Gradiente

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Derivado multivariado (matemática)

O gradiente, representado pelas setas azuis, denota a direção da maior mudança de uma função escalar. Os valores da função são representados em tons de cinza e aumento do valor de branco (baixo) para escuro (alto).

No cálculo vetorial, o Gradient de uma função diferencial de valor escalar $f$ de várias variáveis é o campo vetorial (ou função de valor vetorial) $nabla f$ cujo valor em um ponto $p$ é a "direção e taxa de aumento mais rápido". Se o gradiente de uma função é non-zero em um ponto $p$ , a direção do gradiente é a direção em que a função aumenta mais rapidamente de $p$ , e a magnitude do gradiente é a taxa de aumento nessa direção, o maior derivado direcional absoluto. Além disso, um ponto onde o gradiente é o vetor zero é conhecido como um ponto estacionário. O gradiente desempenha assim um papel fundamental na teoria da otimização, onde é usado para maximizar uma função por subida gradiente. Em termos sem coordenadas, o gradiente de uma função $f(mathbf{r})$ pode ser definido por:

{displaystyle df=nabla fcdot d{bf {r}}}

Onde? $df$ é a mudança infinitasimal total em $f$ para um deslocamento infinitesimal ${displaystyle d{bf {r}}}$ , e é visto como máximo quando ${displaystyle d{bf {r}}}$ está na direção do gradiente $nabla f$ . O símbolo da nabla $nabla$ , escrito como um triângulo de cabeça para baixo e pronunciado "del", denota o operador diferencial vetorial.

Quando um sistema de coordenadas é usado em que os vetores de base não são funções de posição, o gradiente é dado pelo vetor cujos componentes são os derivados parciais de $f$ em $p$ . Isso é, para ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ , seu gradiente ${displaystyle nabla fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}$ é definido no ponto ${displaystyle p=(x_{1},ldotsx_{n})}$ em Não.espaço dimensional como o vetor

{displaystyle nabla f(p)={begin{bmatrix}{frac {partial f}{partial x_{1}}}(p)\vdots \{frac {partial f}{partial x_{n}}}(p)end{bmatrix}}.}

O gradiente é dual ao derivado total $df$ : o valor do gradiente em um ponto é um vetor tangente – um vetor em cada ponto; enquanto o valor do derivado em um ponto é um vetor cotangente – um funcional linear em vetores. Eles estão relacionados em que o produto do ponto do gradiente do $f$ em um ponto $p$ com outro vetor tangente $mathbf {v}$ igual ao derivado direcional de $f$ em $p$ da função ao longo $mathbf {v}$ ; isto é, ${textstyle nabla f(p)cdot mathbf {v} ={frac {partial f}{partial mathbf {v} }}(p)=df_{p}(mathbf {v})}$ . O gradiente admite múltiplas generalizações para funções mais gerais em coletores; ver § Generalizações.

Motivação

Gradiente da função 2D

f (x, Sim.) = xe ... x 2 + Sim. 2)

é plotado como flechas sobre o enredo pseudocolor da função.

Considere uma sala onde a temperatura é dada por um campo escalar, $T$ , então em cada ponto $(x, y, z)$ a temperatura é $T (x, y, z)$ , independente do tempo. Em cada ponto da sala, o gradiente de $T$ naquele ponto mostrará a direção na qual a temperatura sobe mais rapidamente, afastando-se de $(x, y, z)$ . A magnitude do gradiente determinará a rapidez com que a temperatura sobe nessa direção.

Considere uma superfície cuja altura acima do nível do mar no ponto $(x, y)$ é $H (x, y)$ . O gradiente de $H$ em um ponto é um vetor plano apontando na direção do declive ou inclinação mais íngreme naquele ponto. A inclinação da inclinação naquele ponto é dada pela magnitude do vetor gradiente.

O gradiente também pode ser usado para medir como um campo escalar muda em outras direções, em vez de apenas na direção de maior mudança, tomando um produto escalar. Suponha que a maior inclinação em uma colina seja de 40%. Uma estrada subindo diretamente a colina tem inclinação de 40%, mas uma estrada que contorna a colina em ângulo terá uma inclinação menor. Por exemplo, se a estrada estiver em um ângulo de 60° da direção ascendente (quando ambas as direções são projetadas no plano horizontal), a inclinação ao longo da estrada será o produto escalar entre o vetor gradiente e um vetor unitário ao longo da estrada, ou seja, 40% vezes o cosseno de 60°, ou 20%.

