História da matemática
A história da matemática lida com a origem das descobertas na matemática e os métodos matemáticos e notação do passado. Antes da era moderna e da disseminação mundial do conhecimento, exemplos escritos de novos desenvolvimentos matemáticos vieram à tona apenas em alguns locais. A partir de 3.000 aC, os estados mesopotâmicos da Suméria, Acádia e Assíria, seguidos de perto pelo Egito Antigo e pelo estado levantino de Ebla, começaram a usar aritmética, álgebra e geometria para fins de tributação, comércio, comércio e também nos padrões da natureza, o campo da astronomia e para registrar o tempo e formular calendários.
Os primeiros textos matemáticos disponíveis são da Mesopotâmia e do Egito - Plimpton 322 (Babilônico c. 2000 – 1900 aC), o Rhind Mathematical Papyrus (Egípcio c. 1800 aC) e o Papiro Matemático de Moscou (Egípcio c. 1890 aC). Todos esses textos mencionam os chamados triplos pitagóricos, então, por inferência, o teorema de Pitágoras parece ser o desenvolvimento matemático mais antigo e difundido depois da aritmética e geometria básicas.
O estudo da matemática como uma "disciplina demonstrativa" começou no século 6 aC com os pitagóricos, que cunharam o termo "matemática" do grego antigo μάθημα (mathema), que significa "sujeito de instrução". A matemática grega refinou muito os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático nas provas) e expandiu o assunto da matemática. Embora praticamente não tenham feito contribuições para a matemática teórica, os antigos romanos usavam a matemática aplicada em levantamentos, engenharia estrutural, engenharia mecânica, contabilidade, criação de calendários lunares e solares e até mesmo artes e ofícios. A matemática chinesa fez contribuições iniciais, incluindo um sistema de valor posicional e o primeiro uso de números negativos. O sistema de numeração hindu-arábico e as regras para o uso de suas operações, em uso em todo o mundo hoje, evoluiu ao longo do primeiro milênio dC na Índia e foram transmitidos ao mundo ocidental através da matemática islâmica através do trabalho de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida por essas civilizações. Contemporânea, mas independente dessas tradições, foi a matemática desenvolvida pela civilização maia do México e da América Central, onde o conceito de zero recebeu um símbolo padrão nos numerais maias.
Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram traduzidos para o latim a partir do século XII, levando a um maior desenvolvimento da matemática na Europa medieval. Desde os tempos antigos até a Idade Média, os períodos de descoberta matemática foram muitas vezes seguidos por séculos de estagnação. Começando na Itália renascentista no século XV, novos desenvolvimentos matemáticos, interagindo com novas descobertas científicas, foram feitos em um ritmo crescente que continua até os dias atuais. Isso inclui o trabalho inovador de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz no desenvolvimento do cálculo infinitesimal durante o século XVII.
| Europeia (descido do árabe ocidental) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Árabe-Indic | ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ٤ | ٥ | ٦ | ٧ | ٨ | ٩ |
| Árabe Oriental-Indígena (Persa e Urdu) | ۰ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ |
| Devanagari (Hindi) | ० | १ | २ | ३ | ४ | ५ | ६ | ७ | ८ | ९ |
| Chinês - Japonês | 〇 | ? | ? | 三 | 四 | ? | 六 | 七 | 八 | 九 |
| Tamil | ௧ | ௨ | ௩ | ௪ | ௫ | ௬ | ௭ | ௮ | ௯ |
Pré-histórico
As origens do pensamento matemático estão nos conceitos de número, padrões na natureza, magnitude e forma. Estudos modernos de cognição animal mostraram que esses conceitos não são exclusivos dos humanos. Tais conceitos teriam feito parte do cotidiano das sociedades caçadoras-coletoras. A ideia do "número" conceito evoluindo gradualmente ao longo do tempo é apoiado pela existência de linguagens que preservam a distinção entre "um", "dois" e "muitos", mas não de números maiores de dois.
O osso de Ishango, encontrado perto das cabeceiras do rio Nilo (nordeste do Congo), pode ter mais de 20.000 anos e consiste em uma série de marcas esculpidas em três colunas ao longo do comprimento do osso. As interpretações comuns são que o osso Ishango mostra uma contagem da mais antiga demonstração conhecida de sequências de números primos ou um calendário lunar de seis meses. Peter Rudman argumenta que o desenvolvimento do conceito de números primos só poderia ter ocorrido após o conceito de divisão, que ele data depois de 10.000 aC, com números primos provavelmente não sendo compreendidos até cerca de 500 aC. Ele também escreve que "nenhuma tentativa foi feita para explicar por que uma contagem de algo deve exibir múltiplos de dois, números primos entre 10 e 20 e alguns números que são quase múltiplos de 10". O osso Ishango, de acordo com o estudioso Alexander Marshack, pode ter influenciado o desenvolvimento posterior da matemática no Egito, pois, como algumas entradas no osso Ishango, a aritmética egípcia também fazia uso da multiplicação por 2; isso, no entanto, é contestado.
Os egípcios pré-dinásticos do 5º milênio aC representavam pictoricamente desenhos geométricos. Tem sido afirmado que os monumentos megalíticos na Inglaterra e na Escócia, datados do terceiro milênio aC, incorporam ideias geométricas como círculos, elipses e triplos pitagóricos em seu design. Todos os itens acima são contestados, no entanto, e os documentos matemáticos indiscutíveis atualmente mais antigos são de fontes egípcias e dinásticas babilônicas.
Babilônico
Matemática babilônica refere-se a qualquer matemática dos povos da Mesopotâmia (atual Iraque) desde os dias dos primeiros sumérios até o período helenístico quase até o alvorecer do cristianismo. A maioria do trabalho matemático babilônico vem de dois períodos amplamente separados: as primeiras centenas de anos do segundo milênio aC (antigo período babilônico) e os últimos séculos do primeiro milênio aC (período selêucida). É chamada de matemática babilônica devido ao papel central da Babilônia como um local de estudo. Mais tarde, sob o Império Árabe, a Mesopotâmia, especialmente Bagdá, tornou-se novamente um importante centro de estudo da matemática islâmica.
Em contraste com a escassez de fontes na matemática egípcia, o conhecimento da matemática babilônica é derivado de mais de 400 tabuletas de argila desenterradas desde a década de 1850. Escritas em escrita cuneiforme, as tabuinhas eram inscritas enquanto a argila estava úmida e assada no forno ou pelo calor do sol. Alguns deles parecem ser trabalhos de casa avaliados.
As primeiras evidências de matemática escrita remontam aos antigos sumérios, que construíram a primeira civilização na Mesopotâmia. Eles desenvolveram um complexo sistema de metrologia de 3000 aC. Por volta de 2500 aC em diante, os sumérios escreveram tabuadas de multiplicação em tábuas de argila e lidaram com exercícios geométricos e problemas de divisão. Os primeiros vestígios dos numerais babilônicos também datam desse período.
A matemática babilônica foi escrita usando um sistema numérico sexagesimal (base 60). Disto deriva o uso moderno de 60 segundos em um minuto, 60 minutos em uma hora e 360 (60 × 6) graus em um círculo, bem como o uso de segundos e minutos de arco para denotar frações de um grau.. É provável que o sistema sexagesimal tenha sido escolhido porque 60 pode ser dividido igualmente por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30. Além disso, ao contrário dos egípcios, gregos e romanos, os babilônios tinham uma sistema de valor posicional, onde os dígitos escritos na coluna da esquerda representavam valores maiores, tanto quanto no sistema decimal. O poder do sistema de notação babilônico reside no fato de poder ser usado para representar frações tão facilmente quanto números inteiros; portanto, multiplicar dois números que continham frações não era diferente de multiplicar números inteiros, semelhante à notação moderna. O sistema de notação dos babilônios foi o melhor de qualquer civilização até a Renascença, e seu poder lhe permitiu atingir uma precisão computacional notável; por exemplo, o tablet babilônico YBC 7289 fornece uma aproximação de √2 precisão de cinco casas decimais. Os babilônios careciam, no entanto, de um equivalente ao ponto decimal e, portanto, o valor posicional de um símbolo geralmente precisava ser inferido a partir do contexto. No período selêucida, os babilônios desenvolveram um símbolo zero como um marcador de posição para posições vazias; no entanto, foi usado apenas para posições intermediárias. Este sinal de zero não aparece em posições terminais, portanto os babilônios chegaram perto, mas não desenvolveram um verdadeiro sistema de valor posicional.
