História da geometria
Geometria (do grego antigo: γεωμετρία; geo- "terra", -metron "medição") surgiu como o campo do conhecimento que lida com as relações espaciais. A geometria era um dos dois campos da matemática pré-moderna, sendo o outro o estudo dos números (aritmética).
A geometria clássica foi focada em construções com régua e compasso. A geometria foi revolucionada por Euclides, que introduziu o rigor matemático e o método axiomático ainda em uso hoje. Seu livro Os Elementos é amplamente considerado o livro didático mais influente de todos os tempos e era conhecido por todas as pessoas educadas no Ocidente até meados do século XX.
Nos tempos modernos, os conceitos geométricos foram generalizados para um alto nível de abstração e complexidade, e foram submetidos aos métodos de cálculo e álgebra abstrata, de modo que muitos ramos modernos do campo são dificilmente reconhecíveis como os descendentes dos primeiros geometria. (Veja Áreas de matemática e geometria algébrica.)
Geometria inicial
Os primeiros primórdios registrados da geometria podem ser rastreados até os povos primitivos, como o antigo Vale do Indo (consulte a matemática de Harappan) e a antiga Babilônia (consulte a matemática da Babilônia) por volta de 3000 aC. A geometria inicial era uma coleção de princípios descobertos empiricamente relativos a comprimentos, ângulos, áreas e volumes, que foram desenvolvidos para atender a algumas necessidades práticas de levantamento, construção, astronomia e vários ofícios. Entre eles estavam alguns princípios surpreendentemente sofisticados, e um matemático moderno pode ter dificuldade em derivar alguns deles sem o uso de cálculo e álgebra. Por exemplo, tanto os egípcios quanto os babilônios estavam cientes das versões do teorema de Pitágoras cerca de 1.500 anos antes de Pitágoras e os sulba sutras indianos por volta de 800 aC continham as primeiras declarações do teorema; os egípcios tinham uma fórmula correta para o volume de um tronco de uma pirâmide quadrada.
Geometria egípcia
Os antigos egípcios sabiam que podiam aproximar a área de um círculo da seguinte forma:
- Área de Círculo ≈ [ (diâmetro) x 8/9 ]2.
O problema 50 do papiro de Ahmes usa esses métodos para calcular a área de um círculo, de acordo com uma regra de que a área é igual ao quadrado de 8/9 do diâmetro do círculo. Isso pressupõe que π é 4×(8/9)2 (ou 3,160493...), com um erro de pouco mais de 0,63%. Esse valor era um pouco menos preciso do que os cálculos dos babilônios (25/8 = 3,125, dentro de 0,53 por cento), mas não foi superado até a descoberta de Arquimedes. aproximação de 211875/67441 = 3,14163, que teve um erro de pouco mais de 1 em 10.000.
Ahmes conhecia o moderno 22/7 como uma aproximação para π, e o usou para dividir um hekat, hekat x 22/x x 22/07 = hekat; no entanto, Ahmes continuou a usar o valor tradicional de 256/81 para π para calcular seu volume hekat encontrado em um cilindro.
O problema 48 envolveu o uso de um quadrado com 9 unidades de lado. Este quadrado foi cortado em uma grade 3x3. A diagonal dos quadrados dos cantos foi usada para fazer um octógono irregular com uma área de 63 unidades. Isso deu um segundo valor para π de 3,111...
Os dois problemas juntos indicam uma faixa de valores para π entre 3,11 e 3,16.
O Problema 14 no Papiro Matemático de Moscou dá o único exemplo antigo que encontra o volume de um tronco de uma pirâmide, descrevendo a fórmula correta:
- V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =13h(um2+umb)+b)2){displaystyle V={frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})}
onde a e b são os comprimentos da base e do lado superior da pirâmide truncada e h é a altura.
Geometria babilônica
Os babilônios podem ter conhecido as regras gerais para medir áreas e volumes. Eles mediram a circunferência de um círculo como três vezes o diâmetro e a área como um doze avos do quadrado da circunferência, o que seria correto se π fosse estimado como 3. O volume de um cilindro foi medido como o produto da base pela altura, porém, o volume do tronco de um cone ou de uma pirâmide quadrada foi incorretamente tomado como o produto da altura pela metade da soma das bases. O teorema de Pitágoras também era conhecido pelos babilônios. Além disso, houve uma descoberta recente em que um tablet usava π como 3 e 1/8. Os babilônios também são conhecidos pela milha babilônica, que era uma medida de distância igual a cerca de sete milhas hoje. Essa medida de distância acabou sendo convertida em uma milha de tempo usada para medir a viagem do Sol, portanto, representando o tempo. Houve descobertas recentes mostrando que os antigos babilônios podem ter descoberto a geometria astronômica quase 1400 anos antes dos europeus.
