Glossário de símbolos matemáticos

Um símbolo matemático é uma figura ou uma combinação de figuras que é usada para representar um objeto matemático, uma ação sobre objetos matemáticos, uma relação entre objetos matemáticos ou para estruturar outros símbolos que ocorrem em uma fórmula. Como as fórmulas são inteiramente constituídas por símbolos de vários tipos, muitos símbolos são necessários para expressar toda a matemática.

Os símbolos mais básicos são os dígitos decimais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e as letras do alfabeto latino. Os dígitos decimais são usados para representar números através do sistema numeral hindu-árabe. Historicamente, letras maiúsculas foram usadas para representar pontos na geometria e letras minúsculas foram usadas para variáveis e constantes. As cartas são usadas para representar muitos outros tipos de objetos matemáticos. Como o número desses tipos aumentou notavelmente em matemática moderna, o alfabeto grego e algumas letras hebraicas também são usadas. Em fórmulas matemáticas, o tipo padrão é tipo itálico para letras latinas e letras gregas minúsculas, e tipo vertical para letras maiúsculas. Para ter mais símbolos, outros tipos também são usados, principalmente boldface ${displaystyle mathbf {a,A,b,B}ldots }$, tipo de script ${displaystyle {mathcal {A,B}},ldots }$ (o rosto de script de minúsculo raramente é usado por causa da possível confusão com o rosto padrão), fraktur alemão ${displaystyle {mathfrak {a,A,b,B}},ldots }$, e blackboard negrito ${displaystyle mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}}$ (as outras letras raramente são usadas neste rosto, ou seu uso é não convencional).

O uso de letras latinas e gregas como símbolos para denotar objetos matemáticos não é descrito neste artigo. Para tais usos, consulte Variável (matemática) e Lista de constantes matemáticas. No entanto, alguns símbolos que são descritos aqui têm a mesma forma que a letra da qual eles são derivados, como ${displaystyle textstyle prod {}$ e ${displaystyle textstyle sum {}}$.

Só estas cartas não são suficientes para as necessidades dos matemáticos, e muitos outros símbolos são usados. Alguns tomam sua origem em marcas de pontuação e diacríticos tradicionalmente usados na tipografia; outros deformando formas de letra, como nos casos de $- Sim.$ e $- Sim.$. Outros, como + e = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =, foram especialmente concebidos para matemática.

Layout deste artigo

Normalmente, as entradas de um glossário são estruturadas por tópicos e classificadas em ordem alfabética. Isto não é possível aqui, pois não existe uma ordem natural nos símbolos, e muitos símbolos são usados em diferentes partes da matemática com significados diferentes, muitas vezes completamente não relacionados. Portanto, algumas escolhas arbitrárias tiveram que ser feitas, que são resumidas abaixo.

O artigo está dividido em seções classificadas por um nível crescente de tecnicidade. Ou seja, as primeiras seções contêm os símbolos encontrados na maioria dos textos matemáticos e que devem ser conhecidos até mesmo pelos iniciantes. Por outro lado, as últimas seções contêm símbolos específicos de alguma área da matemática e são ignorados fora dessas áreas. No entanto, a longa seção entre colchetes foi colocada perto do final, embora a maioria de suas entradas sejam elementares: isso facilita a busca por uma entrada de símbolo pela rolagem.

A maioria dos símbolos tem múltiplos significados que geralmente são distinguidos pela área da matemática onde são usados ou pela sua sintaxe, ou seja, pela sua posição dentro de uma fórmula e pela natureza das outras partes da fórmula que estão próximos a eles.

Como o leitor pode não conhecer a área da matemática à qual está relacionado o símbolo que procura, os diferentes significados de um símbolo são agrupados na seção correspondente ao seu significado mais comum.

Quando o significado depende da sintaxe, um símbolo pode ter entradas diferentes dependendo da sintaxe. Para resumir a sintaxe no nome de entrada, o símbolo $- Sim.$ é usado para representar as partes vizinhas de uma fórmula que contém o símbolo. Veja § Brackets para exemplos de uso.

A maioria dos símbolos tem duas versões impressas. Eles podem ser exibidos como caracteres Unicode ou no formato LaTeX. Com a versão Unicode, usar mecanismos de busca e copiar e colar é mais fácil. Por outro lado, a renderização do LaTeX é muitas vezes muito melhor (mais estética) e é geralmente considerada um padrão em matemática. Portanto, neste artigo, a versão Unicode dos símbolos é usada (quando possível) para rotular sua entrada, e a versão LaTeX é usada em sua descrição. Portanto, para saber como digitar um símbolo em LaTeX, basta consultar a fonte do artigo.

Para a maioria dos símbolos, o nome da entrada é o símbolo Unicode correspondente. Assim, para pesquisar a entrada de um símbolo, basta digitar ou copiar o símbolo Unicode na caixa de texto de pesquisa. Da mesma forma, quando possível, o nome da entrada de um símbolo também é uma âncora, o que permite vincular facilmente a partir de outro artigo da Wikipédia. Quando o nome de uma entrada contém caracteres especiais como [,] e |, também existe uma âncora, mas é necessário consultar a fonte do artigo para saber.

Finalmente, quando há um artigo sobre o símbolo em si (não sobre seu significado matemático), ele é vinculado ao nome da entrada.

Operadores aritméticos

+ (mais sinal)

1. A adição de notas e é lido como mais; por exemplo, 3 + 2.

2. Denota que um número é positivo e é lido como mais. Redundante, mas às vezes usado para enfatizar que um número é positivo, especialmente quando outros números no contexto são ou podem ser negativos; por exemplo, +.

3. Às vezes usado em vez de $- Sim.$ para uma união disjunta de conjuntos.

- Não. (sinal menor)

1. Subtração de notas e é lido como menos; por exemplo, 3 – 2.

2. Denota o aditivo inverso e é lido como negativo ou o oposto de; por exemplo, – 2.

3. Também usado no lugar de para denotar o complemento set-theoretic; ver em § Teoria do conjunto.

× (sinal de multiplicação)

1. Na aritmética elementar, denota a multiplicação, e é lido como vezes; por exemplo, 3 × 2.

2. Em geometria e álgebra linear, denota o produto cruzado.

3. Na teoria dos conjuntos e na teoria das categorias, denota o produto cartesiano e o produto direto. Veja também × em § Teoria dos conjuntos.

· (interpunto)

1. Denota multiplicação e é lido como vezes; por exemplo, 3 ⋅ 2.

2. Em geometria e álgebra linear, denota o produto do ponto.

3. Placeholder usado para substituir um elemento indeterminado. Por exemplo, "o valor absoluto é denotado | · |" é mais claro do que dizer que é denotado como |.

