Isomorfismo

O grupo de quintas raízes da unidade sob a multiplicação é isomorfo ao grupo de rotações do pentágono regular sob a composição.

Na matemática, um isomorfismo é um mapeamento de preservação de estrutura entre duas estruturas do mesmo tipo que podem ser revertidas por um mapeamento inverso. Duas estruturas matemáticas são isomorfas se existe um isomorfismo entre elas. A palavra isomorfismo é derivada do grego antigo: ἴσος isos "igual", e μορφή morphe "forma" ou "forma".

O interesse em isomorfismos reside no fato de que dois objetos isomórficos têm as mesmas propriedades (excluindo informações adicionais, como estrutura adicional ou nomes de objetos). Assim, as estruturas isomórficas não podem ser distinguidas apenas do ponto de vista da estrutura e podem ser identificadas. No jargão matemático, diz-se que dois objetos são o mesmo até um isomorfismo.

Um automorfismo é um isomorfismo de uma estrutura para si mesmo. Um isomorfismo entre duas estruturas é um isomorfismo canônico (um mapa canônico que é um isomorfismo) se houver apenas um isomorfismo entre as duas estruturas (como é o caso de soluções de uma propriedade universal), ou se o isomorfismo é muito mais natural (em certo sentido) do que outros isomorfismos. Por exemplo, para cada número primo p, todos os campos com p os elementos são canonicamente isomórficos, com um isomorfismo único. Os teoremas de isomorfismo fornecem isomorfismos canônicos que não são únicos.

O termo isomorfismo é usado principalmente para estruturas algébricas. Nesse caso, os mapeamentos são chamados de homomorfismos, e um homomorfismo é um isomorfismo se e somente se for bijetivo.

Em várias áreas da matemática, os isomorfismos receberam nomes especializados, dependendo do tipo de estrutura em consideração. Por exemplo:

• Uma isometria é um isomorfismo de espaços métricos.
• Um homeomorfismo é um isomorfismo de espaços topológicos.
• Um diffeomorphism é um isomorfismo de espaços equipados com uma estrutura diferencial, tipicamente coletores diferenciais.
• Um symplectomorphism é um isomorfismo de coletores simplectic.
• Uma permutação é um automorfismo de um conjunto.
• Na geometria, os isomorfismos e os automorfismos são muitas vezes chamados de transformações, por exemplo transformações rígidas, transformações afinas, transformações projetivas.

A teoria das categorias, que pode ser vista como uma formalização do conceito de mapeamento entre estruturas, fornece uma linguagem que pode ser usada para unificar a abordagem desses diferentes aspectos da ideia básica.

Exemplos

Logaritmo e exponencial

Vamos. R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}} ser o grupo multiplicativo de números reais positivos, e deixar R{displaystyle mathbb {R} } } ser o grupo aditivo de números reais.

A função logaritm log:R+→ → R{displaystyle log:mathbb {R} ^{+}to mathbb Não. satisfaz log⁡ ⁡ (xSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log⁡ ⁡ x+log⁡ ⁡ Sim.{displaystyle log(xy)=log x+log y} para todos x,Sim.∈ ∈ R+,{displaystyle x,yin mathbb Não. por isso é um homomorfismo de grupo. A função exponencial exp:R→ → R+{displaystyle exp:mathbb (R) a mathbb {R} ^{+}} satisfaz exp⁡ ⁡ (x+Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(exp⁡ ⁡ x)(exp⁡ ⁡ Sim.)(x+y)=(exp x)(exp y)} para todos x,Sim.∈ ∈ R,{displaystyle x,yin mathbb (R) assim também é um homomorfismo.

As identidades log⁡ ⁡ exp⁡ ⁡ x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x{displaystyle log exp x=x} e exp⁡ ⁡ log⁡ ⁡ Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Sim.{displaystyle exp log y=y} mostrar que log- Sim. e exp- Sim. são inversos um do outro. Desde então log- Sim. é um homomorfismo que tem um inverso que também é um homomorfismo, log- Sim. é um isomorfismo de grupos.

O log- Sim. função é um isomorfismo que traduz a multiplicação de números reais positivos para a adição de números reais. Esta instalação permite multiplicar números reais usando uma régua e uma tabela de logaritmos, ou usando uma regra deslizante com uma escala logarítmica.

Inteiros módulo 6

Considere o grupo (Z.6,+),(mathbb {Z} _{6},+),} os inteiros de 0 a 5 com modulo de adição 6. Considere também o grupo (Z.2× × Z.3,+),{displaystyle left(mathbb) {Z} _{2}times mathbb {Z} _{3},+right),} os pares ordenados onde o x coordenadas podem ser 0 ou 1, e as coordenadas y podem ser 0, 1 ou 2, onde a adição no x-coordenar é modulo 2 e adição no Sim.-coordenar é modulo 3.

