Grupo de isomorfismo

Na álgebra abstrata, um isomorfismo de grupo é uma função entre dois grupos que estabelece uma correspondência um-para-um entre os elementos dos grupos de uma forma que respeita as operações de grupo fornecidas. Se existe um isomorfismo entre dois grupos, então os grupos são chamados isomorfos. Do ponto de vista da teoria dos grupos, os grupos isomórficos têm as mesmas propriedades e não precisam ser distinguidos.

Definição e notação

Dois grupos (G,∗ ∗ )(G,*)} e (H. H. H.,⊙ ⊙ ),(H,odot),} um grupo isomorfismo a partir de (G,∗ ∗ )(G,*)} para (H. H. H.,⊙ ⊙ )(H,odot)} é um grupo bijetivo homomorfismo de GNão. G. para H. H. H..Não. H. Lançado, isso significa que um isomorfismo de grupo é uma função bijetiva f:G→ → H. H. H.{displaystyle f:Gto H} tal que para todos uNão. e vNão. em GNão. G. ele segura

f(u∗ ∗ v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(u)⊙ ⊙ f(v).{displaystyle f(u*v)=f(u)odot f(v).}

Os dois grupos (G,∗ ∗ )(G,*)} e (H. H. H.,⊙ ⊙ )(H,odot)} são isomorfos se existe um isomorfismo de um para o outro. Isto é escrito

(G,∗ ∗ )Gerenciamento Gerenciamento (H. H. H.,⊙ ⊙ ).(G,*)cong (H,odot). ?

Muitas vezes, podem ser usadas notações mais curtas e simples. Quando as operações de grupo relevantes são compreendidas, elas são omitidas e escreve-se

GGerenciamento Gerenciamento H. H. H..Não. Gcong H.

Às vezes pode-se simplesmente escrever G= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =H. H. H..Não. G=H. Se tal notação é possível sem confusão ou ambiguidade depende do contexto. Por exemplo, o sinal de igualdade não é muito adequado quando os grupos são ambos subgrupos do mesmo grupo. Veja também os exemplos.

Por outro lado, dado um grupo (G,∗ ∗ ),(G,*),} um conjunto H. H. H.,Não. H, e uma bijeção f:G→ → H. H. H.,{displaystyle f:Gto H,} nós podemos fazer H. H. H.Não. H. um grupo (H. H. H.,⊙ ⊙ )(H,odot)} por definição

f(u)⊙ ⊙ f(v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(u∗ ∗ v).{displaystyle f(u)odot f(v)=f(u*v). ?

Se H. H. H.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =GNão. H=G e ⊙ ⊙ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∗ ∗ - Sim. então a bijeção é um automorfismo (q.v.).

Intuitivamente, os teóricos do grupo vêem dois grupos isomórficos da seguinte forma: Para cada elemento gNão. de um grupo G,Não. G, existe um elemento hNão. de H. H. H.Não. H. tal que hNão. "comporta-se da mesma maneira" gNão. (opera com outros elementos do grupo da mesma forma como gNão.). Por exemplo, se gNão. gera G,Não. G, então assim faz h.Não. Isto implica, em particular, que GNão. G. e H. H. H.Não. H. estão em correspondência bijetiva. Assim, a definição de um isomorfismo é bastante natural.

Um isomorfismo de grupos pode ser equivalentemente definido como um homomorfismo de grupo invertível (a função inversa de um homomorfismo de grupo bijetivo também é um homomorfismo de grupo).

Exemplos

Nesta seção, alguns exemplos notáveis de grupos isomórficos são listados.

• O grupo de todos os números reais em adição, (R,+)(mathbb {R}+)}, é isomorfo para o grupo de números reais positivos sob multiplicação (R+,× × )(mathbb {R} ^{+},times)}:

  (R,+)Gerenciamento Gerenciamento (R+,× × )(mathbb {R}+)cong (mathbb {R} ^{+},times)} através do isomorfismo f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ex{displaystyle f(x)=e^{x}}.