± (mais menos sinal)

1. Denota um sinal mais ou um sinal menos.

2. Denota a gama de valores que uma quantidade medida pode ter; por exemplo, 10 ± 2 denota um valor desconhecido que está entre 8 e 12.

∓ (mais menos sinal)

Usado emparelhado com ±, denota o sinal oposto; isto é, + se ± o –e – se ± o +.

÷ (sinal de divisão)

Amplamente utilizado para denotar a divisão em países anglofones, já não está em uso comum em matemática e seu uso é "não recomendado". Em alguns países, pode indicar subtração.

: (colon)

1. Denota a relação de duas quantidades.

2. Em alguns países, pode denotar a divisão.

3. Na notação do construtor, é utilizado como separador que significa "tal"; ver { D: □}.

/ (slash)

1. Denota divisão e é lido como dividido por ou sobre. Muitas vezes substituído por uma barra horizontal. Por exemplo, 3 / 2 ou $Não. Não.$.

2. Denota uma estrutura quociente. Por exemplo, conjunto quociente, grupo quociente, categoria quociente, etc.

3. Em teoria dos números e teoria do campo, $Não.$ denota uma extensão de campo, onde F é um campo de extensão do campo E.

4. Na teoria da probabilidade, denota uma probabilidade condicional. Por exemplo, $(A/B)}$ denota a probabilidade de A, dado que B ocorre. Também denotado ${displaystyle P(Amid B)}$: ver "|".

√ (símbolo de raiz quadrada)

Denota raiz quadrada e é lido como a raiz quadrada de. Raramente usado em matemática moderna sem uma barra horizontal delimitando a largura de seu argumento (veja o próximo item). Por exemplo, √2.

√ (símbolo radical)

1. Denota raiz quadrada e é lido como a raiz quadrada de. Por exemplo, ${displaystyle {sqrt {3+2}}}$.

2. Com um inteiro superior a 2 como um superscript esquerdo, denota uma nona raiz. Por exemplo, $[{7}]{3}}}$ denota a 7a raiz de 3.

^ (cuidado)

1. A exonência é normalmente denotada com um superscript. No entanto, ${displaystyle x^{y}}$ é muitas vezes denotado x^Sim. quando os superscritos não estão facilmente disponíveis, como em linguagens de programação (incluindo LaTeX) ou e-mails de texto simples.

2. Não ser confundido com ∧

Igualdade, equivalência e semelhança

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (sinal igual)

1. Denota a igualdade.

2. Usado para nomear um objeto matemático em uma frase como "let $- Sim.$", onde E é uma expressão. Ver também ≝ e ≜.

${displaystyle triangleq {text{ e }};{stackrel {mathrm {def} ?$

Ambos são às vezes usados para nomear um objeto matemático. Então, ambos ${displaystyle xtriangleq E}$ e ${displaystyle x,{stackrel {mathrm {def} }{=}}, E}$ são abreviaturas da frase "let x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = E", onde E é uma expressão e x é uma variável. Isso está relacionado com o conceito de atribuição na ciência da computação, que é denotada de várias maneiras (dependendo da linguagem de programação utilizada) $}$

≠ (sinal não igual)

Denota desigualdade e significa "não igual".

?

O símbolo mais comum para denotar igualdade aproximada. Por exemplo, ${displaystyle pi approx 3.14159.}$

~ (tilde)

1. Entre dois números, ou é usado em vez de ? significar "aproximadamente igual", ou significa "tem a mesma ordem de magnitude como".

2. Denota a equivalência assintótica de duas funções ou sequências.

3. Muitas vezes usado para denotar outros tipos de semelhança, por exemplo, semelhança de matriz ou semelhança de formas geométricas.

4. Notação padrão para uma relação de equivalência.

5. Em probabilidade e estatísticas, pode especificar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Por exemplo, ${displaystyle Xsim N(0,1)}$ significa que a distribuição da variável aleatória X é normal.

6. Notação por proporcionalidade. Veja também. para um símbolo menos ambíguo.

) (barra tripla)

1. Denota uma identidade, ou seja, uma igualdade que é verdadeira, qualquer valor é dado às variáveis que nela ocorrem.

2. Na teoria dos números, e mais especificamente na aritmética modular, denota o modulo de congruência um inteiro.

$- Sim.$

1. Pode denotar um isomorfismo entre duas estruturas matemáticas, e é lido como "é isomorfo".

2. Em geometria, pode denotar a congruência de duas formas geométricas (que é a igualdade até um deslocamento), e é lido "é congruente a".

Comparação

< (menos do que sinal)

1. Igualdade rigorosa entre dois números; meios e é lido como "menos do que".

2. Comumente usado para denotar qualquer ordem rigorosa.

3. Entre dois grupos, pode significar que o primeiro é um subgrupo adequado do segundo.

> (maior que sinal)

1. Igualdade rigorosa entre dois números; meios e é lido como "maior do que".

2. Comumente usado para denotar qualquer ordem rigorosa.

3. Entre dois grupos, pode significar que o segundo é um subgrupo apropriado do primeiro.

≤

1. Significa "menos ou iguais". Isso é, seja lá o que for. A e B são, A ≤ B é equivalente a A < B ou A = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = B.

2. Entre dois grupos, pode significar que o primeiro é um subgrupo do segundo.

≥

1. Significa "maior do que ou igual a". Isso é, seja lá o que for. A e B são, A ≥ B é equivalente a A > B ou A = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = B.

2. Entre dois grupos, pode significar que o segundo é um subgrupo do primeiro.

${displaystyle ll {text{ e }}gg }$

1. Significa "muito menos do que" e "muito maior do que". Geralmente, Muito. não é formalmente definido, mas significa que a quantidade menor pode ser negligenciada em relação ao outro. Este é geralmente o caso quando a quantidade menor é menor do que a outra por uma ou várias ordens de magnitude.

2. Na teoria da medida, ${displaystyle mu ll nu }$ significa que a medida $- Sim.$ é absolutamente contínuo em relação à medida $Não.$.

$- Sim.$

Um símbolo raramente usado, geralmente um sinônimo de ≤.

${displaystyle prec {text{ e }}succ }$

1. Muitas vezes usado para denotar uma ordem ou, mais geralmente, uma pré-ordem, quando seria confuso ou não conveniente usar < e >.

2. Sequenção na lógica assíncrona.

Teoria dos conjuntos

∅

Denota o conjunto vazio, e é mais frequentemente escrito ${displaystyle emptyset }$. Usando notação set-builder, ele também pode ser denotado ${displaystyle {}}$.

