Função multiplicativa

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Função igual ao produto de seus valores em fatores de coprime

Na teoria dos números, uma função multiplicativa é uma função aritmética f(n) de um inteiro positivo n com a propriedade que f(1) = 1 e

{displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}

umb)

Uma função aritmética f(n) é completamente multiplicativa (ou totalmente multiplicativa) se f(1) = 1 e f(ab) = f(a)f(b) contém para todos os inteiros positivos a e b, mesmo quando não são primos.

Exemplos

Algumas funções multiplicativas são definidas para tornar as fórmulas mais fáceis de escrever:

1n): a função constante, definida por 1(n) = 1 (completamente multiplicativo)
Id (n): função de identidade, definida por Id(n) = n (completamente multiplicativo)
I._k(n): as funções de energia, definidas por Id_k(n) = n^k para qualquer número complexo k (completamente multiplicativo). Como casos especiais temos
- I.₀(n) = 1 (n) e
- I.₁(n) = Id(n).
ε(n): a função definida por ε(n) = 1 se n = 1 e 0 caso contrário, às vezes chamado unidade de multiplicação para convolução Dirichlet ou simplesmente o função da unidade (completamente multiplicativo). Às vezes escrito como u(n), mas não confundir com μ(n).
1_C(n), a função indicadora do conjunto C ? Z., para certos conjuntos C. A função indicador 1_C(n) é multiplicador precisamente quando o conjunto C tem a seguinte propriedade para qualquer número de coprime um e b): o produto A em C se e somente se os números um e b) são ambos C. Este é o caso se C é o conjunto de quadrados, cubos, ou k-os poderes, ou se C é o conjunto de números sem quadrados.

Outros exemplos de funções multiplicativas incluem muitas funções importantes na teoria dos números, como:

Gcd(n,k): o maior divisor comum n e k, como uma função de n, onde k é um inteiro fixo.
$varphi (n)$ : Função totient de Euler $varphi$ , contando os inteiros positivos coprime para (mas não maior do que) n
μ(n): a função Möbius, a paridade (−1 para ímpar, +1 para até) do número de fatores primos de números sem quadrados; 0 se n não é livre de quadrados
σ_k(n): a função divisor, que é a soma da k- os poderes de todos os divisores positivos n (onde) k pode ser qualquer número complexo). Casos especiais temos
- σ₀(n) = D(n) o número de divisores positivos n,
- σ₁(n) = σ(n), a soma de todos os divisores positivos n.
A soma da k-os poderes dos divisores unitários são denotados por σ*_k(n:

{displaystyle sigma _{k}^{*}(n)=sum _{d,mid ,n atop gcd(d,,n/d)=1}!!d^{k}.}

um(n): o número de grupos abelianos não-isomorfos de ordem n.
λ(n): a função Liouville, λ(n) = (−1)^Ω(n) onde Ω(n) é o número total de primos (contados com multiplicidade) divididos n. (completamente multiplicativo).
γ(n), definido por γ(n) = (−1)^ω(n), onde a função aditiva ω(n) é o número de primos distintos que dividem n.
?(n): a função Ramanujan tau.
Todos os caracteres Dirichlet são funções completamente multiplicativas. Por exemplo
- (n/p), o símbolo Legendre, considerado como uma função de n Onde? p é um número primo fixo.

Um exemplo de função não multiplicativa é a função aritmética r₂(n) - o número de representações de n como uma soma de quadrados de dois números inteiros, positivos, negativos ou zero, onde na contagem do número de maneiras, a reversão da ordem é permitida. Por exemplo:

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

e portanto r₂(1) = 4 ≠ 1. Isso mostra que a função não é multiplicativa. No entanto, r₂(n)/4 é multiplicativo.

Na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras, as sequências de valores de uma função multiplicativa têm a palavra-chave "mult".

Veja a função aritmética para alguns outros exemplos de funções não multiplicativas.

Propriedades

Uma função multiplicativa é completamente determinada por seus valores nas potências dos números primos, uma consequência do teorema fundamental da aritmética. Assim, se n é um produto de potências de primos distintos, digamos n = p^a q^b..., então f(n) = f(p^a) f(q^b)...

Essa propriedade de funções multiplicativas reduz significativamente a necessidade de computação, como nos exemplos a seguir para n = 144 = 2⁴ · 3²:

{displaystyle d(144)=sigma _{0}(144)=sigma _{0}(2^{4}),sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5cdot 3=15}

{displaystyle sigma (144)=sigma _{1}(144)=sigma _{1}(2^{4}),sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31cdot 13=403}

{displaystyle sigma ^{*}(144)=sigma ^{*}(2^{4}),sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17cdot 10=170}

Da mesma forma, temos:

{displaystyle varphi (144)=varphi (2^{4}),varphi (3^{2})=8cdot 6=48}

Em geral, se f(n) é uma função multiplicativa e a, b são quaisquer dois inteiros positivos, então

f(um) · f(b)) = f(gcd)um,b)) · f(lcm)um,b))).

