Geometria complexa

Em matemática, a geometria complexa é o estudo de estruturas e construções geométricas decorrentes ou descritas por números complexos. Em particular, a geometria complexa se preocupa com o estudo de espaços como variedades complexas e variedades algébricas complexas, funções de várias variáveis complexas e construções holomórficas, como pacotes de vetores holomórficos e roldanas coerentes. A aplicação de métodos transcendentais à geometria algébrica cai nessa categoria, juntamente com aspectos mais geométricos da análise complexa.

A geometria

complexa fica na interseção da geometria algébrica, geometria diferencial e análise complexa e usa ferramentas das três áreas. Devido à mistura de técnicas e idéias de várias áreas, os problemas na geometria complexa são frequentemente mais tratáveis ou concretos do que em geral. Por exemplo, a classificação de coletores complexos e variedades algébricas complexas por meio do programa mínimo de modelos e a construção de espaços de módulos diferenciam o campo da geometria diferencial, onde a classificação de possíveis coletores lisos é um problema significativamente mais difícil. Além disso, a estrutura extra da geometria complexa permite, especialmente no cenário compacto, para que os resultados analíticos globais sejam comprovados com grande sucesso, incluindo a prova da conjectura de Calabi, a correspondência de Hitchin-Kobayashi, o não-fabeliano A correspondência da Hodge e os resultados da existência para métricas de Kähler -Einstein e métricas de curvatura escalar constante. Esses resultados geralmente voltam à geometria algébrica complexa e, por exemplo, recentemente, a classificação de coletores de Fano usando a estabilidade K se beneficiou tremendamente tanto das técnicas em análise quanto da geometria biracional pura.

A geometria

complexa tem aplicações significativas à física teórica, onde é essencial para entender a teoria conforme conforme de campo, a teoria das cordas e a simetria do espelho. Muitas vezes, é uma fonte de exemplos em outras áreas da matemática, inclusive na teoria da representação, onde as variedades de bandeiras generalizadas podem ser estudadas usando geometria complexa que leva ao teorema de Borel -Weil -Bott, ou em geometria simplética, onde os distribuídos de Kähler são simpléticos, na riemanniana A geometria em que os coletores complexos fornecem exemplos de estruturas métricas exóticas, como variedades de Calabi -Yau e variedades de Hyperkähler, e na teoria do medidor, onde os pacotes de vetores holomórficos geralmente admitem soluções para equações diferenciais importantes decorrentes da física como as equações de Yang -Mills. Além disso, a geometria complexa é impactante na geometria algébrica pura, onde os resultados analíticos no cenário complexo, como a teoria da Hodge dos coletos de Kähler, inspiram a compreensão das estruturas da hodge para variedades e esquemas, bem como a teoria da hodge p-adic, a teoria da deformação para vários misturados inspira a compreensão da compreensão de A teoria da deformação dos esquemas e os resultados sobre a co -fomologia de coletores complexos inspiraram a formulação das conjecturas Weil e as conjecturas padrão de Grothendieck. Por outro lado, resultados e técnicas de muitos desses campos geralmente se alimentam de geometria complexa e, por exemplo, desenvolvimentos na matemática da teoria das cordas e da simetria de espelhos revelaram muito sobre a natureza dos coletores de Calabi -Yau, que os teóricos das cordas prevêem A estrutura das fibrações lagrangianas através da conjectura de Syz, e o desenvolvimento da teoria de Gromov -Withten de coletores simpléticos levou a avanços na geometria enumerativa de variedades complexas.

A conjectura da Hodge, um dos problemas do prêmio do milênio, é um problema na geometria complexa.

De maneira ampla, a geometria complexa se preocupa com espaços e objetos geométricos que são modelados, em certo sentido, no plano complexo. Características do plano complexo e análise complexa de uma única variável, como uma noção intrínseca de orientabilidade (ou seja, ser capaz de girar consistentemente 90 graus no sentido anti -horário em todos os pontos do plano complexo) e a rigidez das funções holomorficas (que são , a existência de um único derivado complexo implica diferença complexa a todas as ordens) é vista se manifestando em todas as formas do estudo da geometria complexa. Como exemplo, todo coletor complexo é canonicamente orientável, e uma forma do teorema de Liouville se mantém em coletores complexos compactos ou variedades algébricas complexas projetivas.