# (sinal de número)

1. Número de elementos: $- Sim.$ pode denotar a cardinalidade do conjunto S. Uma notação alternativa é $|S|}$; ver $|square |}$.

2. Primorial: $Não. Não.$ denota o produto dos números primos que não são maiores do que n.

3. Em topologia, $Não. M#N$ denota a soma conectada de dois coletores ou dois nós.

∈

Denotes define a adesão, e é lido "in" ou "pertence a". Isso é, ${displaystyle xin S}$ significa que x é um elemento do conjunto S.

∉

Significa "não entrar". Isso é, ${displaystyle xnotin S}$ significa $(xin S)}$.

?

Denotes define inclusão. No entanto, duas definições ligeiramente diferentes são comuns.

1.$Não. Asubset B}$ pode significar que A é um subconjunto de B, e é possivelmente igual a B; isto é, cada elemento de A pertence a B; em fórmula, ${displaystyle forall {}x,,xin ARightarrow xin B}$.

2.$Não. Asubset B}$ pode significar que A é um subconjunto adequado de B, que são os dois conjuntos são diferentes, e cada elemento de A pertence a B; em fórmula, $Não. Aneq Bland forall {}x,,xin ARightarrow xin B}$.

⊆

$Não. A Subseteq B$ significa que A é um subconjunto de B. Usado para enfatizar que a igualdade é possível, ou quando a segunda definição de $Não. Asubset B}$ é usado.

⊊

$Não. Asubsetneq B}$ significa que A é um subconjunto adequado de B. Usado para enfatizar que $Não. Aneq B}$ou quando a primeira definição de $Não. Asubset B}$ é usado.

,,,,,,

Denota a relação conversa de ${displaystyle subset }$, ${displaystyle subseteq }$e ${displaystyle subsetneq }$ respectivamente. Por exemplo, $Não. Bsupset A}$ é equivalente a $Não. Asubset B}$.

Telecomunicações

Denota união teórica, ou seja, $Não. Acup B}$ é o conjunto formado pelos elementos de A e B juntos. Isso é, $Não. Acup B={xmid (xin A)lor (xin B)}}$.

─

Denotas intersecção teórica, ou seja, $Não. Acap B}$ é o conjunto formado pelos elementos de ambos A e B. Isso é, ${displaystyle Acap B={xmid (xin A)land (xin B)}}$.

∖ (backslash)

Diferença definida; isto é, $Não. Asetminus B}$ é o conjunto formado pelos elementos de A que não estão dentro B. Às vezes, $Não. A-B$ é usado em vez disso; veja – em § operadores aritméticos.

⊖ ou ${displaystyle triangle }$

Diferença simétrica: isto é, $Não. Aominus B}$ ou $Não. Aoperatorname$ é o conjunto formado pelos elementos que pertencem exatamente a um dos dois conjuntos A e B.

${displaystyle complement }$

1. Com um subescrito, denota um complemento definido: isto é, se $Não. Bsubseteq A}$, então ${displaystyle complemento _{A}B=Asetminus B}$.

2. Sem um subscrito, denota o complemento absoluto; isto é, ${displaystyle complementação A=complemento _{U}A$, onde U é um conjunto implicitamente definido pelo contexto, que contém todos os conjuntos em consideração. Este conjunto U às vezes é chamado de universo do discurso.

× (sinal de multiplicação)

Veja também × em § Operadores aritméticos.

1. Denota o produto cartesiano de dois conjuntos. Isso é, $Não. Atimes B}$ é o conjunto formado por todos os pares de um elemento de A e um elemento de B.

2. Denota o produto direto de duas estruturas matemáticas do mesmo tipo, que é o produto cartesiano dos conjuntos subjacentes, equipado com uma estrutura do mesmo tipo. Por exemplo, produto direto de anéis, produto direto de espaços topológicos.

3. Na teoria da categoria, denota o produto direto (muitas vezes chamado simplesmente produto) de dois objetos, que é uma generalização dos conceitos anteriores do produto.

$- Sim.$

Denota a união disjunta. Isso é, se A e B são conjuntos então $Não. Asqcup B=left(Atimes {i_{A}right)cup left(Btimes {i_{B}right)}$ é um conjunto de pares onde Eu..._A e Eu..._B são índices distintos discriminando os membros de A e B em $Não. Asqcup B}$.

${displaystyle bigsqcup {text{ ou }}coprod }$

1. Usado para a união disjunta de uma família de conjuntos, como em $- Sim. _{iin I}A_{i}.$

2. Denota o coproduto de estruturas matemáticas ou de objetos em uma categoria.

Lógica básica

Vários símbolos lógicos são amplamente usados em toda a matemática e estão listados aqui. Para símbolos que são usados apenas em lógica matemática ou raramente usados, consulte Lista de símbolos lógicos.

? (não sinal)

Denota a negação lógica, e é lido como "não". Se E é um predicado lógico, $- Sim.$ é o predicado que avalia verdadeiro se e somente se E avalia para falso. Para clareza, é frequentemente substituído pela palavra "não". Em linguagens de programação e alguns textos matemáticos, é às vezes substituído por "~"ou "!", que são mais fáceis de digitar em alguns teclados.

∨ (descendente cunha)

1. Denota o lógico ou, e é lido como "ou". Se E e F são predicados lógicos, $Não. E 'lor F'$ é verdade se quer E, F, ou ambos são verdadeiros. É frequentemente substituído pela palavra "ou".

2. Na teoria da treliça, denota a operação unida ou menos superior.

3. Em topologia, denota a soma de cunha de dois espaços apontados.

∧ (Wedge)

1. Denota o lógico e, e é lido como "e". Se E e F são predicados lógicos, $Não. E 'land F'$ é verdade se E e F são ambos verdadeiros. É frequentemente substituído pela palavra "e" ou o símbolo ">".

2. Na teoria da treliça, denota o encontro ou a maior operação limitada inferior.

3. Em álgebra multilinear, geometria e cálculo multivariável, denota o produto de cunha ou o produto exterior.

⊻

Exclusivo ou: se E e F são duas variáveis booleanas ou predicados, $Não. E 'veebar F'$ denota o exclusivo ou. Notações E XOR F e $Não. E 'oplus F'$ também são comumente usados; veja..

Gerenciamento de contas (voltado A)

1. Denota quantificação universal e é lido como "para todos". Se E é um predicado lógico, ${displaystyle forall xE}$ significa que E é verdadeiro para todos os valores possíveis da variável x.

2. Muitas vezes usado indevidamente em texto simples como uma abreviatura de "para todos" ou "para cada".

Detalhe

1. Denota quantificação existencial e é lido "existe... tal isso". Se E é um predicado lógico, ${displaystyle existe xE}$ significa que existe pelo menos um valor de x para os quais E é verdade.