Estas estruturas são isomórficas sob adição, segundo o seguinte esquema:

(0,0)↦ ↦ 0(1,1)↦ ↦ 1(0,2)↦ ↦ 2(1,0)↦ ↦ 3(0,1)↦ ↦ 4(1,2)↦ ↦ 5{displaystyle {begin{alignedat}{4}(0,0)&mapsto 0(1,1)&mapsto 1(0,2)&mapsto 2(1,0)&mapsto 3(0,1)&mapsto 4(1,2)&mapsto 5\end{alignedat}}}

(um,b))↦ ↦ (3um+4b))mod6.(a,b)mapsto (3a+4b)mod 6.}

Por exemplo, (1,1)+(1,0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0,1),(1,0)=0,1),} que se traduz no outro sistema como 1+3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =4.- Sim.

Mesmo que esses dois grupos "olhem" diferentes em que os conjuntos contêm elementos diferentes, eles são realmente isomorfo: suas estruturas são exatamente as mesmas. Mais geralmente, o produto direto de dois grupos cíclicos Z.m{displaystyle mathbb {Z} _{m}} e Z.n{displaystyle mathbb {Z} _{n}} isomorfo para (Z.mn,+)(mathbb {Z} _{mn},+)} se e somente se m e n são coprime, pelo teorema restante chinês.

Isomorfismo de preservação de relação

Se um objeto consiste em um conjunto X com uma relação binária R e o outro objeto consiste em um conjunto Y com uma relação binária S então um isomorfismo de X para Y é uma função bijetiva f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sim. tal que:

S⁡ ⁡ (f(u),f(v))se e somente seR⁡ ⁡ (u,v){displaystyle operatorname {S} (f(u),f(v)))quad {text{ se e somente se }}quad operatorname {R} (u,v)}

S é reflexivo, irreflexivo, simétrico, antisimétrico, assimétrico, transitivo, total, tricotômico, uma ordem parcial, ordem total, boa ordem, ordem fraca estrita, pré-ordem total (ordem fraca), uma relação de equivalência ou uma relação com quaisquer outras propriedades especiais, se e somente se R for.

Por exemplo, R é uma ordenação ≤ e S uma ordenação ⊑ ⊑ ,{displaystyle scriptstyle sqsubseteq} então um isomorfismo de X para Y é uma função bijetiva f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sim. tal que

f(u)⊑ ⊑ f(v)se e somente seu≤ ≤ v.{displaystyle f(u)sqsubseteq f(v)quad {text{ se e somente se }}quad uleq v.}

Se X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Y,Não. XY, então este é um automorfismo de preservação de relação.

Aplicativos

Na álgebra, os isomorfismos são definidos para todas as estruturas algébricas. Alguns são estudados mais especificamente; por exemplo:

• Isomorfismos lineares entre espaços vetoriais; são especificados por matrizes invertíveis.
• isomorfismos de grupo entre grupos; a classificação de classes de isomorfismo de grupos finitos é um problema aberto.
• Isomorfismo entre anéis.
• Os isomorfismos de campo são os mesmos que o isomorfismo do anel entre campos; seu estudo, e mais especificamente o estudo dos automorfismos de campo é uma parte importante da teoria de Galois.

Assim como os automorfismos de uma estrutura algébrica formam um grupo, os isomorfismos entre duas álgebras que compartilham uma estrutura comum formam um amontoado. Deixar um isomorfismo particular identificar as duas estruturas transforma essa pilha em um grupo.

Na análise matemática, a transformada de Laplace é um isomorfismo que mapeia equações diferenciais difíceis em equações algébricas mais fáceis.

Na teoria dos grafos, um isomorfismo entre dois grafos G e H. H. H. é um mapa bijetivo f dos vértices de G aos vértices de H. H. H. que preserva a "estrutura de borda" no sentido de que há uma borda do vértice u ao vértice v em G se e somente se houver uma borda de f(u)Não. para f(v)(v)} em H. H. H.. Veja o isomorfismo do grafo.

Na análise matemática, um isomorfismo entre dois espaços de Hilbert é uma bijeção que preserva adição, multiplicação escalar e produto interno.

Nas primeiras teorias do atomismo lógico, a relação formal entre fatos e proposições verdadeiras foi teorizada por Bertrand Russell e Ludwig Wittgenstein como sendo isomórfica. Um exemplo dessa linha de pensamento pode ser encontrado na Introdução à filosofia matemática de Russell.

Na cibernética, o bom regulador ou teorema de Conant-Ashby é declarado "Todo bom regulador de um sistema deve ser um modelo desse sistema". Seja regulado ou autorregulado, é necessário um isomorfismo entre o regulador e as partes de processamento do sistema.

