Ideal (teoria do anel)

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Subgrupo aditivo de um anel matemático que absorve a multiplicação

Na matemática, e mais especificamente na teoria dos anéis, um ideal de um anel é um subconjunto especial de seus elementos. Os ideais generalizam certos subconjuntos dos inteiros, como os números pares ou os múltiplos de 3. Adição e subtração de números pares preserva a paridade, e multiplicar um número par por qualquer inteiro (par ou ímpar) resulta em um número par; essas propriedades de fechamento e absorção são as propriedades definidoras de um ideal. Um ideal pode ser usado para construir um anel quociente de maneira semelhante a como, na teoria dos grupos, um subgrupo normal pode ser usado para construir um grupo quociente.

Entre os inteiros, os ideais correspondem um por um com os inteiros não negativos: neste anel, cada ideal é um ideal principal que consiste nos múltiplos de um único número não negativo. No entanto, em outros anéis, os ideais podem não corresponder diretamente aos elementos do anel, e certas propriedades dos números inteiros, quando generalizadas aos anéis, ligam-se mais naturalmente aos ideais do que aos elementos do anel. Por exemplo, os ideais primos de um anel são análogos aos números primos, e o teorema chinês do resto pode ser generalizado para ideais. Existe uma versão de fatoração única para os ideais de um domínio de Dedekind (um tipo de anel importante na teoria dos números).

O conceito relacionado, mas distinto, de um ideal na teoria da ordem é derivado da noção de ideal na teoria dos anéis. Um ideal fracionário é uma generalização de um ideal, e os ideais usuais às vezes são chamados de ideais integrais para maior clareza.

História

Ernst Kummer inventou o conceito de números ideais para servir como o "perdido" fatores em anéis numéricos nos quais a fatoração única falha; aqui a palavra "ideal" é no sentido de existir apenas na imaginação, em analogia com o "ideal" objetos em geometria, como pontos no infinito. Em 1876, Richard Dedekind substituiu o conceito indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que ele chamou de ideais, na terceira edição do livro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie, ao qual Dedekind tinha adicionado muitos suplementos. Mais tarde, a noção foi estendida além dos anéis numéricos para a definição de anéis polinomiais e outros anéis comutativos por David Hilbert e especialmente Emmy Noether.

Definições e motivação

Para um anel arbitrário $(R,+,cdot)$ , let $(R,+)$ ser o seu grupo aditivo. Um subconjunto $Eu...$ é chamado de ideal esquerda de $R$ se for um subgrupo aditivo de $R$ que "absorve a multiplicação da esquerda por elementos de $R$ "; isto é, $I$ é um ideal esquerdo se satisfizer as seguintes duas condições:

$(I,+)$ é um subgrupo de ${displaystyle (R,+),}$
Para cada $rin R$ e cada $xin I$ , o produto ${displaystyle rx}$ em $I$ .

A ideal direito é definido com a condição ${displaystyle rxin I}$ substituído por ${displaystyle xrin I}$ . A ideal de dois lados é um ideal esquerdo que também é um ideal direito, e às vezes é simplesmente chamado de ideal. Na linguagem dos módulos, as definições significam que um ideal de esquerda (resp. direito, de dois lados) de $R$ é um $R$ -submódulo de $R$ quando $R$ é visto como uma esquerda (rep. direito, bi-) $R$ - módulo. Quando $R$ é um anel comutativo, as definições de esquerda, direita e ideal de dois lados coincidem, e o termo ideal é usado sozinho.

Para entender o conceito de um ideal, considere como os ideais surgem na construção de anéis de "elementos modulo". Para a concreto, vamos olhar para o anel ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ de inteiros modulo $n$ dado um inteiro $nin mathbb{Z }$ ( $mathbb {Z}$ é um anel comutativo). A observação chave aqui é que obtemos ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ tomando a linha de inteiro $mathbb {Z}$ e enrolá-lo em torno de si mesmo para que vários inteiros sejam identificados. Ao fazê-lo, devemos satisfazer 2 requisitos:

1) $n$ deve ser identificado com 0 desde $n$ é congruente para 0 modulo $n$ .

2) a estrutura resultante deve ser novamente um anel.