Geometria védica da Índia
O período védico indiano tinha uma tradição de geometria, expressa principalmente na construção de altares elaborados. Os primeiros textos indianos (1º milênio aC) sobre este tópico incluem o Satapatha Brahmana e os Śulba Sūtras.
De acordo com (Hayashi 2005, p. 363), os Śulba Sūtras contêm "a mais antiga expressão verbal existente do Teorema de Pitágoras no mundo, embora já fosse conhecida pelos antigos babilônios. "
A corda diagonal (akṣṇayā-rajju) de um oblongo (retângulo) produz tanto o flanco (pārśvamāni) e horizontal (O que é isso?) produzir separadamente."
Eles contêm listas de triplos pitagóricos, que são casos particulares de equações diofantinas. Eles também contêm declarações (que, em retrospectiva, sabemos ser aproximadas) sobre quadratura do círculo e "circular o quadrado"
O Sutra Baudhayana Sulba, o mais conhecido e mais antigo do Sulba Sutras (datado ao século VIII ou VII a.C.) contém exemplos de triplos pitagóricos simples, como: (3,4,5)(3,4,5)}, (5,12,13){displaystyle (5,12,13)}, (8,15,17.)- Sim., (7,24.,25)- Sim.e (12,35,37)- Sim. bem como uma declaração do teorema de Pitágorean para os lados de um quadrado: "A corda que se estende através da diagonal de um quadrado produz uma área dobro do tamanho do quadrado original." Também contém a declaração geral do teorema de Pitágorean (para os lados de um retângulo): "A corda esticada ao longo do comprimento da diagonal de um retângulo faz uma área que os lados vertical e horizontal fazem juntos."
De acordo com o matemático S. G. Dani, a tabuinha cuneiforme babilônica Plimpton 322 escrita c. 1850 aC "contém quinze triplos pitagóricos com entradas bastante grandes, incluindo (13500, 12709, 18541) que é um triplo primitivo, indicando, em particular, que havia um entendimento sofisticado sobre o assunto" na Mesopotâmia em 1850 aC. "Como essas tabuinhas antecedem o período dos Sulbasutras em vários séculos, levando em consideração a aparência contextual de alguns dos triplos, é razoável esperar que um entendimento semelhante existisse na Índia." Dani continua dizendo:
"Como o principal objetivo do Produtos químicos foi para descrever as construções de altares e os princípios geométricos envolvidos neles, o tema dos trigêmeos pitagóricos, mesmo que tivesse sido bem compreendido ainda não poderia ter destaque no Produtos químicos. A ocorrência dos triplos no Produtos químicos é comparável à matemática que se pode encontrar em um livro introdutório sobre arquitetura ou outra área aplicada semelhante, e não corresponderia diretamente ao conhecimento geral sobre o tópico naquele momento. Uma vez que, infelizmente, nenhuma outra fonte contemporânea foi encontrada, pode nunca ser possível resolver esta questão satisfatoriamente."
Ao todo, três Sulba Sutras foram compostos. Os dois restantes, o Manava Sulba Sutra composto por Manava (fl. 750-650 aC) e o Apastamba Sulba Sutra, composto por Apastamba (c. 600 aC), continham resultados semelhantes ao Baudhayana Sulba Sutra.
Geometria grega
Geometria grega clássica
Para os antigos matemáticos gregos, a geometria era a joia da coroa de suas ciências, alcançando uma completude e perfeição de metodologia que nenhum outro ramo de seu conhecimento havia alcançado. Eles expandiram a gama de geometria para muitos novos tipos de figuras, curvas, superfícies e sólidos; eles mudaram sua metodologia de tentativa e erro para dedução lógica; eles reconheceram que a geometria estuda "formas eternas", ou abstrações, das quais os objetos físicos são apenas aproximações; e desenvolveram a ideia do "método axiomático", ainda em uso hoje.
Tales e Pitágoras
Tales (635-543 aC) de Mileto (agora no sudoeste da Turquia), foi o primeiro a quem a dedução em matemática é atribuída. Existem cinco proposições geométricas para as quais ele escreveu provas dedutivas, embora suas provas não tenham sobrevivido. Pitágoras (582-496 aC) da Jônia e, posteriormente, da Itália, então colonizada pelos gregos, pode ter sido aluno de Tales e viajou para a Babilônia e o Egito. O teorema que leva seu nome pode não ter sido sua descoberta, mas ele provavelmente foi um dos primeiros a dar uma prova dedutiva disso. Ele reuniu um grupo de alunos ao seu redor para estudar matemática, música e filosofia, e juntos descobriram a maior parte do que os alunos do ensino médio aprendem hoje em seus cursos de geometria. Além disso, eles fizeram a descoberta profunda de comprimentos incomensuráveis e números irracionais.