Outros tópicos abordados pela matemática babilônica incluem frações, álgebra, equações quadráticas e cúbicas e o cálculo de números regulares e seus pares recíprocos. Os tablets também incluem tabelas de multiplicação e métodos para resolver equações lineares, quadráticas e cúbicas, uma conquista notável para a época. As tabuletas do antigo período babilônico também contêm a mais antiga declaração conhecida do teorema de Pitágoras. No entanto, como na matemática egípcia, a matemática babilônica não mostra nenhuma consciência da diferença entre soluções exatas e aproximadas, ou a solubilidade de um problema e, mais importante, nenhuma declaração explícita da necessidade de provas ou princípios lógicos.
Egípcio
A matemática egípcia refere-se à matemática escrita na língua egípcia. A partir do período helenístico, o grego substituiu o egípcio como língua escrita dos estudiosos egípcios. O estudo matemático no Egito continuou mais tarde sob o Império Árabe como parte da matemática islâmica, quando o árabe se tornou a língua escrita dos estudiosos egípcios. Evidências arqueológicas sugerem que o sistema de contagem egípcio antigo teve origens na África Subsaariana. Além disso, desenhos de geometria fractal que são difundidos entre as culturas da África subsaariana também são encontrados na arquitetura egípcia e em sinais cosmológicos.
O texto matemático egípcio mais extenso é o papiro Rhind (às vezes também chamado de Papiro Ahmes em homenagem ao seu autor), datado de c. 1650 aC, mas provavelmente uma cópia de um documento mais antigo do Império Médio de cerca de 2000-1800 aC. É um manual de instruções para alunos em aritmética e geometria. Além de fornecer fórmulas de área e métodos para multiplicação, divisão e trabalhar com frações unitárias, também contém evidências de outros conhecimentos matemáticos, incluindo números compostos e primos; médias aritméticas, geométricas e harmônicas; e entendimentos simplistas tanto do Crivo de Eratóstenes quanto da teoria dos números perfeitos (ou seja, a do número 6). Também mostra como resolver equações lineares de primeira ordem, bem como séries aritméticas e geométricas.
Outro texto matemático egípcio significativo é o papiro de Moscou, também do período do Império Médio, datado de c. 1890 aC. Consiste no que hoje chamamos de problemas de palavras ou problemas de histórias, que aparentemente pretendiam ser entretenimento. Um problema é considerado de particular importância porque fornece um método para encontrar o volume de um tronco (pirâmide truncada).
Finalmente, o Papiro de Berlim 6619 (c. 1800 aC) mostra que os antigos egípcios podiam resolver uma equação algébrica de segunda ordem.
Grego
Matemática grega refere-se à matemática escrita na língua grega desde a época de Tales de Mileto (~ 600 aC) até o fechamento da Academia de Atenas em 529 dC. Os matemáticos gregos viviam em cidades espalhadas por todo o Mediterrâneo oriental, da Itália ao norte da África, mas eram unidos pela cultura e pela língua. A matemática grega do período seguinte a Alexandre, o Grande, é às vezes chamada de matemática helenística.
A matemática grega era muito mais sofisticada do que a matemática desenvolvida pelas culturas anteriores. Todos os registros sobreviventes da matemática pré-grega mostram o uso do raciocínio indutivo, ou seja, observações repetidas usadas para estabelecer regras práticas. Os matemáticos gregos, ao contrário, usavam o raciocínio dedutivo. Os gregos usavam a lógica para tirar conclusões de definições e axiomas e usavam o rigor matemático para prová-los.
Acredita-se que a matemática grega tenha começado com Tales de Mileto (c. 624–c.546 aC) e Pitágoras de Samos (c. 582–c. 507 aC). Embora a extensão da influência seja contestada, eles provavelmente foram inspirados pela matemática egípcia e babilônica. Segundo a lenda, Pitágoras viajou para o Egito para aprender matemática, geometria e astronomia com sacerdotes egípcios.
Tales usou a geometria para resolver problemas como calcular a altura das pirâmides e a distância dos navios à costa. Ele é creditado com o primeiro uso do raciocínio dedutivo aplicado à geometria, derivando quatro corolários para a teoria de Thales. Teorema. Como resultado, ele foi aclamado como o primeiro verdadeiro matemático e o primeiro indivíduo conhecido a quem uma descoberta matemática foi atribuída. Pitágoras estabeleceu a Escola Pitagórica, cuja doutrina era que a matemática governava o universo e cujo lema era "Tudo é número". Foram os pitagóricos que cunharam o termo "matemática" e com quem começa o estudo da matemática por si só. Os pitagóricos são creditados com a primeira prova do teorema de Pitágoras, embora a declaração do teorema tenha uma longa história, e com a prova da existência de números irracionais. Embora tenha sido precedido pelos babilônios, indianos e chineses, o matemático neopitagórico Nicômaco (60-120 dC) forneceu uma das primeiras tabuadas de multiplicação greco-romanas, enquanto a mais antiga tabuada de multiplicação grega existente é encontrada em uma tábua de cera datada do séc. Século I dC (agora encontrado no Museu Britânico). A associação dos neopitagóricos com a invenção ocidental da tabuada de multiplicação é evidente em seu nome medieval posterior: a mensa Pythagorica.
Platão (428/427 aC – 348/347 aC) é importante na história da matemática por inspirar e orientar os outros. Sua Academia Platônica, em Atenas, tornou-se o centro matemático do mundo no século IV aC, e foi dessa escola que vieram os principais matemáticos da época, como Eudoxo de Cnido. Platão também discutiu os fundamentos da matemática, esclareceu algumas das definições (por exemplo, a de uma linha como "comprimento sem largura") e reorganizou as suposições. O método analítico é atribuído a Platão, enquanto uma fórmula para obter triplos pitagóricos leva seu nome.
Eudoxus (408–c. 355 aC) desenvolveu o método de exaustão, um precursor da integração moderna e uma teoria de proporções que evitava o problema de grandezas incomensuráveis. O primeiro permitiu o cálculo de áreas e volumes de figuras curvilíneas, enquanto o segundo permitiu que os geômetras subsequentes fizessem avanços significativos na geometria. Embora não tenha feito descobertas matemáticas técnicas específicas, Aristóteles (384-c. 322 aC) contribuiu significativamente para o desenvolvimento da matemática ao estabelecer os fundamentos da lógica.
No século III aC, o principal centro de educação e pesquisa matemática era o Museu de Alexandria. Foi lá que Euclides (c. 300 aC) ensinou e escreveu os Elementos, amplamente considerado o livro didático de maior sucesso e influência de todos os tempos. Os Elementos introduziram o rigor matemático por meio do método axiomático e é o exemplo mais antigo do formato ainda usado na matemática hoje, o de definição, axioma, teorema e prova. Embora a maior parte do conteúdo dos Elementos já fosse conhecida, Euclides os organizou em uma estrutura lógica única e coerente. Os Elementos eram conhecidos por todas as pessoas educadas no Ocidente até meados do século 20 e seu conteúdo ainda é ensinado nas aulas de geometria hoje. Além dos conhecidos teoremas da geometria euclidiana, os Elementos foram concebidos como um livro introdutório a todos os assuntos matemáticos da época, como teoria dos números, álgebra e geometria sólida, incluindo provas de que a raiz quadrada de dois é irracional e que existem infinitos números primos. Euclides também escreveu extensivamente sobre outros assuntos, como seções cônicas, ótica, geometria esférica e mecânica, mas apenas metade de seus escritos sobreviveu.