A segunda exigência obriga-nos a fazer identificações adicionais (isto é, determina a maneira precisa em que devemos envolver $mathbb {Z}$ ao seu redor). A noção de um ideal surge quando fazemos a pergunta:

Qual é o conjunto exato de inteiros que somos forçados a identificar com 0?

A resposta é, sem surpresa, o conjunto ${displaystyle nmathbb {Z} ={nmmid min mathbb {Z} }}$ de todos os inteiros congruentes a 0 modulo $n$ . Isto é, temos de embrulhar $mathbb {Z}$ ao seu redor infinitamente muitas vezes para que os inteiros ${displaystyle ldots-2n,-n,n,2n,3n,ldots }$ todos se alinharão com 0. Se olharmos para que propriedades este conjunto deve satisfazer, a fim de garantir que ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ é um anel, então chegamos à definição de um ideal. De fato, pode-se verificar diretamente que ${displaystyle nmathbb {Z} }$ é um ideal de $mathbb {Z}$ .

Observação. Identificações com elementos diferentes de 0 também precisam ser feitas. Por exemplo, os elementos em ${displaystyle 1+nmathbb {Z} }$ deve ser identificado com 1, os elementos em ${displaystyle 2+nmathbb {Z} }$ deve ser identificado com 2, e assim por diante. Esses, no entanto, são exclusivamente determinados por ${displaystyle nmathbb {Z} }$ desde então $mathbb {Z}$ é um grupo aditivo.

Podemos fazer uma construção semelhante em qualquer anel comutativo $R$ : começar com um arbitrário $xin R$ , e depois identificar com 0 todos os elementos do ideal ${displaystyle xR={xrmid rin R}}$ . Acontece que o ideal $xR$ é o ideal mais pequeno que contém $x$ , chamado de ideal gerado por $x$ . Mais geralmente, podemos começar com um subconjunto arbitrário $Ssubseteq R$ , e então identificar com 0 todos os elementos no ideal gerados por $S$ : o mais pequeno ideal ${displaystyle (S)}$ tal que ${displaystyle Ssubseteq (S)}$ . O anel que obtemos após a identificação depende apenas do ideal ${displaystyle (S)}$ e não no conjunto $S$ que começámos com. Isso é, se ${displaystyle (S)=(T)}$ , então os anéis resultantes serão os mesmos.

Portanto, um ideal $I$ de um anel comutativo $R$ capta canonicamente as informações necessárias para obter o anel de elementos de $R$ modulo um subconjunto dado $Ssubseteq R$ . Os elementos de $I$ , por definição, são aqueles que são congruentes a zero, ou seja, identificados com zero no anel resultante. O anel resultante é chamado de - Sim. de $R$ por $I$ e é denotado $R/I$ . Intuitivamente, a definição de um ideal postula duas condições naturais necessárias para $I$ para conter todos os elementos designados como "zeros" por $R/I$ :

$I$ é um subgrupo aditivo de $R$ : o zero 0 de $R$ é um "zero" ${displaystyle 0in I}$ e se ${displaystyle x_{1}in I}$ e ${displaystyle x_{2}in I}$ são "zeros", então ${displaystyle x_{1}-x_{2}in I}$ é um "zero" também.
Qualquer $rin R$ multiplicado por um "zero" $xin I$ é um "zero" ${displaystyle rxin I}$ .

Acontece que as condições acima também são suficientes para $I$ para conter todos os "zeros" necessários: nenhum outro elemento deve ser designado como "zero" para formar $R/I$ . (Na verdade, nenhum outro elemento deve ser designado como "zero" se quisermos fazer as poucas identificações.)

Observação. A construção acima ainda funciona usando ideais de dois lados, mesmo que $R$ não é necessariamente comutativo.

Exemplos e propriedades

(Por uma questão de brevidade, alguns resultados são apresentados apenas para ideais à esquerda, mas geralmente também são verdadeiros para ideais à direita com mudanças de notação apropriadas.)