Platão
Platão (427-347 aC) foi um filósofo muito estimado pelos gregos. Há uma história que ele inscreveu acima da entrada de sua famosa escola: "Que nenhum ignorante em geometria entre aqui." No entanto, a história é considerada falsa. Embora ele próprio não fosse um matemático, suas opiniões sobre a matemática tiveram grande influência. Os matemáticos, portanto, aceitaram sua crença de que a geometria não deveria usar ferramentas além do compasso e da régua - nunca medindo instrumentos como uma régua marcada ou um transferidor, porque essas eram ferramentas de um trabalhador, não dignas de um estudioso. Essa máxima levou a um estudo profundo das possíveis construções com régua e compasso, e três problemas clássicos de construção: como usar essas ferramentas para trissetar um ângulo, construir um cubo com o dobro do volume de um dado cubo e construir um quadrado com a mesma área. a um determinado círculo. As provas da impossibilidade dessas construções, finalmente alcançadas no século XIX, levaram a princípios importantes sobre a estrutura profunda do sistema de números reais. Aristóteles (384-322 aC), o maior aluno de Platão, escreveu um tratado sobre métodos de raciocínio usados em provas dedutivas (ver Lógica) que não foi substancialmente aprimorado até o século XIX.
Geometria helenística
Euclides
Euclides (c. 325-265 aC), de Alexandria, provavelmente aluno da Academia fundada por Platão, escreveu um tratado em 13 livros (capítulos), intitulado Os Elementos da Geometria, em que ele apresentou a geometria em uma forma axiomática ideal, que veio a ser conhecida como geometria euclidiana. O tratado não é um compêndio de tudo o que os matemáticos helenísticos sabiam na época sobre geometria; O próprio Euclides escreveu mais oito livros avançados sobre geometria. Sabemos por outras referências que o de Euclides não foi o primeiro livro de geometria elementar, mas era tão superior que os demais caíram em desuso e se perderam. Ele foi levado para a universidade em Alexandria por Ptolomeu I, rei do Egito.
Os Elementos começaram com definições de termos, princípios geométricos fundamentais (chamados axiomas ou postulados) e princípios quantitativos gerais (chamados noções comuns) a partir das quais todo o resto da geometria pode ser deduzido logicamente. A seguir estão seus cinco axiomas, um pouco parafraseados para tornar o inglês mais fácil de ler.
- Qualquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta.
- Qualquer linha reta finita pode ser estendida em linha reta.
- Um círculo pode ser desenhado com qualquer centro e qualquer raio.
- Todos os ângulos certos são iguais uns aos outros.
- Se duas linhas retas em um plano forem atravessadas por outra linha reta (chamada transversal), e os ângulos interiores entre as duas linhas e o transversal deitado em um lado do transversal adicionam até menos de dois ângulos retos, então nesse lado do transversal, as duas linhas estendidas se cruzarão (também chamadas de postulado paralelo).
Conceitos, que agora são entendidos como álgebra, foram expressos geometricamente por Euclides, um método conhecido como álgebra geométrica grega.
Arquimedes
Arquimedes (287-212 aC), de Siracusa, na Sicília, quando era uma cidade-estado grega, é frequentemente considerado o maior dos matemáticos gregos, e ocasionalmente até apontado como um dos três maiores de todos os tempos (juntamente com Isaac Newton e Carl Friedrich Gauss). Se não fosse matemático, ainda seria lembrado como um grande físico, engenheiro e inventor. Em sua matemática, ele desenvolveu métodos muito semelhantes aos sistemas de coordenadas da geometria analítica e ao processo de limitação do cálculo integral. O único elemento que faltava para a criação desses campos era uma notação algébrica eficiente para expressar seus conceitos.
Depois de Arquimedes
Depois de Arquimedes, a matemática helenística começou a declinar. Ainda faltavam algumas estrelas menores, mas a idade de ouro da geometria havia acabado. Proclo (410-485), autor do Comentário ao Primeiro Livro de Euclides, foi um dos últimos protagonistas importantes da geometria helenística. Ele era um geômetra competente, mas, mais importante, era um excelente comentarista das obras que o precederam. Muito desse trabalho não sobreviveu aos tempos modernos e é conhecido por nós apenas por meio de seus comentários. A República e o Império Romanos que sucederam e absorveram as cidades-estados gregas produziram excelentes engenheiros, mas nenhum matemático digno de nota.
