Jorge Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (KAN-tor, Alemão: [ˈɡeːɔʁk ˈfɛʁdinant ˈluːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantɔʁ]; 3 de março [OS 19 de fevereiro] 1845 – 6 de janeiro de 1918) foi um matemático. Ele desempenhou um papel fundamental na criação da teoria dos conjuntos, que se tornou uma teoria fundamental em matemática. Cantor estabeleceu a importância da correspondência biunívoca entre os membros de dois conjuntos, definiu conjuntos infinitos e bem ordenados e provou que os números reais são mais numerosos que os números naturais. O método de prova de Cantor deste teorema implica a existência de uma infinidade de infinitos. Ele definiu os números cardinais e ordinais e sua aritmética. A obra de Cantor é de grande interesse filosófico, fato que ele conhecia bem.
Originalmente, a teoria de Cantor dos números transfinitos era considerada contra-intuitiva - até mesmo chocante. Isso fez com que encontrasse resistência de contemporâneos matemáticos como Leopold Kronecker e Henri Poincaré e mais tarde de Hermann Weyl e L. E. J. Brouwer, enquanto Ludwig Wittgenstein levantava objeções filosóficas; veja Controvérsia sobre a teoria de Cantor. Cantor, um cristão luterano devoto, acreditava que a teoria havia sido comunicada a ele por Deus. Alguns teólogos cristãos (particularmente os neoescolásticos) viram a obra de Cantor como um desafio à singularidade do infinito absoluto na natureza de Deus – em uma ocasião equiparando a teoria dos números transfinitos ao panteísmo – uma proposição que Cantor rejeitou vigorosamente. Nem todos os teólogos eram contra a teoria de Cantor; o proeminente filósofo neoescolástico Constantin Gutberlet era a favor dela e o cardeal Johann Baptist Franzelin a aceitou como uma teoria válida (depois que Cantor fez alguns esclarecimentos importantes).
As objeções ao trabalho de Cantor eram ocasionalmente ferozes: a oposição pública e os ataques pessoais de Leopold Kronecker incluíam a descrição de Cantor como um "charlatão científico", um "renegado"; e um "corruptor da juventude". Kronecker se opôs às provas de Cantor de que os números algébricos são contáveis e que os números transcendentais são incontáveis, resultados agora incluídos em um currículo padrão de matemática. Escrevendo décadas após a morte de Cantor, Wittgenstein lamentou que a matemática seja "totalmente dominada pelos idiomas perniciosos da teoria dos conjuntos", que ele descartou como "total absurdo". isso é "risível" e "errado". Os surtos recorrentes de depressão de Cantor de 1884 até o fim de sua vida foram atribuídos à atitude hostil de muitos de seus contemporâneos, embora alguns tenham explicado esses episódios como prováveis manifestações de um transtorno bipolar.
As duras críticas foram acompanhadas de elogios posteriores. Em 1904, a Royal Society concedeu a Cantor sua Medalha Sylvester, a maior honra que pode ser conferida por trabalhos em matemática. David Hilbert defendeu-o de seus críticos declarando: "Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou".
Biografia
Juventude e estudos
Georg Cantor, nascido em 1845 em São Petersburgo, Rússia, foi criado naquela cidade até os onze anos. O mais velho de seis filhos, ele era considerado um excelente violinista. Seu avô Franz Böhm (1788–1846) (irmão do violinista Joseph Böhm) foi um conhecido músico e solista de uma orquestra imperial russa. O pai de Cantor havia sido membro da bolsa de valores de São Petersburgo; quando ele adoeceu, a família mudou-se para a Alemanha em 1856, primeiro para Wiesbaden, depois para Frankfurt, em busca de invernos mais amenos do que os de São Petersburgo. Em 1860, Cantor formou-se com distinção na Realschule em Darmstadt; suas habilidades excepcionais em matemática, trigonometria em particular, foram notadas. Em agosto de 1862, ele se formou na "Höhere Gewerbeschule Darmstadt", agora Technische Universität Darmstadt. Em 1862, Cantor ingressou na Politécnica Federal Suíça em Zurique. Depois de receber uma herança substancial após a morte de seu pai em junho de 1863, Cantor foi transferido para a Universidade de Berlim, assistindo a palestras de Leopold Kronecker, Karl Weierstrass e Ernst Kummer. Ele passou o verão de 1866 na Universidade de Göttingen, então e mais tarde um centro de pesquisa matemática. Cantor era um bom aluno e recebeu seu doutorado em 1867.
Professor e pesquisador
Cantor apresentou sua dissertação sobre teoria dos números na Universidade de Berlim em 1867. escola, ele assumiu um cargo na Universidade de Halle, onde passou toda a sua carreira. Ele recebeu a habilitação necessária para sua tese, também sobre teoria dos números, que apresentou em 1869 após sua nomeação na Universidade de Halle.
Em 1874, Cantor casou-se com Vally Guttmann. Eles tiveram seis filhos, o último (Rudolph) nascido em 1886. Cantor conseguiu sustentar uma família apesar de seu modesto salário acadêmico, graças à herança de seu pai. Durante sua lua de mel nas montanhas Harz, Cantor passou muito tempo em discussões matemáticas com Richard Dedekind, que conheceu em Interlaken, na Suíça. dois anos antes, durante as férias.