In a ring R, the set R itself forms a two-sided ideal of R called the unit ideal. It is often also denoted by $(1)$ since it is precisely the two-sided ideal generated (see below) by the unity ${displaystyle 1_{R}}$ . Also, the set ${displaystyle {0_{R}}}$ consisting of only the additive identity 0_R forms a two-sided ideal called the zero ideal and is denoted by $(0)$ . Every (left, right or two-sided) ideal contains the zero ideal and is contained in the unit ideal.
An (left, right or two-sided) ideal that is not the unit ideal is called a proper ideal (as it is a proper subset). Note: a left ideal ${mathfrak {a}}$ is proper if and only if it does not contain a unit element, since if ${displaystyle uin {mathfrak {a}}}$ is a unit element, then ${displaystyle r=(ru^{-1})uin {mathfrak {a}}}$ for every $rin R$ . Typically there are plenty of proper ideals. In fact, if R is a skew-field, then ${displaystyle (0),(1)}$ are its only ideals and conversely: that is, a nonzero ring R is a skew-field if ${displaystyle (0),(1)}$ are the only left (or right) ideals. (Proof: if $x$ is a nonzero element, then the principal left ideal $Rx$ (see below) is nonzero and thus ${displaystyle Rx=(1)}$ ; i.e., ${displaystyle yx=1}$ for some nonzero $y$ . Likewise, ${displaystyle zy=1}$ for some nonzero $z$ . Then ${displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$ .)
The even integers form an ideal in the ring $mathbb {Z}$ of all integers, since the sum of any two even integers is even, and the product of any integer with an even integer is also even; this ideal is usually denoted by $2{mathbb {Z}}$ . More generally, the set of all integers divisible by a fixed integer $n$ is an ideal denoted $nmathbb {Z}$ . In fact, every non-zero ideal of the ring $mathbb {Z}$ is generated by its smallest positive element, as a consequence of Euclidean division, so $mathbb {Z}$ is a principal ideal domain.
The set of all polynomials with real coefficients which are divisible by the polynomial $x^{2}+1$ is an ideal in the ring of all real-coefficient polynomials $mathbb{R}[x]$ .
Take a ring $R$ and positive integer $n$ . For each $1leq ileq n$ , the set of all $ntimes n$ matrices with entries in $R$ whose $i$ -th row is zero is a right ideal in the ring $M_{n}(R)$ of all $ntimes n$ matrices with entries in $R$ . It is not a left ideal. Similarly, for each $1leq jleq n$ , the set of all $ntimes n$ matrices whose $j$ -th column is zero is a left ideal but not a right ideal.
The ring $C({mathbb {R}})$ of all continuous functions $f$ from $mathbb {R}$ to $mathbb {R}$ under pointwise multiplication contains the ideal of all continuous functions $f$ such that $f(1)=0$ . Another ideal in $C({mathbb {R}})$ is given by those functions which vanish for large enough arguments, i.e. those continuous functions $f$ for which there exists a number $L>0$ such that $f(x)=0$ whenever ${displaystyle |x|>L}$ .
A ring is called a simple ring if it is nonzero and has no two-sided ideals other than ${displaystyle (0),(1)}$ . Thus, a skew-field is simple and a simple commutative ring is a field. The matrix ring over a skew-field is a simple ring.
If $f:Rto S$ is a ring homomorphism, then the kernel ${displaystyle ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ is a two-sided ideal of $R$ . By definition, ${displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ , and thus if $S$ is not the zero ring (so ${displaystyle 1_{S}neq 0_{S}}$ ), then ${displaystyle ker(f)}$ is a proper ideal. More generally, for each left ideal I of S, the pre-image ${displaystyle f^{-1}(I)}$ is a left ideal. If I is a left ideal of R, then $f(I)$ is a left ideal of the subring $f(R)$ of S: unless f is surjective, $f(I)$ need not be an ideal of S; see also #Extension and contraction of an ideal below.
Ideal correspondence: Given a surjective ring homomorphism $f:Rto S$ , there is a bijective order-preserving correspondence between the left (resp. right, two-sided) ideals of $R$ containing the kernel of $f$ and the left (resp. right, two-sided) ideals of $S$ : the correspondence is given by ${displaystyle Imapsto f(I)}$ and the pre-image ${displaystyle Jmapsto f^{-1}(J)}$ . Moreover, for commutative rings, this bijective correspondence restricts to prime ideals, maximal ideals, and radical ideals (see the Types of ideals section for the definitions of these ideals).
(For those who know modules) If M is a left R-module and $Ssubset M$ a subset, then the annihilator ${displaystyle operatorname {Ann} _{R}(S)={rin Rmid rs=0,sin S}}$ of S is a left ideal. Given ideals ${mathfrak {a}},{mathfrak {b}}$ of a commutative ring R, the R-annihilator of ${displaystyle ({mathfrak {b}}+{mathfrak {a}})/{mathfrak {a}}}$ is an ideal of R called the ideal quotient of ${mathfrak {a}}$ by ${mathfrak {b}}$ and is denoted by ${displaystyle ({mathfrak {a}}:{mathfrak {b}})}$ ; it is an instance of idealizer in commutative algebra.
Let ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i},iin S}$ be an ascending chain of left ideals in a ring R; i.e., $S$ is a totally ordered set and ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i}subset {mathfrak {a}}_{j}}$ for each $i<j$ . Then the union ${displaystyle textstyle bigcup _{iin S}{mathfrak {a}}_{i}}$ is a left ideal of R. (Note: this fact remains true even if R is without the unity 1.)
The above fact together with Zorn's lemma proves the following: if ${displaystyle Esubset R}$ is a possibly empty subset and ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}subset R}$ is a left ideal that is disjoint from E, then there is an ideal that is maximal among the ideals containing ${mathfrak {a}}_{0}$ and disjoint from E. (Again this is still valid if the ring R lacks the unity 1.) When ${displaystyle Rneq 0}$ , taking ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ and ${displaystyle E={1}}$ , in particular, there exists a left ideal that is maximal among proper left ideals (often simply called a maximal left ideal); see Krull's theorem for more.
An arbitrary union of ideals need not be an ideal, but the following is still true: given a possibly empty subset X of R, there is the smallest left ideal containing X, called the left ideal generated by X and is denoted by ${displaystyle RX}$ . Such an ideal exists since it is the intersection of all left ideals containing X. Equivalently, ${displaystyle RX}$ is the set of all the (finite) left R-linear combinations of elements of X over R:
${displaystyle RX={r_{1}x_{1}+dots +r_{n}x_{n}mid nin mathbb {N}r_{i}in R,x_{i}in X}.}$