De forma mais geral, se a função de altura da colina $H$ for diferenciável, então o gradiente de $H$ pontilhado com um vetor unitário dá a inclinação da colina na direção do vetor, a derivada direcional de $H$ ao longo do vetor unitário.

Notação

O gradiente de uma função $f$ ponto $a$ é geralmente escrito como ${displaystyle nabla f(a)}$ . Também pode ser denotado por qualquer um dos seguintes:

${displaystyle {vec {nabla }}f(a)}$ : enfatizar a natureza vetorial do resultado.
$Grad f$
${displaystyle partial _{i}f}$ e $f_{i}$ : Notação de Einstein.

Definição

O gradiente da função

f (x, Sim.) = -(cos) 2 x + cos 2 Sim.) 2

retratado como um campo de vetor projetado no plano inferior.

O gradiente (ou campo vetorial gradiente) de uma função escalar $f (x 1, x 2, x 3, \dots, x n)$ é denotado $\nabla f$ ou $\nabla \to f$ onde $\nabla$ (nabla) denota o operador diferencial vetorial, del. A notação $grad f$ também é comumente usada para representar o gradiente. O gradiente de $f$ é definido como o campo vetorial único cujo produto escalar com qualquer vetor $v$ em cada ponto $x$ é a derivada direcional de $f$ ao longo de $v$ . Aquilo é,

{displaystyle {big (}nabla f(x){big)}cdot mathbf {v} =D_{mathbf {v} }f(x)}

onde a mão do lado direito é a derivada direcional e há muitas maneiras de representá-la. Formalmente, a derivada é dual ao gradiente; ver relação com derivada.

Quando uma função também depende de um parâmetro como o tempo, o gradiente geralmente se refere apenas ao vetor de suas derivadas espaciais (consulte Gradiente espacial).

A magnitude e a direção do vetor de gradiente são independentes da representação de coordenadas específica.

Coordenadas cartesianas

No sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais com uma métrica euclidiana, o gradiente, se existir, é dado por:

{displaystyle nabla f={frac {partial f}{partial x}}mathbf {i} +{frac {partial f}{partial y}}mathbf {j} +{frac {partial f}{partial z}}mathbf {k}}

onde $i$ , $j$ , $k$ são os vetores unitários padrão nas direções de $x$ , $y$ e $z$ , respectivamente. Por exemplo, o gradiente da função

{displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-sin(z)}

{displaystyle nabla f=2mathbf {i} +6ymathbf {j} -cos(z)mathbf {k}.}

Em algumas aplicações é comum representar o gradiente como um vetor linha ou vetor coluna de seus componentes em um sistema de coordenadas retangulares; este artigo segue a convenção do gradiente sendo um vetor coluna, enquanto a derivada é um vetor linha.

Coordenadas cilíndricas e esféricas

Em coordenadas cilíndricas com métrica euclidiana, o gradiente é dado por:

{displaystyle nabla f(rhovarphiz)={frac {partial f}{partial rho }}mathbf {e} _{rho }+{frac {1}{rho }}{frac {partial f}{partial varphi }}mathbf {e} _{varphi }+{frac {partial f}{partial z}}mathbf {e} _{z},}

onde $ρ$ é a distância axial, $φ$ é o ângulo azimutal ou azimutal, $z$ é a coordenada axial e $e ρ$ , $e φ$ e $e z$ são vetores unitários apontando ao longo das direções das coordenadas.

Em coordenadas esféricas, o gradiente é dado por:

{displaystyle nabla f(r,thetavarphi)={frac {partial f}{partial r}}mathbf {e} _{r}+{frac {1}{r}}{frac {partial f}{partial theta }}mathbf {e} _{theta }+{frac {1}{rsin theta }}{frac {partial f}{partial varphi }}mathbf {e} _{varphi },}

onde $r$ é a distância radial, $φ$ é o ângulo azimutal e $θ$ é o ângulo polar, e $e r$ , $e θ$ e $e φ$ são novamente vetores unitários locais apontando nas direções das coordenadas (isto é, a base covariante normalizada).