Cantor foi promovido a professor extraordinário em 1872 e nomeado professor titular em 1879. Alcançar o último posto aos 34 anos foi um feito notável, mas Cantor desejava uma cátedra em uma universidade de maior prestígio, em particular em Berlim, na naquela época a principal universidade alemã. No entanto, seu trabalho encontrou muita oposição para que isso fosse possível. Kronecker, que chefiou a matemática em Berlim até sua morte em 1891, ficou cada vez mais desconfortável com a perspectiva de ter Cantor como colega, percebendo-o como um "corruptor da juventude" por ensinar suas ideias a uma geração mais jovem de matemáticos. Pior ainda, Kronecker, uma figura bem estabelecida dentro da comunidade matemática e ex-professor de Cantor, discordou fundamentalmente da essência do trabalho de Cantor desde que intencionalmente atrasou a publicação do primeiro livro de Cantor. publicação importante em 1874. Kronecker, agora visto como um dos fundadores do ponto de vista construtivo em matemática, não gostava muito da teoria dos conjuntos de Cantor porque afirmava a existência de conjuntos satisfazendo certas propriedades, sem dar exemplos específicos de conjuntos cujos membros realmente satisfez essas propriedades. Sempre que Cantor se candidatava a um cargo em Berlim, ele era recusado, e o processo geralmente envolvia Kronecker, então Cantor passou a acreditar que a postura de Kronecker tornaria impossível para ele deixar Halle.
Em 1881, Eduard Heine, colega de Cantor em Halle, morreu. Halle aceitou a sugestão de Cantor de que a cadeira vaga de Heine fosse oferecida a Dedekind, Heinrich M. Weber e Franz Mertens, nessa ordem, mas cada um recusou a cadeira após ser oferecida. Friedrich Wangerin acabou sendo nomeado, mas nunca foi próximo de Cantor.
Em 1882, a correspondência matemática entre Cantor e Dedekind chegou ao fim, aparentemente como resultado da recusa de Dedekind da cadeira em Halle. Cantor também iniciou outra correspondência importante, com Gösta Mittag-Leffler na Suécia, e logo começou a publicar no jornal de Mittag-Leffler Acta Mathematica. Mas em 1885, Mittag-Leffler estava preocupado com a natureza filosófica e a nova terminologia em um artigo que Cantor havia submetido à Acta. Ele pediu a Cantor que retirasse o artigo da Acta enquanto estava em prova, escrevendo que era "... cerca de cem anos antes do tempo." Cantor concordou, mas depois encurtou seu relacionamento e correspondência com Mittag-Leffler, escrevendo a um terceiro: "Se Mittag-Leffler tivesse conseguido o que queria, eu teria que esperar até o ano de 1984, que para mim parecia um ano muito grande. demanda!... Mas é claro que nunca mais quero saber nada sobre Acta Mathematica."
Cantor sofreu sua primeira crise conhecida de depressão em maio de 1884. As críticas a seu trabalho pesavam em sua mente: cada uma das cinquenta e duas cartas que escreveu a Mittag-Leffler em 1884 mencionava Kronecker. Uma passagem de uma dessas cartas é reveladora do dano à autoconfiança de Cantor:
... Não sei quando voltarei à continuação do meu trabalho científico. No momento eu não posso fazer absolutamente nada com ele, e limitar-me ao dever mais necessário de minhas palestras; quanto mais feliz eu seria para ser cientificamente ativo, se apenas eu tivesse a frescura mental necessária.
Essa crise o levou a se candidatar a aulas de filosofia em vez de matemática. Ele também começou um intenso estudo da literatura elisabetana, pensando que poderia haver evidências de que Francis Bacon escreveu as peças atribuídas a William Shakespeare (consulte a questão da autoria de Shakespeare); isso acabou resultando em dois panfletos, publicados em 1896 e 1897.
Cantor se recuperou logo em seguida e posteriormente fez outras contribuições importantes, incluindo seu argumento diagonal e teorema. No entanto, ele nunca mais alcançou o alto nível de seus papéis notáveis de 1874-84, mesmo após a morte de Kronecker em 29 de dezembro de 1891. Ele finalmente buscou e conseguiu uma reconciliação com Kronecker. No entanto, persistiam as divergências filosóficas e as dificuldades em dividi-los.
Em 1889, Cantor foi instrumental na fundação da German Mathematical Society, e presidiu sua primeira reunião em Halle em 1891, onde apresentou pela primeira vez seu argumento diagonal; sua reputação era forte o suficiente, apesar da oposição de Kronecker ao seu trabalho, para garantir que ele fosse eleito o primeiro presidente desta sociedade. Deixando de lado a animosidade que Kronecker havia demonstrado em relação a ele, Cantor o convidou para discursar na reunião, mas Kronecker não pôde fazê-lo porque sua esposa estava morrendo devido aos ferimentos sofridos em um acidente de esqui na época. Georg Cantor também foi instrumental no estabelecimento do primeiro Congresso Internacional de Matemáticos, que ocorreu em Zurique, Suíça, em 1897.