(desde que tal extensão seja o menor ideal esquerdo que contenha X.) Um direito (resp. de dois lados) ideal gerado por X é definido da forma semelhante. Para "dois lados", é preciso usar combinações lineares de ambos os lados; isto é,

{displaystyle RXR={r_{1}x_{1}s_{1}+dots +r_{n}x_{n}s_{n}mid nin mathbb {N}r_{i}in R,s_{i}in R,x_{i}in X}.,}

Uma esquerda (rep. direito, dois lados) ideal gerado por um único elemento x é chamado de principal esquerda (rep. direito, dois lados) ideal gerado por x e é denotado por $Rx$ (resp. ${displaystyle xR,RxR}$ ). O principal ideal de dois lados $RxR$ é muitas vezes também denotado por $(x)$ . Se ${displaystyle X={x_{1},dotsx_{n}}}$ é um conjunto finito, então ${displaystyle RXR}$ é também escrito como $(x_{1},dotsx_{n})$ .
Há uma correspondência bijetiva entre ideais e relações de congruência (relações de equivalência que respeitam a estrutura do anel) no anel: Dado um ideal $I$ de um anel $R$ , let $xsim y$ se ${displaystyle x-yin I}$ . Então... $sim$ é uma relação de congruência $R$ . Por outro lado, dada uma relação de congruência $sim$ sobre $R$ , let ${displaystyle I={xin R:xsim 0}}$ . Então... $I$ é um ideal de $R$ .

Tipos de ideais

Para simplificar a descrição, todos os anéis são considerados comutativos. O caso não comutativo é discutido em detalhes nos respectivos artigos.

Ideais são importantes porque aparecem como núcleos de homomorfismos de anéis e permitem definir anéis fatoriais. Diferentes tipos de ideais são estudados porque podem ser usados para construir diferentes tipos de anéis fatoriais.