A grande Biblioteca de Alexandria foi posteriormente queimada. Há um consenso crescente entre os historiadores de que a Biblioteca de Alexandria provavelmente sofreu vários eventos destrutivos, mas que a destruição dos templos pagãos de Alexandria no final do século IV foi provavelmente a mais severa e definitiva. A evidência dessa destruição é a mais definitiva e segura. A invasão de César pode muito bem ter levado à perda de cerca de 40.000-70.000 pergaminhos em um armazém adjacente ao porto (como argumenta Luciano Canfora, provavelmente eram cópias produzidas pela Biblioteca destinadas à exportação), mas é improvável que afetaram a Biblioteca ou o Museu, visto que há ampla evidência de que ambos existiram posteriormente.
Guerras civis, investimentos decrescentes na manutenção e aquisição de novos pergaminhos e interesse geralmente declinante em atividades não religiosas provavelmente contribuíram para uma redução no corpo de material disponível na Biblioteca, especialmente no século IV. O Serapeum certamente foi destruído por Teófilo em 391, e o Museu e a Biblioteca podem ter sido vítimas da mesma campanha.
Geometria indiana clássica
No manuscrito Bakhshali, há um punhado de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valor decimal com um ponto para zero". O Aryabhatiya de Aryabhata (499) inclui o cálculo de áreas e volumes.
Brahmagupta escreveu sua obra astronômica Brāhma Sphuṭa Siddhānta em 628. O capítulo 12, contendo 66 versos sânscritos, foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes cúbicas, frações, razão e proporção e escambo) e "matemática prática" (incluindo mistura, séries matemáticas, figuras planas, empilhamento de tijolos, serragem de madeira e empilhamento de grãos). Na última seção, ele declarou seu famoso teorema sobre as diagonais de um quadrilátero cíclico:
Teorema de Brahmagupta: Se um quadrilátero cíclico tem diagonais perpendiculares entre si, então a linha perpendicular traçada do ponto de interseção das diagonais a qualquer lado do quadrilátero sempre divide o lado oposto.
O Capítulo 12 também inclui uma fórmula para a área de um quadrilátero cíclico (uma generalização da fórmula de Heron), bem como uma descrição completa de triângulos racionais (<i.e. triângulos com lados racionais e áreas racionais).
Fórmula de Brahmagupta: A área, A, de um quadrilátero cíclico com lados de comprimentos a, b , c, d, respectivamente, é dado por
- A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(S- Sim. - Sim. um)(S- Sim. - Sim. b))(S- Sim. - Sim. c)(S- Sim. - Sim. D)(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
Onde? S, o semiperímetro, dado por: S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um+b)+c+D2.- Sim. (a+b+c+d}{2}}.}
Teorema de Brahmagupta sobre triângulos racionais: Um triângulo com lados racionais um,b),c- Não. e área racional é da forma:
- um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =u2v+v,b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =u2O quê?+O quê?,c= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =u2v+u2O quê?- Sim. - Sim. (v+O quê?){displaystyle a={frac {u^{2}}{v}}+v, b=**** {u^{2}}{w}}+w, c={frac {u^{2}}{v}}+{frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}
para alguns números racionais u,v,Não. e O quê?Não..
Geometria chinesa
O primeiro trabalho definitivo (ou pelo menos o mais antigo existente) sobre geometria na China foi o Mo Jing, o cânone moísta do antigo filósofo Mozi (470-390 aC). Foi compilado anos após sua morte por seus seguidores por volta do ano 330 aC. Embora o Mo Jing seja o livro de geometria mais antigo existente na China, existe a possibilidade de que existisse material escrito ainda mais antigo. No entanto, devido à infame queima dos livros em uma manobra política do governante da Dinastia Qin, Qin Shihuang (r. 221-210 aC), multidões de literatura escrita criada antes de seu tempo foram expurgadas. Além disso, o Mo Jing apresenta conceitos geométricos em matemática que talvez sejam muito avançados para não terem uma base geométrica anterior ou um background matemático para trabalhar.
O Mo Jing descrevia vários aspectos de muitos campos associados à ciência física e também fornecia uma pequena riqueza de informações sobre matemática. Ele forneceu uma estrutura 'atômica' definição do ponto geométrico, afirmando que uma linha é separada em partes, e a parte que não tem partes restantes (ou seja, não pode ser dividida em partes menores) e, portanto, forma o extremo de uma linha é um ponto. Assim como a primeira e a terceira definições de Euclides e o "início de uma linha" de Platão, o Mo Jing afirmou que "um ponto pode estar em o fim (de uma linha) ou no seu início como uma apresentação da cabeça no parto. (Quanto à sua invisibilidade) não há nada semelhante a ela." Semelhante aos atomistas de Demócrito, o Mo Jing afirmava que um ponto é a menor unidade, e não pode ser cortado ao meio, pois 'nada' não pode ser reduzido pela metade. Ele afirmou que duas linhas de comprimento igual sempre terminarão no mesmo lugar, enquanto fornece definições para a comparação de comprimentos e para paralelos, juntamente com os princípios de espaço e espaço limitado. Também descrevia o fato de que planos sem a qualidade de espessura não podem ser empilhados, pois não podem se tocar. O livro forneceu definições para circunferência, diâmetro e raio, juntamente com a definição de volume.