Anos posteriores e morte
Depois da hospitalização de Cantor em 1884, não há registro de que ele tenha voltado a qualquer sanatório até 1899. Logo após a segunda hospitalização, o filho mais novo de Cantor, Rudolph, morreu repentinamente em 16 de dezembro (Cantor estava dando uma palestra em suas opiniões sobre a teoria baconiana e William Shakespeare), e esta tragédia drenou Cantor de grande parte de sua paixão pela matemática. Cantor foi novamente hospitalizado em 1903. Um ano depois, ficou indignado e agitado com um artigo apresentado por Julius König no Terceiro Congresso Internacional de Matemáticos. O artigo tentou provar que os princípios básicos da teoria dos conjuntos transfinitos eram falsos. Como o jornal foi lido na frente de suas filhas e colegas, Cantor se sentiu humilhado publicamente. Embora Ernst Zermelo tenha demonstrado menos de um dia depois que a prova de König havia falhado, Cantor permaneceu abalado e questionando Deus momentaneamente. Cantor sofreu de depressão crônica pelo resto de sua vida, pela qual foi dispensado do ensino em várias ocasiões e repetidamente confinado em vários sanatórios. Os acontecimentos de 1904 precederam uma série de internações com intervalos de dois ou três anos. Ele não abandonou a matemática completamente, no entanto, dando palestras sobre os paradoxos da teoria dos conjuntos (paradoxo de Burali-Forti, paradoxo de Cantor e paradoxo de Russell) para uma reunião do Deutsche Mathematiker-Vereinigung em 1903, e participando do Congresso Internacional de Matemáticos em Heidelberg em 1904.
Em 1911, Cantor foi um dos ilustres acadêmicos estrangeiros convidados para o 500º aniversário da fundação da Universidade de St. Andrews, na Escócia. Cantor compareceu, esperando encontrar Bertrand Russell, cujo recém-publicado Principia Mathematica repetidamente citava o trabalho de Cantor, mas o encontro não aconteceu. No ano seguinte, St. Andrews concedeu a Cantor um doutorado honorário, mas a doença o impediu de receber o diploma pessoalmente.
Cantor se aposentou em 1913 e viveu na pobreza e sofrendo de desnutrição durante a Primeira Guerra Mundial. A celebração pública de seu 70º aniversário foi cancelada por causa da guerra. Em junho de 1917, ele entrou em um sanatório pela última vez e escreveu continuamente para sua esposa pedindo permissão para ir para casa. Georg Cantor teve um ataque cardíaco fatal em 6 de janeiro de 1918, no sanatório onde passou o último ano de sua vida.
Trabalho matemático
O trabalho de Cantor entre 1874 e 1884 é a origem da teoria dos conjuntos. Antes deste trabalho, o conceito de conjunto era bastante elementar, sendo usado implicitamente desde o início da matemática, remontando às ideias de Aristóteles. Ninguém havia percebido que a teoria dos conjuntos tinha algum conteúdo não trivial. Antes de Cantor, havia apenas conjuntos finitos (que são fáceis de entender) e "o infinito" (que foi considerado um tópico para discussão filosófica, em vez de matemática). Ao provar que existem (infinitamente) muitos tamanhos possíveis para conjuntos infinitos, Cantor estabeleceu que a teoria dos conjuntos não era trivial e precisava ser estudada. A teoria dos conjuntos passou a desempenhar o papel de teoria fundamental na matemática moderna, no sentido de interpretar proposições sobre objetos matemáticos (por exemplo, números e funções) de todas as áreas tradicionais da matemática (como álgebra, análise e topologia).) em uma única teoria e fornece um conjunto padrão de axiomas para prová-los ou refutá-los. Os conceitos básicos da teoria dos conjuntos são agora usados em toda a matemática.
Em um de seus primeiros artigos, Cantor provou que o conjunto dos números reais é "mais numeroso" do que o conjunto dos números naturais; isso mostrou, pela primeira vez, que existem conjuntos infinitos de tamanhos diferentes. Ele também foi o primeiro a apreciar a importância das correspondências um-para-um (doravante denotadas como "correspondência 1-para-1") na teoria dos conjuntos. Ele usou esse conceito para definir conjuntos finitos e infinitos, subdividindo os últimos em conjuntos enumeráveis (ou infinitos contáveis) e conjuntos não enumeráveis (conjuntos infinitos incontáveis).
Cantor desenvolveu conceitos importantes em topologia e sua relação com a cardinalidade. Por exemplo, ele mostrou que o conjunto de Cantor, descoberto por Henry John Stephen Smith em 1875, não é denso em nenhum lugar, mas tem a mesma cardinalidade que o conjunto de todos os números reais, enquanto os racionais são densos em todos os lugares, mas contáveis. Ele também mostrou que todas as ordens lineares densas contáveis sem pontos finais são isomórficas de ordem aos números racionais.
Cantor introduziu construções fundamentais na teoria dos conjuntos, como o conjunto de poder de um conjunto A, que é o conjunto de todos os subconjuntos possíveis de A. Mais tarde, ele provou que o tamanho do conjunto de energia de A é estritamente maior do que o tamanho de A, mesmo quando A é um conjunto infinito; este resultado logo se tornou conhecido como teorema de Cantor. Cantor desenvolveu uma teoria inteira e aritmética de conjuntos infinitos, chamados cardeais e ordinais, que estendeu a aritmética dos números naturais. Sua notação para os números cardeais foi a letra hebraica ? ? - Sim. (alefa) com um subscrito de número natural; para os ordinais ele empregou a letra grega ω (omega). Esta notação ainda está em uso hoje.