Maximal ideal: Um ideal adequado $Eu...$ é chamado de ideal máximo se não existe outro ideal adequado JJ com $Eu...$ um subconjunto adequado de JJ. O anel de fator de um ideal máximo é um anel simples em geral e é um campo para anéis comutativos.
Minimal ideal: Um nonzero ideal é chamado mínimo se não contém nenhum outro nonzero ideal.
Principal ideal: Um ideal adequado $I$ é chamado de Principal ideal se para qualquer $a$ e $b$ em $R$ , se $ab$ em $I$ , então pelo menos um de $a$ e $b$ em $I$ . O anel de fator de um ideal primo é um anel primo em geral e é um domínio integral para anéis comutativos.
Radical ideal ou semiprime ideal: Um ideal adequado $Eu...$ é chamado radical ou semiprimeiro se para qualquer um em R, se umⁿ em $Eu...$ para alguns n, então um em $Eu...$ . O anel de fator de um ideal radical é um anel semiprime para anéis gerais, e é um anel reduzido para anéis comutativos.
Ideal primário: Um ideal $Eu...$ é chamado de ideal primário se para todos um e b) em R, se A em $Eu...$ , então pelo menos um de um e b)ⁿ em $Eu...$ para algum número natural n. Cada ideal primo é primário, mas não inversamente. Um semiprime primário ideal é primo.
Principal ideal: Um ideal gerado por um elemento.
Ideal gerado Finitamente: Este tipo de ideal é gerado finitamente como um módulo.
Ideal primitivo: Um ideal primitivo esquerdo é o aniquilador de um módulo esquerdo simples.
Irredutível ideal: Um ideal é dito ser irredutível se ele não pode ser escrito como uma interseção de ideais que contêm corretamente.
Ideias comaximais: Dois ideais $mathfrak{i}, mathfrak{j}$ são ditos para ser Comaximal se $x + y = 1$ para alguns $x in mathfrak{i}$ e $y in mathfrak{j}$ .
Ideal regular: Este termo tem vários usos. Veja o artigo para uma lista.
Nil ideal: Um ideal é uma nil ideal se cada um de seus elementos é nilpotente.
Nilpotencioso ideal: Algum poder dele é zero.
Parâmetro ideal: um ideal gerado por um sistema de parâmetros.

Dois outros termos importantes usando "ideal" nem sempre são ideais de seu anel. Veja seus respectivos artigos para detalhes:

Ideal fracionário: Isso geralmente é definido quando R é um domínio comutativo com campo quociente KK. Apesar de seus nomes, ideais fracionários são R submódulos de KK com uma propriedade especial. Se o ideal fracionário é contido inteiramente em R, então é verdadeiramente um ideal de R.
Ideal inversível: Geralmente um ideal invertível A é definido como um ideal fracionário para o qual há outro ideal fracionário B tal que $AB = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = BA = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = R$ . Alguns autores também podem aplicar "ideal invertível" aos ideais comuns do anel A e B com $AB = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = BA = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = R$ em anéis diferentes de domínios.

Operações ideais

A soma e o produto dos ideais são definidos como segue. Para ${mathfrak {a}}$ e ${mathfrak {b}}$ , à esquerda (à direita) ideais de um anel R, sua soma é

mathfrak{a}+mathfrak{b}:={a+b mid a in mathfrak{a} mbox{ and } b in mathfrak{b}}

que é um ideal esquerda (rep. direito), e se ${mathfrak {a}},{mathfrak {b}}$ são dois lados,

mathfrak{a} mathfrak{b}:={a_1b_1+ dots + a_nb_n mid a_i in mathfrak{a} mbox{ and } b_i in mathfrak{b}, i=1, 2, dots, n; mbox{ for } n=1, 2, dots},

ou seja, o produto é o ideal gerado por todos os produtos da forma A com um em ${mathfrak {a}}$ e b) em ${mathfrak {b}}$ .

Nota ${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}}$ é o mais pequeno esquerdo (rep. direito) ideal contendo ambos ${mathfrak {a}}$ e ${mathfrak {b}}$ (ou a união) ${displaystyle {mathfrak {a}}cup {mathfrak {b}}}$ ), enquanto o produto $mathfrak{a}mathfrak{b}$ está contido na interseção de ${mathfrak {a}}$ e ${mathfrak {b}}$ .