• O grupo Z.{displaystyle mathbb {Z} } } de inteiros (com adição) é um subgrupo de R,{displaystyle mathbb {R}} e o grupo factor R/Z.{displaystyle mathbb {R} /mathbb Não. é isomorfo para o grupo S1Não. S^{1}} de números complexos de valor absoluto 1 (sob multiplicação):

  R/Z.Gerenciamento Gerenciamento S1{displaystyle mathbb {R} /mathbb {Z} cong S^{1}}

• O grupo Klein quatro é isomorfo para o produto direto de duas cópias de Z.2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Z./2Z.{displaystyle mathbb {Z} _{2}=mathbb (Z) /2mathbb Não., e pode, portanto, ser escrito Z.2× × Z.2.{displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb _{2} Outra notação é Dih2,{displaystyle operatorname {Dih} _{2},} porque é um grupo dihedral.
• Generalizando isto, para todos n,Não. Dih2n{displaystyle operatorname} {Dih} _{2n}} isomorfo para o produto direto de Dihn{displaystyle operatorname {Dih} _{n}} e Z.2.{displaystyle mathbb {Z} _{2}}.}
• Se (G,∗ ∗ )(G,*)} é um grupo cíclico infinito, então (G,∗ ∗ )(G,*)} isomorfo para os inteiros (com a operação de adição). De um ponto de vista algébrico, isso significa que o conjunto de todos os inteiros (com a operação de adição) é o grupo cíclico infinito "apenas".

Alguns grupos podem ser provados como isomórficos, contando com o axioma da escolha, mas a prova não indica como construir um isomorfismo concreto. Exemplos:

• O grupo (R,+)(mathbb {R}+)} é isomorfo para o grupo (C,+)(mathbb {C}+)} de todos os números complexos sob adição.
• O grupo (C∗ ∗ ,)) )(mathbb {C} ^{*},cdot)} de números complexos não-zero com multiplicação como a operação é isomorfo para o grupo S1Não. S^{1}} mencionado acima.

Propriedades

O núcleo de um isomorfismo de (G,∗ ∗ )(G,*)} para (H. H. H.,⊙ ⊙ )(H,odot)} é sempre_GOnde e_G é a identidade do grupo (G,∗ ∗ )(G,*)}

Se (G,∗ ∗ )(G,*)} e (H. H. H.,⊙ ⊙ )(H,odot)} são isomorfos, então GNão. G. é abeliano se e somente se H. H. H.Não. H. é abeliano.

Se fNão. é um isomorfismo de (G,∗ ∗ )(G,*)} para (H. H. H.,⊙ ⊙ ),(H,odot),} então para qualquer um∈ ∈ G,{displaystyle ain G,} a ordem de umNão. igual a ordem de f(um).{displaystyle f(a).}

Se (G,∗ ∗ )(G,*)} e (H. H. H.,⊙ ⊙ )(H,odot)} são isomorfos, então (G,∗ ∗ )(G,*)} é um grupo localmente finito se e somente se (H. H. H.,⊙ ⊙ )(H,odot)} é localmente finito.

O número de grupos distintos (até isomorfismo) de ordem nNão. é dada pela sequência A000001 no OEIS. Os primeiros números são 0, 1, 1, 1 e 2 significando que 4 é a ordem mais baixa com mais de um grupo.

Grupos cíclicos

Todos os grupos cíclicos de uma determinada ordem são isomorfos (Z.n,+n),(mathbb {Z} _{n},+_{n}),} Onde? +nNão. +_{n}} denotes adição modulo n.Não.

Vamos. GNão. G. ser um grupo cíclico e nNão. ser a ordem de G.Não. G. Deixando xNão. ser um gerador de GNão. G., GNão. G. é então igual a ⟨ ⟨ x)) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(e,x,...... ,xn- Sim. - Sim. 1?.{displaystyle langle xrangle =left{e,x,ldotsx^{n-1}right}.} Vamos mostrar que

GGerenciamento Gerenciamento (Z.n,+n).Não. Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).}

Definir

φ φ :G→ → Z.n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0,1,...... ,n- Sim. - Sim. 1?,- Sim. Gto mathbb {Z} _{n}={0,1,ldotsn-1},}

φ φ (xum)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um.(x^{a})=a.}

φ φ - Sim.

φ φ (xum)) xb))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ (xum+b))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um+b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ (xum)+nφ φ (xb)),(x^{a}cdot x^{b})=varphi (x^{a+b})=a+b=varphi (x^{a})+_{n}varphi (x^{b}),}

GGerenciamento Gerenciamento (Z.n,+n).Não. Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).}

Consequências

Da definição, segue-se que qualquer isomorfismo f:G→ → H. H. H.{displaystyle f:Gto H} mapear o elemento de identidade GNão. G. ao elemento de identidade H. H. H.,Não. H,

f(eG)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eH. H. H.,{displaystyle f(e_{G})=e_{H},}

f(u- Sim. - Sim. 1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(u)- Sim. - Sim. 1para todosu∈ ∈ G,{displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}quad {text{ para todos }}uin G,

nNão.

nNão.

f(un)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(u)npara todosu∈ ∈ G,{displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}quad {text{ para todos }}uin G,

f- Sim. - Sim. 1:H. H. H.→ → G{displaystyle f^{-1}:Hto G}

A relação "ser isomorfo" satisfaz é uma relação de equivalência. Se fNão. é um isomorfismo entre dois grupos GNão. G. e H. H. H.,Não. H, então tudo o que é verdade GNão. G. que só está relacionado com a estrutura do grupo pode ser traduzido via fNão. em uma verdadeira declaração ditto sobre H. H. H.,Não. H, e vice-versa.