O período da Dinastia Han (202 aC-220 dC) da China testemunhou um novo florescimento da matemática. Um dos textos matemáticos chineses mais antigos a apresentar progressões geométricas foi o Suàn shù shū de 186 aC, durante a era Han Ocidental. O matemático, inventor e astrônomo Zhang Heng (78-139 DC) usou fórmulas geométricas para resolver problemas matemáticos. Embora estimativas aproximadas para pi (π) tenham sido dadas no Zhou Li (compilado no século II aC), foi Zhang Heng quem foi o primeiro a fazer um esforço conjunto para criar uma fórmula mais precisa para pi. Zhang Heng aproximou pi como 730/232 (ou aproximadamente 3,1466), embora tenha usado outra fórmula de pi para encontrar um volume esférico, usando a raiz quadrada de 10 (ou aproximadamente 3,162). Zu Chongzhi (429-500 AD) melhorou a precisão da aproximação de pi para entre 3,1415926 e 3,1415927, com 355⁄113 (密率, Milü, aproximação detalhada) e 22⁄7 (约率, Yuelü, aproximação aproximada) sendo o outra aproximação notável. Em comparação com trabalhos posteriores, a fórmula para pi dada pelo matemático francês Franciscus Vieta (1540-1603) ficou a meio caminho entre as aproximações de Zu.
Os nove capítulos sobre a arte matemática
Os Nove Capítulos da Arte Matemática, cujo título apareceu pela primeira vez em 179 DC em uma inscrição de bronze, foi editado e comentado pelo matemático do século III Liu Hui do Reino de Cao Wei. Este livro incluiu muitos problemas em que a geometria foi aplicada, como encontrar áreas de superfície para quadrados e círculos, os volumes de sólidos em várias formas tridimensionais e incluiu o uso do teorema de Pitágoras. O livro forneceu provas ilustradas para o teorema de Pitágoras, continha um diálogo escrito entre o Duque de Zhou e Shang Gao sobre as propriedades do triângulo de ângulo reto e o teorema de Pitágoras, ao mesmo tempo em que se referia ao gnômon astronômico, o círculo e o quadrado, bem como medições de alturas e distâncias. O editor Liu Hui listou pi como 3,141014 usando um polígono de 192 lados e calculou pi como 3,14159 usando um polígono de 3072 lados. Isso foi mais preciso do que o contemporâneo de Liu Hui, Wang Fan, um matemático e astrônomo do leste de Wu, renderizaria pi como 3,1555 usando 142⁄45. Liu Hui também escreveu sobre levantamento matemático para calcular medidas de distância de profundidade, altura, largura e área de superfície. Em termos de geometria sólida, ele descobriu que uma cunha com base retangular e ambos os lados inclinados poderia ser dividida em uma pirâmide e uma cunha tetraédrica. Ele também descobriu que uma cunha com base trapezoidal e ambos os lados inclinados poderia ser feita para dar duas cunhas tetraédricas separadas por uma pirâmide. Além disso, Liu Hui descreveu o princípio de Cavalieri sobre o volume, bem como a eliminação gaussiana. Dos Nove Capítulos, listou as seguintes fórmulas geométricas que eram conhecidas na época da Antiga Dinastia Han (202 aC–9 dC).
Áreas para
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Volumes para
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Continuando o legado geométrico da China antiga, muitas figuras posteriores apareceram, incluindo o famoso astrônomo e matemático Shen Kuo (1031-1095 EC), Yang Hui (1238-1298) que descobriu o Triângulo de Pascal, Xu Guangqi (1562-1633), e muitos outros.
Era de ouro islâmica
No início do século IX, a "Era de Ouro Islâmica" floresceu, o estabelecimento da Casa da Sabedoria em Bagdá marcando uma tradição científica separada no mundo islâmico medieval, construindo não apenas fontes helenísticas, mas também indianas.
Embora os matemáticos islâmicos sejam mais famosos por seu trabalho em álgebra, teoria dos números e sistemas numéricos, eles também fizeram contribuições consideráveis à geometria, trigonometria e astronomia matemática, e foram responsáveis pelo desenvolvimento da geometria algébrica.
Al-Mahani (nascido em 820) concebeu a ideia de reduzir problemas geométricos, como a duplicação do cubo, a problemas de álgebra. Al-Karaji (nascido em 953) libertou completamente a álgebra das operações geométricas e as substituiu pelo tipo aritmético de operações que estão no cerne da álgebra hoje.