A hipótese do contínuo, introduzida por Cantor, foi apresentada por David Hilbert como o primeiro de seus vinte e três problemas em aberto em seu discurso no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900 em Paris. O trabalho de Cantor também atraiu atenção favorável além do célebre elogio de Hilbert. O filósofo americano Charles Sanders Peirce elogiou a teoria dos conjuntos de Cantor e, após as palestras públicas proferidas por Cantor no primeiro Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Zurique em 1897, Adolf Hurwitz e Jacques Hadamard também expressaram sua admiração. Naquele Congresso, Cantor renovou sua amizade e correspondência com Dedekind. A partir de 1905, Cantor se correspondeu com seu admirador e tradutor britânico Philip Jourdain sobre a história da teoria dos conjuntos e sobre as ideias religiosas de Cantor. Isso foi publicado posteriormente, assim como vários de seus trabalhos expositivos.
Teoria dos números, séries trigonométricas e ordinais
Os primeiros dez trabalhos de Cantor foram sobre teoria dos números, o tema de sua tese. Por sugestão de Eduard Heine, professor em Halle, Cantor voltou-se para a análise. Heine propôs que Cantor resolvesse um problema em aberto que havia escapado a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Rudolf Lipschitz, Bernhard Riemann e ao próprio Heine: a singularidade da representação de uma função por séries trigonométricas. Cantor resolveu esse problema em 1869. Foi enquanto trabalhava nesse problema que descobriu os ordinais transfinitos, que ocorriam como índices n no nésimo conjunto derivado Sn de um conjunto S de zeros de uma série trigonométrica. Dada uma série trigonométrica f(x) com S como seu conjunto de zeros, Cantor descobriu um procedimento que produzia outra série trigonométrica que tinha S1 como seu conjunto de zeros, onde S1 é o conjunto de pontos limite de S. Se Sk+1 é o conjunto de pontos limite de Sk, então ele poderia construir uma série trigonométrica cujos zeros são Sk+1. Como os conjuntos Sk eram fechados, eles continham seus pontos limites e a interseção da sequência infinita decrescente de conjuntos S, S1, S2, S3 ,... formou um conjunto limite, que agora chamaríamos de Sω, e então ele notou que Sω também teria que ter um conjunto de pontos limite Sω+1, e assim por diante. Ele tinha exemplos que duravam para sempre, então aqui estava uma sequência infinita natural de números infinitos ω, ω + 1, ω + 2,...
Entre 1870 e 1872, Cantor publicou mais artigos sobre séries trigonométricas e também um artigo definindo números irracionais como sequências convergentes de números racionais. Dedekind, com quem Cantor fez amizade em 1872, citou este artigo mais tarde naquele ano, no artigo em que expôs pela primeira vez sua célebre definição de números reais por cortes de Dedekind. Ao estender a noção de número por meio de seu conceito revolucionário de cardinalidade infinita, Cantor se opôs paradoxalmente às teorias dos infinitesimais de seus contemporâneos Otto Stolz e Paul du Bois-Reymond, descrevendo-os como "uma abominação" e "um bacilo da cólera da matemática". Cantor também publicou uma "prova" da inconsistência dos infinitesimais.
Teoria dos conjuntos
O início da teoria dos conjuntos como um ramo da matemática é frequentemente marcado pela publicação do artigo de Cantor em 1874, "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais"). Este artigo foi o primeiro a fornecer uma prova rigorosa de que havia mais de um tipo de infinito. Anteriormente, supunha-se implicitamente que todas as coleções infinitas eram equinumárias (isto é, de "mesmo tamanho" ou com o mesmo número de elementos). Cantor provou que a coleção de números reais e a coleção de inteiros positivos não são equinumárias. Em outras palavras, os números reais não são contáveis. Sua prova difere do argumento diagonal que ele deu em 1891. O artigo de Cantor também contém um novo método de construção de números transcendentes. Os números transcendentais foram construídos pela primeira vez por Joseph Liouville em 1844.
Cantor estabeleceu esses resultados usando duas construções. Sua primeira construção mostra como escrever os números algébricos reais como uma sequência a1, a2, a3,.... Em outras palavras, os números algébricos reais são contáveis. Cantor inicia sua segunda construção com qualquer sequência de números reais. Usando essa sequência, ele constrói intervalos aninhados cuja interseção contém um número real que não está na sequência. Como toda sequência de números reais pode ser usada para construir um real fora da sequência, os números reais não podem ser escritos como uma sequência - isto é, os números reais não são contáveis. Aplicando sua construção à sequência de números algébricos reais, Cantor produz um número transcendental. Cantor aponta que suas construções provam mais - ou seja, elas fornecem uma nova prova do teorema de Liouville: Todo intervalo contém infinitos números transcendentais. O próximo artigo de Cantor contém uma construção que prova que o conjunto dos números transcendentes tem o mesmo "poder" (veja abaixo) como o conjunto dos números reais.
Entre 1879 e 1884, Cantor publicou uma série de seis artigos no Mathematische Annalen que juntos formaram uma introdução à sua teoria dos conjuntos. Ao mesmo tempo, havia uma crescente oposição às ideias de Cantor, lideradas por Leopold Kronecker, que admitia conceitos matemáticos apenas se pudessem ser construídos em um número finito de etapas a partir dos números naturais, que ele considerava dados intuitivamente. Para Kronecker, a hierarquia de infinitos de Cantor era inadmissível, pois aceitar o conceito de infinito real abriria a porta para paradoxos que desafiariam a validade da matemática como um todo. Cantor também introduziu o conjunto Cantor durante este período.