2. Muitas vezes usado incorretamente em texto simples como uma abreviação de "existe".

∃!

Denota quantificação de singularidade, isto é, ${displaystyle exists !xP}$ significa "existe exatamente um x tal que P (é verdade)". Em outras palavras, ${displaystyle existe !xP(x)}$ é uma abreviatura de ${displaystyle existe x,(P(x),wedge neg exists y,(P(y)wedge yneq x)}$.

⇒

1. Denota material condicional, e é lido como "imples". Se P e Q são predicados lógicos, $Não. PRightarrow Q}$ significa que se P é verdade, então Q também é verdade. Assim, $Não. PRightarrow Q}$ é logicamente equivalente com $Não. Qlor neg P}$.

2. Muitas vezes usado indevidamente em texto simples como uma abreviação de "imples".

⇔

1. Denota equivalência lógica, e é lido "é equivalente a" ou "se e somente se". Se P e Q são predicados lógicos, $Não. PCerto Q.$ é assim uma abreviatura de $(PRightarrow Q)land (QRightarrow P)}$ou de $(Pland Q)lor (neg Pland neg Q)}$.

2. Muitas vezes usado incorretamente em texto simples como uma abreviatura de "se e somente se".

? (Tee)

1.$- Sim.$ denota o predicado lógico sempre verdade.

2. Denota também o valor da verdade verdadeiro.

3. Às vezes denota o elemento superior de um treliça limitado (os significados anteriores são exemplos específicos).

4. Para o uso como um superscrito, veja □ lev.

: (Up tack)

1.$- Sim.$ denota o predicado lógico sempre falso.

2. Denota também o valor da verdade falso.

3. Às vezes denota o elemento inferior de uma treliça limitada (os significados anteriores são exemplos específicos).

4. Em Cryptography muitas vezes denota um erro no lugar de um valor regular.

5. Para o uso como um superscrito, veja D Preparação.

6. Para o símbolo semelhante, veja $- Sim.$.

Quadro negro em negrito

O blackboard bold typeface é amplamente utilizado para denotar os sistemas de números básicos. Estes sistemas são frequentemente também denotados pela letra minúscula correspondente. Uma vantagem clara de blackboard negrito é que esses símbolos não podem ser confundidos com qualquer outra coisa. Isso permite usá-los em qualquer área da matemática, sem ter que lembrar sua definição. Por exemplo, se se encontrar ${displaystyle mathbb {R} } }$ em combinatória, deve-se imediatamente saber que isso denota os números reais, embora a combinatória não estude os números reais (mas usa-os para muitas provas).

${displaystyle mathbb {N} } }$

Denota o conjunto de números naturais ${displaystyle {1,2,ldots },}$ ou às vezes ${displaystyle {0,1,2,ldots }.}$ Quando a distinção é importante e os leitores podem assumir qualquer definição, ${displaystyle mathbb {N} _{1}}$ e ${displaystyle mathbb {N} _{0}}$ são usados, respectivamente, para denotar um deles inequivocamente. Notação ${displaystyle mathbf {N} } }$ também é comumente usado.

${displaystyle mathbb {Z} } }$

Denota o conjunto de inteiros ${displaystyle {ldots-2,-1,0,1,2,ldots }.}$ É muitas vezes denotado também por ${displaystyle mathbf {Z}.}$

${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$

1. Denota o conjunto de inteiros p-ádicos, onde p é um número primo.

2. Às vezes, ${displaystyle mathbb {Z} _{n}}$ denota os inteiros modulo n, onde n é um inteiro maior que 0. A notação ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ também é usado, e é menos ambíguo.

${displaystyle mathbb {Q} } }$

Denota o conjunto de números racionais (frações de dois inteiros). É muitas vezes denotado também por ${displaystyle mathbf {Q}.}$

${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$

Denota o conjunto de números p-ádicos, onde p é um número primo.

${displaystyle mathbb {R} } }$

Denota o conjunto de números reais. É muitas vezes denotado também por ${displaystyle mathbf {R}.}$

${displaystyle mathbb {C} } }$

Denota o conjunto de números complexos. É muitas vezes denotado também por ${displaystyle mathbf {C}.}$

${displaystyle mathbb {H} } }$

Denota o conjunto de quaternions. É muitas vezes denotado também por ${displaystyle mathbf {H}.}$

${displaystyle mathbb {F} _{q}}$

Denota o campo finito com q elementos, onde q é uma potência principal (incluindo números primos). É também denotado por GF(q).

${displaystyle mathbb {O} } }$

Usado em raras ocasiões para denotar o conjunto de octonions. É muitas vezes denotado também por ${displaystyle mathbf {O}.}$

Cálculo

□'

Lagrange's notation for the derivative: If f is a function of a single variable, ${displaystyle f'}$, read as "f prime", is the derivative of f with respect to this variable. The second derivative is the derivative of ${displaystyle f'}$, and is denoted ${displaystyle f''}$.

${displaystyle {dot {Box }}}$

Newton's notation, most commonly used for the derivative with respect to time: If x is a variable depending on time, then ${displaystyle {dot {x}}}$ is its derivative with respect to time. In particular, if x represents a moving point, then ${displaystyle {dot {x}}}$ is its velocity.

${displaystyle {ddot {Box }}}$

Newton's notation, for the second derivative: If x is a variable that represents a moving point, then ${displaystyle {ddot {x}}}$ is its acceleration.

d □/d □

Leibniz's notation for the derivative, which is used in several slightly different ways.

1. If y is a variable that depends on x, then ${displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}}$, read as "d y over d x", is the derivative of y with respect to x.

2. If f is a function of a single variable x, then ${displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}}$ is the derivative of f, and ${displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}(a)}$ is the value of the derivative at a.

3. Total derivative: If ${displaystyle f(x_{1},ldotsx_{n})}$ is a function of several variables that depend on x, then ${displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}}$ is the derivative of f considered as a function of x. That is, ${displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{dx}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x_{i}}},{frac {mathrm {d} x_{i}}{mathrm {d} x}}}$.

∂ □/∂ □

Partial derivative: If ${displaystyle f(x_{1},ldotsx_{n})}$ is a function of several variables, ${displaystyle textstyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}}$ is the derivative with respect to the ith variable considered as an independent variable, the other variables being considered as constants.

𝛿 □/𝛿 □

Functional derivative: If ${displaystyle f(y_{1},ldotsy_{n})}$ is a functional of several functions, ${displaystyle textstyle {frac {delta f}{delta y_{i}}}}$ is the functional derivative with respect to the nth function considered as an independent variable, the other functions being considered constant.