Thābit ibn Qurra (conhecido como Thebit em latim) (nascido em 836) contribuiu para várias áreas da matemática, onde desempenhou um papel importante na preparação do caminho para importantes descobertas matemáticas como a extensão do conceito de número para números reais (positivos), cálculo integral, teoremas em trigonometria esférica, geometria analítica e geometria não euclidiana. Na astronomia, Thabit foi um dos primeiros reformadores do sistema ptolomaico e, na mecânica, foi um dos fundadores da estática. Um aspecto geométrico importante do trabalho de Thabit foi seu livro sobre a composição de proporções. Neste livro, Thabit trata de operações aritméticas aplicadas a proporções de grandezas geométricas. Os gregos haviam lidado com quantidades geométricas, mas não as tinham pensado da mesma forma como números aos quais as regras usuais da aritmética poderiam ser aplicadas. Ao introduzir operações aritméticas em quantidades anteriormente consideradas geométricas e não numéricas, Thabit deu início a uma tendência que acabou levando à generalização do conceito de número.
Em alguns aspectos, Thabit é crítico das ideias de Platão e Aristóteles, particularmente em relação ao movimento. Parece que aqui suas idéias são baseadas na aceitação do uso de argumentos relativos ao movimento em seus argumentos geométricos. Outra contribuição importante que Thabit fez à geometria foi sua generalização do teorema de Pitágoras, que ele estendeu de triângulos retângulos especiais a todos os triângulos em geral, juntamente com uma prova geral.
Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit (nascido em 908), que introduziu um método de integração mais geral do que o de Arquimedes, e al-Quhi (nascido em 940) foram figuras importantes no renascimento e continuação da geometria superior grega no mundo islâmico. Esses matemáticos, e em particular Ibn al-Haytham, estudaram óptica e investigaram as propriedades ópticas de espelhos feitos de seções cônicas.
Astronomia, cronometragem e geografia forneceram outras motivações para a pesquisa geométrica e trigonométrica. Por exemplo, Ibrahim ibn Sinan e seu avô Thabit ibn Qurra estudaram curvas necessárias na construção de relógios de sol. Abu'l-Wafa e Abu Nasr Mansur aplicaram a geometria esférica à astronomia.
Um artigo de 2007 na revista Science sugeriu que os ladrilhos girih possuíam propriedades consistentes com ladrilhos quasicristalinos fractais autossimilares, como os ladrilhos de Penrose.
Renascimento
A transmissão dos clássicos gregos para a Europa medieval através da literatura árabe dos séculos IX a X "Era de Ouro Islâmica" começou no século 10 e culminou nas traduções latinas do século 12. Uma cópia do Almagesto de Ptolomeu foi trazida de volta à Sicília por Henrique Aristipo (falecido em 1162), como um presente do imperador ao rei Guilherme I (r. 1154–1166). Um estudante anônimo em Salerno viajou para a Sicília e traduziu o Almagesto, bem como várias obras de Euclides do grego para o latim. Embora os sicilianos geralmente traduzissem diretamente do grego, quando os textos gregos não estavam disponíveis, eles traduziam do árabe. Eugênio de Palermo (falecido em 1202) traduziu a Óptica de Ptolomeu para o latim, baseando-se em seu conhecimento das três línguas na tarefa. Os rigorosos métodos dedutivos de geometria encontrados em Elementos de geometria de Euclides foram reaprendidos, e o desenvolvimento da geometria nos estilos de Euclides (geometria euclidiana) e Khayyam (geometria algébrica) continuou, resultando em uma abundância de novos teoremas e conceitos, muitos deles muito profundos e elegantes.
Avanços no tratamento da perspectiva foram feitos na arte renascentista dos séculos 14 a 15, que foram além do que havia sido alcançado na antiguidade. Na arquitetura renascentista do Quattrocento, os conceitos de ordem arquitetônica foram explorados e as regras foram formuladas. Um excelente exemplo é a Basílica di San Lorenzo em Florença por Filippo Brunelleschi (1377-1446).
Em c. 1413 Filippo Brunelleschi demonstrou o método geométrico de perspectiva, usado hoje por artistas, pintando os contornos de vários edifícios florentinos em um espelho. Logo depois, quase todos os artistas em Florença e na Itália usaram a perspectiva geométrica em suas pinturas, principalmente Masolino da Panicale e Donatello. Melozzo da Forlì usou pela primeira vez a técnica de escorço ascendente (em Roma, Loreto, Forlì e outros), e foi celebrado por isso. A perspectiva não era apenas uma forma de mostrar profundidade, mas também um novo método de compor uma pintura. As pinturas começaram a mostrar uma cena única e unificada, em vez de uma combinação de várias.