Arquimedes (c. 287–212 aC) de Siracusa, amplamente considerado o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com a soma de uma série infinita, de uma maneira não muito diferente do cálculo moderno. Ele também mostrou que era possível usar o método de exaustão para calcular o valor de π com a precisão desejada e obteve o valor de π mais preciso até então conhecido, 310/71 < π < 310/70. Ele também estudou a espiral que leva seu nome, obteve fórmulas para os volumes das superfícies de revolução (parabolóide, elipsóide, hiperbolóide) e um engenhoso método de exponenciação para expressar números muito grandes. Embora também seja conhecido por suas contribuições à física e vários dispositivos mecânicos avançados, o próprio Arquimedes deu muito mais valor aos produtos de seu pensamento e princípios matemáticos gerais. Ele considerou como sua maior conquista a descoberta da área da superfície e do volume de uma esfera, que obteve ao provar que são 2/3 da área da superfície e do volume de um cilindro circunscrevendo a esfera.
Apolônio de Perga (c. 262–190 aC) fez avanços significativos no estudo de seções cônicas, mostrando que é possível obter todas as três variedades de seções cônicas variando o ângulo do plano que corta um cone duplo. Ele também cunhou a terminologia em uso hoje para seções cônicas, ou seja, parábola ("coloque ao lado" ou "comparação"), "elipse" ("deficiência") e "hipérbole" ("um lance além"). Seu trabalho Cônicas é um dos trabalhos matemáticos mais conhecidos e preservados da antiguidade, e nele ele deriva muitos teoremas sobre seções cônicas que se provariam inestimáveis para matemáticos e astrônomos posteriores que estudavam o movimento planetário, como Isaac Newton. Embora nem Apolônio nem nenhum outro matemático grego tenha dado o salto para coordenar a geometria, Apolônio's' O tratamento de curvas é, de certa forma, semelhante ao tratamento moderno, e alguns de seus trabalhos parecem antecipar o desenvolvimento da geometria analítica por Descartes cerca de 1800 anos depois.
Por volta da mesma época, Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 aC) concebeu o Crivo de Eratóstenes para encontrar números primos. O século III aC é geralmente considerado como a "Idade de Ouro" da matemática grega, com os avanços da matemática pura doravante em relativo declínio. No entanto, nos séculos que se seguiram, avanços significativos foram feitos na matemática aplicada, principalmente na trigonometria, em grande parte para atender às necessidades dos astrônomos. Hiparco de Nicéia (c. 190–120 aC) é considerado o fundador da trigonometria por compilar a primeira tabela trigonométrica conhecida, e a ele também se deve o uso sistemático do círculo de 360 graus. Heron de Alexandria (c. 10–70 DC) é creditado com a fórmula de Heron para encontrar a área de um triângulo escaleno e por ser o primeiro a reconhecer a possibilidade de números negativos possuírem raízes quadradas. Menelau de Alexandria (c. 100 dC) foi pioneiro na trigonometria esférica por meio de Menelau; teorema. A obra trigonométrica mais completa e influente da antiguidade é o Almagesto de Ptolomeu (c. 90–168 DC), um tratado astronômico histórico cujas tabelas trigonométricas seriam usadas pelos astrônomos nos próximos mil anos. Ptolomeu também é creditado com o teorema de Ptolomeu para derivar quantidades trigonométricas e o valor mais preciso de π fora da China até o período medieval, 3,1416.
Após um período de estagnação após Ptolomeu, o período entre 250 e 350 DC é algumas vezes referido como a "Idade de Prata" da matemática grega. Durante este período, Diofanto fez avanços significativos na álgebra, particularmente na análise indeterminada, também conhecida como "análise diofantina". O estudo das equações diofantinas e aproximações diofantinas é uma área significativa de pesquisa até hoje. Seu principal trabalho foi a Arithmetica, uma coleção de 150 problemas algébricos que lidam com soluções exatas para equações determinadas e indeterminadas. A Aritmética teve uma influência significativa em matemáticos posteriores, como Pierre de Fermat, que chegou ao seu famoso Último Teorema depois de tentar generalizar um problema que havia lido na Aritmética (a de dividir um quadrado em dois quadrados). Diofanto também fez avanços significativos na notação, sendo a Arithmetica a primeira instância de simbolismo algébrico e sincopação.
Entre os últimos grandes matemáticos gregos está Papo de Alexandria (século IV dC). Ele é conhecido por seu teorema do hexágono e teorema do centróide, bem como a configuração de Pappus e o gráfico de Pappus. Sua Coleção é uma importante fonte de conhecimento sobre a matemática grega, já que a maior parte dela sobreviveu. Pappus é considerado o último grande inovador da matemática grega, com trabalhos subsequentes consistindo principalmente de comentários sobre trabalhos anteriores.
A primeira mulher matemática registrada pela história foi Hipátia de Alexandria (350–415 DC). Ela sucedeu seu pai (Theon de Alexandria) como bibliotecária na Grande Biblioteca e escreveu muitos trabalhos sobre matemática aplicada. Por causa de uma disputa política, a comunidade cristã de Alexandria a despiu publicamente e a executou. Sua morte às vezes é considerada o fim da era da matemática grega alexandrina, embora o trabalho tenha continuado em Atenas por mais um século com figuras como Proclus, Simplicius e Eutocius. Embora Proclus e Simplicius fossem mais filósofos do que matemáticos, seus comentários sobre trabalhos anteriores são fontes valiosas sobre a matemática grega. O fechamento da neoplatônica Academia de Atenas pelo imperador Justiniano em 529 d.C. é tradicionalmente tido como marcando o fim da era da matemática grega, embora a tradição grega continuasse intacta no império bizantino com matemáticos como Anthemius de Tralles e Isidoro de Mileto, os arquitetos da Hagia Sophia. No entanto, a matemática bizantina consistia principalmente de comentários, com pouca inovação, e os centros de inovação matemática eram encontrados em outros lugares nessa época.
Romana
Embora os matemáticos gregos étnicos continuassem sob o domínio da República Romana e do Império Romano subsequente, não havia matemáticos latinos nativos dignos de nota em comparação. Os antigos romanos, como Cícero (106–43 aC), um influente estadista romano que estudou matemática na Grécia, acreditavam que os agrimensores e calculadores romanos estavam muito mais interessados em matemática aplicada do que em matemática teórica e geometria valorizadas pelos gregos. Não está claro se os romanos derivaram seu sistema numérico diretamente do precedente grego ou dos numerais etruscos usados pela civilização etrusca centrada no que hoje é a Toscana, na Itália central.
Usando cálculos, os romanos eram hábeis em instigar e detectar fraudes financeiras, bem como em administrar impostos para o tesouro. Siculus Flaccus, um dos romanos gromatici (ou seja, agrimensor), escreveu as Categorias de Campos, que ajudaram os agrimensores romanos a medir as áreas de superfície de terras e territórios distribuídos. Além de administrar o comércio e os impostos, os romanos também aplicavam regularmente a matemática para resolver problemas de engenharia, incluindo a construção de arquitetura, como pontes, construção de estradas e preparação para campanhas militares. Artes e ofícios como os mosaicos romanos, inspirados em desenhos gregos anteriores, criaram padrões geométricos ilusionistas e cenas ricas e detalhadas que exigiam medições precisas para cada ladrilho de téssera, as peças opus tessellatum medindo em média oito milímetros quadrados e as peças mais finas opus vermiculatum tendo um superfície média de quatro milímetros quadrados.
A criação do calendário romano também exigia matemática básica. O primeiro calendário supostamente remonta ao século 8 aC durante o Reino Romano e incluía 356 dias mais um ano bissexto a cada dois anos. Em contraste, o calendário lunar da era republicana continha 355 dias, cerca de dez e um quarto dias mais curto que o ano solar, uma discrepância que foi resolvida adicionando um mês extra ao calendário após 23 de fevereiro. Este calendário foi suplantado pelo calendário juliano, um calendário solar organizado por Júlio César (100–44 aC) e criado por Sosígenes de Alexandria para incluir um dia bissexto a cada quatro anos em um ciclo de 365 dias. Este calendário, que continha um erro de 11 minutos e 14 segundos, foi posteriormente corrigido pelo calendário gregoriano organizado pelo Papa Gregório XIII (r. 1572–1585), praticamente o mesmo calendário solar usado nos tempos modernos como o calendário padrão internacional.