Automorfismos

Um isomorfismo de um grupo (G,∗ ∗ )(G,*)} a si mesmo é chamado de automorfismo do grupo. Assim é uma bijeção f:G→ → G{displaystyle f:Gto G} tal que

f(u)∗ ∗ f(v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(u∗ ∗ v).{displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v). ?

A imagem sob um automorfismo de uma classe de conjugação é sempre uma classe de conjugação (a mesma ou outra).

A composição de dois automorfismos é novamente um automorfismo, e com esta operação o conjunto de todos os automorfismos de um grupo G,Não. G, denotado por Aut⁡ ⁡ (G),{displaystyle operatorname {Aut} (G),} forma-se um grupo, o grupo de automorfismo de G.Não. G.

Para todos os grupos abelianos há pelo menos o automorfismo que substitui os elementos do grupo por seus inversos. No entanto, em grupos onde todos os elementos são iguais aos seus inversos, este é o automorfismo trivial, por exemplo, nos quatro grupos Klein. Para esse grupo todas as permutações dos três elementos não-identitários são automorfismos, de modo que o grupo de automorfismo é isomorfo para S3Não. S_{3}} (o que em si é isomorfo Dih3{displaystyle operatorname} {Dih} _{3}}).

Em Z.p{displaystyle mathbb {Z} _{p}} para um número primo p,Não. um elemento não-identidade pode ser substituído por qualquer outro, com alterações correspondentes nos outros elementos. O grupo de automorfismo é isomórfico Z.p- Sim. - Sim. 1{displaystyle mathbb {Z} _{p-1}} Por exemplo, n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7,Não. multiplicando todos os elementos de Z.7{displaystyle mathbb {Z} _{7}} por 3, modulo 7, é um automorfismo da ordem 6 no grupo de automorfismo, porque 36)) 1(mod7),{displaystyle 3^{6}equiv 1{pmod {7}},} enquanto os poderes inferiores não dão 1. Assim, este automorfismo gera Z.6.{displaystyle mathbb {Z} _{6}}.} Há mais um automorfismo com esta propriedade: multiplicando todos os elementos de Z.7{displaystyle mathbb {Z} _{7}} por 5, modulo 7. Portanto, estes dois correspondem aos elementos 1 e 5 de Z.6,{displaystyle mathbb {Z} _{6},} nessa ordem ou inversamente.

O grupo de automorfismo Z.6{displaystyle mathbb {Z} _{6}} isomorfo para Z.2,(Z} _{2},} porque apenas cada um dos dois elementos 1 e 5 geram Z.6,{displaystyle mathbb {Z} _{6},} para além da identidade que só podemos trocar estes.

O grupo de automorfismo Z.2⊕ ⊕ Z.2⊕ ⊕ ⊕ ⊕ Z.2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Dih2⊕ ⊕ Z.2{displaystyle mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}oplus oplus mathbb {Z} _{2}=operatorname {Dih} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}} tem ordem 168, como pode ser encontrado da seguinte forma. Todos os 7 elementos não-identitários desempenham o mesmo papel, então podemos escolher qual desempenha o papel de (1,0,0).(1,0,0). ? Qualquer um dos 6 restantes pode ser escolhido para desempenhar o papel de (0,1,0). Isso determina qual elemento corresponde a (1,1,0).(1,0)} Para (0,0,1)- Sim. podemos escolher entre 4, que determina o resto. Assim temos 7× × 6× × 4= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =168{displaystyle 7times 6times 4=168} automorfismos. Eles correspondem aos do avião Fano, dos quais os 7 pontos correspondem aos 7 não identidade elementos. As linhas que ligam três pontos correspondem à operação do grupo: um,b),- Sim. e cNão. em uma linha significa um+b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c,- Sim. um+c= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b),- Sim. e b)+c= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um.Não. B+c=a. Veja também o grupo linear geral sobre campos finitos.

Para grupos abelianos, todos os automorfismos não triviais são automorfismos externos.

Grupos não abelianos têm um grupo de automorfismo interno não trivial e, possivelmente, também automorfismos externos.