Para o gradiente em outros sistemas de coordenadas ortogonais, consulte Coordenadas ortogonais (operadores diferenciais em três dimensões).

Coordenadas gerais

Consideramos as coordenadas gerais, que escrevemos como $x 1, \dots, x i, \dots, x n$ , onde $n$ é o número de dimensões do domínio. Aqui, o índice superior refere-se à posição na lista da coordenada ou componente, então $x 2$ refere-se ao segundo componente—não a quantidade $x$ ao quadrado. A variável de índice $i$ refere-se a um elemento arbitrário $x i$ . Usando a notação de Einstein, o gradiente pode ser escrito como:

{displaystyle nabla f={frac {partial f}{partial x^{i}}}g^{ij}mathbf {e} _{j}}

{textstyle mathrm {d} f={frac {partial f}{partial x^{i}}}mathbf {e} ^{i}}

Onde? ${displaystyle mathbf {e} _{i}=partial mathbf {x} /partial x^{i}}$ e ${displaystyle mathbf {e} ^{i}=mathrm {d} x^{i}}$ referem-se às bases covariantes e contravariantes locais não normalizadas, respectivamente, $g^{ij}$ é o tensor métrico inverso, e a convenção de soma de Einstein implica a soma sobre Eu... e JJ.

Se as coordenadas são ortogonais podemos facilmente expressar o gradiente (e o diferencial) em termos de bases normalizadas, que nos referimos como ${hat {mathbf {e} }}_{i}$ e ${displaystyle {hat {mathbf {e} }}^{i}}$ , usando os fatores de escala (também conhecidos como coeficientes Lamé) ${displaystyle h_{i}=lVert mathbf {e} _{i}rVert ={sqrt {g_{ii}}}=1,/lVert mathbf {e} ^{i}rVert }$ :

{displaystyle nabla f={frac {partial f}{partial x^{i}}}g^{ij}{hat {mathbf {e} }}_{j}{sqrt {g_{jj}}}=sum _{i=1}^{n},{frac {partial f}{partial x^{i}}}{frac {1}{h_{i}}}mathbf {hat {e}} _{i}}

{textstyle mathrm {d} f=sum _{i=1}^{n},{frac {partial f}{partial x^{i}}}{frac {1}{h_{i}}}mathbf {hat {e}} ^{i}}

onde não podemos usar a notação de Einstein, uma vez que é impossível evitar a repetição de mais de dois índices. Apesar do uso de índices superiores e inferiores, ${displaystyle mathbf {hat {e}} _{i}}$ , ${displaystyle mathbf {hat {e}} ^{i}}$ e $h_{i}$ não são contravariantes nem covariantes.

A última expressão avalia as expressões dadas acima para coordenadas cilíndricas e esféricas.

Relação com derivada

Relação com a derivada total

O gradiente está intimamente relacionado com o derivado total (diferenciamento total) $df$ : eles são transpose (dual) uns aos outros. Usando a convenção que vetores em $mathbb {R} ^{n}$ são representados por vetores de coluna, e que covectores (Mapas lineares ${displaystyle mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ ) são representados por vetores de linha, o gradiente $nabla f$ e o derivado $df$ são expressos como uma coluna e vetor de linha, respectivamente, com os mesmos componentes, mas transpose uns dos outros:

{displaystyle nabla f(p)={begin{bmatrix}{frac {partial f}{partial x_{1}}}(p)\vdots \{frac {partial f}{partial x_{n}}}(p)end{bmatrix}};}

{displaystyle df_{p}={begin{bmatrix}{frac {partial f}{partial x_{1}}}(p)&cdots &{frac {partial f}{partial x_{n}}}(p)end{bmatrix}}.}

Embora ambos tenham os mesmos componentes, eles diferem em que tipo de objeto matemático eles representam: em cada ponto, o derivado é um vetor cotangente, uma forma linear (covetor) que expressa quanto a saída (scalar) muda para uma determinada mudança infinitesimal na entrada (vetor), enquanto em cada ponto, o gradiente é um vetor tangente, que representa uma mudança infinitasimal na entrada (vector). Em símbolos, o gradiente é um elemento do espaço tangente em um ponto, ${displaystyle nabla f(p)in T_{p}mathbb {R} ^{n}}$ , enquanto o derivado é um mapa do espaço tangente para os números reais, ${displaystyle df_{p}colon T_{p}mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ . Os espaços tangentes em cada ponto de $mathbb {R} ^{n}$ pode ser "naturalmente" identificado com o espaço vetorial $mathbb {R} ^{n}$ em si, e similarmente o espaço cotangente em cada ponto pode ser naturalmente identificado com o espaço vetorial duplo ${displaystyle (mathbb {R} ^{n})^{*}}$ de covetores; assim, o valor do gradiente em um ponto pode ser pensado de um vetor no original $mathbb {R} ^{n}$ , não apenas como um vetor tangente.

