Leonhard Euler

Leonhard Euler (OY-lər, Alemão: [substantivo] (Ouça.); 15 de abril de 1707 - 18 de setembro de 1783) foi um matemático suíço, físico, astrônomo, geógrafo, lógico e engenheiro que fundou os estudos de teoria e topologia de grafos e fez descobertas pioneiras e influentes em muitos outros ramos da matemática, tais como teoria analítica de números, análise complexa e cálculo infinitesimal. Ele introduziu grande parte da terminologia matemática moderna e notação, incluindo a noção de uma função matemática. Ele também é conhecido por seu trabalho em mecânica, dinâmica de fluidos, óptica, astronomia e teoria da música.

Euler é considerado um dos maiores matemáticos da história e o maior do século XVIII. Uma afirmação atribuída a Pierre-Simon Laplace expressa a influência de Euler na matemática: "Leia Euler, leia Euler, ele é o mestre de todos nós." Carl Friedrich Gauss escreveu: "O estudo das obras de Euler continuará sendo a melhor escola para os diferentes campos da matemática e nada mais poderá substituí-lo." Euler também é amplamente considerado o mais prolífico; suas 866 publicações, bem como suas correspondências, estão reunidas na Opera Omnia Leonhard Euler que, quando concluída, consistirá em 81 volumes quarto. Ele passou a maior parte de sua vida adulta em São Petersburgo, na Rússia, e em Berlim, então capital da Prússia.

Euler é creditado por popularizar a letra grega D D - Sim. (lowercase pi) denotar a relação da circunferência de um círculo ao seu diâmetro, bem como primeiro usando a notação f(x)(x)} para o valor de uma função, a letra Eu...Não. para expressar a unidade imaginária - Sim. - Sim. 1(-1}}}, a carta grega Σ Σ Não. Sim. (capital sigma) para expressar somas, a letra grega ? ? - Sim. (uppercase delta) para diferenças finitas, e letras minúsculas para representar os lados de um triângulo enquanto representa os ângulos como letras maiúsculas. Ele deu a definição atual da constante eNão., a base do logaritmo natural, agora conhecido como o número de Euler.

Euler também foi o primeiro praticante da teoria dos grafos (em parte como uma solução para o problema das Sete Pontes de Königsberg). Ele ficou famoso por, entre muitas outras realizações, resolver o problema de Basel, depois de provar que a soma da série infinita de recíprocos inteiros quadrados era igual a exatamente π²/6, e por descobrir que a soma dos números de vértices e faces menos arestas de um poliedro é igual a 2, um número agora comumente conhecido como Euler característica. No campo da física, Euler reformulou as leis da física de Newton em novas leis em sua obra de dois volumes Mechanica para explicar melhor o movimento de corpos rígidos. Ele também fez contribuições substanciais para o estudo de deformações elásticas de objetos sólidos.

Infância

Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707, em Basel, Suíça, filho de Paul III Euler, pastor da Igreja Reformada, e Marguerite (née Brucker), cujos ancestrais incluem vários estudiosos bem conhecidos nos clássicos. Ele era o mais velho de quatro filhos, tendo duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena, e um irmão mais novo, Johann Heinrich. Logo após o nascimento de Leonhard, a família Euler mudou-se de Basel para a cidade de Riehen, na Suíça, onde seu pai se tornou pastor na igreja local e Leonhard passou a maior parte de sua infância.

Desde muito jovem, Euler recebeu educação em matemática de seu pai, que havia feito cursos com Jacob Bernoulli alguns anos antes na Universidade de Basel. Por volta dos oito anos, Euler foi enviado para morar na casa de sua avó materna e matriculado na escola de latim em Basel. Além disso, ele recebeu aulas particulares de Johannes Burckhardt, um jovem teólogo com grande interesse em matemática.

Em 1720, aos treze anos de idade, Euler matriculou-se na Universidade de Basel. Frequentar a universidade em uma idade tão jovem não era incomum na época. O curso de matemática elementar foi ministrado por Johann Bernoulli, o irmão mais novo do falecido Jacob Bernoulli (que havia ensinado o pai de Euler). Johann Bernoulli e Euler logo se conheceram melhor. Euler descreveu Bernoulli em sua autobiografia:

"o famoso professor Johann Bernoulli [...] fez um prazer especial para si mesmo para me ajudar nas ciências matemáticas. Aulas particulares, no entanto, ele se recusou por causa de seu horário ocupado. No entanto, ele me deu um conselho muito mais salutar, que consistia em mim a ter um controle de alguns dos livros matemáticos mais difíceis e trabalhando através deles com grande diligência, e se eu encontrar algumas objeções ou dificuldades, ele me ofereceu acesso livre a ele todos os sábados à tarde, e ele era gracioso o suficiente para comentar sobre as dificuldades coletadas, que foi feito com uma vantagem desejada que, quando ele resolveu uma de minhas objeções, dez outros de uma vez desapareceu, os melhores métodos, que certamente são os melhores.