Visão teórica da categoria

Na teoria da categoria, dada uma categoria C, um isomorfismo é um morfismo f:um→ → b)Não. que tem um morfismo inverso g:b)→ → um,{displaystyle g:bto a,} Isso é, fg= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1b){displaystyle fg=1_{b}} e gf= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1um.{displaystyle gf=1_{a}.} Por exemplo, um mapa linear bijetivo é um isomorfismo entre espaços vetoriais e uma função contínua bijetiva cujo inverso também é contínuo é um isomorfismo entre espaços topológicos, chamado homeomorfismo.

Duas categorias C e D são isomorfos se existem funtores F:C→ → D{displaystyle F:Cto D} e G:D→ → C{displaystyle G:Dto C} que são mutuamente inversas uns aos outros, isto é, FG= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1DNão. FG=1_{D}} (o funtor de identidade em D) e GF= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1CNão. GF=1_{C}} (o funtor de identidade em C).

Isomorfismo vs. morfismo bijetivo

Em uma categoria concreta (aproximadamente, uma categoria cujos objetos são conjuntos (talvez com estrutura extra) e cujos morfismos são funções de preservação de estrutura), como a categoria de espaços topológicos ou categorias de objetos algébricos (como a categoria de grupos, a categoria de anéis e a categoria de módulos), um isomorfismo deve ser bijetivo nos conjuntos subjacentes. Em categorias algébricas (especificamente, categorias de variedades no sentido de álgebra universal), um isomorfismo é o mesmo que um homomorfismo que é bijetivo em conjuntos subjacentes. No entanto, existem categorias concretas nas quais os morfismos bijetivos não são necessariamente isomorfismos (como a categoria de espaços topológicos).

Relação com igualdade

Em certas áreas da matemática, principalmente na teoria das categorias, é valioso distinguir entre igualdade de um lado e isomorfismo do outro. Igualdade é quando dois objetos são exatamente iguais e tudo o que é verdadeiro sobre um objeto é verdadeiro sobre o outro, enquanto um isomorfismo implica que tudo o que é verdadeiro sobre uma parte designada da estrutura de um objeto é verdadeiro sobre o outro. 39;s. Por exemplo, os conjuntos

(A,B,C?{displaystyle {A,B,C}}

(1,2,3?{displaystyle {1,2,3}}

A↦ ↦ 1,B↦ ↦ 2,C↦ ↦ 3,{displaystyle {text{A}}mapsto 1,{text{B}}mapsto 2,{text{C}}mapsto 3,} enquanto outro é A↦ ↦ 3,B↦ ↦ 2,C↦ ↦ 1,{displaystyle {text{A}}mapsto 3,{text{B}}mapsto 2,{text{C}}mapsto 1,}

e nenhum isomorfismo é intrinsecamente melhor do que qualquer outro. Nessa visão e nesse sentido, esses dois conjuntos não são iguais porque não se pode considerá-los idênticos: pode-se escolher um isomorfismo entre eles, mas essa é uma afirmação mais fraca do que a identidade - e válida apenas no contexto do isomorfismo escolhido.

Outro exemplo é mais formal e mais diretamente ilustra a motivação para distinguir a igualdade do isomorfismo: a distinção entre um espaço vetorial finito-dimensional V e seu espaço duplo V∗ ∗ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(φ φ :V→ → KK?Não. V^{*}=left{varphi:Vto mathbf {K} right}} de mapas lineares de V ao seu campo de escalares KK.{displaystyle mathbf {K}.}Estes espaços têm a mesma dimensão, e assim são isomorfos como espaços vetoriais abstratos (desde que algébrica, os espaços vetoriais são classificados por dimensão, assim como os conjuntos são classificados pela cardinalidade), mas não há escolha "natural" do isomorfismo V→ → ∼ ∼ V∗ ∗ .Não. Vmathrel (overset) V^{*}Se escolhermos uma base para V, então isso produz um isomorfismo: Para todos u,v∈ ∈ V,{displaystyle u,vin V,}

v↦ ↦ ∼ ∼ φ φ v∈ ∈ V∗ ∗ tal queφ φ v(u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =vTu.{displaystyle vmathrel {overset }{mapsto }} phi _{v}in V^{*}quad {text{ such that }}quad phi _{v}(u)=v^{mathrm Não.