A lei distributiva detém para ideais de dois lados ${displaystyle {mathfrak {a}},{mathfrak {b}},{mathfrak {c}}}$ ,

${displaystyle {mathfrak {a}}({mathfrak {b}}+{mathfrak {c}})={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}+{mathfrak {a}}{mathfrak {c}}}$ ,
${displaystyle ({mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}){mathfrak {c}}={mathfrak {a}}{mathfrak {c}}+{mathfrak {b}}{mathfrak {c}}}$ .

Se um produto é substituído por uma interseção, uma lei distributiva parcial é válida:

{displaystyle {mathfrak {a}}cap ({mathfrak {b}}+{mathfrak {c}})supset {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}+{mathfrak {a}}cap {mathfrak {c}}}

onde a igualdade se mantém ${mathfrak {a}}$ contém ${mathfrak {b}}$ ou ${mathfrak {c}}$ .

Observação: A soma e a interseção de ideais é novamente um ideal; com essas duas operações como unir e encontrar, o conjunto de todos os ideais de um determinado anel forma uma rede modular completa. A rede não é, em geral, uma rede distributiva. As três operações de interseção, soma (ou junção) e produto transformam o conjunto de ideais de um anel comutativo em um quantale.

Se ${mathfrak {a}},{mathfrak {b}}$ são ideais de um anel comutativo R, então ${displaystyle {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}}$ nos dois casos seguintes (pelo menos)

${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}=(1)}$
${mathfrak {a}}$ é gerado por elementos que formam um modulo de sequência regular ${mathfrak {b}}$ .

(Mais geralmente, a diferença entre um produto e uma interseção de ideais é medida pelo funtor Tor: ${displaystyle operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{mathfrak {a}},R/{mathfrak {b}})=({mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}})/{mathfrak {a}}{mathfrak {b}}.}$ )

Um domínio integral é chamado de domínio Dedekind se para cada par de ideais ${displaystyle {mathfrak {a}}subset {mathfrak {b}}}$ , há um ideal ${mathfrak {c}}$ tal que ${displaystyle {mathfrak {mathfrak {a}}}={mathfrak {b}}{mathfrak {c}}}$ . Pode-se então mostrar que cada nonzero ideal de um domínio Dedekind pode ser escrito exclusivamente como um produto de ideais máximos, uma generalização do teorema fundamental da aritmética.

Exemplos de operações ideais

Em $mathbb {Z}$ nós temos

{displaystyle (n)cap (m)=operatorname {lcm} (n,m)mathbb {Z} }

desde então ${displaystyle (n)cap (m)}$ é o conjunto de inteiros que são divisíveis por ambos $n$ e $m$ .

Vamos. ${displaystyle R=mathbb {C} [x,y,z,w]}$ e deixar ${displaystyle {mathfrak {a}}=(z,w),{mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{mathfrak {c}}=(x+z,w)}$ . Então,

${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ e ${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {c}}=(z,w,x+z)}$
${displaystyle {mathfrak {a}}{mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
${displaystyle {mathfrak {a}}{mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
${displaystyle {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}}$ enquanto ${displaystyle {mathfrak {a}}cap {mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})neq {mathfrak {a}}{mathfrak {c}}}$

No primeiro cálculo, vemos o padrão geral para obter a soma de dois ideais finitamente gerados, é o ideal gerado pela união de seus geradores. Nos três últimos observamos que produtos e interseções coincidem sempre que os dois ideais se interceptam no ideal zero. Esses cálculos podem ser verificados usando Macaulay2.

Radical de um anel

Os ideais aparecem naturalmente no estudo dos módulos, principalmente na forma de um radical.

Para a simplicidade, trabalhamos com anéis comutativos, mas, com algumas mudanças, os resultados também são verdadeiros para anéis não-comutativos.

Vamos. R ser um anel comutativo. Por definição, um ideal primitivo de R é o aniquilador de um (nãozero) simples R-module. O radical Jacobson ${displaystyle J=operatorname {Jac} (R)}$ de R é a interseção de todos os ideais primitivos. Equivalentemente,

{displaystyle J=bigcap _{{mathfrak {m}}{text{ maximal ideals}}}{mathfrak {m}}.}

De facto, se $M$ é um módulo simples e x é um elemento nonzero em M, então ${displaystyle Rx=M}$ e ${displaystyle R/operatorname {Ann} (M)=R/operatorname {Ann} (x)simeq M}$ , significado ${displaystyle operatorname {Ann} (M)}$ é um ideal máximo. Por outro lado, se ${mathfrak {m}}$ é um ideal máximo, então ${mathfrak {m}}$ é o aniquilador do simples R- Módulo $R/{mathfrak {m}}$ . Há também outra caracterização (a prova não é difícil):