O quinto artigo desta série, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Fundamentos de uma teoria geral dos agregados& #34;), publicado em 1883, foi o mais importante dos seis e também foi publicado como uma monografia separada. Continha a resposta de Cantor aos seus críticos e mostrava como os números transfinitos eram uma extensão sistemática dos números naturais. Ele começa definindo conjuntos bem ordenados. Os números ordinais são então introduzidos como os tipos de ordem de conjuntos bem ordenados. Cantor então define a adição e a multiplicação dos números cardinais e ordinais. Em 1885, Cantor estendeu sua teoria dos tipos de ordem para que os números ordinais simplesmente se tornassem um caso especial de tipos de ordem.
Em 1891, ele publicou um artigo contendo seu elegante "argumento diagonal" para a existência de um conjunto incontável. Ele aplicou a mesma ideia para provar o teorema de Cantor: a cardinalidade do conjunto potência de um conjunto A é estritamente maior que a cardinalidade de A. Isso estabeleceu a riqueza da hierarquia de conjuntos infinitos e da aritmética cardinal e ordinal que Cantor havia definido. Seu argumento é fundamental na solução do problema de Halting e na prova do primeiro teorema da incompletude de Gödel. Cantor escreveu sobre a conjectura de Goldbach em 1894.
Em 1895 e 1897, Cantor publicou um artigo em duas partes no Mathematische Annalen sob a direção de Felix Klein; estes foram seus últimos artigos significativos sobre a teoria dos conjuntos. O primeiro artigo começa definindo conjunto, subconjunto, etc., de maneiras que seriam amplamente aceitáveis agora. A aritmética cardinal e ordinal são revistos. Cantor queria que o segundo artigo incluísse uma prova da hipótese do contínuo, mas teve que se contentar em expor sua teoria de conjuntos bem ordenados e números ordinais. Cantor tenta provar que se A e B são conjuntos com A equivalente a um subconjunto de B e B equivalente a um subconjunto de A, então A e B são equivalentes. Ernst Schröder havia declarado esse teorema um pouco antes, mas sua prova, assim como a de Cantor, era falha. Felix Bernstein forneceu uma prova correta em sua tese de doutorado de 1898; daí o nome teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.
Correspondência individual
O artigo de Crelle de 1874 de Cantor foi o primeiro a invocar a noção de uma correspondência 1 para 1, embora ele não tenha usado essa frase. Ele então começou a procurar uma correspondência de 1 para 1 entre os pontos do quadrado unitário e os pontos de um segmento de linha unitária. Em uma carta de 1877 para Richard Dedekind, Cantor provou um resultado muito mais forte: para qualquer inteiro positivo n, existe uma correspondência de 1 para 1 entre os pontos no segmento de linha unitário e todos os pontos em um espaço n-dimensional. Sobre essa descoberta, Cantor escreveu a Dedekind: "Je le vois, mais je ne le crois pas! " ("Eu vejo, mas não acredito!") O resultado que ele achou tão surpreendente tem implicações para a geometria e a noção de dimensão.
Em 1878, Cantor apresentou outro artigo ao Crelle's Journal, no qual definiu precisamente o conceito de correspondência 1-para-1 e introduziu a noção de "poder" (um termo que ele tirou de Jakob Steiner) ou "equivalência" de conjuntos: dois conjuntos são equivalentes (têm a mesma potência) se existe uma correspondência de 1 para 1 entre eles. Cantor definiu conjuntos contáveis (ou conjuntos enumeráveis) como conjuntos que podem ser colocados em uma correspondência de 1 para 1 com os números naturais e provou que os números racionais são enumeráveis. Ele também provou que o espaço euclidiano ndimensional Rn tem o mesmo poder que os números reais R, assim como um produto infinito contável de cópias de R. Embora tenha feito uso livre da contabilidade como um conceito, ele não escreveu a palavra "contável" até 1883. Cantor também discutiu seu pensamento sobre dimensão, enfatizando que seu mapeamento entre o intervalo unitário e o quadrado unitário não era contínuo.
Este artigo desagradou a Kronecker e Cantor quis retirá-lo; no entanto, Dedekind o persuadiu a não fazê-lo e Karl Weierstrass apoiou sua publicação. No entanto, Cantor nunca mais apresentou nada a Crelle.
Hipótese do contínuo
Cantor foi o primeiro a formular o que mais tarde veio a ser conhecido como a hipótese do contínuo ou CH: não existe nenhum conjunto cuja potência seja maior que a dos naturais e menor que a dos reais (ou equivalentemente, a cardinalidade dos reais é exatamente aleph-one, em vez de apenas pelo menos aleph-one). Cantor acreditava que a hipótese do contínuo era verdadeira e tentou por muitos anos prová-la, em vão. Sua incapacidade de provar a hipótese do contínuo causou-lhe uma ansiedade considerável.
A dificuldade que Cantor teve em provar a hipótese do contínuo foi enfatizada por desenvolvimentos posteriores no campo da matemática: um resultado de 1940 de Kurt Gödel e um de 1963 de Paul Cohen juntos implicam que a hipótese do contínuo não pode ser nem provada nem refutada usando teoria dos conjuntos padrão de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha (a combinação referida como "ZFC").