Toda função completamente multiplicativa é um homomorfismo de monóides e é completamente determinada por sua restrição aos números primos.

Convolução

Se f e g são duas funções multiplicativas, uma define uma nova função multiplicativa $f*g$ , o Convolução de Dirichlet de f e g, por

{displaystyle (f,*,g)(n)=sum _{d|n}f(d),gleft({frac {n}{d}}right)}

Dnε

As relações entre as funções multiplicativas discutidas acima incluem:

${displaystyle mu *1=varepsilon }$ (a fórmula de inversão Möbius)
${displaystyle (mu operatorname {Id} _{k})*operatorname {Id} _{k}=varepsilon }$ (inversão geral de Möbius)
${displaystyle varphi *1=operatorname {Id} }$
${displaystyle d=1*1}$
${displaystyle sigma =operatorname {Id} *1=varphi *d}$
${displaystyle sigma _{k}=operatorname {Id} _{k}*1}$
${displaystyle operatorname {Id} =varphi *1=sigma *mu }$
${displaystyle operatorname {Id} _{k}=sigma _{k}*mu }$

A convolução de Dirichlet pode ser definida para funções aritméticas gerais e produz uma estrutura de anel, o anel de Dirichlet.

A convolução Dirichlet de duas funções multiplicativas é novamente multiplicativa. Uma prova deste fato é dada pela seguinte expansão para relativamente primo ${displaystyle a,bin mathbb {Z} ^{+}}$ :

{displaystyle {begin{aligned}(fast g)(ab)&=sum _{d|ab}f(d)gleft({frac {ab}{d}}right)\&=sum _{d_{1}|a}sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})gleft({frac {ab}{d_{1}d_{2}}}right)\&=sum _{d_{1}|a}f(d_{1})gleft({frac {a}{d_{1}}}right)times sum _{d_{2}|b}f(d_{2})gleft({frac {b}{d_{2}}}right)\&=(fast g)(a)cdot (fast g)(b).end{aligned}}}

Série de Dirichlet para algumas funções multiplicativas

$sum _{{ngeq 1}}{frac {mu (n)}{n^{s}}}={frac {1}{zeta (s)}}$
$sum _{{ngeq 1}}{frac {varphi (n)}{n^{s}}}={frac {zeta (s-1)}{zeta (s)}}$
$sum _{{ngeq 1}}{frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={frac {zeta (s)^{4}}{zeta (2s)}}$
$sum _{{ngeq 1}}{frac {2^{{omega (n)}}}{n^{s}}}={frac {zeta (s)^{2}}{zeta (2s)}}$

Mais exemplos são mostrados no artigo sobre a série Dirichlet.

Função multiplicativa sobre Fq[X]

Seja $A = F q [X]$ , o anel polinomial sobre o corpo finito com elementos q. A é um domínio ideal principal e, portanto, A é um domínio de fatoração única.

Uma função de valor complexo $lambda$ sobre A é chamado multiplicador se $lambda (fg)=lambda (f)lambda (g)$ sempre f e g são relativamente primos.

Função Zeta e série de Dirichlet em Fq[X]

Seja h uma função aritmética polinomial (ou seja, uma função no conjunto de polinômios mônicos sobre A). Sua série de Dirichlet correspondente é definida como

{displaystyle D_{h}(s)=sum _{f{text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}

para onde ${displaystyle gin A,}$ conjunto ${displaystyle |g|=q^{deg(g)}}$ se ${displaystyle gneq 0,}$ e $|g|=0$ caso contrário.

A função zeta polinomial é então

{displaystyle zeta _{A}(s)=sum _{f{text{ monic}}}|f|^{-s}.}

Semelhante à situação em $N$ , toda série de Dirichlet de uma função multiplicativa h tem uma representação de produto (Euler produtos):

{displaystyle D_{h}(s)=prod _{P}left(sum _{nmathop {=} 0}^{infty }h(P^{n})|P|^{-sn}right),}

onde o produto percorre todos os polinômios irredutíveis mônicos P. Por exemplo, a representação do produto da função zeta é como para os inteiros:

{displaystyle zeta _{A}(s)=prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}

Ao contrário da função zeta clássica, ${displaystyle zeta _{A}(s)}$ é uma função racional simples:

{displaystyle zeta _{A}(s)=sum _{f}|f|^{-s}=sum _{n}sum _{deg(f)=n}q^{-sn}=sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}

De maneira semelhante, se f e g são duas funções aritméticas polinomiais, define-se f * g, a convolução de Dirichlet de f e g, por

{displaystyle {begin{aligned}(f*g)(m)&=sum _{dmid m}f(d)gleft({frac {m}{d}}right)\&=sum _{ab=m}f(a)g(b),end{aligned}}}

onde a soma é sobre todos os divisores moníacos D dem, ou equivalente em todos os pares (um, b)) de polinômios monicos cujo produto é m. A identidade ${displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$ Ainda segura.