A geometria complexa é diferente em sabor ao que pode ser chamado de geometria real , o estudo de espaços baseados nas propriedades geométricas e analíticas da linha numérica real. Por exemplo, enquanto os coletores suaves admitem partições de unidade, coleções de funções suaves que podem ser de forma idêntica a uma em algum conjunto aberto e, de forma idêntica, zero em outros lugares, coletores complexos não admitem essas coleções de funções holomorficas. De fato, essa é a manifestação do teorema da identidade, um resultado típico em análise complexa de uma única variável. Em certo sentido, a novidade da geometria complexa pode ser rastreada a essa observação fundamental.

É verdade que cada variedade complexa é, em particular, uma verdadeira coleira lisa. Isto é porque o plano complexo $- Sim.$ é, depois de esquecer sua estrutura complexa, isomorfo para o plano real $(R} ^{2}}$. No entanto, a geometria complexa não é tipicamente vista como um sub-campo particular da geometria diferencial, o estudo de coletores lisos. Em particular, o teorema de Serre GAGA diz que cada variedade analítica projetiva é na verdade uma variedade algébrica, e o estudo de dados holomorfos sobre uma variedade analítica é equivalente ao estudo de dados algébricas.

Essa equivalência indica que a geometria complexa está, em certo sentido, mais próxima da geometria algébrica do que à geometria diferencial. Outro exemplo disso que se liga à natureza do plano complexo é que, em uma análise complexa de uma única variável, as singularidades das funções meromórficas são prontamente descritíveis. Por outro lado, o possível comportamento singular de uma função contínua com valor real é muito mais difícil de caracterizar. Como resultado disso, pode -se estudar prontamente espaços singulares em geometria complexa, como variedades analíticas complexas singulares ou variedades algébricas complexas singulares, enquanto na geometria diferencial o estudo de espaços singulares é frequentemente evitado.

Na prática, a geometria complexa fica na interseção da geometria diferencial, geometria algébrica e análise em várias variáveis complexas, e um geômetro complexo usa ferramentas dos três campos para estudar espaços complexos. As direções típicas de interesse na geometria complexa envolvem classificação de espaços complexos, o estudo de objetos holomórficos ligados a eles (como feixes de vetores holomórficos e roldanas coerentes) e as relações íntimas entre objetos geométricos complexos e outras áreas de matemática e física.

A geometria

complexa está preocupada com o estudo de variedades complexas e variedades analíticas algébricas e complexas complexas. Nesta seção, esses tipos de espaços são definidos e as relações entre eles foram apresentadas.

A manifold complexo é um espaço topológico $- Sim.$ tal que:

• $- Sim.$ é Hausdorff e segundo contável.
• $- Sim.$ é localmente homeomorphic para um subconjunto aberto de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ para alguns $Não.$. Isto é, para cada ponto ${\displaystyle p\in X}$, há um bairro aberto $Não.$ de $Não.$ e um homeomorfismo ${\displaystyle \varphi:U\to V}$ para um subconjunto aberto $Não. V\subseteq \mathbb (C) ^{n)$. Tais conjuntos abertos são chamados gráficos.
• Se $(U_{1},\varphi)}$ e $(U_{2},\psi)}$ são quaisquer dois gráficos sobrepostos que mapeiam em conjuntos abertos $Não. V_{1},V_{2}}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ respectivamente, em seguida, função de transição ${\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})}$ é um biholomorfismo.

Observe que, uma vez que cada biholomorfismo é um diffeomorfismo, e ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ é o isomorfismo como um espaço vetorial real para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, cada conjunto complexo de dimensão $Não.$ é, em particular, um conjunto suave de dimensão $- Sim.$, que é sempre um número uniforme.

Em contraste com as variedades complexas que são sempre lisas, geometria complexa também se preocupa com espaços possivelmente singulares. Um afine variedade analítica complexa é um subconjunto $Não. X\subseteq \mathbb (C) ^{n)$ tal que sobre cada ponto ${\displaystyle p\in X}$, há um bairro aberto $Não.$ de $Não.$ e uma coleção de finitamente muitas funções holomórficas $Não. f_{1},\dotsf_{k}: U\to \mathbb Não.$ tal que $Não. X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dotsf_{k})}$. Por convenção também exigimos o conjunto $- Sim.$ para ser irredutível. Um ponto ${\displaystyle p\in X}$ é singular se a matriz jacobita do vetor de funções holomórficas $(f_{1},\dotsf_{k})}$ não tem classificação completa em $Não.$e não-singular caso contrário. A variedade analítica complexa projetada é um subconjunto $Não. X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$ do espaço projetivo complexo que é, da mesma forma, localmente dado pelos zeros de uma coleção finita de funções holomorfocas em subconjuntos abertos de ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$.