Computacionalmente, dado um vetor tangente, o vetor pode ser multiplicado pela derivada (como matrizes), que é igual a tomar o produto escalar com o gradiente:

{displaystyle (df_{p})(v)={begin{bmatrix}{frac {partial f}{partial x_{1}}}(p)&cdots &{frac {partial f}{partial x_{n}}}(p)end{bmatrix}}{begin{bmatrix}v_{1}\vdots \v_{n}end{bmatrix}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x_{i}}}(p)v_{i}={begin{bmatrix}{frac {partial f}{partial x_{1}}}(p)\vdots \{frac {partial f}{partial x_{n}}}(p)end{bmatrix}}cdot {begin{bmatrix}v_{1}\vdots \v_{n}end{bmatrix}}=nabla f(p)cdot v}

Diferencial ou derivada (exterior)

A melhor aproximação linear para uma função diferenciável

{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }

em um ponto $x$ em $mathbb {R} ^{n}$ é um mapa linear de $mathbb {R} ^{n}$ para $mathbb {R}$ que é frequentemente denotado por $df_x$ ou $Df(x)$ e chamado de derivado diferencial ou total de $f$ em $x$ . A função $df$ , que mapas $x$ para $df_x$ , é chamado de diferencial total ou derivado exterior de $f$ e é um exemplo de uma forma diferencial 1.

Assim como a derivada de uma função de uma única variável representa a inclinação da tangente ao gráfico da função, a derivada direcional de uma função em várias variáveis representa a inclinação do hiperplano tangente na direção do vetor.

O gradiente está relacionado ao diferencial pela fórmula

{displaystyle (nabla f)_{x}cdot v=df_{x}(v)}

para qualquer $vin mathbb {R} ^{n}$ , onde $cdot$ é o produto do ponto: tomar o produto do ponto de um vetor com o gradiente é o mesmo que tomar o derivado direcional ao longo do vetor.

Se $mathbb {R} ^{n}$ é visto como o espaço de (dimensão $n$ ) vetores de colunas (de números reais), então pode-se considerar $df$ como o vetor de linha com componentes

{displaystyle left({frac {partial f}{partial x_{1}}},dots{frac {partial f}{partial x_{n}}}right),}

assim ${displaystyle df_{x}(v)}$ é dado pela multiplicação da matriz. Assumindo a métrica euclidiana padrão $mathbb {R} ^{n}$ , o gradiente é então o vetor de coluna correspondente, ou seja,

{displaystyle (nabla f)_{i}=df_{i}^{mathsf {T}}.}

Aproximação linear de uma função

A melhor aproximação linear a uma função pode ser expressa em termos do gradiente, em vez do derivado. O gradiente de uma função $f$ do espaço euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ para $mathbb {R}$ a qualquer ponto particular $x_{0}$ em $mathbb {R} ^{n}$ caracteriza a melhor aproximação linear para $f$ em $x_{0}$ . A aproximação é a seguinte:

{displaystyle f(x)approx f(x_{0})+(nabla f)_{x_{0}}cdot (x-x_{0})}

para $x$ perto de $x_{0}$ , onde $(nabla f)_{x_{0}}$ é o gradiente de $f$ computado em $x_{0}$ , e o ponto denota o produto do ponto em $mathbb {R} ^{n}$ . Esta equação é equivalente aos dois primeiros termos na expansão multivariável da série Taylor $f$ em $x_{0}$ .