{displaystyle J={xin Rmid 1-yx,{text{ is a unit element for every }}yin R}.}

Para um anel não-necessarily-commutative, é um fato geral que ${displaystyle 1-yx}$ é um elemento unitário se e somente se ${displaystyle 1-xy}$ é (ver o link) e assim esta última caracterização mostra que o radical pode ser definido tanto em termos de ideais primitivos esquerda e direita.

O seguinte fato simples, mas importante (Lemma de Nakayama) é incorporado à definição de um radical Jacobson: se M é um módulo tal que ${displaystyle JM=M}$ , então M não admite um submódulo maximal, uma vez que se houver um submódulo maximal ${displaystyle Lsubsetneq M}$ , ${displaystyle Jcdot (M/L)=0}$ e assim ${displaystyle M=JMsubset Lsubsetneq M}$ Uma contradição. Uma vez que um módulo nonzero gerado finitamente admite um submódulo maximal, em particular, um tem:

{displaystyle JM=M}

e M é gerado finitamente, então

{displaystyle M=0.}

Um ideal maximal é um ideal primo e, portanto, tem-se

{displaystyle operatorname {nil} (R)=bigcap _{{mathfrak {p}}{text{ prime ideals }}}{mathfrak {p}}subset operatorname {Jac} (R)}

onde a interseção à esquerda é chamada de nilradical de R. Como acontece, ${displaystyle operatorname {nil} (R)}$ é também o conjunto de elementos nilpotentes de R.

Se R é um anel Artiniano, então ${displaystyle operatorname {Jac} (R)}$ é nilpotente e ${displaystyle operatorname {nil} (R)=operatorname {Jac} (R)}$ . (Proto: primeira nota o DCC implica ${displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ para alguns n. Se (DCC) ${displaystyle {mathfrak {a}}supsetneq operatorname {Ann} (J^{n})}$ é um ideal corretamente mínimo sobre o último, então ${displaystyle Jcdot ({mathfrak {a}}/operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$ . Isso é, ${displaystyle J^{n}{mathfrak {a}}=J^{n+1}{mathfrak {a}}=0}$ , uma contradição.)

Extensão e contração de um ideal

Vamos. A e B ser dois anéis comutativos, e deixe f: A → B ser um homomorfismo do anel. Se ${mathfrak {a}}$ é um ideal em A, então $f({mathfrak {a}})$ não precisa ser um ideal em B (por exemplo, tomar f para ser a inclusão do anel de inteiros Z. no campo dos racionais Q). O extensão ${mathfrak {a}}^{e}$ de ${mathfrak {a}}$ em B é definido para ser o ideal em B gerado por $f({mathfrak {a}})$ . Provavelmente,

{mathfrak {a}}^{e}={Big {}sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}in {mathfrak {a}},y_{i}in B{Big }}

Se ${mathfrak {b}}$ é um ideal de B, então $f^{{-1}}({mathfrak {b}})$ é sempre um ideal de A, chamado de contração ${mathfrak {b}}^{c}$ de ${mathfrak {b}}$ para A.

Assumindo f: A → B é um homomorfismo do anel, ${mathfrak {a}}$ é um ideal em A, ${mathfrak {b}}$ é um ideal em BEntão...

${mathfrak {b}}$ está em primeiro lugar B $Rightarrow$ ${mathfrak {b}}^{c}$ está em primeiro lugar A.
${mathfrak {a}}^{{ec}}supseteq {mathfrak {a}}$
${mathfrak {b}}^{{ce}}subseteq {mathfrak {b}}$

É falso, em geral, que ${mathfrak {a}}$ sendo primo (ou máximo) em A implica que ${mathfrak {a}}^{e}$ é primo (ou máximo) em B. Muitos exemplos clássicos deste derivam da teoria dos números algébricas. Por exemplo, incorporando ${mathbb {Z}}to {mathbb {Z}}leftlbrack irightrbrack$ . Em $B={mathbb {Z}}leftlbrack irightrbrack$ , o elemento 2 factores como $2=(1+i)(1-i)$ onde (um pode mostrar) nenhum de $1+i,1-i$ são unidades em B. Então... $(2)^{e}$ não é primo B (e, portanto, não máximo, também). De facto, $(1pm i)^{2}=pm 2i$ mostra que $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ , $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ e, portanto, $(2)^{e}=(1+i)^{2}$ .