Foi nessa época que Euler, apoiado por Bernoulli, obteve o consentimento de seu pai para se tornar matemático em vez de pastor.

Em 1723, Euler recebeu o título de Mestre em Filosofia com uma dissertação que comparava as filosofias de René Descartes e Isaac Newton. Posteriormente, ele se matriculou na faculdade de teologia da Universidade de Basel.

Em 1726, Euler completou uma dissertação sobre a propagação do som com o título De Sono com a qual tentou sem sucesso obter uma posição na Universidade de Basel. Em 1727, ele entrou na competição do prêmio da Academia de Paris (oferecido anualmente e depois a cada dois anos pela academia a partir de 1720) pela primeira vez. O problema colocado naquele ano era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros em um navio. Pierre Bouguer, que ficou conhecido como "o pai da arquitetura naval", venceu e Euler ficou com o segundo lugar. Ao longo dos anos, Euler participou desta competição 15 vezes, vencendo 12 delas.

Carreira

São Petersburgo

1957 Selo da União Soviética comemorando o 250o aniversário de Euler. O texto diz: 250 anos desde o nascimento do grande matemático, acadêmico Leonhard Euler.

Os dois filhos de Johann Bernoulli, Daniel e Nicolaus, entraram para o serviço na Academia Imperial Russa de Ciências em São Petersburgo em 1725, deixando Euler com a garantia de que o recomendariam para um cargo quando houvesse um disponível. Em 31 de julho de 1726, Nicolaus morreu de apendicite depois de passar menos de um ano na Rússia. Quando Daniel assumiu o cargo de seu irmão na divisão de matemática/física, ele recomendou que o cargo de fisiologia que ele havia deixado vago fosse preenchido por seu amigo Euler. Em novembro de 1726, Euler aceitou ansiosamente a oferta, mas atrasou a viagem a São Petersburgo enquanto se candidatava, sem sucesso, a uma cátedra de física na Universidade de Basel.

Euler chegou a São Petersburgo em maio de 1727. Ele foi promovido de seu posto júnior no departamento médico da academia para um cargo no departamento de matemática. Ele hospedou-se com Daniel Bernoulli com quem trabalhou em estreita colaboração. Euler dominou o russo, estabeleceu-se em São Petersburgo e assumiu um emprego adicional como médico na Marinha Russa.

A academia de São Petersburgo, fundada por Pedro, o Grande, pretendia melhorar a educação na Rússia e fechar a lacuna científica com a Europa Ocidental. Como resultado, tornou-se especialmente atraente para estudiosos estrangeiros como Euler. A benfeitora da academia, Catarina I, que havia continuado as políticas progressistas de seu falecido marido, morreu antes da chegada de Euler a São Petersburgo. A nobreza conservadora russa então ganhou poder com a ascensão de Pedro II, de 12 anos. A nobreza, desconfiada dos cientistas estrangeiros da academia, cortou o financiamento de Euler e seus colegas e impediu a entrada de estudantes estrangeiros e não aristocráticos no Ginásio e nas Universidades.

As condições melhoraram ligeiramente após a morte de Pedro II em 1730 e Anna da Rússia, de influência alemã, assumiu o poder. Euler subiu rapidamente na hierarquia da academia e tornou-se professor de física em 1731. Ele também deixou a Marinha Russa, recusando uma promoção a tenente. Dois anos depois, Daniel Bernoulli, farto da censura e hostilidade que enfrentou em São Petersburgo, partiu para Basel. Euler o sucedeu como chefe do departamento de matemática. Em janeiro de 1734, ele se casou com Katharina Gsell (1707–1773), filha de Georg Gsell. Frederico II tentou recrutar os serviços de Euler para sua recém-criada Academia de Berlim em 1740, mas Euler inicialmente preferiu ficar em São Petersburgo. Mas depois que o imperador Anna morreu e Frederico II concordou em pagar 1600 ecus (o mesmo que Euler ganhava na Rússia), ele concordou em se mudar para Berlim. Em 1741, ele pediu permissão para partir para Berlim, argumentando que precisava de um clima mais ameno para sua visão. A academia russa deu seu consentimento e pagaria a ele 200 rublos por ano como um de seus membros ativos.

