Função elementar

Em matemática, uma função elementar é uma função de uma única variável (normalmente real ou complexa) que é definida como tomando somas, produtos, raízes e composições de um número finito de polinômios, racionais, trigonométricos, funções hiperbólicas e exponenciais, incluindo possivelmente suas funções inversas (por exemplo, arcsin, log ou x^1/n).

Todas as funções elementares são contínuas em seus domínios.

Funções elementares foram introduzidas por Joseph Liouville em uma série de artigos de 1833 a 1841. Um tratamento algébrico de funções elementares foi iniciado por Joseph Fels Ritt na década de 1930.

Exemplos

Exemplos básicos

As funções elementares de uma única variável x incluem:

• Funções constantes: ${displaystyle 2, pi e,}$ etc.
• Poderes racionais de x: ${displaystyle x, x^{2}, {sqrt {x}} (x^{frac {1}{2}}), x^{frac {2}{3}},}$ etc.
• funções algébricas mais gerais: $(x)}$ satisfazendo ${displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$, que não é exprimível através de n-ésimas raízes ou poderes racionais x sozinho
• Funções exonenciais: ${displaystyle e^{x}, a^{x}}$
• Logarithms: ${displaystyle ln x,log _{a}x}$
• Funções trigonométricas: ${displaystyle sin x, cos x,tan x,}$ etc.
• Funções trigonométricas inversas: ${displaystyle arcsin x, arccos x,}$ etc.
• Funções hiperbólicas: ${displaystyle sinh x, cosh x,}$ etc.
• Funções hiperbólicas inversas: ${displaystyle operatorname {arsinh} x, operatorname {arcosh} x,}$ etc.
• Todas as funções obtidas adicionando, subtraindo, multiplicando ou dividindo um número finito de qualquer uma das funções anteriores
• Todas as funções obtidas pela extração de raiz de um polinômio com coeficientes em funções elementares
• Todas as funções obtidas compor um número finito de qualquer uma das funções listadas anteriormente

Determinadas funções elementares de uma variável complexa zangão., como $Não.$ e $- Sim.$, pode ser multivalorizado. Além disso, certas classes de funções podem ser obtidas por outros usando as duas regras finais. Por exemplo, a função exponencial ${displaystyle e^{z}}$ composto com adição, subtração e divisão fornece as funções hiperbólicas, enquanto composição inicial com ${displaystyle z^{i}}$ em vez fornece as funções trigonométricas.

Exemplos de composição

Exemplos de funções elementares incluem:

• Adição, por exemplo.x+1)
• Multiplicação, por exemplo (2x)
• Funções polinomiais
• $(e^{tan) x}}{1+x^{2}}}sin left({sqrt {1+(ln x)^{2}}}right)}$
• $(x+i{sqrt {1-x^{2}}}right)}$

A última função é igual a ${displaystyle arccos x}$, a cossena inversa, em todo o plano complexo.

Todos os monomials, polinomiais, funções racionais e funções algébricas são elementares. A função de valor absoluto, para real $Não.$, também é elementar como pode ser expresso como a composição de um poder e raiz de $Não.$: ${textstyle |x|={sqrt {x^{2}}}}$.

Funções não elementares

Um exemplo de função que não é elementar é a função de erro

• ${displaystyle mathrm {erf} (x)={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{2}},dt,}$

um fato que pode não ser imediatamente óbvio, mas pode ser comprovado usando o algoritmo de Risch.

• Veja também os exemplos em função de Liouvillian e integral de Nolementary.

Fechamento

Resulta diretamente da definição que o conjunto de funções elementares é fechado sob operações aritméticas, extração de raízes e composição. As funções elementares são fechadas sob diferenciação. Eles não são fechados sob limites e somas infinitas. É importante ressaltar que as funções elementares não são fechadas sob integração, conforme mostrado pelo teorema de Liouville, consulte Integral não elementar. As funções de Liouvillian são definidas como as funções elementares e, recursivamente, as integrais das funções de Liouvillian.

Álgebra diferencial

A definição matemática de uma função elementar, ou uma função na forma elementar, é considerada no contexto da álgebra diferencial. Uma álgebra diferencial é uma álgebra com a operação extra de derivação (versão algébrica de diferenciação). Usando a operação de derivação, novas equações podem ser escritas e suas soluções usadas em extensões da álgebra. Partindo do campo das funções racionais, dois tipos especiais de extensões transcendentais (o logaritmo e o exponencial) podem ser adicionados ao campo construindo uma torre contendo funções elementares.

Um campo diferencial F é um corpo F₀ (funções racionais sobre os racionais Q por exemplo) junto com um mapa de derivação u → ∂u. (Aqui ∂u é uma nova função. Às vezes, a notação u′ é usada.) A derivação captura as propriedades de diferenciação, de modo que, para quaisquer dois elementos do campo base, a derivação é linear

${displaystyle partial (u+v)=partial u+partial v}$

e satisfaz a regra do produto de Leibniz

${displaystyle partial (ucdot v)=partial ucdot v+ucdot partial v,.}$

Um elemento h é uma constante se ∂h = 0. Se o corpo base estiver sobre os racionais, deve-se tomar cuidado ao estender o corpo para adicionar as constantes transcendentais necessárias.

Uma função u de uma extensão diferencial F[u] de um campo diferencial F é um < b>função elementar sobre F se a função u

• é algébrica Fou
• é um exponencial, isto é, ∂u = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = u ∂um para um ∈ Fou
• é um - Não., isto é, ∂u - Não.um/ a para um ∈ F.

(veja também o teorema de Liouville)