Infinito absoluto, teorema de boa ordenação e paradoxos
Em 1883, Cantor dividiu o infinito em transfinito e absoluto.
O transfinito é inaumentável em magnitude, enquanto o absoluto é inaumentável. Por exemplo, um ordinal α é transfinito porque pode ser aumentado para α + 1. Por outro lado, os ordinais formam uma sequência absolutamente infinita que não pode ser aumentada em magnitude porque não há ordinais maiores para adicionar a ela. Em 1883, Cantor também introduziu o princípio da boa ordenação "todo conjunto pode ser bem ordenado" e afirmou que é uma "lei do pensamento".
Cantor estendeu seu trabalho sobre o infinito absoluto usando-o em uma prova. Por volta de 1895, ele começou a considerar seu princípio de boa ordem como um teorema e tentou prová-lo. Em 1899, ele enviou a Dedekind uma prova do teorema do aleph equivalente: a cardinalidade de todo conjunto infinito é um aleph. Primeiro, ele definiu dois tipos de multiplicidades: multiplicidades consistentes (conjuntos) e multiplicidades inconsistentes (multiplicidades absolutamente infinitas). Em seguida, ele assumiu que os ordinais formam um conjunto, provou que isso leva a uma contradição e concluiu que os ordinais formam uma multiplicidade inconsistente. Ele usou essa multiplicidade inconsistente para provar o teorema do Aleph. Em 1932, Zermelo criticou a construção na prova de Cantor.
Cantor evitou paradoxos ao reconhecer que existem dois tipos de multiplicidades. Em sua teoria dos conjuntos, quando se assume que os ordinais formam um conjunto, a contradição resultante implica apenas que os ordinais formam uma multiplicidade inconsistente. Em contraste, Bertrand Russell tratou todas as coleções como conjuntos, o que leva a paradoxos. Na teoria dos conjuntos de Russell, os ordinais formam um conjunto, então a contradição resultante implica que a teoria é inconsistente. De 1901 a 1903, Russell descobriu três paradoxos que implicam que sua teoria dos conjuntos é inconsistente: o paradoxo de Burali-Forti (que acabou de ser mencionado), o paradoxo de Cantor e o paradoxo de Russell. Russell nomeou os paradoxos em homenagem a Cesare Burali-Forti e Cantor, embora nenhum deles acreditasse ter encontrado paradoxos.
Em 1908, Zermelo publicou seu sistema de axiomas para a teoria dos conjuntos. Ele tinha duas motivações para desenvolver o sistema de axiomas: eliminar os paradoxos e assegurar sua prova do teorema da boa ordem. Zermelo havia provado esse teorema em 1904 usando o axioma da escolha, mas sua prova foi criticada por vários motivos. Sua resposta às críticas incluiu seu sistema de axiomas e uma nova prova do teorema da boa ordem. Seus axiomas apóiam essa nova prova e eliminam os paradoxos ao restringir a formação de conjuntos.
Em 1923, John von Neumann desenvolveu um sistema de axioma que elimina os paradoxos usando uma abordagem semelhante à de Cantor - ou seja, identificando coleções que não são conjuntos e tratando-as de maneira diferente. Von Neumann afirmou que uma classe é muito grande para ser um conjunto se puder ser colocada em correspondência biunívoca com a classe de todos os conjuntos. Ele definiu um conjunto como uma classe que é membro de alguma classe e declarou o axioma: Uma classe não é um conjunto se e somente se houver uma correspondência biunívoca entre ela e a classe de todos os conjuntos. Este axioma implica que essas grandes classes não são conjuntos, o que elimina os paradoxos, pois não podem ser membros de nenhuma classe. Von Neumann também usou seu axioma para provar o teorema da boa ordenação: como Cantor, ele assumiu que os ordinais formam um conjunto. A contradição resultante implica que a classe de todos os ordinais não é um conjunto. Então seu axioma fornece uma correspondência um-para-um entre esta classe e a classe de todos os conjuntos. Essa correspondência ordena bem a classe de todos os conjuntos, o que implica o teorema da boa ordenação. Em 1930, Zermelo definiu modelos de teoria dos conjuntos que satisfazem o axioma de von Neumann.
Filosofia, religião, literatura e matemática de Cantor
O conceito da existência de um infinito real era uma importante preocupação compartilhada nos domínios da matemática, filosofia e religião. Preservar a ortodoxia da relação entre Deus e a matemática, embora não da mesma forma sustentada por seus críticos, foi por muito tempo uma preocupação de Cantor. Ele abordou diretamente essa interseção entre essas disciplinas na introdução de seu Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, onde enfatizou a conexão entre sua visão do infinito e a filosófica. Para Cantor, suas visões matemáticas estavam intrinsecamente ligadas às suas implicações filosóficas e teológicas - ele identificou o Infinito Absoluto com Deus e considerou que seu trabalho sobre números transfinitos foi comunicado diretamente a ele por Deus, que escolheu Cantor para revelá-los a o mundo. Ele era um luterano devoto cujas crenças cristãs explícitas moldaram sua filosofia da ciência. Joseph Dauben traçou o efeito que as convicções cristãs de Cantor tiveram no desenvolvimento da teoria dos conjuntos transfinitos.