Berlim

Preocupado com a turbulência contínua na Rússia, Euler deixou São Petersburgo em junho de 1741 para assumir um cargo na Academia de Berlim, que lhe havia sido oferecido por Frederico, o Grande, da Prússia. Ele viveu por 25 anos em Berlim, onde escreveu várias centenas de artigos. Em 1748, seu texto sobre funções chamado Introductio in analysin infinitorum foi publicado e em 1755 um texto sobre cálculo diferencial chamado Institutiones calculi diferencialis foi publicado. Em 1755, foi eleito membro estrangeiro da Real Academia Sueca de Ciências e da Academia Francesa de Ciências. Estudantes notáveis de Euler em Berlim incluíram Stepan Rumovsky, mais tarde considerado o primeiro astrônomo russo. Em 1748, ele recusou uma oferta da Universidade de Basel para suceder o recém-falecido Johann Bernoulli. Em 1753 comprou uma casa em Charlottenburg, onde morava com a família e a mãe viúva.

Euler tornou-se o tutor de Friederike Charlotte de Brandenburg-Schwedt, a princesa de Anhalt-Dessau e sobrinha de Frederick. Ele escreveu mais de 200 cartas para ela no início da década de 1760, que mais tarde foram compiladas em um volume intitulado Cartas de Euler sobre diferentes assuntos em filosofia natural dirigidas a uma princesa alemã. Este trabalho continha a exposição de Euler sobre vários assuntos pertencentes à física e à matemática e oferecia informações valiosas sobre a personalidade e as crenças religiosas de Euler. Foi traduzido para vários idiomas, publicado em toda a Europa e nos Estados Unidos e tornou-se mais lido do que qualquer um de seus trabalhos matemáticos. A popularidade das Cartas atesta a capacidade de Euler de comunicar assuntos científicos de forma eficaz para um público leigo, uma habilidade rara para um cientista pesquisador dedicado.

Apesar da imensa contribuição de Euler para o prestígio da academia e de ter sido apresentado como candidato à presidência por Jean le Rond d'Alembert, Frederico II nomeou-se seu presidente. O rei prussiano tinha um grande círculo de intelectuais em sua corte e achava o matemático pouco sofisticado e mal informado em questões além de números e números. Euler era um homem simples e devotamente religioso que nunca questionou a ordem social existente ou as crenças convencionais. Ele era, em muitos aspectos, o oposto de Voltaire, que desfrutava de um alto prestígio na corte de Frederico. Euler não era um debatedor habilidoso e muitas vezes fazia questão de discutir assuntos sobre os quais sabia pouco, tornando-o alvo frequente da sagacidade de Voltaire. Frederick também expressou desapontamento com as habilidades práticas de engenharia de Euler, afirmando:

Eu queria ter um jato de água no meu jardim: Euler calculou a força das rodas necessárias para elevar a água para um reservatório, de onde deve cair através de canais, finalmente arrancando em Sanssouci. Meu moinho foi realizado geometricamente e não poderia levantar uma boca cheia de água mais perto de cinquenta passos para o reservatório. Vaidade de vaidades! Vaidade da geometria!

Ao longo de sua estada em Berlim, Euler manteve uma forte ligação com a academia em São Petersburgo e também publicou 109 artigos na Rússia. Ele também ajudou alunos da academia de São Petersburgo e às vezes acomodava estudantes russos em sua casa em Berlim. Em 1760, com os Sete Anos' Com a guerra travada, a fazenda de Euler em Charlottenburg foi saqueada pelo avanço das tropas russas. Ao saber desse evento, o general Ivan Petrovich Saltykov pagou uma indenização pelos danos causados à propriedade de Euler, com a imperatriz Elizabeth da Rússia acrescentando mais tarde um pagamento adicional de 4.000 rublos - uma quantia exorbitante na época. Euler decidiu deixar Berlim em 1766 e retornar à Rússia.

Durante seus anos em Berlim (1741-1766), Euler estava no auge de sua produtividade. Escreveu 380 obras, das quais 275 foram publicadas. Isso incluiu 125 memórias na Academia de Berlim e mais de 100 memórias enviadas à Academia de São Petersburgo, que o manteve como membro e pagou-lhe uma bolsa anual. A Introductio in Analysin Infinitorum de Euler foi publicada em duas partes em 1748. Além de sua própria pesquisa, Euler supervisionou a biblioteca, o observatório, o jardim botânico e a publicação de calendários e mapas de onde a academia obtinha receitas. Ele até esteve envolvido no projeto das fontes de água em Sanssouci, o palácio de verão do rei.