${displaystyle {overline {Box }}}$

1. Complex conjugate: If z is a complex number, then ${displaystyle {overline {z}}}$ is its complex conjugate. For example, ${displaystyle {overline {a+bi}}=a-bi}$.

2. Topological closure: If S is a subset of a topological space T, then ${displaystyle {overline {S}}}$ is its topological closure, that is, the smallest closed subset of T that contains S.

3. Algebraic closure: If F is a field, then ${displaystyle {overline {F}}}$ is its algebraic closure, that is, the smallest algebraically closed field that contains F. For example, ${displaystyle {overline {mathbb {Q} }}}$ is the field of all algebraic numbers.

4. Mean value: If x is a variable that takes its values in some sequence of numbers S, then ${displaystyle {overline {x}}}$ may denote the mean of the elements of S.

→

1. ${displaystyle Ato B}$ denotes a function with domain A and codomain B. For naming such a function, one writes ${displaystyle f:Ato B}$, which is read as "f from A to B".

2. More generally, ${displaystyle Ato B}$ denotes a homomorphism or a morphism from A to B.

3. May denote a logical implication. For the material implication that is widely used in mathematics reasoning, it is nowadays generally replaced by ⇒. In mathematical logic, it remains used for denoting implication, but its exact meaning depends on the specific theory that is studied.

4. Over a variable name, means that the variable represents a vector, in a context where ordinary variables represent scalars; for example, ${displaystyle {overrightarrow {v}}}$. Boldface (${displaystyle mathbf {v} }$) or a circumflex (${displaystyle {hat {v}}}$) are often used for the same purpose.

5. In Euclidean geometry and more generally in affine geometry, ${displaystyle {overrightarrow {PQ}}}$ denotes the vector defined by the two points P and Q, which can be identified with the translation that maps P to Q. The same vector can be denoted also ${displaystyle Q-P}$; see Affine space.

↦

Used for defining a function without having to name it. For example, ${displaystyle xmapsto x^{2}}$ is the square function.

○

1. Function composition: If f and g are two functions, then ${displaystyle gcirc f}$ is the function such that ${displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))}$ for every value of x.

2. Hadamard product of matrices: If A and B are two matrices of the same size, then ${displaystyle Acirc B}$ is the matrix such that ${displaystyle (Acirc B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$. Possibly, ${displaystyle circ }$ is also used instead of ⊙ for the Hadamard product of power series.

∂

1. Boundary of a topological subspace: If S is a subspace of a topological space, then its boundary, denoted ${displaystyle partial S}$, is the set difference between the closure and the interior of S.

2. Partial derivative: see ∂□/∂□.

∫

1. Without a subscript, denotes an antiderivative. For example, ${displaystyle textstyle int x^{2}dx={frac {x^{3}}{3}}+C}$.

2. With a subscript and a superscript, or expressions placed below and above it, denotes a definite integral. For example, ${displaystyle textstyle int _{a}^{b}x^{2}dx={frac {b^{3}-a^{3}}{3}}}$.

3. With a subscript that denotes a curve, denotes a line integral. For example, ${displaystyle textstyle int _{C}f=int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)operatorname {d} t}$, if r is a parametrization of the curve C, from a to b.

∮

Often used, typically in physics, instead of ${displaystyle textstyle int }$ for line integrals over a closed curve.

∬, ∯

Similar to ${displaystyle textstyle int }$ and ${displaystyle textstyle oint }$ for surface integrals.

${displaystyle {boldsymbol {nabla }}}$ or ${displaystyle {vec {nabla }}}$

Nabla, the gradient or vector derivative operator ${displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)}$, also called del or grad.

∇2 or ∇⋅∇

Laplace operator or Laplacian: ${displaystyle textstyle {frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}}$. The forms ${displaystyle nabla ^{2}}$ and ${displaystyle {boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {nabla }}}$ represent the dot product of the gradient (${displaystyle {boldsymbol {nabla }}}$ or ${displaystyle {vec {nabla }}}$) with itself. Also notated Δ (next item).

Δ

(Capital Greek letter delta—not to be confused with ${displaystyle triangle }$, which may denote a geometric triangle or, alternatively, the symmetric difference of two sets.}}

1. Another notation for the Laplacian (see above).

2. Operator of finite difference.

${displaystyle {boldsymbol {partial }}}$ or ${displaystyle partial _{mu }}$

(Note: the notation ${displaystyle Box }$ is not recommended for the four-gradient since both ${displaystyle Box }$ and ${displaystyle {Box }^{2}}$ are used to denote the d'Alembertian; see below.)

Quad, the 4-vector gradient operator or four-gradient, ${displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial t}},{frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)}$.

${displaystyle Box }$ or ${displaystyle {Box }^{2}}$

(here an actual box, not a placeholder)

Denotes the d'Alembertian or squared four-gradient, which is a generalization of the Laplacian to four-dimensional spacetime. In flat spacetime with Euclidean coordinates, this may mean either ${displaystyle ~textstyle -{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;}$ or ${displaystyle ;~textstyle +{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;}$; the sign convention must be specified. In curved spacetime (or flat spacetime with non-Euclidean coordinates), the definition is more complicated. Also called box or quabla.

Álgebra linear e multilinear

∑    (Sigma notation)

1. Denotes the sum of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in ${displaystyle textstyle sum _{i=1}^{n}i^{2}}$ or ${displaystyle textstyle sum _{0<i<j<n}j-i}$.

2. Denotes a series and, if the series is convergent, the sum of the series. For example, ${displaystyle textstyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$.

∏    (Capital-pi notation)

1. Denotes the product of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in ${displaystyle textstyle prod _{i=1}^{n}i^{2}}$ or ${displaystyle textstyle prod _{0<i<j<n}j-i}$.

2. Denotes an infinite product. For example, the Euler product formula for the Riemann zeta function is ${displaystyle textstyle zeta (z)=prod _{n=1}^{infty }{frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$.

3. Also used for the Cartesian product of any number of sets and the direct product of any number of mathematical structures.

${displaystyle oplus }$    (circled plus)

1. Internal direct sum: if E and F are abelian subgroups of an abelian group V, notation ${displaystyle V=Eoplus F}$ means that V is the direct sum of E and F; that is, every element of V can be written in a unique way as the sum of an element of E and an element of F. This applies also when E and F are linear subspaces or submodules of the vector space or module V.

2. Direct sum: if E and F are two abelian groups, vector spaces, or modules, then their direct sum, denoted ${displaystyle Eoplus F}$ is an abelian group, vector space, or module (respectively) equipped with two monomorphisms ${displaystyle f:Eto Eoplus F}$ and ${displaystyle g:Fto Eoplus F}$ such that ${displaystyle Eoplus F}$ is the internal direct sum of ${displaystyle f(E)}$ and ${displaystyle g(F)}$. This definition makes sense because this direct sum is unique up to a unique isomorphism.

