,25¹⁰ × 1,024³, até mesmo o logaritmo natural de 10 pode ser calculado de forma semelhante a:

{displaystyle {begin{aligned}ln 10&=10ln left(1+{frac {1}{4}}right)+3ln left(1+{frac {3}{125}}right)\[10pt]&={cfrac {20}{9-{cfrac {1^{2}}{27-{cfrac {2^{2}}{45-{cfrac {3^{2}}{63-ddots }}}}}}}}+{cfrac {18}{253-{cfrac {3^{2}}{759-{cfrac {6^{2}}{1265-{cfrac {9^{2}}{1771-ddots }}}}}}}}.end{aligned}}}

O recíproco do logaritmo natural também pode ser escrito desta forma:

{displaystyle {frac {1}{ln(x)}}={frac {2x}{x^{2}-1}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {x^{2}+1}{4x}}}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}ldots }

Por exemplo:

{displaystyle {frac {1}{ln(2)}}={frac {4}{3}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {5}{8}}}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {5}{8}}}}}}ldots }

Logaritmos complexos

A função exponencial pode ser estendida para uma função que fornece um número complexo como $e z$ para qualquer número complexo arbitrário $z$ ; simplesmente use a série infinita com $x$ =z complexo. Essa função exponencial pode ser invertida para formar um logaritmo complexo que exibe a maioria das propriedades do logaritmo comum. Há duas dificuldades envolvidas: nenhum $x$ tem $e <sup x = 0$ ; e acontece que $e 2 iπ = 1 = e 0$ . Como a propriedade multiplicativa ainda funciona para a função exponencial complexa, $e z = e z +2 kiπ$ , para todos os complexos $z$ e inteiros $k$ .

Portanto, o logaritmo não pode ser definido para todo o plano complexo e, mesmo assim, é multivalorado - qualquer logaritmo complexo pode ser transformado em um "equivalente" logaritmo adicionando qualquer múltiplo inteiro de $2 iπ$ à vontade. O logaritmo complexo só pode ter valor único no plano de corte. Por exemplo, $ln i = iπ / 2$ ou $5 iπ / 2$ ou $- 3 iπ / 2$ , etc.; e embora $i 4 = 1, 4 ln i$ pode ser definido como $2 iπ$ , ou $10 iπ$ ou $-6 iπ$ , e assim por diante.

Lote da função de logaritmo natural no plano complexo (participação principal)
$zangão. Re(ln) x + Sim.)$
$zangão. | (Im. x + Sim.) |$
$zangão. | (In) x + Sim.) |$
Superposição dos três gráficos anteriores

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