Retorno à Rússia

A situação política na Rússia se estabilizou após a ascensão de Catarina, a Grande, ao trono, então, em 1766, Euler aceitou um convite para retornar à Academia de São Petersburgo. Suas condições eram bastante exorbitantes - um salário anual de 3.000 rublos, uma pensão para sua esposa e a promessa de nomeações de alto escalão para seus filhos. Na universidade, ele foi auxiliado por seu aluno Anders Johan Lexell. Enquanto vivia em São Petersburgo, um incêndio em 1771 destruiu sua casa.

Vida pessoal

Em 7 de janeiro de 1734, ele se casou com Katharina Gsell (1707–1773), filha de Georg Gsell, um pintor do Academy Gymnasium em São Petersburgo. O jovem casal comprou uma casa às margens do rio Neva.

De seus treze filhos, apenas cinco sobreviveram à infância, três filhos e duas filhas. Seu primeiro filho foi Johann Albrecht Euler, cujo padrinho era Christian Goldbach.

Três anos após a morte de sua esposa em 1773, Euler se casou com sua meia-irmã, Salome Abigail Gsell (1723–1794). Este casamento durou até sua morte em 1783.

Seu irmão Johann Heinrich se estabeleceu em São Petersburgo em 1735 e trabalhou como pintor na academia.

Deterioração da visão

A visão de Euler piorou ao longo de sua carreira matemática. Em 1738, três anos depois de quase morrer de febre, ele quase ficou cego do olho direito. Euler culpou a cartografia que realizou para a Academia de São Petersburgo por sua condição, mas a causa de sua cegueira continua sendo objeto de especulação. A visão de Euler naquele olho piorou ao longo de sua estada na Alemanha, a ponto de Frederico se referir a ele como "Ciclope". Euler comentou sobre sua perda de visão, afirmando "Agora terei menos distrações." Em 1766 foi descoberta uma catarata em seu olho esquerdo. Embora a cura da catarata tenha melhorado temporariamente sua visão, as complicações acabaram deixando-o quase totalmente cego do olho esquerdo também. No entanto, sua condição parecia ter pouco efeito em sua produtividade. Com a ajuda de seus escribas, a produtividade de Euler em muitas áreas de estudo aumentou; e, em 1775, produzia, em média, um artigo matemático por semana.

Morte

Em São Petersburgo, em 18 de setembro de 1783, após um almoço com sua família, Euler estava discutindo o recém-descoberto planeta Urano e sua órbita com Lexell quando ele desmaiou e morreu de hemorragia cerebral. Jacob von Staehlin [de] escreveu um breve obituário para a Academia Russa de Ciências e para o matemático russo Nicolas Fuss, um dos discípulos de Euler, escreveu um elogio mais detalhado, que entregou em uma reunião memorial. Em seu elogio à Academia Francesa, o matemático e filósofo francês Marquês de Condorcet escreveu:

A sepultura de Euler no Mosteiro de Alexander Nevsky

il fim de cálculo et de vivre—... deixou de calcular e viver.

Euler foi enterrado ao lado de Katharina no Cemitério Luterano de Smolensk, na Ilha Vasilievsky. Em 1837, a Academia Russa de Ciências instalou um novo monumento, substituindo sua lápide coberta de mato. Para comemorar o 250º aniversário do nascimento de Euler em 1957, seu túmulo foi transferido para o Cemitério Lazarevskoe no Mosteiro Alexander Nevsky.

Contribuições para matemática e física

Euler trabalhou em quase todas as áreas da matemática, incluindo geometria, cálculo infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, bem como física contínua, teoria lunar e outras áreas da física. Ele é uma figura seminal na história da matemática; se impressas, suas obras, muitas das quais de interesse fundamental, ocupariam entre 60 e 80 volumes in-quarto. Foi proposto que Euler foi responsável por um terço de toda a produção científica e matemática do século XVIII. O nome de Euler está associado a um grande número de tópicos. O trabalho de Euler tem em média 800 páginas por ano de 1725 a 1783. Ele também escreveu mais de 4.500 cartas e centenas de manuscritos. Estima-se que Leonard Euler foi o autor de um quarto da produção combinada em matemática, física, mecânica, astronomia e navegação no século XVIII.

Notação matemática

Euler introduziu e popularizou várias convenções de notação através de seus numerosos e amplamente divulgados livros didáticos. Mais notavelmente, ele introduziu o conceito de função e foi o primeiro a escrever f(x) para denotar a função f aplicada ao argumento x. Ele também introduziu a notação moderna para as funções trigonométricas, a letra e para a base do logaritmo natural (agora também conhecido como Euler's número), a letra grega Σ para somas e a letra i para denotar a unidade imaginária. O uso da letra grega π para denotar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro também foi popularizado por Euler, embora tenha se originado com o matemático galês William Jones.