Pode-se igualmente definir um variedade algébrica complexa de affine para ser um subconjunto $Não. X\subseteq \mathbb (C) ^{n)$ que é localmente dado como o conjunto zero de finitamente muitos polinômios em $Não.$ variáveis complexas. Definir uma variedade algébrica complexa projetada, um requer o subconjunto $Não. X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$ para ser dado localmente pelo conjunto zero de finito muitos polinômios homogêneos.

Para definir uma variedade analítica complexa e algébrica ou complexa, é preciso a noção de um espaço localmente tocado. A variedade algébrica complexa/analítica é um espaço localmente tocado $(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ que é localmente isomórfica como um espaço arraigado localmente para uma variedade algébrica/analítica complexa afina. No caso analítico, normalmente se permite $- Sim.$ ter uma topologia que é localmente equivalente à topologia subespacial devido à identificação com subconjuntos abertos de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, enquanto no caso algébrico $- Sim.$ é frequentemente equipado com uma topologia de Zariski. Mais uma vez nós também por convenção exigem que este espaço localmente tocado seja irredutível.

Uma vez que a definição de um ponto singular é local, a definição dada para uma variedade afine analytic/algebraic aplica-se aos pontos de qualquer variedade analítica ou algébrica complexa. O conjunto de pontos de uma variedade $- Sim.$ que são singulares é chamado de locus singular, denotado ${\displaystyle X^{sing}}$e o complemento é o não-singular ou locus liso, denotado $Não. X^{nonsing}}$. Dizemos que uma variedade complexa é suave ou não-singular se for um locus singular vazio. Isto é, se é igual ao seu lócus não-singular.

Pelo teorema da função implícita para funções holomórficas, todo coletor complexo é, em particular, uma variedade analítica complexa não singular, mas não é em geral afins ou projetivos. Por teorema de Gaga, toda variedade analítica complexa projetiva é na verdade uma variedade algébrica complexa projetiva. Quando uma variedade complexa não é singular, é um coletor complexo. De maneira mais geral, o locus não singular de qualquer variedade complexa é um coletor complexo.

Manifolds complexos podem ser estudados a partir da perspectiva da geometria diferencial, pelo qual estão equipados com estruturas geométricas extras, como uma forma métrica ou simplectica de Riemann. Para que esta estrutura extra seja relevante para a geometria complexa, deve-se pedir que seja compatível com a estrutura complexa em um sentido adequado. Um coletor Kähler é um coletor complexo com uma estrutura métrica e simpática Riemanniana compatível com a estrutura complexa. Cada submanifold complexo de um coletor Kähler é Kähler, e assim, em particular, cada variedade complexa não-singular é Kähler, depois de restringir a métrica hermitiana padrão em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ou a métrica Fubini-Study sobre ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ respectivamente.

Outros exemplos importantes de coletores Kähler incluem superfícies de Riemann, superfícies K3 e coletores Calabi -Yau.

O teorema GAGA de Serre afirma que as variedades analíticas complexas projetadas são realmente algébricas. Embora isso não seja estritamente verdade para variedades de afine, há uma classe de variedades complexas que atuam muito como variedades algébricas complexas de afine, chamadas coletores Stein. Uma coleira $- Sim.$ é Stein se for holomorficamente convexo e holomorficamente separável (veja o artigo sobre coletores Stein para as definições técnicas). Pode ser mostrado no entanto que isso é equivalente a $- Sim.$ ser um submanifold complexo de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ para alguns $Não.$. Outra maneira em que os coletores Stein são semelhantes às variedades algébricas complexas de affine é que os teoremas de Cartan A e B prendem para coletores Stein.

Exemplos de coletores de Stein incluem superfícies não compactas Riemann e variedades algébricas complexas afins não singulares.

Uma classe especial de coletores complexos é coletores hiper-Kähler, que são coletores Riemannianos admitindo três estruturas quase complexas integrais compatíveis distintas $- Sim.$ que satisfazem as relações quaternônicas $Não. I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname Não.$. Assim, os coletores de hiper-Kähler são coletores de Kähler de três maneiras diferentes e, posteriormente, possuem uma rica estrutura geométrica.