Relação com derivado de Fréchet

Seja $U$ um conjunto aberto em $R n$ . Se a função $f : U \to R$ for diferenciável, então a diferencial de $f$ é a derivada Fréchet de $f$ . Assim, $\nabla f$ é uma função de $U$ para o espaço $R n$ tal que

{displaystyle lim _{hto 0}{frac {|f(x+h)-f(x)-nabla f(x)cdot h|}{|h|}}=0,}

Como consequência, as propriedades usuais da derivada valem para o gradiente, embora o gradiente não seja uma derivada em si, mas sim dual à derivada:

Linearidade: O gradiente é linear no sentido de que se $f$ e $g$ são duas funções reais diferenciadas no ponto $um \in R n$ e $α$ e $β$ são duas constantes, então $α + β$ é diferente em $um$ , e mais além ${displaystyle nabla left(alpha f+beta gright)(a)=alpha nabla f(a)+beta nabla g(a).}$
Regra de produto: Se $f$ e $g$ são funções reais diferenciadas em um ponto $um \in R n$ , então a regra do produto afirma que o produto $fg$ é diferente em $um$ e ${displaystyle nabla (fg)(a)=f(a)nabla g(a)+g(a)nabla f(a).}$
Regra de cadeia: Suponha que $f : A \to R$ é uma função de valor real definida em um subconjunto $A$ de $R n$ e isso $f$ é diferente em um ponto $um$ . Existem duas formas da regra da cadeia que se aplicam ao gradiente. Primeiro, suponha que a função $g$ é uma curva paramétrica; isto é, uma função $g : Eu... \to R n$ mapeia um subconjunto $Eu... ? R$ para dentro $R n$ . Se $g$ é diferente em um ponto $c \in Eu...$ tal que $g (c) = um$ , então ${displaystyle (fcirc g)'(c)=nabla f(a)cdot g'(c),}$ onde: é o operador de composição: $(f \circ g) x) = f (g (x)$ .

Mais geralmente, se $I \subset R k$ , então vale o seguinte:

{displaystyle nabla (fcirc g)(c)={big (}Dg(c){big)}^{mathsf {T}}{big (}nabla f(a){big)},}

(Dg)

Para a segunda forma da regra da cadeia, suponha que $h : I \to R$ é uma função de valor real em um subconjunto $I$ de $R$ , e que $h$ é diferenciável no ponto $f (a) \in Eu$ . Então

{displaystyle nabla (hcirc f)(a)=h'{big (}f(a){big)}nabla f(a).}

Outras propriedades e aplicações

Conjuntos de níveis

Uma superfície nivelada, ou isosuperfície, é o conjunto de todos os pontos onde alguma função tem um determinado valor.

Se $f$ for diferenciável, então o produto escalar $(\nabla f) x \cdot v$ do gradiente em um ponto $x$ com um vetor $v$ fornece a derivada direcional de $f$ em $x$ na direção $v$ . Segue-se que, neste caso, o gradiente de $f$ é ortogonal aos conjuntos de nível de $f$ . Por exemplo, uma superfície nivelada no espaço tridimensional é definida por uma equação da forma $F (x, y, z) = c$ . O gradiente de $F$ é então normal à superfície.

De forma mais geral, qualquer hipersuperfície embutida em uma variedade Riemanniana pode ser cortada por uma equação da forma $F (P) = 0$ tal que $dF$ não é zero. O gradiente de $F$ é então normal à hipersuperfície.

Da mesma forma, uma hipersuperfície algébrica afim pode ser definida por uma equação $F (x 1,..., x n) = 0$ , onde $F$ é um polinômio. O gradiente de $F$ é zero em um ponto singular da hipersuperfície (esta é a definição de um ponto singular). Em um ponto não singular, é um vetor normal diferente de zero.

Campos vetoriais conservativos e o teorema do gradiente

O gradiente de uma função é chamado de campo de gradiente. Um campo gradiente (contínuo) é sempre um campo vetorial conservativo: sua integral de linha ao longo de qualquer caminho depende apenas das extremidades do caminho e pode ser avaliada pelo teorema do gradiente (o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha). Por outro lado, um campo vetorial conservativo (contínuo) é sempre o gradiente de uma função.

Generalizações

Jacobiano

A matriz jacobiana é a generalização do gradiente para funções vetoriais de várias variáveis e aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos ou, mais geralmente, variedades. Uma generalização adicional para uma função entre espaços de Banach é a derivada de Fréchet.