Análise

O desenvolvimento do cálculo infinitesimal estava na vanguarda da pesquisa matemática do século 18, e os Bernoullis - amigos da família de Euler - foram responsáveis por grande parte do progresso inicial no campo. Graças à sua influência, estudar cálculo tornou-se o foco principal do trabalho de Euler. Embora algumas das provas de Euler não sejam aceitáveis pelos padrões modernos de rigor matemático (em particular sua confiança no princípio da generalidade da álgebra), suas ideias levaram a muitos grandes avanços. Euler é bem conhecido na análise por seu uso frequente e desenvolvimento de séries de potências, a expressão de funções como somas de infinitos termos, como

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O uso de séries de potências por Euler permitiu que ele resolvesse o famoso problema de Basel em 1735 (ele forneceu um argumento mais elaborado em 1741):

Gerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ 1n2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.n→ → ∞ ∞ (112+122+132+⋯ ⋯ +1n2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D 26.{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{1 over n^{2}}=lim _{nto infty }left({frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+cdots +{frac {1}{n^{2}}}right)={frac {pi ^{2}}{6}}}.}

γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.n→ → ∞ ∞ (1+12+13+14+⋯ ⋯ +1n- Sim. - Sim. I⁡ ⁡ (n))? ? 0,577,{displaystyle gamma =lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {1}{2}+{frac {1}{3}+{frac {1}{4}}+cdots +{frac {1}{n}}-ln(n)right)approx 0.5772,}

Uma interpretação geométrica da fórmula de Euler

Euler introduziu o uso da função exponencial e logaritmos em provas analíticas. Ele descobriu maneiras de expressar várias funções logarítmicas usando séries de potências e definiu com sucesso logaritmos para números complexos e negativos, expandindo grandemente o escopo das aplicações matemáticas dos logaritmos. Ele também definiu a função exponencial para números complexos e descobriu sua relação com as funções trigonométricas. Para qualquer número real φ (considerado como radianos), a fórmula de Euler afirma que a função exponencial complexa satisfaz

eEu...φ φ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e⁡ ⁡ φ φ +Eu...pecado⁡ ⁡ φ φ .{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi.}

que foi chamada de "a fórmula mais notável da matemática" por Richard P. Feynman

Um caso especial da fórmula acima é conhecido como identidade de Euler,

eEu...D D +1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle e^{ipi - Sim.

Euler elaborou a teoria das funções transcendentais superiores introduzindo a função gama e introduziu um novo método para resolver equações quárticas. Ele encontrou uma maneira de calcular integrais com limites complexos, prenunciando o desenvolvimento da análise complexa moderna. Ele inventou o cálculo de variações e formulou a equação de Euler-Lagrange para reduzir problemas de otimização nesta área para a solução de equações diferenciais.

Euler foi pioneiro no uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoria dos números. Ao fazer isso, ele uniu dois ramos díspares da matemática e introduziu um novo campo de estudo, a teoria analítica dos números. Ao abrir caminho para esse novo campo, Euler criou a teoria das séries hipergeométricas, séries q, funções trigonométricas hiperbólicas e a teoria analítica das frações contínuas. Por exemplo, ele provou a infinitude dos primos usando a divergência da série harmônica e usou métodos analíticos para obter algum entendimento da forma como os números primos são distribuídos. O trabalho de Euler nesta área levou ao desenvolvimento do teorema dos números primos.

Teoria dos números

O interesse de Euler na teoria dos números pode ser traçado para a influência de Christian Goldbach, seu amigo na Academia de São Petersburgo. Grande parte do trabalho inicial de Euler na teoria dos números foi baseado no trabalho de Pierre de Fermat. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat e reprovou algumas de suas conjecturas, como sua conjectura que todos os números da forma 22n+1{textstyle 2^{2^{n}}+1} São primos.

Euler vinculou a natureza da distribuição privilegiada com ideias em análise. Ele provou que a soma dos recíprocos dos primos diverge. Ao fazer isso, ele descobriu a conexão entre a função zeta de Riemann e os números primos; isso é conhecido como a fórmula do produto de Euler para a função zeta de Riemann.