Mais ou menos ao mesmo tempo, os chineses Han e os romanos inventaram o odômetro com rodas para medir distâncias percorridas, o modelo romano descrito pela primeira vez pelo engenheiro civil e arquiteto romano Vitrúvio (c. 80 aC – c. 15 aC). O dispositivo foi usado pelo menos até o reinado do imperador Commodus (r. 177 – 192 AD), mas seu design parece ter sido perdido até que experimentos foram feitos durante o século 15 na Europa Ocidental. Talvez contando com engrenagens e tecnologias semelhantes encontradas no mecanismo de Antikythera, o odômetro de Vitrúvio apresentava rodas de carruagem medindo 4 pés (1,2 m) de diâmetro girando quatrocentas vezes em uma milha romana (aproximadamente 4590 ft/1400 m). A cada revolução, um dispositivo de pino e eixo engatou uma roda dentada de 400 dentes que girou uma segunda engrenagem responsável por jogar pedras em uma caixa, cada pedra representando uma milha percorrida.
Chinês
Uma análise da antiga matemática chinesa demonstrou seu desenvolvimento único em comparação com outras partes do mundo, levando os estudiosos a assumir um desenvolvimento totalmente independente. O mais antigo texto matemático existente da China é o Zhoubi Suanjing (周髀算經), variadamente datado entre 1200 aC e 100 aC, embora uma data de cerca de 300 aC durante o Período dos Reinos Combatentes pareça razoável. No entanto, o Tsinghua Bamboo Slips, contendo a mais antiga tabela de multiplicação decimal conhecida (embora os antigos babilônios tivessem uma com base 60), é datado de cerca de 305 aC e é talvez o mais antigo texto matemático sobrevivente da China.
De particular importância é o uso na matemática chinesa de um sistema de notação posicional decimal, os chamados "números de haste" em que cifras distintas foram usadas para números entre 1 e 10, e cifras adicionais para potências de dez. Assim, o número 123 seria escrito usando o símbolo para "1", seguido do símbolo para "100", depois o símbolo para "2" seguido do símbolo para "10", seguido do símbolo para "3". Este era o sistema de numeração mais avançado do mundo na época, aparentemente em uso vários séculos antes da era comum e bem antes do desenvolvimento do sistema de numeração indiano. Os numerais de haste permitiam a representação de números tão grandes quanto desejado e permitiam que os cálculos fossem realizados no suan pan, ou ábaco chinês. A data da invenção do suan pan não é certa, mas a menção escrita mais antiga data de 190 DC, nas Notas suplementares sobre a arte das figuras.
A mais antiga obra sobre geometria existente na China provém do cânone filosófico moísta c. 330 aC, compilado pelos seguidores de Mozi (470-390 aC). O Mo Jing descrevia vários aspectos de muitos campos associados à ciência física e também fornecia um pequeno número de teoremas geométricos. Também definiu os conceitos de circunferência, diâmetro, raio e volume.
Em 212 aC, o imperador Qin Shi Huang ordenou que todos os livros do Império Qin, exceto os oficialmente sancionados, fossem queimados. Este decreto não foi obedecido universalmente, mas como consequência desta ordem pouco se sabe sobre a antiga matemática chinesa antes desta data. Após a queima de livros em 212 aC, a dinastia Han (202 aC–220 dC) produziu obras de matemática que presumivelmente expandiram as obras que agora estão perdidas. O mais importante deles é Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, cujo título completo apareceu em 179 DC, mas existia em parte sob outros títulos anteriores. Consiste em 246 problemas de palavras envolvendo agricultura, negócios, emprego de geometria para calcular vãos de altura e proporções de dimensão para torres de pagode chinesas, engenharia, topografia e inclui material sobre triângulos retângulos. Ele criou uma prova matemática para o teorema de Pitágoras e uma fórmula matemática para a eliminação gaussiana. O tratado também fornece valores de π, que os matemáticos chineses originalmente aproximaram de 3 até que Liu Xin (falecido em 23 dC) forneceu um valor de 3,1457 e, posteriormente, Zhang Heng (78–139) aproximou pi de 3,1724, bem como de 3,162, tomando o raiz quadrada de 10. Liu Hui comentou sobre os Nove Capítulos no século III dC e deu um valor de π com precisão de 5 casas decimais (ou seja, 3,14159). Embora mais uma questão de resistência computacional do que de visão teórica, no século 5 DC Zu Chongzhi calculou o valor de π com sete casas decimais (entre 3,1415926 e 3,1415927), que permaneceu o valor mais preciso de π por quase os próximos 1000 anos. Ele também estabeleceu um método que mais tarde seria chamado de princípio de Cavalieri para encontrar o volume de uma esfera.
O ponto alto da matemática chinesa ocorreu no século 13 durante a segunda metade da dinastia Song (960–1279), com o desenvolvimento da álgebra chinesa. O texto mais importante desse período é o Precious Mirror of the Four Elements de Zhu Shijie (1249–1314), que trata da solução de equações algébricas simultâneas de ordem superior usando um método semelhante ao de Horner. s método. O Espelho Precioso também contém um diagrama do triângulo de Pascal com coeficientes de expansão binomial até a oitava potência, embora ambos apareçam em obras chinesas já em 1100. Os chineses também fizeram uso do complexo diagrama combinatório conhecido como quadrado mágico e círculos mágicos, descrito nos tempos antigos e aperfeiçoado por Yang Hui (1238-1298 DC).
Mesmo depois que a matemática européia começou a florescer durante a Renascença, as matemáticas européia e chinesa eram tradições separadas, com uma significativa produção matemática chinesa em declínio a partir do século XIII. Missionários jesuítas como Matteo Ricci levaram ideias matemáticas entre as duas culturas dos séculos 16 a 18, embora neste ponto muito mais ideias matemáticas estivessem entrando na China do que saindo.
A matemática japonesa, a matemática coreana e a matemática vietnamita são tradicionalmente vistas como derivadas da matemática chinesa e pertencentes à esfera cultural do Leste Asiático de base confuciana. A matemática coreana e japonesa foi fortemente influenciada pelos trabalhos algébricos produzidos durante a dinastia Song da China, enquanto a matemática vietnamita foi fortemente influenciada pelos trabalhos populares da dinastia Ming da China (1368-1644). Por exemplo, embora os tratados matemáticos vietnamitas fossem escritos em chinês ou na escrita nativa vietnamita Chữ Nôm, todos eles seguiam o formato chinês de apresentar uma coleção de problemas com algoritmos para resolvê-los, seguidos de respostas numéricas. A matemática no Vietnã e na Coréia estava principalmente associada à burocracia judicial profissional de matemáticos e astrônomos, enquanto no Japão era mais prevalente no reino das escolas particulares.
Indiano
A civilização mais antiga no subcontinente indiano é a civilização do Vale do Indo (fase madura: 2600 a 1900 aC) que floresceu na bacia do rio Indo. Suas cidades foram projetadas com regularidade geométrica, mas nenhum documento matemático conhecido sobreviveu desta civilização.
Os registros matemáticos existentes mais antigos da Índia são os Sulba Sutras (datados variadamente entre o século VIII aC e o século II dC), apêndices de textos religiosos que fornecem regras simples para a construção de altares de várias formas, como quadrados, retângulos, paralelogramos e outros. Assim como no Egito, a preocupação com as funções do templo aponta para uma origem da matemática no ritual religioso. Os Sulba Sutras fornecem métodos para construir um círculo com aproximadamente a mesma área de um determinado quadrado, o que implica várias aproximações diferentes do valor de π. Além disso, eles calculam a raiz quadrada de 2 com várias casas decimais, listam os triplos pitagóricos e fornecem uma declaração do teorema de Pitágoras. Todos esses resultados estão presentes na matemática babilônica, indicando a influência da Mesopotâmia. Não se sabe até que ponto os Sulba Sutras influenciaram os matemáticos indianos posteriores. Como na China, há uma falta de continuidade na matemática indiana; avanços significativos são separados por longos períodos de inatividade.