3. Exclusive or: if E and F are two Boolean variables or predicates, ${displaystyle Eoplus F}$ may denote the exclusive or. Notations E XOR F and ${displaystyle Eveebar F}$ are also commonly used; see ⊻.

⊗

1. Denotes the tensor product of abelian groups, vector spaces, modules, or other mathematical structures, such as in ${displaystyle Eotimes F,}$ or ${displaystyle Eotimes _{K}F.}$

2. Denotes the tensor product of elements: if ${displaystyle xin E}$ and ${displaystyle yin F,}$ then ${displaystyle xotimes yin Eotimes F.}$

□^⊤

1. Transpose: if A is a matrix, ${displaystyle A^{top }}$ denotes the transpose of A, that is, the matrix obtained by exchanging rows and columns of A. Notation ${displaystyle ^{top }!!A}$ is also used. The symbol ${displaystyle top }$ is often replaced by the letter T or t.

2. For inline uses of the symbol, see ⊤.

□^⊥

1. Orthogonal complement: If W is a linear subspace of an inner product space V, then ${displaystyle W^{bot }}$ denotes its orthogonal complement, that is, the linear space of the elements of V whose inner products with the elements of W are all zero.

2. Orthogonal subspace in the dual space: If W is a linear subspace (or a submodule) of a vector space (or of a module) V, then ${displaystyle W^{bot }}$ may denote the orthogonal subspace of W, that is, the set of all linear forms that map W to zero.

3. For inline uses of the symbol, see ⊥.

Teoria de grupos avançada

⋉
⋊

1. Produto semi-direto interno: se N e H. H. H. são subgrupos de um grupo G, tal que N é um subgrupo normal de G, então ${displaystyle G=Nrtimes H.$ e ${displaystyle G=Hltimes N}$ significa que G é o produto semidireto de N e H. H. H., isto é, que cada elemento de G pode ser exclusivamente decomposto como o produto de um elemento de N e um elemento de H. H. H.. (Ao contrário do produto direto de grupos, o elemento de H. H. H. pode mudar se a ordem dos fatores for alterada.)

2. Produto semidireto exterior: se N e H. H. H. são dois grupos, e $- Sim.$ é um grupo homomorfismo de N ao grupo de automorfismo H. H. H., então $Não. Nrtimes _{varphi H=Hltimes _{varphi }N}$ denota um grupo G, único até um isomorfismo de grupo, que é um produto semidireto de N e H. H. H., com a comutação de elementos de N e H. H. H. definido por $- Sim.$.

≀

Na teoria do grupo, $Não. Gwr H.$ denota o produto da coroa dos grupos G e H. H. H.. Também é denotado como $Não. Nome do operador H.$ ou ${displaystyle Goperatorname} H$; ver Produto de grinalda § Notação e convenções para várias variantes de notação.

Números infinitos

$- Sim.$ (símbolo infinito)

1. O símbolo é lido como infinito. Como um limite superior de uma soma, um produto infinito, uma integral, etc., significa que a computação é ilimitada. Da mesma forma, $- Sim.$ em um limite inferior significa que a computação não se limita a valores negativos.

2.$- Sim.$ e ${displaystyle +infty }$ são os números generalizados que são adicionados à linha real para formar a linha real estendida.

3.$- Sim.$ é o número generalizado que é adicionado à linha real para formar a linha real projetivamente estendida.

${displaystyle {mathfrak {c}}}$(fraktur c)

${displaystyle {mathfrak {c}}}$ denota a cardinalidade do continuum, que é a cardinalidade do conjunto de números reais.

$- Sim.$(aleph)

Com um ordinal Eu... como subscrito, denota o Eu...o número do aleph, esse é o Eu...O infinito cardeal. Por exemplo, ${displaystyle aleph _{0}}$ é o menor cardeal infinito, ou seja, o cardeal dos números naturais.

$- Sim.${bet (letter)

Com um ordinal Eu... como subscrito, denota o Eu...O número da Beth. Por exemplo, ${displaystyle beth _{0}}$ é o cardeal dos números naturais, e ${displaystyle beth _{1}}$ é o cardeal do continuum.

$- Sim.$(omega)

1. Denota o primeiro limite ordinal. Também é denotado ${displaystyle omega _{0}}$ e pode ser identificado com o conjunto ordenado dos números naturais.

2. Com um ordinal Eu... como subscrito, denota o Eu...o limite ordinal que tem uma cardinalidade maior do que o de todos os ordinals precedentes.

3. Na ciência da computação, denota o maior limite inferior (desconhecido) para o expoente da complexidade computacional da multiplicação da matriz.

4. Escrito como uma função de outra função, é usado para comparar o crescimento assintótico de duas funções. Ver Big O notation § Notações assintoticas relacionadas.

5. Na teoria dos números, pode denotar a função ômega principal. Isso é, $(n)}$ é o número de fatores primos distintos do inteiro n.

Colchetes

Muitos tipos de colchetes são usados em matemática. Seus significados dependem não apenas de suas formas, mas também da natureza e da disposição do que é delimitado por elas e, às vezes, do que aparece entre elas ou antes delas. Por esta razão, nos títulos das entradas, o símbolo □ é usado como espaço reservado para esquematizar a sintaxe subjacente ao significado.

Parênteses

D)

Usado em uma expressão para especificar que a subexpressão entre os parênteses tem de ser considerada como uma única entidade; tipicamente usado para especificar a ordem de operações.

D a adopção de uma posição comum:
D a adopção de uma posição comum pelo Conselho:
D a adopção de uma decisão do Conselho relativa à conclusão do acordo de cooperação entre a Comunidade Económica Europeia e a República da Coreia do Sul.

1. Notação funcional: se o primeiro $- Sim.$ é o nome (símbolo) de uma função, denota o valor da função aplicada à expressão entre os parênteses; por exemplo, $(x)}$, $(x+y)}$. No caso de uma função multivariada, os parênteses contêm várias expressões separadas por vírgulas, como $(x,y)}$.

2. Pode também denotar um produto, como em $(b+c)}$. Quando a confusão é possível, o contexto deve distinguir quais símbolos denotam funções e quais denotam variáveis.

D)

1. Denota um par ordenado de objetos matemáticos, por exemplo, $(pi0)}$.

2. Se um e b) são números reais, $- Sim.$ou ${displaystyle +infty }$e um < b), então $(a,b)}$ denota o intervalo aberto delimitado por um e b)D, para uma notação alternativa.