Como mostrado pela rápida proliferação de pinturas de perspectiva precisas em Florença, Brunelleschi provavelmente entendeu (com a ajuda de seu amigo, o matemático Toscanelli), mas não publicou, a matemática por trás da perspectiva. Décadas depois, seu amigo Leon Battista Alberti escreveu De pictura (1435/1436), um tratado sobre métodos adequados de mostrar a distância na pintura com base na geometria euclidiana. Alberti também foi treinado na ciência da óptica através da escola de Pádua e sob a influência de Biagio Pelacani da Parma, que estudou a Optics' de Alhazen.
Piero della Francesca elaborou Della Pittura em seu De Prospectiva Pingendi na década de 1470. Alberti limitou-se a figuras no plano do solo e deu uma base geral para a perspectiva. Della Francesca o desenvolveu, cobrindo explicitamente os sólidos em qualquer área do plano da imagem. Della Francesca também iniciou a prática agora comum de usar figuras ilustradas para explicar os conceitos matemáticos, tornando seu tratado mais fácil de entender do que o de Alberti. Della Francesca também foi a primeira a desenhar com precisão os sólidos platônicos como eles apareceriam em perspectiva.
A perspectiva permaneceu, por um tempo, o domínio de Florença. Jan van Eyck, entre outros, foi incapaz de criar uma estrutura consistente para as linhas convergentes nas pinturas, como em O retrato de Arnolfini, em Londres, porque não sabia do avanço teórico que então ocorria na Itália. No entanto, ele conseguiu efeitos muito sutis por meio de manipulações de escala em seus interiores. Gradualmente, e em parte pelo movimento das academias de artes, as técnicas italianas passaram a fazer parte da formação de artistas em toda a Europa e, posteriormente, em outras partes do mundo. O ponto culminante dessas tradições renascentistas encontra sua síntese final na pesquisa do arquiteto, geômetra e oculista Girard Desargues sobre perspectiva, ótica e geometria projetiva.
O Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci (c. 1490) retrata um homem em duas posições sobrepostas com os braços e as pernas separados e inscritos em um círculo e um quadrado. O desenho é baseado nas correlações das proporções humanas ideais com a geometria descrita pelo antigo arquiteto romano Vitrúvio no Livro III de seu tratado De Architectura.
Geometria moderna
O século XVII
No início do século XVII, houve dois desenvolvimentos importantes na geometria. A primeira e mais importante foi a criação da geometria analítica, ou geometria com coordenadas e equações, por René Descartes (1596–1650) e Pierre de Fermat (1601–1665). Este foi um precursor necessário para o desenvolvimento do cálculo e de uma ciência quantitativa precisa da física. O segundo desenvolvimento geométrico deste período foi o estudo sistemático da geometria projetiva por Girard Desargues (1591-1661). A geometria projetiva é o estudo da geometria sem medição, apenas o estudo de como os pontos se alinham uns com os outros. Houve alguns trabalhos iniciais nesta área por geômetras helenísticos, notavelmente Pappus (c. 340). A maior floração do campo ocorreu com Jean-Victor Poncelet (1788–1867).
No final do século XVII, o cálculo foi desenvolvido independentemente e quase simultaneamente por Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Este foi o início de um novo campo da matemática agora chamado de análise. Embora não seja um ramo da geometria, é aplicável à geometria e resolveu duas famílias de problemas que há muito eram quase intratáveis: encontrar linhas tangentes a curvas ímpares e encontrar áreas delimitadas por essas curvas. Os métodos de cálculo reduziram esses problemas principalmente a questões simples de computação.
Séculos XVIII e XIX
Geometria não euclidiana
O antiquíssimo problema de provar o Quinto Postulado de Euclides, o "Postulado das Paralelas", a partir de seus quatro primeiros postulados nunca foi esquecido. Começando não muito depois de Euclides, muitas tentativas de demonstração foram dadas, mas todas foram posteriormente consideradas falhas, ao permitir no raciocínio algum princípio que não havia sido provado pelos primeiros quatro postulados. Embora Omar Khayyám também não tenha conseguido provar o postulado das paralelas, suas críticas às teorias das paralelas de Euclides e sua prova de propriedades de figuras em geometrias não euclidianas contribuíram para o eventual desenvolvimento da geometria não euclidiana. Por volta de 1700, muito já havia sido descoberto sobre o que pode ser provado a partir dos quatro primeiros, e quais eram as armadilhas na tentativa de provar o quinto. Saccheri, Lambert e Legendre fizeram um excelente trabalho sobre o problema no século 18, mas ainda não obtiveram sucesso. No início do século XIX, Gauss, Johann Bolyai e Lobachevsky, cada um de forma independente, adotaram uma abordagem diferente. Começando a suspeitar que era impossível provar o Postulado das Paralelas, eles começaram a desenvolver uma geometria autoconsistente na qual esse postulado era falso. Nisso eles tiveram sucesso, criando assim a primeira geometria não-euclidiana. Em 1854, Bernhard Riemann, um estudante de Gauss, aplicou métodos de cálculo em um estudo inovador da geometria intrínseca (autocontida) de todas as superfícies lisas e, assim, encontrou uma geometria não-euclidiana diferente. Este trabalho de Riemann mais tarde se tornou fundamental para a teoria da relatividade de Einstein.