Euler inventou a função totiente φ(n), o número de inteiros positivos menores ou iguais ao inteiro n que são primos primos de n. Usando propriedades dessa função, ele generalizou o pequeno teorema de Fermat para o que hoje é conhecido como teorema de Euler. Ele contribuiu significativamente para a teoria dos números perfeitos, que fascinaram os matemáticos desde Euclides. Ele provou que a relação mostrada entre números pares perfeitos e primos de Mersenne (que ele havia provado anteriormente) era de um para um, um resultado também conhecido como teorema de Euclides-Euler. Euler também conjecturou a lei da reciprocidade quadrática. O conceito é considerado um teorema fundamental dentro da teoria dos números, e suas ideias abriram caminho para o trabalho de Carl Friedrich Gauss, particularmente Disquisitiones Arithmeticae. Em 1772, Euler provou que 2³¹ − 1 = 2.147.483.647 é um primo de Mersenne. Pode ter permanecido como o maior primo conhecido até 1867.

Euler também contribuiu com grandes desenvolvimentos para a teoria das partições de um número inteiro.

Teoria dos gráficos

Mapa de Königsberg no tempo de Euler mostrando o layout real das sete pontes, destacando o rio Pregel e as pontes.

Em 1735, Euler apresentou uma solução para o problema conhecido como as Sete Pontes de Königsberg. A cidade de Königsberg, na Prússia, ficava no rio Pregel e incluía duas grandes ilhas conectadas entre si e ao continente por sete pontes. O problema é decidir se é possível seguir um caminho que atravesse cada ponte exatamente uma vez e retorne ao ponto de partida. Não é possível: não há circuito euleriano. Esta solução é considerada o primeiro teorema da teoria dos grafos.

Euler também descobriu a fórmula V- Sim. - Sim. E+F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não. V-E-F=2 relacionando o número de vértices, bordas e faces de um poliedro convexo, e, portanto, de um grafo planar. A constante nesta fórmula é agora conhecida como característica de Euler para o grafo (ou outro objeto matemático), e está relacionada ao gênero do objeto. O estudo e generalização desta fórmula, especificamente por Cauchy e L'Huilier, está na origem da topologia.

Física, astronomia e engenharia

Alguns dos maiores sucessos de Euler foram na solução analítica de problemas do mundo real e na descrição de inúmeras aplicações dos números de Bernoulli, série de Fourier, números de Euler, as constantes e e π, frações contínuas e integrais. Ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz com o Método das Fluxões de Newton e desenvolveu ferramentas que facilitaram a aplicação do cálculo a problemas físicos. Ele fez grandes progressos na melhoria da aproximação numérica de integrais, inventando o que hoje é conhecido como aproximações de Euler. As mais notáveis dessas aproximações são o método de Euler e a fórmula de Euler-Maclaurin.

Euler ajudou a desenvolver a equação de feixe de Euler-Bernoulli, que se tornou a pedra angular da engenharia. Além de aplicar com sucesso suas ferramentas analíticas a problemas da mecânica clássica, Euler aplicou essas técnicas a problemas celestes. Seu trabalho em astronomia foi reconhecido por vários prêmios da Academia de Paris ao longo de sua carreira. Suas realizações incluem determinar com grande precisão as órbitas de cometas e outros corpos celestes, entender a natureza dos cometas e calcular a paralaxe do Sol. Seus cálculos contribuíram para o desenvolvimento de tabelas precisas de longitude.

Euler fez importantes contribuições em óptica. Ele discordou da teoria corpuscular da luz de Newton, que era a teoria predominante na época. Seus artigos sobre óptica da década de 1740 ajudaram a garantir que a teoria ondulatória da luz proposta por Christiaan Huygens se tornasse o modo de pensamento dominante, pelo menos até o desenvolvimento da teoria quântica da luz.

Em dinâmica de fluidos, Euler foi o primeiro a prever o fenômeno da cavitação, em 1754, muito antes de sua primeira observação no final do século XIX, e o número de Euler usado em cálculos de fluxo de fluidos vem de seu trabalho relacionado sobre a eficiência de turbinas. Em 1757 ele publicou um importante conjunto de equações para fluxo invíscido em dinâmica de fluidos, que agora são conhecidas como equações de Euler.

Euler é bem conhecido na engenharia estrutural por sua fórmula que dá a carga crítica de Euler, a carga crítica de flambagem de uma escora ideal, que depende apenas de seu comprimento e rigidez à flexão.

Lógica

Atribui-se a Euler o uso de curvas fechadas para ilustrar o raciocínio silogístico (1768). Esses diagramas ficaram conhecidos como diagramas de Euler.

