Lei Stefan-Boltzmann

A lei de Stefan-Boltzmann, também conhecida como lei de Stefan, descreve a intensidade da radiação térmica emitida pela matéria em termos dessa matéria' temperatura. É nomeado em homenagem a Josef Stefan, que derivou empiricamente a relação, e Ludwig Boltzmann, que derivou a lei teoricamente.

Para um absorvedor/emissor ou corpo negro ideal, a lei de Stefan-Boltzmann afirma que a energia total irradiada por unidade de área de superfície por unidade de tempo (também conhecida como existância radiante) é diretamente proporcional a a quarta potência da temperatura do corpo negro, T:

$Não. M^{circ }=sigma ,T^{4}.}$

A constante da proporcionalidade, $- Sim.$, é chamado de Stefan–Boltzmann constante. Tem um valor

$- Sim.$ 5.670374419...×10.^-8Wm.^-2⋅K^-4.

No caso geral, a lei de Stefan-Boltzmann para saída radiante assume a forma:

${displaystyle M=varepsilon ,M^{circ }=varepsilon ,sigma ,T^{4}}$

Onde? $- Sim.$ é a emissividade do assunto fazendo o empenhamento. A emissividade é geralmente entre zero e um, embora alguns materiais exóticos possam ter uma emissividade maior que um. Uma emissividade de um corresponde a um corpo negro.

Explicação detalhada

O saída radiante (anteriormente chamado) emitente radiante), $Não.$, tem dimensões de fluxo de energia (energia por unidade de tempo por unidade de área), e as unidades SI de medida são joules por segundo por metro quadrado (J⋅s)^{- Sim.}?^-2), ou equivalentemente, watts por metro quadrado (W⋅m^-2). A unidade SI para temperatura absoluta, T, é o kelvin (K).

Para encontrar o poder total, $Não. P.$, irradiado de um objeto, multiplicar a saída radiante pela área superficial do objeto, $Não. A.$:

${displaystyle P=Acdot M=A,varepsilon ,sigma ,T^{4}.}$

Matéria que não absorve toda a radiação incidente emite menos energia total do que um corpo negro. As emissões são reduzidas por um factor $- Sim.$, quando a emissividade, $- Sim.$, é uma propriedade material que, para a maioria dos casos, satisfaz ${displaystyle 0leq varepsilon leq 1$. A emissividade pode em geral depender do comprimento de onda, direção e polarização. No entanto, a emissividade que aparece na forma não-direcional da lei de Stefan-Boltzmann é a emissividade total hemisférica, que reflete as emissões como totalizadas em todos os comprimentos de onda, direções e polarizações.

A forma da lei Stefan-Boltzmann que inclui emissividade é aplicável a toda a matéria, desde que a matéria esteja em um estado de equilíbrio termodinâmico local (LTE) de modo que sua temperatura seja bem definida. (Esta é uma conclusão trivial, desde a emissividade, $- Sim.$, é definido como sendo a quantidade que torna esta equação válida. O que não é trivial é a proposição que ${displaystyle varepsilon leq 1$, que é uma consequência da lei de radiação térmica de Kirchhoff.)

Um chamado corpo cinza é um corpo para o qual a emissividade espectral é independente do comprimento de onda, de modo que a emissividade total, $- Sim.$, é uma constante. No caso mais geral (e realista), a emissividade espectral depende do comprimento de onda. A emissividade total, conforme aplicável à lei Stefan-Boltzmann, pode ser calculada como média ponderada da emissividade espectral, com o espectro de emissão de corpo negro servindo como função de ponderação. Segue-se que, se a emissividade espectral depende do comprimento de onda, a emissividade total depende da temperatura, ou seja, ${displaystyle varepsilon =varepsilon (T)}$. No entanto, se a dependência do comprimento de onda é pequena, então a dependência da temperatura também será pequena.

Partículas em escala de comprimento de onda e sub-comprimento de onda, metamateriais e outras nanoestruturas não estão sujeitas a limites ópticos de raios e podem ser projetadas para ter uma emissividade superior a 1.