Exemplos de coletores de hiper-kähler incluem espaços de cerveja, superfícies K3, espaços de módulos de pacote de Higgs, variedades de aljava e muitos outros espaços de módulos que surgem da teoria e da teoria da representação de medidores.

Como mencionado, uma classe particular de coletores Kähler é dada por coletores Calabi-Yau. Estes são dados por coletores Kähler com feixe canônico trivial $Não. K_{X}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}X}$. Tipicamente, a definição de um coletor de Calabi-Yau também requer $- Sim.$ para ser compacto. Neste caso a prova de Yau da conjectura Calabi implica que $- Sim.$ admite uma métrica de Kähler com curvatura de Ricci desaparecendo, e isso pode ser tomado como uma definição equivalente de Calabi-Yau.

Os

coletores Calabi-Yau encontraram uso na teoria das cordas e na simetria do espelho, onde são usados para modelar as 6 dimensões extras do espaço-tempo em modelos 10-dimensionais da teoria das cordas. Exemplos de coletores Calabi -Yau são dados por curvas elípticas, superfícies K3 e variedades abelianas complexas.

Uma variedade Fano complexa é uma variedade algébrica complexa com amplo feixe de linha anti-canônico (isto é, $Não. K_{X}^{*}}$ é amplo). As variedades de Fano são de interesse considerável na geometria algébrica complexa e, em particular, na geometria biracional, onde muitas vezes surgem no programa modelo mínimo. Exemplos fundamentais das variedades de Fano são dados pelo espaço projectivo ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ Onde? ${\displaystyle K={\mathcal {O}}(-n-1)}$e hipersuperfícies lisas de ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ de grau inferior a $- Sim.$.

As variedades tóricas são variedades algébricas complexas de dimensão $Não.$ contendo um subconjunto denso aberto biholomorfo para $(\mathbb {C} ^{*})^{n}}$, equipado com uma ação de $(\mathbb {C} ^{*})^{n}}$ que estende a ação no subconjunto denso aberto. Uma variedade tórica pode ser descrita combinatoriamente por sua fã de toric, e pelo menos quando é não-singular, por um momento politópico. Este é um polígono $(R} ^{n}}$ com a propriedade que qualquer vértice pode ser colocado na forma padrão do vértice do orthant positivo pela ação do ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z})}$. A variedade toric pode ser obtida como um espaço adequado que as fibras sobre o politope.

Muitas construções realizadas em variedades tóricas admitem descrições alternativas em termos da combinatória e geometria do Polytope do momento ou de seu ventilador tórica associado. Isso torna as variedades tóricas um caso de teste particularmente atraente para muitas construções em geometria complexa. Exemplos de variedades tóricas incluem espaços projetivos complexos e pacotes sobre eles.

Devido à rigidez das funções holomórficas e coletores complexos, as técnicas normalmente usadas para estudar variedades complexas e variedades complexas diferem daquelas usadas na geometria diferencial regular e estão mais próximas das técnicas usadas na geometria algebrica. Por exemplo, na geometria diferencial, muitos problemas são abordados, tomando construções locais e corrigindo -as globalmente usando partições de unidade. As partições da unidade não existem na geometria complexa e, portanto, o problema de quando os dados locais podem ser colados aos dados globais é mais sutil. Precisamente quando os dados locais podem ser remendados são medidos pela cohomologia da febre, e os roldana e seus grupos de co -fomologia são as principais ferramentas.

Por exemplo, problemas famosos na análise de várias variáveis complexas que precedem a introdução de definições modernas são os problemas de primo, perguntando precisamente quando dados meromórficos locais podem ser colados para obter uma função meromórfica global. Esses problemas antigos podem ser simplesmente resolvidos após a introdução de roldanas e grupos de co -fomologia.

Exemplos especiais de roldanas usadas em geometria complexa incluem feixes de linha holomórfica (e os divisores associados a eles), feixes de vetores holomórficos e roldanas coerentes. Como a cohomologia da fenda mede obstruções na geometria complexa, uma técnica usada é provar teoremas que desaparecem. Exemplos de teoremas que desaparecem em geometria complexa incluem o teorema de desaparecer Kodaira para a co -fomologia dos pacotes de linhas nos coletores compactos de Kähler, e os teoremas A e B de Cartan, para a co -homologia de rolduras coerentes em variedades afins.