Pāṇini (c. século V aC) formulou as regras da gramática sânscrita. Sua notação era semelhante à notação matemática moderna e usava meta-regras, transformações e recursão. Pingala (aproximadamente séculos III a I aC) em seu tratado de prosódia usa um dispositivo correspondente a um sistema numérico binário. Sua discussão da combinatória de metros corresponde a uma versão elementar do teorema binomial. O trabalho de Pingala também contém as ideias básicas dos números de Fibonacci (chamados mātrāmeru).
Os próximos documentos matemáticos significativos da Índia após os Sulba Sutras são os Siddhantas, tratados astronômicos dos séculos IV e V dC (período Gupta) mostrando forte influência helenística. Eles são significativos porque contêm a primeira instância de relações trigonométricas baseadas na meia corda, como é o caso da trigonometria moderna, em vez da corda completa, como era o caso da trigonometria ptolomaica. Através de uma série de erros de tradução, as palavras "seno" e "cosseno" derivam do sânscrito "jiya" e "kojiya".
Por volta de 500 DC, Aryabhata escreveu o Aryabhatiya, um volume fino, escrito em verso, destinado a complementar as regras de cálculo usadas em astronomia e mensuração matemática, embora sem nenhum senso de lógica ou metodologia dedutiva. Embora cerca de metade das entradas estejam erradas, é no Aryabhatiya que o sistema decimal de valores posicionais aparece pela primeira vez. Vários séculos depois, o matemático muçulmano Abu Rayhan Biruni descreveu o Aryabhatiya como uma "mistura de pedras comuns e cristais caros".
No século 7, Brahmagupta identificou o teorema de Brahmagupta, a identidade de Brahmagupta e a fórmula de Brahmagupta e, pela primeira vez, em Brahma-sphuta-siddhanta, ele lucidamente explicou o uso de zero como espaço reservado e dígito decimal e explicou o sistema de numeração hindu-árabe. Foi a partir de uma tradução deste texto indiano sobre matemática (c. 770) que os matemáticos islâmicos foram apresentados a este sistema de numeração, que eles adaptaram como algarismos arábicos. Os estudiosos islâmicos levaram o conhecimento desse sistema numérico para a Europa no século 12, e agora substituiu todos os sistemas numéricos mais antigos em todo o mundo. Vários conjuntos de símbolos são usados para representar números no sistema de numeração hindu-arábico, todos os quais evoluíram dos numerais Brahmi. Cada uma das doze principais escritas da Índia tem seus próprios glifos numéricos. No século 10, o comentário de Halayudha sobre o trabalho de Pingala contém um estudo da sequência de Fibonacci e do triângulo de Pascal e descreve a formação de uma matriz.
No século 12, Bhāskara II viveu no sul da Índia e escreveu extensivamente sobre todos os ramos então conhecidos da matemática. Seu trabalho contém objetos matemáticos equivalentes ou aproximadamente equivalentes a infinitesimais, derivadas, o teorema do valor médio e a derivada da função seno. Até que ponto ele antecipou a invenção do cálculo é um assunto controverso entre os historiadores da matemática.
No século 14, Madhava de Sangamagrama, o fundador da Kerala School of Mathematics, encontrou a série Madhava-Leibniz e obteve dela uma série transformada, cujos primeiros 21 termos ele usou para calcular o valor de π como 3,14159265359. Madhava também encontrou a série Madhava-Gregory para determinar o arco tangente, a série de potência Madhava-Newton para determinar seno e cosseno e a aproximação de Taylor para funções seno e cosseno. No século 16, Jyesthadeva consolidou muitos dos desenvolvimentos e teoremas da Escola de Kerala no Yukti-bhāṣā. Argumentou-se que os avanços da escola de Kerala, que lançaram as bases do cálculo, foram transmitidos à Europa no século 16 por meio de missionários jesuítas e comerciantes que atuavam no antigo porto de Muziris na época e, como resultado, influenciou diretamente os desenvolvimentos europeus posteriores em análise e cálculo. No entanto, outros estudiosos argumentam que a Escola de Kerala não formulou uma teoria sistemática de diferenciação e integração e que não há nenhuma evidência direta de que seus resultados foram transmitidos para fora de Kerala.
Impérios islâmicos
O Império Islâmico estabelecido no Oriente Médio, Ásia Central, Norte da África, Península Ibérica e em partes da Índia no século VIII fez contribuições significativas para a matemática. Embora a maioria dos textos islâmicos sobre matemática tenham sido escritos em árabe, a maioria deles não foi escrita por árabes, pois, assim como o status do grego no mundo helenístico, o árabe foi usado como língua escrita por estudiosos não árabes em todo o mundo islâmico no tempo.
No século IX, o matemático Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī escreveu um livro importante sobre os numerais hindu-arábicos e um sobre métodos para resolver equações. Seu livro Sobre o cálculo com numerais hindus, escrito por volta de 825, juntamente com o trabalho de Al-Kindi, foram fundamentais para a divulgação da matemática indiana e dos numerais indianos para o Ocidente. A palavra algoritmo é derivada da latinização de seu nome, Algoritmi, e a palavra álgebra do título de uma de suas obras, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala (O livro compêndio sobre cálculo por conclusão e balanceamento). Ele deu uma explicação exaustiva para a solução algébrica de equações quadráticas com raízes positivas e foi o primeiro a ensinar álgebra de forma elementar e por si só. Ele também discutiu o método fundamental de "redução" e "balanceamento", referindo-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado de uma equação, ou seja, o cancelamento de termos iguais em lados opostos da equação. Esta é a operação que al-Khwārizmī originalmente descreveu como al-jabr. Sua álgebra também não se preocupava mais "com uma série de problemas a serem resolvidos, mas com uma exposição que começa com termos primitivos em que as combinações devem dar todos os protótipos possíveis para equações, que doravante explicitamente constituem o verdadeiro objeto de estudo. " Ele também estudou uma equação por si mesma e "de maneira genérica, na medida em que ela não surge simplesmente no curso da resolução de um problema, mas é especificamente chamada a definir uma classe infinita de problemas".;
No Egito, Abu Kamil estendeu a álgebra ao conjunto dos números irracionais, aceitando raízes quadradas e quartas como soluções e coeficientes para equações quadráticas. Ele também desenvolveu técnicas usadas para resolver três equações simultâneas não lineares com três variáveis desconhecidas. Uma característica única de seus trabalhos foi tentar encontrar todas as soluções possíveis para alguns de seus problemas, incluindo um onde encontrou 2.676 soluções. Seus trabalhos formaram uma base importante para o desenvolvimento da álgebra e influenciaram matemáticos posteriores, como al-Karaji e Fibonacci.
Mais desenvolvimentos em álgebra foram feitos por Al-Karaji em seu tratado al-Fakhri, onde ele estende a metodologia para incorporar potências inteiras e raízes inteiras de quantidades desconhecidas. Algo próximo a uma prova por indução matemática aparece em um livro escrito por Al-Karaji por volta de 1000 DC, que o usou para provar o teorema binomial, o triângulo de Pascal e a soma dos cubos inteiros. O historiador da matemática, F. Woepcke, elogiou Al-Karaji por ser "o primeiro que introduziu a teoria do cálculo algébrico". Também no século 10, Abul Wafa traduziu as obras de Diofanto para o árabe. Ibn al-Haytham foi o primeiro matemático a derivar a fórmula para a soma das quartas potências, usando um método que é prontamente generalizável para determinar a fórmula geral para a soma de quaisquer potências integrais. Ele realizou uma integração para encontrar o volume de um parabolóide e conseguiu generalizar seu resultado para integrais de polinômios até o quarto grau. Assim, ele chegou perto de encontrar uma fórmula geral para as integrais de polinômios, mas não se preocupou com nenhum polinômio maior que o quarto grau.
No final do século 11, Omar Khayyam escreveu Discussions of the Difficulties in Euclid, um livro sobre o que ele percebeu como falhas nos Elementos de Euclides, especialmente o postulado paralelo. Ele também foi o primeiro a encontrar a solução geométrica geral para equações cúbicas. Ele também foi muito influente na reforma do calendário.