Em documentos nacionais e internacionais de normas, o símbolo $Não.$ é recomendado para denotar saída radiante; um círculo sobrescrito (°) indica um termo relacionado com um corpo negro. (Um subscrito "e" é adicionado quando é importante distinguir a quantidade energética (radiométrica) saída radiante, $Não. M_{mathrm {e} }}$, da visão humana analógica (fotométrica) quantidade, saída luminosa, denotado $Não. M_{mathrm {v} }}$.) Em uso comum, o símbolo usado para saída radiante (muitas vezes chamado emitente radiante) varia entre diferentes textos e em diferentes campos.

A lei de Stefan-Boltzmann pode ser expressa como uma fórmula para radiância em função da temperatura. A radiância é medida em watts por metro quadrado por esterradiano (W m^-2 sr^-1). A lei de Stefan-Boltzmann para a radiância de um corpo negro é:

$Não. L_{Omega }^{circ }={frac {M^{circ }}{pi - Sim. - Sim. }},T^{4}.}$

A lei de Stefan-Boltzmann expressa como uma fórmula para a densidade de energia de radiação é:

$(e) } }={frac {4}{c}},M^{circ }={frac {4}{c}},sigma ,T^{4}}$

Onde? $Não.$ é a velocidade da luz.

Histórico

Em 1864, John Tyndall apresentou medições da emissão infravermelha por um filamento de platina e a cor correspondente do filamento. A proporcionalidade à quarta potência da temperatura absoluta foi deduzida por Josef Stefan (1835-1893) em 1877 com base nas medições experimentais de Tyndall, no artigo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Sobre a relação entre radiação térmica e temperatura) nos Boletins das sessões da Academia de Ciências de Viena.

Uma derivação da lei a partir de considerações teóricas foi apresentada por Ludwig Boltzmann (1844–1906) em 1884, com base no trabalho de Adolfo Bartoli. Bartoli, em 1876, derivou a existência da pressão de radiação dos princípios da termodinâmica. Seguindo Bartoli, Boltzmann considerou uma máquina térmica ideal usando radiação eletromagnética em vez de um gás ideal como matéria de trabalho.

A lei foi verificada experimentalmente quase imediatamente. Heinrich Weber, em 1888, apontou desvios em temperaturas mais altas, mas a precisão perfeita dentro das incertezas de medição foi confirmada até temperaturas de 1.535 K em 1897. A lei, incluindo a previsão teórica da constante de Stefan-Boltzmann em função da velocidade da luz, a constante de Boltzmann e a constante de Planck, é uma consequência direta da lei de Planck formulada em 1900.

Constante de Stefan-Boltzmann

A constante de Stefan–Boltzmann, σ, é derivada de outras constantes físicas conhecidas:

${displaystyle sigma ={frac {2pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}}}}$

onde k é a constante de Boltzmann, h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz no vácuo.

A partir da redefinição das unidades de base do SI em 2019, que estabelece valores fixos exatos para k, h e c, o Stefan– A constante de Boltzmann é exatamente:

${displaystyle sigma =left[{frac {2pi ^{5}left(1.380 649times 10^{-23}right)^{4}}{15left(2.997 924 58times 10^{8}right)^{2}left(6.626 070 15times 10^{-34}right)^{3}}}right]frac}math} (K} ^{4}}$

Assim,

$- Sim.$ 5.670374419...×10.^-8W^-2 KK^-4.

Antes disso, o valor de $- Sim.$ foi calculado a partir do valor medido da constante do gás.

O valor numérico da constante de Stefan-Boltzmann é diferente em outros sistemas de unidades, conforme mostrado na tabela abaixo.