3. Se um e b) são inteiros, $(a,b)}$ pode denotar o maior divisor comum de um e b). Notação ${displaystyle gcd(a,b)}$ é frequentemente usado em vez disso.

D, em nome da Comissão dos Assuntos Económicos e Monetários e da Política Industrial,

Se x, Sim., zangão. são vetores em ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, então $(x,y,z)}$ pode denotar o produto triplo escalar. Ver também [ D, D, D] em parênteses quadrados.

D,...

Denota um tupla. Se houver n objetos separados por vírgulas, é um n-Tuple.

(O Parlamento aprova a resolução legislativa)
D,..., D,...

Denota uma sequência infinita.

${displaystyle {begin{pmatrix}} Caixa &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \\ Caixa &cdots &Box end{pmatrix}}}$

Denota uma matriz. Muitas vezes denotado com suportes quadrados.

$- Sim.$

Denota um coeficiente binomial: Dado dois inteiros nonnegativos, $- Sim.$ é lido como "n escolher k", e é definido como o inteiro $(n-1)cdots (n-k+1)}{1cdot 2cdots k}}={frac {n!}{k!,(n-k)!}}}$ (se) k = 0, seu valor é convencionalmente 1). Usando a expressão do lado esquerdo, denota um polinômio em n, e é assim definido e usado para qualquer valor real ou complexo n.

(D/D)

Legendre símbolo: Se p é um número primo estranho e um é um inteiro, o valor de ${displaystyle left({frac {a}{p}}right)}$ 1 se um é um modulo de resíduos quadráticos p; é –1 se um é um modulo quadrático non-residue p; é 0 se p divide um. A mesma notação é usada para o símbolo Jacobi e símbolo de Kronecker, que são generalizações onde p é, respectivamente, qualquer inteiro positivo estranho, ou qualquer inteiro.

Colchetes

D.

1. Às vezes usado como sinônimo de (D) para evitar parênteses aninhados.

2. Classe de equivalência: dada uma relação de equivalência, $[x]$ muitas vezes denota a classe de equivalência do elemento x.

3. Parte integrante: se x é um número real, $[x]$ muitas vezes denota a parte integrante ou trunca de x, isto é, o inteiro obtido removendo todos os dígitos após a marca decimal. Esta notação também foi usada para outras variantes de funções de piso e teto.

4. Suporte de Iverson: se P é um predicado, $Não. [P]$ pode denotar o suporte Iverson, essa é a função que leva o valor 1 para os valores das variáveis livres em P para os quais P é verdade, e leva o valor 0 caso contrário. Por exemplo, $[x=y]$ é a função delta de Kronecker, que é igual a uma se $- Sim.$, e zero de outra forma.

D[1]

Imagem de um subconjunto: se S é um subconjunto do domínio da função f, então $[S]$ é às vezes usado para denotar a imagem de S. Quando nenhuma confusão é possível, a notação f(S) é comumente usada.

D.

1. Intervalo fechado: se um e b) são números reais tal que $- Sim.$, então $Não.$ denota o intervalo fechado definido por eles.

2. Comutador (teoria do grupo): se um e b) pertencem a um grupo, então $Não. [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$.

3. Comutador (teoria do anel): se um e b) pertence a um anel, então $[a,b]=ab-ba]$.

4. Denota o suporte de Lie, a operação de uma álgebra de Lie.

D:

1. Grau de extensão de campo: se F é uma extensão de um campo E, então $Não. [F:E]$ denota o grau de extensão do campo $Não.$. Por exemplo, $Não. [mathbb] Não.$.

2. Índice de um subgrupo: se H. H. H. é um subgrupo de um grupo E, então $[G:H]}$ denota o índice de H. H. H. em G. A notação |G:H| também é usada

D, D, D.

Se x, Sim., zangão. são vetores em ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, então $[x,y,z]}$ pode denotar o produto triplo escalar. Ver também (D, D, D) em § Parentheses.

${displaystyle {begin{bmatrix}}} Caixa &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \\Box &cdots &Box end{bmatrix}}}$

Denota uma matriz. Muitas vezes denotado com parênteses.

Aparelhos

Não.

Notação Set-builder para o conjunto vazio, também denotado ${displaystyle emptyset }$ ou..

D.

1. Às vezes usado como sinônimo de (D) e [D] para evitar parênteses aninhados.

2. Notação de construtor de conjuntos para um conjunto de singleton: ${displaystyle {x}}$ denota o conjunto que tem x como um único elemento.

D,...

Notation set-builder: denota o conjunto cujos elementos estão listados entre as tranças, separados por vírgulas.

D:
D | | □

Notação do construtor de conjuntos: se $(x)}$ é um predicado dependendo de uma variável x, então ambos ${displaystyle {x:P(x)}}$ e ${displaystyle {xmid P(x)}}$ denotar o conjunto formado pelos valores de x para os quais $(x)}$ é verdade.

Cinta única

1. Usado para enfatizar que várias equações têm de ser consideradas como equações simultâneas; por exemplo, ${displaystyle textstyle {begin{cases}2x+y=13x-y=1end{cases}}}$.

2. Definição piecewise; por exemplo, ${displaystyle textstyle |x|={begin{cases}x&{text{if }}xgeq 0\-x&{text{if }}x<0end{cases}}}$.

3. Usado para a anotação agrupada de elementos em uma fórmula; por exemplo, ${displaystyle textstyle underbrace {(a,b,ldotsz)} _{26}}$, ${displaystyle textstyle overbrace {1+2+cdots +100} ^{=5050}}$, ${displaystyle textstyle left.{begin{bmatrix}ABend{bmatrix}}right}m+n{text{ rows}}}$

Outros colchetes

|□|

1. Absolute value: if x is a real or complex number, ${displaystyle |x|}$ denotes its absolute value.

2. Number of elements: If S is a set, ${displaystyle |S|}$ may denote its cardinality, that is, its number of elements. ${displaystyle #S}$ is also often used, see #.

3. Length of a line segment: If P and Q are two points in a Euclidean space, then ${displaystyle |PQ|}$ often denotes the length of the line segment that they define, which is the distance from P to Q, and is often denoted ${displaystyle d(P,Q)}$.

4. For a similar-looking operator, see |.

|□:□|

Index of a subgroup: if H is a subgroup of a group G, then ${displaystyle |G:H|}$ denotes the index of H in G. The notation [G:H] is also used

${displaystyle textstyle {begin{vmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{vmatrix}}}$

${displaystyle {begin{vmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n}end{vmatrix}}}$ denotes the determinant of the square matrix ${displaystyle {begin{bmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n}end{bmatrix}}}$.

||□||

1. Denotes the norm of an element of a normed vector space.

2. For the similar-looking operator named parallel, see ∥.

⌊□⌋

Floor function: if x is a real number, ${displaystyle lfloor xrfloor }$ is the greatest integer that is not greater than x.