A geometria complexa também utiliza técnicas decorrentes da geometria e análise diferenciais. Por exemplo, o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, um caso especial do teorema do índice de Atiyah-Singer, calcula a característica do Euler holomórfico de um feixe vetor holomórfico em termos de classes características do pacote de vetor complexo liso subjacente.

Um tema importante na geometria complexa é a classificação. Devido à natureza rígida de variedades e variedades complexas, o problema de classificar esses espaços é frequentemente tratável. A classificação em geometria complexa e algébrica geralmente ocorre através do estudo de espaços módulos, que são coletores ou variedades complexas cujos pontos classificam outros objetos geométricos que surgem em geometria complexa.

O termo - Sim. foi cunhado por Bernhard Riemann durante seu trabalho original em superfícies de Riemann. A teoria da classificação é mais conhecida por superfícies compactas de Riemann. Pela classificação de superfícies fechadas orientadas, superfícies compactas de Riemann vêm em um número contável de tipos discretos, medidos por seu gênero $Não.$, que é um inteiro não negativo que conta o número de buracos na superfície Riemann compacta dada.

A classificação segue essencialmente do teorema da uniformização e é a seguinte:

• G = 0: ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$
• g = 1: Há um conjunto complexo unidimensional que classifica possíveis superfícies Riemann compactas do gênero 1, assim chamadas curvas elípticas, a curva modular. Pelo teorema de uniformização qualquer curva elíptica pode ser escrita como um quociente ${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z})}$ Onde? $- Sim.$ é um número complexo com parte imaginária estritamente positiva. O espaço moduli é dado pelo quociente do grupo ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z})}$ atuando no meio plano superior por transformações de Möbius.
• g) 1: Para cada gênero maior que um, há um espaço de moduli ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}}}$ de género g superfícies Riemann compactas, de dimensão ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}_{g}=3g-3}$. Semelhante ao caso de curvas elípticas, este espaço pode ser obtido por um quociente adequado do meio-espaço superior de Siegel pela ação do grupo ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z})}$.

A geometria complexa preocupa-se não só com espaços complexos, mas outros objetos holomorfos ligados a eles. A classificação de feixes de linha holomórfica em uma variedade complexa $- Sim.$ é dada pela variedade Picard ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ de $- Sim.$.

A variedade picard pode ser facilmente descrita no caso em que $- Sim.$ é uma superfície compacta de Riemann do gênero g. Nomeadamente, neste caso a variedade Picard é uma união disjunta de variedades Abelianas complexas, cada uma das quais é isomorfo para a variedade jacobina da curva, classificando divisores de grau zero até equivalência linear. Em termos diferenciais-geométricos, estas variedades Abelianas são tori complexo, manifolds complexos diffeomorphic a $(S^{1})^{2g}}$, possivelmente com uma de muitas estruturas complexas diferentes.

Pelo teorema de Torelli, uma superfície compacta de Riemann é determinada por sua variedade jacobiana, e isso demonstra uma das razões pelas quais o estudo de estruturas em espaços complexos pode ser útil, pois pode permitir que se resolva classificar os próprios espaços.

• Bivector (complexo)
• Manifold de Calabi-Yau
• Teoremas de Cartan A e B
• Espaço analítico complexo
• Complexo Grupo de lei
• Politopelo complexo
• Espaço projetivo complexo
• Problemas de consumo
• Teoria da Deformação #Deformações de coletores complexos
• Classificação Enriques–Kodaira
• GAGA
• teorema de extensão de Hartogs
• Espaço simétrico hermitiano
• Decomposição de Hodge
• Manifold de Hopf
• Linha imaginária (matemática)
• métrica de Kobayashi
• Correspondência de Kobayashi–Hitchin
• Lista de produtos relacionados
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial} )$- Lemma
• Número de Lelong
• Lista de superfícies complexas e algébricas
• Simetria de espelho
• Multiplicador ideal
• Variação projetiva
• Pseudoconvexo
• Várias variáveis complexas
• Moda Stein

• Huybrechts, Daniel (2005). Geometria complexa: Uma introdução. Springer. ISBN 3-540-21290-6.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Princípios da geometria algébrica, Wiley Classics Library, Nova Iorque: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
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• S. Kobayashi, K. Nomizu. Fundações de Geometria Diferencial Volume 1, 2.
• E. H. Neville (1922) Prolegomena à Geometria Analítica no Espaço Euclidiano Anisotrópico de Três Dimensões, Cambridge University Press.