Exemplos

Temperatura do Sol

Com sua lei, Stefan também determinou a temperatura da superfície do Sol. Ele inferiu a partir dos dados de Jacques-Louis Soret (1827-1890) que a densidade do fluxo de energia do Sol é 29 vezes maior do que a densidade do fluxo de energia de uma certa lamela metálica aquecida (uma placa fina). Uma lamela redonda foi colocada a uma distância tal do dispositivo de medição que seria vista no mesmo diâmetro angular do Sol. Soret estimou a temperatura da lamela em aproximadamente 1.900 °C a 2.000 °C. Stefan supôs que 1/3 do fluxo de energia do Sol é absorvido pela atmosfera da Terra, então ele tomou como fluxo de energia correto do Sol um valor 3/2 vezes maior que o de Soret. valor, ou seja, 29 × 3/2 = 43,5.

Medições precisas de absorção atmosférica não foram feitas até 1888 e 1904. A temperatura obtida por Stefan foi um valor mediano das anteriores, 1950 °C e a termodinâmica absoluta 2200 K. Como 2,57⁴ = 43,5, segue-se da lei que a temperatura do Sol é 2,57 vezes maior que a temperatura da lamela, então Stefan obteve um valor de 5430 °C ou 5700 K. Este foi o primeiro valor sensível para a temperatura do Sol. Antes disso, eram reivindicados valores que variavam de 1.800 °C a 13.000.000 °C. O valor mais baixo de 1800 °C foi determinado por Claude Pouillet (1790-1868) em 1838 usando a lei Dulong-Petit. Pouillet também obteve apenas metade do valor do fluxo de energia correto do Sol.

Temperatura das estrelas

A temperatura de outras estrelas além do Sol pode ser aproximada usando um meio semelhante, tratando a energia emitida como uma radiação de corpo negro. Então:

${displaystyle L=4pi R^{2}sigma T^{4}}$

onde L é a luminosidade, σ é a constante de Stefan-Boltzmann, R é o raio estelar e T é a temperatura efetiva. Esta fórmula pode então ser reorganizada para calcular a temperatura:

$T={sqrt[{4}]{frac {L}{4pi R^{2}sigma Sim.$

ou alternativamente o raio:

$Não. R = Sqrt (L){4pisigma T^{4}}}$

As mesmas fórmulas também podem ser simplificadas para calcular os parâmetros relativos ao Sol:

$Não. }}}=left({frac {R}{R_{odot }}}right)^{2}left({frac {T}{T_{odot }}}right)^{4}}$

$- Não. }}}=left({frac {L}{L_{odot }}}right)^{1/4}{sqrt {frac Não.){R}}$

$Não. }}}=left({frac {T_{odot }}{T}}right)^{2}{sqrt {frac Não. Sim.$

Onde? ${displaystyle R_{odot }}$ é o raio solar, e assim por diante. Eles também podem ser reescritos em termos da área de superfície A e saída radiante $Não. M^{circ }}$:

${displaystyle L=Acdot M^{circ)$

$Não. M^{circ ? Não.$

$- Sim. (L){M^{circ Sim.$

Onde? ${displaystyle A=4pi R^{2}}$ e $Não. M^{circ ? T^{4}$

Com a lei de Stefan-Boltzmann, os astrónomos podem facilmente inferir os raios das estrelas. A lei também é cumprida na termodinâmica dos buracos negros na chamada radiação Hawking.

Temperatura efetiva da Terra

Da mesma forma, podemos calcular a temperatura efetiva da Terra T_⊕ igualando a energia recebida do Sol e a energia irradiada pela Terra, sob o corpo negro aproximação (a produção de energia da própria Terra é pequena o suficiente para ser insignificante). A luminosidade do Sol, L_⊙, é dada por:

$Não. O que é isso? }^{2}sigma T_{odot }^{4}}$

Na Terra, esta energia está passando por uma esfera com um raio de a₀, a distância entre a Terra e o Sol, e a irradiância (potência recebida por área unitária) é dada por

$O que é? }={frac (L_{odot){4pi a_{0}^{2}}$

A Terra tem um raio de R_⊕, e portanto tem uma seção transversal de ${displaystyle pi R_{oplus }^{2}}$. O fluxo radiante (ou seja, energia solar) absorvido pela Terra é assim dado por:

$Não. Phi _{text{abs}}=pi R_{oplus }^{2}times E_{oplus }:}$

Como a lei de Stefan-Boltzmann utiliza uma quarta potência, ela tem um efeito estabilizador na troca e o fluxo emitido pela Terra tende a ser igual ao fluxo absorvido, próximo ao estado estacionário onde:

${displaystyle {begin{aligned}4pi R_{oplus }^{2}sigma T_{oplus }^{4}&=pi R_{oplus }^{2}times E_{oplus }\&=pi R_{oplus }^{2}times {frac (em inglês) O que é isto? }^{2}sigma T_{odot }^{4}}{4pi a_{0}^{2}}}\end{aligned}}}$

T_⊕ pode então ser encontrado:

$- Não. }^{4}&&={frac Não. ^{^{2}T_{odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\T_{oplus }&T_{odot }times Não. }}{2a_{0}}&=5780;{rm {K}}times {sqrt {6.957times 10^{8};{rm {m}} over 2times 1.495 978 707times 10^{11};{rm {m}}}}&approx 279;{rm {K}}end{aligned}}}$

Onde? T_⊙ é a temperatura do Sol, R_⊙ o raio do Sol, e um₀ é a distância entre a Terra e o Sol. Isso dá uma temperatura efetiva de 6 °C na superfície da Terra, assumindo que absorve perfeitamente toda a emissão caindo nela e não tem atmosfera.

A Terra tem um albedo de 0,3, o que significa que 30% da radiação solar que atinge o planeta é espalhada de volta ao espaço sem absorção. O efeito do albedo na temperatura pode ser aproximado assumindo que a energia absorvida é multiplicada por 0,7, mas que o planeta ainda irradia como um corpo negro (este último por definição de temperatura efectiva, que é o que estamos a calcular). Essa aproximação reduz a temperatura por um fator de 0,7^1/4, resultando em 255 K (−18 °C; −1 °F).

A temperatura acima é a da Terra vista do espaço, não a temperatura do solo, mas uma média de todos os corpos emissores da Terra, desde a superfície até grandes altitudes. Por causa do efeito estufa, a temperatura média real da superfície da Terra é de cerca de 288 K (15 °C; 59 °F), que é superior à temperatura efetiva de 255 K (-18 °C; -1 °F)., e ainda mais alta do que a temperatura de 279 K (6 °C; 43 °F) que um corpo negro teria.

Na discussão acima, assumimos que toda a superfície da Terra está à mesma temperatura. Outra questão interessante é perguntar qual seria a temperatura da superfície de um corpo negro na Terra, assumindo que ele atinge o equilíbrio com a luz solar que incide sobre ele. É claro que isso depende do ângulo do sol na superfície e da quantidade de ar que a luz solar passou. Quando o sol está no zênite e a superfície está horizontal, a irradiância pode chegar a 1.120 W/m². A lei de Stefan-Boltzmann fornece então uma temperatura de

${displaystyle T=left({frac {1120{text{ W/m}}^{2}}{sigma }}right)^{1/4}approx 375{text{ K}}}$

ou 102 °C (216 °F). (Após a atmosfera, o resultado é ainda maior: 394 K (121 °C; 250 °F).) Podemos pensar na superfície da Terra como "tentar" para alcançar a temperatura de equilíbrio durante o dia, mas ser resfriado pela atmosfera, e "tentar" para alcançar o equilíbrio com a luz estrelada e possivelmente a luz da lua à noite, mas ser aquecido pela atmosfera.