Suponha $f : R n \to R m$ é uma função tal que cada um de seus derivados parciais de primeira ordem existem em $R n$ . Então a matriz jacobina $f$ é definido como um $m \times n$ matriz, denotado por ${displaystyle mathbf {J} _{mathbb {f} }(mathbb {x})}$ ou simplesmente $mathbf {J}$ . O $(Eu..., JJ)$ a entrada é ${displaystyle mathbf {J} _{ij}={frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}}$ . Explicitativamente

{displaystyle mathbf {J} ={begin{bmatrix}{dfrac {partial mathbf {f} }{partial x_{1}}}&cdots &{dfrac {partial mathbf {f} }{partial x_{n}}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}nabla ^{mathsf {T}}f_{1}\vdots \nabla ^{mathsf {T}}f_{m}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{dfrac {partial f_{1}}{partial x_{1}}}&cdots &{dfrac {partial f_{1}}{partial x_{n}}}\vdots &ddots &vdots \{dfrac {partial f_{m}}{partial x_{1}}}&cdots &{dfrac {partial f_{m}}{partial x_{n}}}end{bmatrix}}.}

Gradiente de um campo vetorial

Como a derivada total de um campo vetorial é um mapeamento linear de vetores para vetores, é uma quantidade tensorial.

Em coordenadas retangulares, o gradiente de um campo vetorial $f = (f 1, f 2, f 3)$ é definido por:

{displaystyle nabla mathbf {f} =g^{jk}{frac {partial f^{i}}{partial x^{j}}}mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{k},}

(onde a notação de somatório de Einstein é usada e o produto tensorial dos vetores $e i$ e $e k$ é um tensor diádico do tipo (2,0)). No geral, esta expressão é igual à transposta da matriz jacobiana:

{displaystyle {frac {partial f^{i}}{partial x^{j}}}={frac {partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}

Em coordenadas curvilíneas, ou mais geralmente em uma variedade curva, o gradiente envolve símbolos de Christoffel:

{displaystyle nabla mathbf {f} =g^{jk}left({frac {partial f^{i}}{partial x^{j}}}+{Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}right)mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{k},}

onde $g jk$ são os componentes do tensor métrico inverso e o $e i$ são os vetores de base de coordenadas.

Expresso de forma mais invariável, o gradiente de um campo vetorial $f$ pode ser definido pela conexão Levi-Civita e pelo tensor métrico:

{displaystyle nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}nabla _{c}f^{b},}

onde $\nabla c$ é a conexão.

Variedades Riemannianas

Para qualquer função suave $f$ em uma variedade Riemanniana $(M, g)$ , o gradiente de $f$ é o campo vetorial $\nabla f$ tal que para qualquer campo vetorial $X$ ,

{displaystyle g(nabla f,X)=partial _{X}f,}

ou seja,

{displaystyle g_{x}{big (}(nabla f)_{x},X_{x}{big)}=(partial _{X}f)(x),}

onde $g x ()$ denota o produto interno de vetores tangentes em $x$ definido pela métrica $g$ e $\partial X f$ é a função que toma qualquer ponto $x \in M$ para a derivada direcional de $f$ na direção $X$ , avaliado em $x$ . Em outras palavras, em um gráfico de coordenadas $φ$ de um subconjunto aberto de $M$ para um subconjunto aberto de $R n$ , $(\partial X f)(x)$ é dado por:

{displaystyle sum _{j=1}^{n}X^{j}{big (}varphi (x){big)}{frac {partial }{partial x_{j}}}(fcirc varphi ^{-1}){Bigg |}_{varphi (x)},}

onde $X j$ denota o $j$ º componente de $X$ neste gráfico de coordenadas.

Assim, a forma local do gradiente assume a forma:

{displaystyle nabla f=g^{ik}{frac {partial f}{partial x^{k}}}{textbf {e}}_{i}.}

Generalizando o caso $M = R n$ , o gradiente de uma função está relacionado com sua derivada externa, pois

{displaystyle (partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}

Mais precisamente, o gradiente $\nabla f$ é o campo vetorial associado à 1-forma diferencial $df$ usando o isomorfismo musical

sharp =sharp ^{g}colon T^{*}Mto TM

(chamado "sharp") definido pela métrica $g$ . A relação entre a derivada externa e o gradiente de uma função em $R n$ é uma caso especial disso em que a métrica é a métrica plana dada pelo produto escalar.

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