Isso corresponde a transformar um vetor de coluna (elemento de V) para um vetor de linha (elemento de V*) por transpose, mas uma escolha diferente de base dá um isomorfismo diferente: o isomorfismo "depende da escolha da base". Mais subtilmente, ali o um mapa de um espaço vetorial V ao seu duplo dual V∗ ∗ ∗ ∗ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x:V∗ ∗ → → KK?Não. V^{**}=left{x:V^{*}to mathbf {K} right}} que não depende da escolha da base: Para todos v∈ ∈ Veφ φ ∈ ∈ V∗ ∗ ,{displaystyle vin V{text{ e }}varphi in V^{*},}

v↦ ↦ ∼ ∼ xv∈ ∈ V∗ ∗ ∗ ∗ tal quexv(φ φ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ (v).{displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} x_{v}in V^{*}quad {text{ such that }}quad x_{v}(phi)=phi (v).}

Isso leva a uma terceira noção, a de um isomorfismo natural: enquanto VNão. e V∗ ∗ ∗ ∗ Não. V^{**}} são diferentes conjuntos, há uma escolha "natural" de isomorfismo entre eles. Esta noção intuitiva de "um isomorfismo que não depende de uma escolha arbitrária" é formalizada na noção de uma transformação natural; brevemente, que se pode consistentemente identificar, ou mais geralmente mapear, um espaço vetorial finito-dimensional para seu duplo dual, V→ → ∼ ∼ V∗ ∗ ∗ ∗ ,Não. Vmathrel (overset) V^{*},} para qualquer um espaço vetorial de forma consistente. Formalizar esta intuição é uma motivação para o desenvolvimento da teoria das categorias.

No entanto, há um caso em que a distinção entre isomorfismo natural e igualdade geralmente não é feita. Isso é para os objetos que podem ser caracterizados por uma propriedade universal. De fato, existe um isomorfismo único, necessariamente natural, entre dois objetos que compartilham a mesma propriedade universal. Um exemplo típico é o conjunto dos números reais, que podem ser definidos através de expansão decimal infinita, expansão binária infinita, sequências de Cauchy, cortes de Dedekind e muitas outras formas. Formalmente, essas construções definem diferentes objetos que são todos soluções com a mesma propriedade universal. Como esses objetos têm exatamente as mesmas propriedades, pode-se esquecer o método de construção e considerá-los iguais. Isso é o que todo mundo faz quando se refere ao "conjunto dos números reais". O mesmo ocorre com os espaços quocientes: eles são comumente construídos como conjuntos de classes de equivalência. No entanto, referir-se a um conjunto de conjuntos pode ser contra-intuitivo e, portanto, os espaços quocientes são comumente considerados como um par de um conjunto de objetos indeterminados, geralmente chamados de "pontos", e um mapa sobrejetivo neste conjunto.

Se quisermos distinguir entre um isomorfismo arbitrário (que depende de uma escolha) e um isomorfismo natural (que pode ser feito de forma consistente), pode-se escrever ? ? {displaystyle ,approx ,} para um isomorfismo não natural e Gerenciamento para um isomorfismo natural, como em V? ? V∗ ∗ Não. Vapprox V^{*}} e VGerenciamento Gerenciamento V∗ ∗ ∗ ∗ .Não. Vcong V^{*}.}Esta convenção não é universalmente seguida, e os autores que desejam distinguir entre isomorfismos não naturais e isomorfismos naturais geralmente afirmam explicitamente a distinção.

Geralmente, dizer que dois objetos são iguais é reservado para quando há uma noção de um espaço (ambiente) maior em que esses objetos vivem. Na maioria das vezes, fala-se de igualdade de dois subconjuntos de um determinado conjunto (como no exemplo de conjunto inteiro acima), mas não de dois objetos apresentados abstratamente. Por exemplo, a esfera unitária bidimensional no espaço tridimensional

S2?((x,Sim.,zangão.)∈ ∈ R3∣ ∣ x2+Sim.2+zangão.2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1?{displaystyle S^{2}:=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right}}

C^ ^ - Não. Não.

CTelecomunicações Telecomunicações (∞ ∞ ?{displaystyle mathbb {C} cup {infty }}

PC1?(C2∖ ∖ ((0,0)?)/(C∗ ∗ ){displaystyle mathbf] Não. {C} }^{1}=left(mathbb) {C} ^{2}setminus {(0,0)}right)/left(mathbb) {C} ^{*}right)}

R3,{displaystyle mathbb {R} ^{3},}

CGerenciamento Gerenciamento R2{displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} ^{2}}

C2.{displaystyle mathbb {C} ^{2}.}

No contexto da teoria das categorias, os objetos são geralmente no máximo isomorfo - indevido, uma motivação para o desenvolvimento da teoria das categorias mostrou que diferentes construções na teoria da homologia renderam grupos equivalentes (isomorfos). Dado mapas entre dois objetos X e Y, no entanto, pergunta-se se são iguais ou não (são ambos elementos do conjunto Olá.⁡ ⁡ (X,Y),{displaystyle hom(X,Y),} Portanto, a igualdade é a relação adequada), particularmente em diagramas comutativos.

Veja também: teoria do tipo de homotopia, na qual os isomorfismos podem ser tratados como tipos de igualdade.