No século 13, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) fez avanços na trigonometria esférica. Ele também escreveu trabalhos influentes sobre o postulado das paralelas de Euclides. No século 15, Ghiyath al-Kashi calculou o valor de π até a 16ª casa decimal. Kashi também tinha um algoritmo para calcular as raízes n, que era um caso especial dos métodos fornecidos muitos séculos depois por Ruffini e Horner.
Outras realizações de matemáticos muçulmanos durante este período incluem a adição da notação do ponto decimal aos algarismos arábicos, a descoberta de todas as funções trigonométricas modernas além do seno, a introdução de al-Kindi da criptoanálise e análise de frequência, o desenvolvimento da geometria analítica por Ibn al-Haytham, o início da geometria algébrica por Omar Khayyam e o desenvolvimento de uma notação algébrica por al-Qalasādī.
Durante a época do Império Otomano e do Império Safávida do século XV, o desenvolvimento da matemática islâmica estagnou.
Maia
Nas Américas pré-colombianas, a civilização maia que floresceu no México e na América Central durante o 1º milênio dC desenvolveu uma tradição matemática única que, devido ao seu isolamento geográfico, era totalmente independente da existência europeia, egípcia e asiática matemática. Os numerais maias usavam uma base de vinte, o sistema vigesimal, em vez de uma base de dez que forma a base do sistema decimal usado pela maioria das culturas modernas. Os maias usaram a matemática para criar o calendário maia, bem como para prever fenômenos astronômicos em sua astronomia maia nativa. Embora o conceito de zero tivesse que ser inferido na matemática de muitas culturas contemporâneas, os maias desenvolveram um símbolo padrão para ele.
Europa medieval
O interesse europeu medieval pela matemática foi impulsionado por preocupações bem diferentes daquelas dos matemáticos modernos. Um elemento impulsionador era a crença de que a matemática fornecia a chave para a compreensão da ordem criada da natureza, frequentemente justificada pelo Timeu de Platão e pela passagem bíblica (no Livro da Sabedoria i>) que Deus ordenou todas as coisas em medida, número e peso.
Boethius forneceu um lugar para a matemática no currículo no século VI, quando cunhou o termo quadrivium para descrever o estudo da aritmética, geometria, astronomia e música. Ele escreveu De Institutione Arithmetica, uma tradução livre do grego da Introdução à Aritmética de Nicômaco; De Institutione Musica, também derivado de fontes gregas; e uma série de trechos dos Elementos de Euclides. Suas obras eram teóricas, e não práticas, e foram a base do estudo matemático até a recuperação das obras matemáticas gregas e árabes.
No século 12, estudiosos europeus viajaram para a Espanha e a Sicília em busca de textos científicos árabes, incluindo o Livro Compêndio sobre Cálculo por Conclusão e Balanceamento de al-Khwārizmī, traduzido para o latim por Robert de Chester, e o texto completo dos Elementos de Euclides, traduzido em várias versões por Adelard of Bath, Herman of Carinthia e Gerard of Cremona. Essas e outras novas fontes provocaram uma renovação da matemática.
Leonardo de Pisa, agora conhecido como Fibonacci, aprendeu por acaso sobre os numerais hindu-arábicos em uma viagem ao que hoje é Béjaïa, na Argélia, com seu pai comerciante. (A Europa ainda usava algarismos romanos.) Lá, ele observou um sistema de aritmética (especificamente algorismo) que, devido à notação posicional dos algarismos hindu-arábicos, era muito mais eficiente e facilitava muito o comércio. Leonardo escreveu Liber Abaci em 1202 (atualizado em 1254) introduzindo a técnica na Europa e iniciando um longo período de popularização dela. O livro também trouxe para a Europa o que hoje é conhecido como a sequência de Fibonacci (conhecida pelos matemáticos indianos centenas de anos antes disso), que Fibonacci usou como um exemplo banal.
O século 14 viu o desenvolvimento de novos conceitos matemáticos para investigar uma ampla gama de problemas. Uma contribuição importante foi o desenvolvimento da matemática do movimento local.
Thomas Bradwardine propôs que a velocidade (V) aumenta em proporção aritmética à medida que a relação entre força (F) e resistência (R) aumenta em proporção geométrica. Bradwardine expressou isso por uma série de exemplos específicos, mas embora o logaritmo ainda não tivesse sido concebido, podemos expressar sua conclusão anacronicamente escrevendo: V = log (F/R). A análise de Bradwardine é um exemplo de transferência de uma técnica matemática usada por al-Kindi e Arnald de Villanova para quantificar a natureza de medicamentos compostos para um problema físico diferente.
Um dos calculadores de Oxford do século XIV, William Heytesbury, carente de cálculo diferencial e do conceito de limites, propôs medir a velocidade instantânea "pela trajetória que seria descrita por [a corpo] se... ele fosse movido uniformemente no mesmo grau de velocidade com que é movido naquele dado instante".
Heytesbury e outros determinaram matematicamente a distância percorrida por um corpo em movimento uniformemente acelerado (hoje resolvido por integração), afirmando que "um corpo em movimento adquirindo ou perdendo uniformemente esse incremento [de velocidade] percorrerá em um determinado tempo uma [distância] completamente igual àquela que ele percorreria se estivesse se movendo continuamente ao mesmo tempo com o grau médio [de velocidade]".
Nicole Oresme, da Universidade de Paris, e o italiano Giovanni di Casali forneceram independentemente demonstrações gráficas dessa relação, afirmando que a área sob a linha que representa a aceleração constante representava a distância total percorrida. Em um comentário matemático posterior sobre os Elementos de Euclides, Oresme fez uma análise geral mais detalhada na qual demonstrou que um corpo adquirirá em cada incremento sucessivo de tempo um incremento de qualquer qualidade que aumenta conforme os números ímpares. Como Euclides havia demonstrado que a soma dos números ímpares são os números quadrados, a qualidade total adquirida pelo corpo aumenta com o quadrado do tempo.
Renascimento
Durante o Renascimento, o desenvolvimento da matemática e da contabilidade estiveram interligados. Embora não haja relação direta entre álgebra e contabilidade, o ensino das disciplinas e os livros publicados muitas vezes destinavam-se aos filhos de comerciantes que eram enviados para escolas de cálculo (na Flandres e na Alemanha) ou escolas de ábaco (conhecidas como abbaco na Itália), onde aprenderam as habilidades úteis para o comércio e o comércio. Provavelmente não há necessidade de álgebra para realizar operações de contabilidade, mas para operações complexas de troca ou cálculo de juros compostos, um conhecimento básico de aritmética era obrigatório e o conhecimento de álgebra era muito útil.
Piero della Francesca (c. 1415–1492) escreveu livros sobre geometria sólida e perspectiva linear, incluindo De Prospectiva Pingendi (Sobre a Perspectiva para Pintura), Trattato d'Abaco (Tratado do Ábaco), e De quinque corporibus regularibus (Sobre os Cinco Sólidos Regulares).
A Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità de Luca Pacioli (em italiano: "Review of Arithmetic, Geometry, Ratio and Proportion") foi impressa e publicada pela primeira vez em Veneza em 1494. Incluía um tratado de 27 páginas sobre contabilidade, "Particularis de Computis et Scripturis" (italiano: "Detalhes de cálculo e registro"). Foi escrito principalmente e vendido principalmente para comerciantes que usavam o livro como um texto de referência, como uma fonte de prazer com os quebra-cabeças matemáticos que continha e para auxiliar na educação de seus filhos. Na Summa Arithmetica, Pacioli introduziu símbolos para mais e menos pela primeira vez em um livro impresso, símbolos que se tornaram a notação padrão na matemática do Renascimento italiano. Summa Arithmetica também foi o primeiro livro conhecido impresso na Itália a conter álgebra. Pacioli obteve muitas de suas ideias de Piero Della Francesca, a quem plagiou.
Na Itália, na primeira metade do século XVI, Scipione del Ferro e Niccolò Fontana Tartaglia descobriram soluções para equações cúbicas. Gerolamo Cardano as publicou em seu livro Ars Magna de 1545, juntamente com uma solução para as equações quárticas, descobertas por seu aluno Lodovico Ferrari. Em 1572, Rafael Bombelli publicou seu L'Algebra no qual mostrava como lidar com as quantidades imaginárias que poderiam aparecer na fórmula de Cardano para resolver equações cúbicas.