⌈□⌉

Ceiling function: if x is a real number, ${displaystyle lceil xrceil }$ is the lowest integer that is not lesser than x.

⌊□⌉

Nearest integer function: if x is a real number, ${displaystyle lfloor xrceil }$ is the integer that is the closest to x.

]□, □[

Open interval: If a and b are real numbers, ${displaystyle -infty }$, or ${displaystyle +infty }$, and ${displaystyle a<b}$, then ${displaystyle ]a,b[}$ denotes the open interval delimited by a and b. See (□, □) for an alternative notation.

(□, □]
]□, □]

Both notations are used for a left-open interval.

[□, □)
[□, □[

Both notations are used for a right-open interval.

⟨□⟩

1. Generated object: if S is a set of elements in an algebraic structure, ${displaystyle langle Srangle }$ denotes often the object generated by S. If ${displaystyle S={s_{1},ldotss_{n}}}$, one writes ${displaystyle langle s_{1},ldotss_{n}rangle }$ (that is, braces are omitted). In particular, this may denote

• the linear span in a vector space (also often denoted Span(S)),
• the generated subgroup in a group,
• the generated ideal in a ring,
• the generated submodule in a module.

2. Often used, mainly in physics, for denoting an expected value. In probability theory, ${displaystyle E(X)}$ is generally used instead of ${displaystyle langle Srangle }$.

⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩

Both ${displaystyle langle x,yrangle }$ and ${displaystyle langle xmid yrangle }$ are commonly used for denoting the inner product in an inner product space.

${displaystyle langle Box |{text{ and }}|Box rangle }$

Bra–ket notation or Dirac notation: if x and y are elements of an inner product space, ${displaystyle |xrangle }$ is the vector defined by x, and ${displaystyle langle y|}$ is the covector defined by y; their inner product is ${displaystyle langle ymid xrangle }$.

Símbolos que não pertencem a fórmulas

Nesta seção, os símbolos listados são usados como alguns tipos de sinais de pontuação no raciocínio matemático ou como abreviações de frases em linguagem natural. Eles geralmente não são usados dentro de uma fórmula. Alguns foram usados na lógica clássica para indicar a dependência lógica entre sentenças escritas em linguagem simples. Exceto os dois primeiros, normalmente não são utilizados em textos matemáticos impressos, pois, para facilitar a leitura, geralmente é recomendado ter pelo menos uma palavra entre duas fórmulas. No entanto, eles ainda são usados em um quadro negro para indicar relações entre fórmulas.

D

Usado para marcar o fim de uma prova e separando-o do texto atual. O inicialismo Q.E.D. ou QED (latim: O que é isso?, "como era para ser mostrado") é frequentemente usado para o mesmo propósito, seja em sua forma de maiúscula ou em caso inferior.

☡

Bourbaki símbolo de curva perigosa: Às vezes usado na margem para proibir os leitores contra erros graves, onde eles arriscam cair, ou marcar uma passagem que é complicado em uma primeira leitura por causa de um argumento especialmente sutil.

∴

Abreviação de "Portanto". Colocado entre duas afirmações, significa que o primeiro implica o segundo. Por exemplo: "Todos os seres humanos são mortais, e Sócrates é um ser humano. ∴ Socrates é mortal."

∵

Abreviação de "porque" ou "desde". Colocado entre duas afirmações, significa que o primeiro é implícito pelo segundo. Por exemplo: "11 é prime." não tem fatores inteiros positivos diferentes de si e de um."

∋

1. Abreviação de "tal isso". Por exemplo, ${displaystyle xni x>3}$ é normalmente impresso "x tal que $Não.$".

2. Às vezes usado para reverter os operandos de $- Sim.$; isto é, $Não. Sni x$ tem o mesmo significado que ${displaystyle xin S}$. Veja ∈ em § Teoria dos conjuntos.

∝

A abreviação de "é proporcional a".

Diversos

!

1. Factorial: se n é um inteiro positivo, n! é o produto do primeiro n inteiros positivos, e é lido como "n factorial".

2. Subfactorial: se n é um inteiro positivo, !n é o número de disjunções de um conjunto de n elementos, e é lido como "o subfactorial de n".

*

Muitos usos diferentes em matemática; veja Asterisk § Mathematics.

|

1. Divisibilidade: se m e n são dois inteiros, $Não.$ significa que m divide n uniformemente.

2. Na notação do construtor, é usado como um separador que significa "tal que"; ver { D | D}.

3. Restrição de uma função: se f é uma função, e S é um subconjunto de seu domínio, então $Não. f|_{S}}$ é a função com S como um domínio que é igual f sobre S.

4. Probabilidade condicional: ${displaystyle P(Xmid E)}$ denota a probabilidade de X dado que o evento E ocorre. Também denotado ${displaystyle P(X/E)}$; ver "/".

5. Para vários usos como suportes (em pares ou com ⟨ e )Ver Outros suportes.

∤

Não-divisibilidade: $- Sim.$ significa que n não é um divisor de m.

∥

1. Denota o paralelismo na geometria elementar: se PQ e RS são duas linhas, ${displaystyle PQparallel RS.$ significa que eles são paralelos.

2. Paralela, uma operação aritmética utilizada na engenharia elétrica para modelar resistores paralelos: ${displaystyle xparallel y={frac {1}{{{1}{x}}}}}}}{{{1}}}}}}{}}}}}}}}}}}}{}}}}}}}}{}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{}}{}}}}}}}{}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} - Sim.$.

3. Usado em pares como suportes, denota uma norma; veja | D|||.

∦

Às vezes usado para denotar que duas linhas não são paralelas; por exemplo, $Não. PQnot parallel RS}$.

$- Sim.$

1. Denota perpendicularidade e ortogonalidade. Por exemplo, se A, B, C são três pontos em um espaço euclidiano, então ${displaystyle ABperp AC}$ significa que os segmentos de linha AB e ACÇÃO são perpendiculares, e formam um ângulo direito.

2. Para o símbolo semelhante, veja $- Sim.$.

⊙

Produto Hadamard da série de energia: se ${displaystyle textstyle S. _{i=0}^{infty } }$ e ${displaystyle textstyle T=sum _{i=0}^{infty }t_{i}x^{i}}$, então ${displaystyle textstyle Sodot T=sum _{i=0}^{infty }s_{i}t_{i}x^{i}}$. Possivelmente, $- Sim.$ também é usado em vez de ○ para o produto Hadamard de matrizes.