Faltou provar matematicamente que a geometria não-euclidiana era tão autoconsistente quanto a geometria euclidiana, e isso foi realizado pela primeira vez por Beltrami em 1868. Com isso, a geometria não-euclidiana foi estabelecida em pé de igualdade matemática com geometria euclidiana.
Embora agora se soubesse que diferentes teorias geométricas eram matematicamente possíveis, a questão permanecia: "Qual dessas teorias é a correta para o nosso espaço físico?" O trabalho matemático revelou que esta questão deve ser respondida pela experimentação física, não pelo raciocínio matemático, e descobriu a razão pela qual a experimentação deve envolver distâncias imensas (interestelares, não terrestres). Com o desenvolvimento da teoria da relatividade na física, essa questão tornou-se muito mais complicada.
Introdução do rigor matemático
Todo o trabalho relacionado ao Postulado das Paralelas revelou que era bastante difícil para um geômetra separar seu raciocínio lógico de sua compreensão intuitiva do espaço físico e, além disso, revelou a importância crítica de fazê-lo. Um exame cuidadoso revelou algumas inadequações lógicas no raciocínio de Euclides e alguns princípios geométricos não declarados aos quais Euclides às vezes apelava. Essa crítica é paralela à crise que ocorre no cálculo e na análise em relação ao significado de processos infinitos, como convergência e continuidade. Na geometria, havia uma clara necessidade de um novo conjunto de axiomas, que fosse completo, e que de forma alguma dependesse de imagens que desenhamos ou de nossa intuição do espaço. Tais axiomas, agora conhecidos como axiomas de Hilbert, foram dados por David Hilbert em 1894 em sua dissertação Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da Geometria). Alguns outros conjuntos completos de axiomas foram dados alguns anos antes, mas não combinavam com os de Hilbert em economia, elegância e similaridade com os axiomas de Euclides.
Situação de análise ou topologia
Em meados do século XVIII, tornou-se evidente que certas progressões do raciocínio matemático reapareciam quando ideias semelhantes eram estudadas na reta numérica, em duas dimensões e em três dimensões. Assim, o conceito geral de espaço métrico foi criado para que o raciocínio pudesse ser feito de forma mais geral, e então aplicado a casos especiais. Esse método de estudar conceitos relacionados ao cálculo e à análise veio a ser conhecido como análise situs e, mais tarde, como topologia. Os tópicos importantes nesse campo eram propriedades de figuras mais gerais, como conectividade e limites, em vez de propriedades como retidão e igualdade precisa de medidas de comprimento e ângulo, que haviam sido o foco da geometria euclidiana e não euclidiana. A topologia logo se tornou um campo separado de grande importância, ao invés de um subcampo de geometria ou análise.
Geometria de mais de 3 dimensões
O século 19 viu o desenvolvimento do conceito geral de espaço euclidiano por Ludwig Schläfli, que estendeu a geometria euclidiana além das três dimensões. Ele descobriu todos os análogos de dimensão superior dos sólidos platônicos, descobrindo que existem exatamente seis desses politopos convexos regulares na dimensão quatro e três em todas as dimensões superiores.
Em 1878, William Kingdon Clifford introduziu o que hoje é chamado de álgebra geométrica, unificando os quatérnios de William Rowan Hamilton com a álgebra de Hermann Grassmann e revelando a natureza geométrica desses sistemas, especialmente em quatro dimensões. As operações da álgebra geométrica têm o efeito de espelhar, girar, transladar e mapear os objetos geométricos que estão sendo modelados para novas posições.
O século 20
Desenvolvimentos na geometria algébrica incluíram o estudo de curvas e superfícies sobre corpos finitos, conforme demonstrado pelos trabalhos de André Weil, Alexander Grothendieck e Jean-Pierre Serre, entre outros, bem como sobre os números reais ou complexos. A própria geometria finita, o estudo de espaços com apenas um número finito de pontos, encontrou aplicações na teoria da codificação e na criptografia. Com o advento do computador, novas disciplinas como geometria computacional ou geometria digital lidam com algoritmos geométricos, representações discretas de dados geométricos e assim por diante.
Cronograma
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