O livro de Simon Stevin De Thiende ('a arte dos décimos'), publicado pela primeira vez em holandês em 1585, continha o primeiro tratamento sistemático da notação decimal, que influenciou todos os trabalhos posteriores sobre o sistema de números reais.
Impulsionada pelas demandas de navegação e pela crescente necessidade de mapas precisos de grandes áreas, a trigonometria tornou-se um importante ramo da matemática. Bartholomaeus Pitiscus foi o primeiro a usar a palavra, publicando seu Trigonometria em 1595. A tabela de senos e cossenos de Regiomontanus foi publicada em 1533.
Durante o Renascimento, o desejo dos artistas de representar o mundo natural de forma realista, juntamente com a filosofia redescoberta dos gregos, levou os artistas a estudar matemática. Eles também eram os engenheiros e arquitetos da época e, portanto, precisavam da matemática de qualquer maneira. A arte da pintura em perspectiva e os desenvolvimentos da geometria envolvidos foram estudados intensamente.
A matemática durante a revolução científica
Século XVII
O século XVII viu um aumento sem precedentes de ideias matemáticas e científicas em toda a Europa. Galileu observou as luas de Júpiter em órbita daquele planeta, usando um telescópio baseado em um brinquedo importado da Holanda. Tycho Brahe havia reunido uma enorme quantidade de dados matemáticos descrevendo as posições dos planetas no céu. Por sua posição como assistente de Brahe, Johannes Kepler foi exposto pela primeira vez e interagiu seriamente com o tema do movimento planetário. Os cálculos de Kepler foram simplificados pela invenção contemporânea de logaritmos por John Napier e Jost Bürgi. Kepler conseguiu formular leis matemáticas do movimento planetário. A geometria analítica desenvolvida por René Descartes (1596–1650) permitiu que essas órbitas fossem plotadas em um gráfico, em coordenadas cartesianas.
Com base no trabalho anterior de muitos predecessores, Isaac Newton descobriu as leis da física explicando as Leis de Kepler e reuniu os conceitos agora conhecidos como cálculo. Independentemente, Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveu o cálculo e grande parte da notação de cálculo ainda em uso hoje. Ele também refinou o sistema numérico binário, que é a base de quase todos os computadores digitais (eletrônicos, de estado sólido e de lógica discreta), incluindo a arquitetura Von Neumann, que é o paradigma de design padrão, ou "arquitetura de computador".;, seguido da segunda metade do século 20 e no século 21. Leibniz foi chamado de "fundador da ciência da computação".
Ciência e matemática tornaram-se um empreendimento internacional, que logo se espalharia por todo o mundo.
Além da aplicação da matemática aos estudos dos céus, a matemática aplicada começou a se expandir para novas áreas, com a correspondência de Pierre de Fermat e Blaise Pascal. Pascal e Fermat estabeleceram as bases para as investigações da teoria da probabilidade e as regras correspondentes da combinatória em suas discussões sobre um jogo de azar. Pascal, com sua aposta, tentou usar a recém-desenvolvida teoria da probabilidade para argumentar a favor de uma vida devotada à religião, alegando que mesmo que a probabilidade de sucesso fosse pequena, as recompensas seriam infinitas. Em certo sentido, isso prenunciou o desenvolvimento da teoria da utilidade nos séculos XVIII e XIX.
Século XVIII
O matemático mais influente do século XVIII foi possivelmente Leonhard Euler (1707–1783). Suas contribuições variam de fundar o estudo da teoria dos grafos com as Sete Pontes de Königsberg problema para padronizar muitos termos matemáticos modernos e notações. Por exemplo, ele nomeou a raiz quadrada de menos 1 com o símbolo i, e popularizou o uso da letra grega D D - Sim. suportar a relação da circunferência de um círculo ao seu diâmetro. Ele fez inúmeras contribuições para o estudo de topologia, teoria dos grafos, cálculo, combinatória e análise complexa, como evidenciado pela multidão de teoremas e notações nomeadas para ele.
Outros importantes matemáticos europeus do século 18 incluem Joseph Louis Lagrange, que fez trabalhos pioneiros em teoria dos números, álgebra, cálculo diferencial e cálculo de variações, e Pierre-Simon Laplace, que, na era de Napoleão, fez importante trabalho sobre os fundamentos da mecânica celeste e estatísticas.
Moderno
Século XIX
Ao longo do século XIX, a matemática tornou-se cada vez mais abstrata. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) simboliza essa tendência. Ele fez um trabalho revolucionário em funções de variáveis complexas, em geometria e na convergência de séries, deixando de lado suas muitas contribuições para a ciência. Ele também deu as primeiras provas satisfatórias do teorema fundamental da álgebra e da lei de reciprocidade quadrática.
Este século viu o desenvolvimento das duas formas de geometria não-euclidiana, onde o postulado paralelo da geometria euclidiana não é mais válido. O matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky e seu rival, o matemático húngaro János Bolyai, definiram e estudaram independentemente a geometria hiperbólica, onde a unicidade das paralelas não é mais válida. Nesta geometria, a soma dos ângulos em um triângulo soma menos de 180°. A geometria elíptica foi desenvolvida no final do século XIX pelo matemático alemão Bernhard Riemann; aqui nenhum paralelo pode ser encontrado e os ângulos em um triângulo somam mais de 180°. Riemann também desenvolveu a geometria riemanniana, que unifica e generaliza amplamente os três tipos de geometria, e definiu o conceito de variedade, que generaliza as ideias de curvas e superfícies.
O século 19 viu o início de uma grande parte da álgebra abstrata. Hermann Grassmann na Alemanha deu uma primeira versão de espaços vetoriais, William Rowan Hamilton na Irlanda desenvolveu a álgebra não comutativa. O matemático britânico George Boole desenvolveu uma álgebra que logo evoluiu para o que hoje é chamado de álgebra booleana, na qual os únicos números eram 0 e 1. A álgebra booleana é o ponto de partida da lógica matemática e tem aplicações importantes na engenharia elétrica e na ciência da computação. Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass reformularam o cálculo de maneira mais rigorosa.
Além disso, pela primeira vez, os limites da matemática foram explorados. Niels Henrik Abel, um norueguês, e Évariste Galois, um francês, provaram que não existe um método algébrico geral para resolver equações polinomiais de grau maior que quatro (teorema de Abel-Ruffini). Outros matemáticos do século 19 usaram isso em suas provas de que apenas a régua e o compasso não são suficientes para trissetar um ângulo arbitrário, para construir o lado de um cubo com o dobro do volume de um dado cubo, nem para construir um quadrado com área igual a um cubo. dado círculo. Os matemáticos tentaram em vão resolver todos esses problemas desde a época dos antigos gregos. Por outro lado, a limitação de três dimensões na geometria foi superada no século XIX por meio de considerações de espaço paramétrico e números hipercomplexos.
As investigações de Abel e Galois sobre as soluções de várias equações polinomiais lançaram as bases para novos desenvolvimentos da teoria de grupos e os campos associados da álgebra abstrata. No século 20, físicos e outros cientistas viram a teoria dos grupos como a maneira ideal de estudar a simetria.
No final do século 19, Georg Cantor estabeleceu os primeiros fundamentos da teoria dos conjuntos, que permitiu o tratamento rigoroso da noção de infinito e se tornou a linguagem comum de quase toda a matemática. A teoria dos conjuntos de Cantor e o surgimento da lógica matemática nas mãos de Peano, L.E.J. Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell e A.N. Whitehead, iniciou um longo debate sobre os fundamentos da matemática.
O século XIX assistiu à fundação de várias sociedades matemáticas nacionais: a London Mathematical Society em 1865, a Société Mathématique de France em 1872, o Circolo Matematico di Palermo em 1884, a Edinburgh Mathematical Society em 1883 e a American Mathematical Society em 1888. A primeira sociedade internacional de interesse especial, a Quaternion Society, foi formada em 1899, no contexto de uma controvérsia sobre vetores.
Em 1897, Kurt Hensel introduziu os números p-ádicos.