O debate entre os matemáticos surgiu de visões opostas na filosofia da matemática sobre a natureza do infinito real. Alguns sustentaram a visão de que o infinito era uma abstração que não era matematicamente legítima e negaram sua existência. Matemáticos de três grandes escolas de pensamento (construtivismo e suas duas ramificações, intuicionismo e finitismo) se opuseram às teorias de Cantor neste assunto. Para construtivistas como Kronecker, essa rejeição do infinito real decorre de um desacordo fundamental com a ideia de que provas não construtivas, como o argumento da diagonal de Cantor, são prova suficiente de que algo existe, sustentando, em vez disso, que provas construtivas são necessárias. O intuicionismo também rejeita a ideia de que o infinito real é uma expressão de qualquer tipo de realidade, mas chega à decisão por um caminho diferente do construtivismo. Em primeiro lugar, o argumento de Cantor baseia-se na lógica para provar a existência de números transfinitos como uma entidade matemática real, enquanto os intuicionistas sustentam que as entidades matemáticas não podem ser reduzidas a proposições lógicas, originando-se, em vez disso, nas intuições da mente. Em segundo lugar, a própria noção de infinito como uma expressão da realidade não é permitida no intuicionismo, uma vez que a mente humana não pode construir intuitivamente um conjunto infinito. Matemáticos como L. E. J. Brouwer e especialmente Henri Poincaré adotaram uma postura intuicionista contra o trabalho de Cantor. Finalmente, os ataques de Wittgenstein eram finitistas: ele acreditava que o argumento diagonal de Cantor confundia a intenção de um conjunto de números cardinais ou reais com sua extensão, confundindo assim o conceito de regras para gerar um conjunto com um conjunto real.
Alguns teólogos cristãos viram o trabalho de Cantor como um desafio à singularidade do infinito absoluto na natureza de Deus. Em particular, os pensadores neotomistas viam a existência de um infinito real que consistia em algo diferente de Deus como uma ameaça à "reivindicação exclusiva de Deus ao infinito supremo". Cantor acreditava firmemente que essa visão era uma interpretação errônea do infinito e estava convencido de que a teoria dos conjuntos poderia ajudar a corrigir esse erro: "... vontade ilimitada como são os números finitos.". O proeminente filósofo neoescolástico alemão Constantin Gutberlet era a favor de tal teoria, sustentando que ela não se opunha à natureza de Deus.
Cantor também acreditava que sua teoria dos números transfinitos ia contra o materialismo e o determinismo - e ficou chocado quando percebeu que era o único membro do corpo docente de Halle que não mantinha crenças filosóficas deterministas.
Era importante para Cantor que sua filosofia fornecesse uma "explicação orgânica" da natureza, e em seu Grundlagen de 1883, ele disse que tal explicação só poderia acontecer valendo-se dos recursos da filosofia de Spinoza e Leibniz. Ao fazer essas afirmações, Cantor pode ter sido influenciado por FA Trendelenburg, cujas palestras ele frequentou em Berlim, e por sua vez Cantor produziu um comentário em latim sobre o Livro 1 da Ethica de Spinoza. FA Trendelenburg também foi o examinador do Habilitationsschrift de Cantor.
Em 1888, Cantor publicou sua correspondência com vários filósofos sobre as implicações filosóficas de sua teoria dos conjuntos. Em uma extensa tentativa de persuadir outros pensadores e autoridades cristãos a adotar seus pontos de vista, Cantor se correspondeu com filósofos cristãos como Tilman Pesch e Joseph Hontheim, bem como com teólogos como o cardeal Johann Baptist Franzelin, que uma vez respondeu igualando a teoria do transfinito números com panteísmo. Embora mais tarde este cardeal tenha aceitado a teoria como válida, devido a alguns esclarecimentos de Cantor. Cantor até enviou uma carta diretamente ao próprio Papa Leão XIII, e endereçou vários panfletos a ele.
A filosofia de Cantor sobre a natureza dos números o levou a afirmar a crença na liberdade da matemática para postular e provar conceitos fora do reino dos fenômenos físicos, como expressões dentro de uma realidade interna. As únicas restrições neste sistema metafísico são que todos os conceitos matemáticos devem ser desprovidos de contradição interna e que decorrem de definições, axiomas e teoremas existentes. Essa crença é resumida em sua afirmação de que "a essência da matemática é sua liberdade" Essas ideias são paralelas às de Edmund Husserl, que Cantor conheceu em Halle.
Enquanto isso, o próprio Cantor se opunha ferozmente aos infinitesimais, descrevendo-os como uma "abominação" e "o bacilo da cólera da matemática".
O artigo de Cantor de 1883 revela que ele estava bem ciente da oposição que suas ideias estavam encontrando: "... Percebo que nesta empreitada me coloco em certa oposição às opiniões amplamente difundidas sobre a infinito matemático e às opiniões frequentemente defendidas sobre a natureza dos números."
Portanto, ele dedica muito espaço para justificar seu trabalho anterior, afirmando que os conceitos matemáticos podem ser livremente introduzidos, desde que sejam livres de contradição e definidos em termos de conceitos previamente aceitos. Ele também cita Aristóteles, René Descartes, George Berkeley, Gottfried Leibniz e Bernard Bolzano sobre o infinito. Em vez disso, ele sempre rejeitou fortemente a filosofia de Kant, tanto no domínio da filosofia da matemática quanto da metafísica. Ele compartilhava o lema de B. Russell, "Kant ou Cantor", e definiu Kant como "o filisteu sofístico que sabia tão pouco de matemática".