Um diagrama de Euler

Um diagrama de Euler é um meio esquemático de representar conjuntos e suas relações. Os diagramas de Euler consistem em curvas fechadas simples (geralmente círculos) no plano que representam conjuntos. Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou "zonas": o interior, que representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Os tamanhos ou formas das curvas não são importantes; o significado do diagrama está em como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem às relações da teoria de conjuntos (interseção, subconjunto e disjunção). Curvas cujas zonas interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujas zonas interiores se cruzam representam conjuntos que possuem elementos comuns; a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (a interseção dos conjuntos). Uma curva que está completamente contida na zona interior de outra representa um subconjunto dela.

Os diagramas de Euler (e seu refinamento para os diagramas de Venn) foram incorporados como parte do ensino da teoria dos conjuntos como parte do novo movimento matemático na década de 1960. Desde então, eles passaram a ser amplamente utilizados como forma de visualizar combinações de características.

Música

Um dos interesses mais incomuns de Euler era a aplicação de ideias matemáticas na música. Em 1739 ele escreveu o Tentamen novae theoriae musicae (Tentativa de uma Nova Teoria da Música), esperando eventualmente incorporar a teoria musical como parte da matemática. Esta parte de seu trabalho, no entanto, não recebeu grande atenção e já foi descrita como matemática demais para músicos e musical demais para matemáticos. Mesmo quando se trata de música, a abordagem de Euler é principalmente matemática, por exemplo, sua introdução de logaritmos binários como forma de descrever numericamente a subdivisão de oitavas em partes fracionárias. Os seus escritos sobre música não são particularmente numerosos (algumas centenas de páginas, numa produção total de cerca de trinta mil páginas), mas refletem uma preocupação precoce e que o acompanhou ao longo da vida.

Um primeiro ponto da teoria musical de Euler é a definição de "gêneros", ou seja, de possíveis divisões da oitava usando os números primos 3 e 5. Euler descreve 18 desses gêneros, com o definição geral 2^mA, onde A é o "expoente" do gênero (ou seja, a soma dos expoentes de 3 e 5) e 2^m (onde "m é um número indefinido, pequeno ou grande, desde que os sons sejam perceptíveis"), expressa que a relação é mantida independentemente do número de oitavas em questão. O primeiro gênero, com A = 1, é a própria oitava (ou suas duplicatas); o segundo gênero, 2^m.3, é a oitava dividida pela quinta (quinta + quarta, C–G–C); o terceiro gênero é 2^m.5, terça maior + sexta menor (C–E–C); a quarta é 2^m.3², duas quartas e um tom (C–F–B♭–C); o quinto é 2^m.3.5 (C–E–G–B–C); etc. Gêneros 12 (2^m.3³.5), 13 (2^m.3². 5²) e 14 (2^m.3.5³) são versões corrigidas do diatônico, cromático e enarmônico, respectivamente, dos Antigos. O gênero 18 (2^m.3³.5²) é o "diatônico-cromático", " usado geralmente em todas as composições', e que acaba por ser idêntico ao sistema descrito por Johann Mattheson. Mais tarde, Euler vislumbrou a possibilidade de descrever gêneros, incluindo o número primo 7.

Euler criou um gráfico específico, o Speculum musicum, para ilustrar o gênero diatônico-cromático, e discutiu caminhos neste gráfico para intervalos específicos, lembrando seu interesse nas Sete Pontes de Königsberg (veja acima). O dispositivo atraiu interesse renovado como o Tonnetz na teoria neo-Riemanniana (ver também Lattice (música)).

Euler ainda usou o princípio do "expoente" propor uma derivação do gradus suavitatis (grau de suavidade, de agradabilidade) de intervalos e acordes a partir de seus fatores primos – deve-se ter em mente que ele considerou apenas a entonação, ou seja, 1 e os números primos 3 e 5 apenas. Fórmulas foram propostas estendendo este sistema para qualquer número de números primos, por ex. na forma

DS= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...(kEu...pEu...- Sim. - Sim. kEu...)+1,{displaystyle ds=sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,}

p_Eu...k_Eu...

Filosofia pessoal e crenças religiosas

Euler se opôs aos conceitos do monadismo de Leibniz e à filosofia de Christian Wolff. Euler insistiu que o conhecimento é fundado em parte com base em leis quantitativas precisas, algo que o monadismo e a ciência wolffiana foram incapazes de fornecer. Euler também rotulou as ideias de Wolff como "pagãs e ateístas".

Euler foi uma pessoa religiosa durante toda a sua vida. Muito do que se sabe sobre as crenças religiosas de Euler pode ser deduzido de suas Cartas a uma princesa alemã e de uma obra anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (Defesa da Revelação Divina contra as Objeções dos Livres-pensadores). Essas obras mostram que Euler era um cristão devoto que acreditava que a Bíblia era inspirada; o Rettung foi principalmente um argumento para a inspiração divina da escritura.