Século 20
O século 20 viu a matemática se tornar uma profissão importante. No final do século, milhares de novos Ph.D.s em matemática eram concedidos todos os anos, e havia empregos disponíveis tanto no ensino quanto na indústria. Um esforço para catalogar as áreas e aplicações da matemática foi realizado na enciclopédia de Klein.
Em um discurso de 1900 para o Congresso Internacional de Matemáticos, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas não resolvidos em matemática. Esses problemas, abrangendo muitas áreas da matemática, formaram um foco central para grande parte da matemática do século XX. Hoje, 10 foram resolvidos, 7 estão parcialmente resolvidos e 2 ainda estão em aberto. Os 4 restantes são formulados de maneira muito vaga para serem declarados como resolvidos ou não.
Conjecturas históricas notáveis foram finalmente comprovadas. Em 1976, Wolfgang Haken e Kenneth Appel provaram o teorema das quatro cores, controverso na época pelo uso de um computador para fazê-lo. Andrew Wiles, com base no trabalho de outros, provou o Último Teorema de Fermat em 1995. Paul Cohen e Kurt Gödel provaram que a hipótese do contínuo é independente (não pode ser provada nem refutada) dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos. Em 1998, Thomas Callister Hales provou a conjectura de Kepler.
Colaborações matemáticas de tamanho e escopo sem precedentes aconteceram. Um exemplo é a classificação de grupos simples finitos (também chamados de "teorema enorme"), cuja prova entre 1955 e 2004 exigiu 500 artigos de periódicos de cerca de 100 autores e preencheu dezenas de milhares de páginas. Um grupo de matemáticos franceses, incluindo Jean Dieudonné e André Weil, publicando sob o pseudônimo de "Nicolas Bourbaki", tentou expor toda a matemática conhecida como um todo coerente e rigoroso. As dezenas de volumes resultantes tiveram uma influência controversa na educação matemática.
A geometria diferencial ganhou força quando Albert Einstein a usou na relatividade geral. Áreas inteiramente novas da matemática, como lógica matemática, topologia e a teoria dos jogos de John von Neumann, mudaram os tipos de perguntas que poderiam ser respondidas por métodos matemáticos. Todos os tipos de estruturas foram abstraídos usando axiomas e nomes dados como espaços métricos, espaços topológicos, etc. Como fazem os matemáticos, o próprio conceito de estrutura abstrata foi abstraído e levou à teoria das categorias. Grothendieck e Serre reformularam a geometria algébrica usando a teoria dos feixes. Grandes avanços foram feitos no estudo qualitativo de sistemas dinâmicos que Poincaré havia começado na década de 1890. A teoria da medida foi desenvolvida no final do século XIX e início do século XX. As aplicações de medidas incluem a integral de Lebesgue, a axiomatização da teoria da probabilidade de Kolmogorov e a teoria ergódica. A teoria dos nós foi amplamente expandida. A mecânica quântica levou ao desenvolvimento da análise funcional. Outras novas áreas incluem a teoria da distribuição de Laurent Schwartz, a teoria do ponto fixo, a teoria da singularidade e a teoria da catástrofe de René Thom, a teoria do modelo e os fractais de Mandelbrot. A teoria de Lie com seus grupos de Lie e álgebras de Lie tornou-se uma das principais áreas de estudo.
A análise não padronizada, introduzida por Abraham Robinson, reabilitou a abordagem infinitesimal do cálculo, que havia caído em descrédito em favor da teoria dos limites, estendendo o campo dos números reais aos números hiper-reais que incluem quantidades infinitesimais e infinitas. Um sistema numérico ainda maior, os números surreais foram descobertos por John Horton Conway em conexão com jogos combinatórios.
O desenvolvimento e a melhoria contínua dos computadores, inicialmente máquinas analógicas mecânicas e depois máquinas eletrônicas digitais, permitiram à indústria lidar com quantidades cada vez maiores de dados para facilitar a produção, distribuição e comunicação em massa, e novas áreas da matemática foram desenvolvidas para lidar com isso: a teoria da computabilidade de Alan Turing; teoria da complexidade; O uso do ENIAC por Derrick Henry Lehmer para aprofundar a teoria dos números e o teste de Lucas-Lehmer; teoria da função recursiva de Rózsa Péter; teoria da informação de Claude Shannon; processamento de sinais; análise de dados; otimização e outras áreas de pesquisa operacional. Nos séculos anteriores, muito foco matemático estava no cálculo e nas funções contínuas, mas o surgimento da computação e das redes de comunicação levou a uma importância crescente dos conceitos discretos e à expansão da combinatória, incluindo a teoria dos grafos. A velocidade e as habilidades de processamento de dados dos computadores também permitiram o tratamento de problemas matemáticos que consumiam muito tempo para lidar com cálculos de lápis e papel, levando a áreas como análise numérica e computação simbólica. Alguns dos métodos e algoritmos mais importantes do século 20 são: o algoritmo simplex, a transformada rápida de Fourier, códigos de correção de erros, o filtro de Kalman da teoria de controle e o algoritmo RSA de criptografia de chave pública.
Ao mesmo tempo, foram feitos insights profundos sobre as limitações da matemática. Em 1929 e 1930, foi provado que a verdade ou falsidade de todas as declarações formuladas sobre os números naturais mais adição ou multiplicação (mas não ambas), era decidível, ou seja, poderia ser determinada por algum algoritmo. Em 1931, Kurt Gödel descobriu que esse não era o caso dos números naturais mais a adição e a multiplicação; esse sistema, conhecido como aritmética de Peano, era de fato incompleto. (A aritmética de Peano é adequada para uma boa parte da teoria dos números, incluindo a noção de número primo.) Uma consequência dos dois teoremas da incompletude de Gödel é que em qualquer sistema matemático que inclua a aritmética de Peano (incluindo toda a análise e geometria), a verdade necessariamente supera a prova, ou seja, existem afirmações verdadeiras que não podem ser provadas dentro do sistema. Portanto, a matemática não pode ser reduzida à lógica matemática, e o sonho de David Hilbert de tornar toda a matemática completa e consistente precisava ser reformulado.
Uma das figuras mais coloridas da matemática do século 20 foi Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920), um autodidata indiano que conjecturou ou provou mais de 3.000 teoremas, incluindo propriedades de números altamente compostos, a função de partição e suas assimptóticas e simular funções theta. Ele também fez grandes investigações nas áreas de funções gama, formas modulares, séries divergentes, séries hipergeométricas e teoria dos números primos.
Paul Erdős publicou mais artigos do que qualquer outro matemático na história, trabalhando com centenas de colaboradores. Os matemáticos têm um jogo equivalente ao Jogo de Kevin Bacon, que leva ao número de Erdős de um matemático. Isso descreve a "distância colaborativa" entre uma pessoa e Erdős, conforme medido pela autoria conjunta de artigos matemáticos.
Emmy Noether foi descrita por muitos como a mulher mais importante da história da matemática. Ela estudou as teorias de anéis, corpos e álgebras.
Como na maioria das áreas de estudo, a explosão do conhecimento na era científica levou à especialização: no final do século, havia centenas de áreas especializadas em matemática e a Classificação de Disciplinas de Matemática tinha dezenas de páginas. Mais e mais periódicos matemáticos foram publicados e, no final do século, o desenvolvimento da World Wide Web levou à publicação online.
Século 21
Em 2000, o Clay Mathematics Institute anunciou os sete Problemas do Prêmio do Milênio e, em 2003, a conjectura de Poincaré foi resolvida por Grigori Perelman (que se recusou a aceitar um prêmio, pois criticava o estabelecimento da matemática).
A maioria dos periódicos matemáticos agora tem versões on-line, bem como versões impressas, e muitos periódicos somente on-line são lançados. Há um impulso crescente em direção à publicação de acesso aberto, popularizada pela primeira vez pelo arXiv.
Futuro
Há muitas tendências observáveis na matemática, sendo a mais notável que o assunto está crescendo cada vez mais, os computadores são cada vez mais importantes e poderosos, a aplicação da matemática à bioinformática está se expandindo rapidamente e o volume de dados sendo produzido pela ciência e a indústria, facilitada pelos computadores, está se expandindo exponencialmente.
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