Origem

Derivação termodinâmica da densidade de energia

O fato de que a densidade de energia da caixa contendo radiação é proporcional a $Não. T^{4}}$ pode ser derivado usando termodinâmica. Esta derivação usa a relação entre a pressão de radiação p e a densidade de energia interna $Não.$, uma relação que pode ser mostrada usando a forma do tensor eletromagnético-energia. Esta relação é:

$Não. {u}{3}}.}$

Agora, a partir da relação termodinâmica fundamental

$Não. DU=T,dS-p,dV,}$

obtemos a seguinte expressão, depois de dividir por $Não.$ e fixação $Não. T.$:

${displaystyle left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}=Tleft({frac {partial S}{partial V}}right)_{T}-p=Tleft({frac {partial p}{partial T}}right)_{V}-p.}$

A última igualdade vem da seguinte relação Maxwell:

${displaystyle left({frac) {partial S}{partial V}}right)_{T}=left({frac {partial p}{partial T}}right)_{V}.}$

Da definição de densidade de energia segue-se que

$- Sim.$

onde a densidade de energia da radiação depende apenas da temperatura, portanto

${displaystyle left({frac) {partial U}{partial V}}right)_{T}=uleft({frac {partial V}{partial V}}right)_{T}=u.}$

Agora, a igualdade é

${displaystyle u=Tleft({frac {partial p}{partial T}}right)_{V}-p,}$ após a substituição de ${displaystyle left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}.}$

Entretanto, a pressão é a taxa de mudança de impulso por área unitária. Uma vez que o impulso de um fóton é o mesmo que a energia dividida pela velocidade da luz,

${displaystyle u={frac {T}{3}}left({frac {partial u}{partial T}}right)_{V}-{frac {u}{3}},}$

onde o fator 1/3 vem da projeção da transferência de momento na normal à parede do contêiner.

Desde o derivado parcial ${displaystyle left({frac {partial u}{partial T}}right)_{V}}$ pode ser expressa como uma relação entre apenas $Não.$ e $Não. T.$ (se um isola-lo em um lado da igualdade), o derivado parcial pode ser substituído pelo derivado comum. Depois de separar os diferenciais a igualdade torna-se

${displaystyle {frac {du}{4u}}={frac {dT}{T}},}$

que leva imediatamente a ${displaystyle u=AT^{4}}$, com $Não. A.$ como uma constante de integração.

Derivação da lei de Planck

A lei pode ser derivada, considerando uma pequena superfície de corpo preto plano irradiando para fora em uma meia-esfera. Esta derivação usa coordenadas esféricas, com θ como o ângulo zenith e φ como o ângulo azimutal; e a pequena superfície de corpo negro plano encontra-se no avião xy, onde θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ^D/₂.

A intensidade da luz emitida pela superfície do corpo negro é dada pela lei de Planck,

$${displaystyle I(nuT)={frac {2hnu) ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{hnu /(kT)}-1}},}$$

• ${displaystyle I(nuT)}$ é a quantidade de energia por unidade de superfície por unidade de ângulo sólido por unidade de frequência emitida em uma frequência $Não.$ por um corpo negro à temperatura T.
• $Não.$ é a constante de Planck
• $Não.$ é a velocidade da luz, e
• $Não.$ é a constante de Boltzmann.

A quantidade ${displaystyle I(nuT)~Acos theta ~dnu - O quê?$ é a energia irradiada por uma superfície da área A através de um ângulo sólido DΩ na faixa de frequência entre Processo e Processo + D..

A lei de Stefan-Boltzmann fornece a potência emitida por unidade de área do corpo emissor,

$${displaystyle {frac {P}{A}}=int _{0}^{infty }I(nuT),dnu int cos theta ,dOmega }$$

Note que a cossena aparece porque os corpos negros são Lambertian (ou seja, obedecem à lei cosina de Lambert), o que significa que a intensidade observada ao longo da esfera será a intensidade real vezes a cosina do ângulo de zenith. Para derivar a lei de Stefan-Boltzmann, devemos integrar ${textstyle dOmega =sin theta ,dtheta ,dvarphi }$ sobre a meia esfera e integrar $Não.$ de 0 a ∞.

$$- Sim. {P}{A}}&=int _{0}^{infty }I(nuT),dnu int _{0}^{2pi },dvarphi int _{0}^{pi /2}cos theta sin theta ,dthetaign&=pi int _{0}^{infty }I(nu$$