Ascendência do cantor
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Os avós paternos de Cantor eram de Copenhague e fugiram para a Rússia após o rompimento das Guerras Napoleônicas. Há muito pouca informação direta sobre eles. O pai de Cantor, Georg Waldemar Cantor, foi educado na missão luterana em São Petersburgo, e sua correspondência com o filho mostra que ambos são luteranos devotos. Muito pouco se sabe ao certo sobre a origem ou educação de Georg Waldemar. A mãe de Cantor, Maria Anna Böhm, era uma austro-húngara nascida em São Petersburgo e batizada como católica romana; ela se converteu ao protestantismo após o casamento. No entanto, há uma carta do irmão de Cantor, Louis, para sua mãe, afirmando:
Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber...
("Ainda que fôssemos dez vezes descendentes de judeus, e ainda que eu seja, em princípio, totalmente a favor da igualdade de direitos dos hebreus, na vida social prefiro os cristãos...") que poderia ser lido como implicando que ela era de ascendência judaica.
De acordo com os biógrafos Eric Temple Bell, Cantor era descendente de judeus, embora ambos os pais fossem batizados. Em um artigo de 1971 intitulado "Towards a Biography of Georg Cantor", o historiador britânico da matemática Ivor Grattan-Guinness menciona (Annals of Science 27, pp. 345–391, 1971) que não conseguiu encontrar evidências de ascendência judaica. (Ele também afirma que a esposa de Cantor, Vally Guttmann, era judia).
Em uma carta escrita a Paul Tannery em 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 306), Cantor afirma que seus avós paternos eram membros da comunidade judaica sefardita de Copenhague. Especificamente, Cantor afirma ao descrever seu pai: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde..." ("Ele nasceu em Copenhague, de pais judeus (lit: 'israelitas') da comunidade judaica luso-local.") Além disso, o tio-avô materno de Cantor, um violinista húngaro Josef Böhm, foi descrito como judeu, o que pode implicar que a mãe de Cantor era pelo menos parcialmente descendente da comunidade judaica húngara.
Em uma carta a Bertrand Russell, Cantor descreveu sua ancestralidade e autopercepção da seguinte forma:
Nem meu pai nem minha mãe eram de sangue alemão, o primeiro sendo um Dane, suportado em Kopenhagen, minha mãe de ascendência Hungar austríaca. Você deve saber, Senhor, que eu não sou um regular apenas Germain, pois nasci em 3 de março de 1845 em Saint Peterborough, Capital da Rússia, mas fui com meu pai e mãe e irmãos e irmã, onze anos no ano de 1856, para a Alemanha.
Houve declarações documentadas, durante a década de 1930, que questionaram essa ascendência judaica:
Mais frequentemente [isto é, do que a ancestralidade da mãe] a questão foi discutida sobre se Georg Cantor era de origem judaica. Sobre isso é relatado em um aviso do Instituto genealógico dinamarquês em Copenhaga a partir do ano 1937 sobre seu pai: "É por meio deste testemunho que Georg Woldemar Cantor, nascido em 1809 ou 1814, não está presente nos registros da comunidade judaica, e que ele completamente sem dúvida não era judeu..."
Biografias
Até a década de 1970, as principais publicações acadêmicas sobre Cantor eram duas monografias curtas de Arthur Moritz Schönflies (1927) – principalmente a correspondência com Mittag-Leffler – e Fraenkel (1930). Ambos estavam em segunda e terceira mão; nenhum dos dois tinha muito em sua vida pessoal. A lacuna foi amplamente preenchida por Men of Mathematics de Eric Temple Bell (1937), que um dos biógrafos modernos de Cantor descreve como "talvez o livro moderno mais lido sobre a história da matemática"; e como "um dos piores". Bell apresenta o relacionamento de Cantor com seu pai como Édipo, as diferenças de Cantor com Kronecker como uma briga entre dois judeus e a loucura de Cantor como desespero romântico por seu fracasso em obter aceitação por sua matemática. Grattan-Guinness (1971) descobriu que nenhuma dessas afirmações era verdadeira, mas podem ser encontradas em muitos livros do período intermediário, devido à ausência de qualquer outra narrativa. Existem outras lendas, independentes de Bell - incluindo uma que rotula o pai de Cantor como um enjeitado, enviado para São Petersburgo por pais desconhecidos. Uma crítica do livro de Bell está contida na biografia de Joseph Dauben. Escreve Dauben:
Cantor dedicou algumas de sua correspondência mais vituperativa, bem como uma parte da Produtos químicos, para atacar o que ele descreveu em um ponto como o 'infinitesimal Cholera bacillus de matemática', que se espalhou da Alemanha através do trabalho de Thomae, du Bois Reymond e Stolz, para infectar a matemática italiana... Qualquer aceitação de infinitesimais significava necessariamente que sua própria teoria do número era incompleta. Assim, aceitar o trabalho de Thomae, du Bois-Reymond, Stolz e Veronese era negar a perfeição da própria criação de Cantor. Compreensivelmente, Cantor lançou uma campanha completa para desacreditar o trabalho de Veronese de todas as formas possíveis.