Há uma famosa lenda inspirada nos argumentos de Euler com filósofos seculares sobre religião, que é definida durante a segunda picada de Euler na Academia de São Petersburgo. O filósofo francês Denis Diderot estava visitando a Rússia no convite de Catarina, a Grande. No entanto, a Imperatriz estava alarmada de que os argumentos do filósofo para o ateísmo estavam influenciando membros de sua corte, e assim Euler foi convidado a confrontar o francês. Diderot foi informado de que um matemático aprendido tinha produzido uma prova da existência de Deus: ele concordou em ver a prova como foi apresentada em tribunal. Euler apareceu, avançado para Diderot, e em um tom de convicção perfeita anunciou este não-sequitur: "Senhor, um+b)nn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x{displaystyle {frac {a+b^{n}}{n}}=x}, daí Deus existe — repousa!" Diderot, a quem (diz a história) toda a matemática era gibberish, ficou mudo como pêssegos do riso erupted do tribunal. Embarrassed, ele pediu para deixar a Rússia, um pedido que foi graciosamente concedido pela Imperatriz. No entanto divertido a anedota pode ser, é apócrifo, dado que o próprio Diderot fez pesquisa em matemática. A lenda foi contada pela primeira vez por Dieudonné Thiébault com enfeite de Augustus De Morgan.

Comemorações

Retrato de Euler na sexta série da nota de 10 Franc

Retrato de Euler na sétima série da nota de 10 Franc

Euler foi destaque na sexta e na sétima série da nota de 10 francos suíços e em vários selos postais suíços, alemães e russos. Em 1782 foi eleito Membro Honorário Estrangeiro da Academia Americana de Artes e Ciências. O asteróide 2002 Euler foi nomeado em sua homenagem.

Bibliografia selecionada

Euler tem uma extensa bibliografia. Seus livros incluem:

• Mechanica (1736)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744) (Um método para encontrar linhas curvas desfrutando de propriedades máximas ou mínimas, ou solução de problemas isoperimétricos no sentido mais amplo aceito)
• Introdução no analysin infinitorum (1748) (Introdução à Análise do Infinito)
• Instituição cálculo diferencialis (1755) (Fundações de cálculo diferencial)
• Outros produtos relacionados (1765) (Elementos de Algebra)
• Instituição Cálculo integral (1768–1770) (Fundações de cálculo integral)
• Cartas a uma princesa alemã (1768–1772)
• Dioptrica, publicado em três volumes a partir de 1769

Demorou até 1830 para que a maior parte das obras póstumas de Euler fossem publicadas individualmente, com um lote adicional de 61 obras inéditas descobertas por Paul Heinrich von Fuss (bisneto de Euler e Nicolas Fuss 39;s son) e publicado como uma coleção em 1862. Um catálogo cronológico das obras de Euler foi compilado pelo matemático sueco Gustaf Eneström e publicado de 1910 a 1913. O catálogo, conhecido como índice Eneström, numera Euler's funciona de E1 a E866. O Euler Archive foi iniciado no Dartmouth College antes de se mudar para a Mathematical Association of America e, mais recentemente, para a University of the Pacific em 2017.

Em 1907, a Academia Suíça de Ciências criou a Comissão Euler e encarregou-a da publicação das obras completas de Euler. Após vários atrasos no século XIX, o primeiro volume da Opera Omnia foi publicado em 1911. No entanto, a descoberta de novos manuscritos continuou a aumentar a magnitude deste projeto. Felizmente, a publicação da Opera Omnia de Euler tem progredido constantemente, com mais de 70 volumes (com média de 426 páginas cada) publicados até 2006 e 80 volumes publicados até 2022. Esses volumes estão organizados em quatro séries. A primeira série compila as obras sobre análise, álgebra e teoria dos números; consiste em 29 volumes e números em mais de 14.000 páginas. Os 31 volumes da Série II, totalizando 10.660 páginas, contêm as obras de mecânica, astronomia e engenharia. A Série III contém 12 volumes sobre física. A Série IV, que contém a enorme quantidade de correspondências de Euler, manuscritos inéditos e notas, só começou a ser compilada em 1967. A série está projetada para abranger 16 volumes, oito dos quais foram lançados a partir de 2022.

• 

  Ilustração de Solutio problematis... a. 1743 propositi publicado em Acta Eruditorum, 1744

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  A página de título de Euler Método inveniendi lineas curvas.

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  Mapa do mundo de Euler 1760.

• 

  1753 mapa de África de Euler.