Em seguida, inserimos I:

$${displaystyle {frac {P}{A}}={frac {2pi} h}{c^{2}}}int _{0}^{infty }{frac ^{3}}{e^{frac {hnu }{kT}}-1,dnu }$$

Para calcular esta integral, faça uma substituição,

$${displaystyle {begin{aligned}u&={frac {hnu) }{kT}}\[6pt]du&={frac {h}{kT}},dnu end{aligned}}}$$

$${displaystyle {frac {P}{A}}={frac {2pi} h}{c^{2}}}left({frac {kT}{h}}right)^{4}int _{0}^{infty }{frac {u^{3}}{e^{u}-1}},du.}$$

A integral à direita é padrão e passa por muitos nomes: é um caso particular de uma integral Bose-Einstein, o polilogaritmo, ou a função zeta de Riemann $(s)}$. O valor da integral é ${displaystyle Gamma (4)zeta (4)={frac {pi ^{4}}{15}}}$ (onde) $(s)}$ é a função Gamma), dando o resultado que, para uma superfície de corpo negro perfeito:

$$Não. M^{circ ? T^{4}~~~sigma ={frac {2pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={frac ^{2}k^{4}}{60hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

Finalmente, esta prova começou considerando apenas uma pequena superfície plana. No entanto, qualquer superfície diferenciável pode ser aproximada por uma coleção de pequenas superfícies planas. Desde que a geometria da superfície não faça com que o corpo negro reabsorva a sua própria radiação, a energia total irradiada é apenas a soma das energias irradiadas por cada superfície; e a área total da superfície é apenas a soma das áreas de cada superfície – portanto, esta lei também se aplica a todos os corpos negros convexos, desde que a superfície tenha sempre a mesma temperatura. A lei se estende à radiação de corpos não-convexos, usando o fato de que o casco convexo de um corpo negro irradia como se fosse ele próprio um corpo negro.

Densidade de energia

A densidade de energia total U pode ser calculada de forma semelhante, exceto que a integração é sobre toda a esfera e não há cosseno, e o fluxo de energia (U c) deve ser dividido pela velocidade c para dar a densidade de energia U:

$${displaystyle U={frac {1}{c}}int _{0}^{infty }I(nuT),dnu int ,dOmega }$$

${textstyle int _{0}^{pi /2}cos theta sin theta ,dtheta }$

$- Sim. _{0}^{pi }sin theta ,dtheta }$

Assim, no total:

$${displaystyle U={frac {4}{c}},sigma ,T^{4}}$$

$- Sim.$

Decomposição em termos de fótons

A lei de Stefan-Boltzmann pode ser expressa como

$Não. M^{circ }=sigma ,T^{4}=N_{mathrm {phot} },langle E_{mathrm }rangle$

onde o fluxo de fótons, $Não. N_{mathrm {phot} }}$, é dada por

${displaystyle N_{mathrm {phot} }=pi int _{0}^{infty }{frac {B_{nu }}{hnu }},mathrm {d} nu }$

$Não.$1.5205×10.¹⁵$Não. ;{textrm {photons}}{cdot ? {s}}^{-1} {m}}^{-2} }mathrm {K} ^{-3})cdot T^{3}}$

e a energia média por fóton,${displaystyle langle E_{textrm {phot}}rangle }$, é dada por

${displaystyle langle E_{textrm {phot}}rangle ={frac {pi ^{4}}{30,zeta (3)}}k,T=(}$3.7294×10.^-23 ${displaystyle mathrm {J} {cdot }mathrm (K} ^{-1})cdot T.$.

Marr e Wilkin (2012) recomendam que os alunos sejam ensinados sobre ${displaystyle langle E_{textrm {phot}}rangle }$ em vez de ser ensinado A lei de deslocamento de Wien, e que a decomposição acima seja ensinada quando a lei de Stephan-Boltzmann é ensinada.