Por outro lado, se f é subjetivo e ${displaystyle {mathfrak {a}}supseteq ker f}$ então:

${mathfrak {a}}^{{ec}}={mathfrak {a}}$ e ${mathfrak {b}}^{{ce}}={mathfrak {b}}$ .
${mathfrak {a}}$ é um ideal primo em A $Leftrightarrow$ ${mathfrak {a}}^{e}$ é um ideal primo em B.
${mathfrak {a}}$ é um ideal máximo em A $Leftrightarrow$ ${mathfrak {a}}^{e}$ é um ideal máximo em B.

Observação: Deixe KK ser uma extensão de campo de Le deixar B e A ser os anéis de inteiros de KK e L, respectivamente. Então... B é uma extensão integral de Ae deixamos f ser o mapa de inclusão de A para B. O comportamento de um ideal primo ${mathfrak {a}}={mathfrak {p}}$ de A sob extensão é um dos problemas centrais da teoria dos números algébrica.

O seguinte é às vezes útil: um ideal primo ${mathfrak {p}}$ é uma contração de um ideal primo se e somente se ${displaystyle {mathfrak {p}}={mathfrak {p}}^{ec}}$ . (Proof: Assumindo o último, nota ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}=B_{mathfrak {p}}Rightarrow {mathfrak {p}}^{e}}$ intersetos ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$ Uma contradição. Agora, os ideais primos de ${displaystyle B_{mathfrak {p}}}$ corresponder àqueles em B que são disjuntos ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$ . Assim, há um ideal primo ${mathfrak {q}}$ de B, disjunto de ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$ , tal que ${displaystyle {mathfrak {q}}B_{mathfrak {p}}}$ é um ideal maximal contendo ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}}$ . Um então verifica isso ${mathfrak {q}}$ mentiras ${mathfrak {p}}$ . O converso é óbvio.)

Generalizações

Os ideais podem ser generalizados para qualquer objeto monoide ${displaystyle (R,otimes)}$ , onde $R$ é o objeto onde a estrutura monoide foi esquecida. A ideal esquerda de $R$ é um subobjeto $I$ que "absorve a multiplicação da esquerda por elementos de $R$ "; isto é, $I$ é um ideal esquerda se satisfizer as seguintes duas condições:

$I$ é um subobjeto de $R$
Para cada ${displaystyle rin (R,otimes)}$ e cada ${displaystyle xin (I,otimes)}$ , o produto ${displaystyle rotimes x}$ em ${displaystyle (I,otimes)}$ .

A ideal direito é definido com a condição " ${displaystyle rotimes xin (I,otimes)}$ " substituído por "' ${displaystyle xotimes rin (I,otimes)}$ ". A ideal de dois lados é um ideal esquerdo que também é um ideal direito, e às vezes é simplesmente chamado de ideal. Quando $R$ é um objeto monoide comutativo, respectivamente, as definições de coincidência ideal esquerda, direita e de dois lados, e o termo ideal é usado sozinho.

Um ideal também pode ser pensado como um tipo específico de R-módulo. Se considerarmos $R$ como uma esquerda $R$ -módulo (por multiplicação esquerda), então um ideal esquerdo $I$ é realmente apenas um sub-módulo esquerdo de $R$ . Em outras palavras, $I$ é uma esquerda (direita) ideal de $R$ se e somente se for uma esquerda (direita) $R$ -módulo que é um subconjunto de $R$ . $I$ é um ideal de dois lados se é um sub-- $R$ -bimodule de $R$ .

Exemplo: Se deixarmos $R={mathbb {Z}}$ , um ideal de $mathbb {Z}$ é um grupo abeliano que é um subconjunto de $mathbb {Z}$ , i.e. ${displaystyle mmathbb {Z} }$ para alguns $min {mathbb {Z}}$ . Então estes dão todos os ideais de $mathbb {Z}$ .

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