Função de transferência

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Função especificando o comportamento de um componente em um sistema eletrônico ou de controle

Na engenharia, uma função de transferência (também conhecida como função do sistema ou função de rede) de um sistema, subsistema ou componente é uma função matemática que modela a saída do sistema para cada entrada possível. Eles são amplamente utilizados em ferramentas de engenharia eletrônica, como simuladores de circuitos e sistemas de controle. Em alguns casos simples, esta função é um gráfico bidimensional de uma entrada escalar independente versus a saída escalar dependente, chamada de curva de transferência ou curva característica. Funções de transferência para componentes são usadas para projetar e analisar sistemas montados a partir de componentes, particularmente usando a técnica de diagrama de blocos, em eletrônica e teoria de controle.

As dimensões e unidades da função de transferência modelam a resposta de saída do dispositivo para uma variedade de entradas possíveis. Por exemplo, a função de transferência de um circuito eletrônico de duas portas como um amplificador pode ser um gráfico bidimensional da tensão escalar na saída em função da tensão escalar aplicada à entrada; a função de transferência de um atuador eletromecânico pode ser o deslocamento mecânico do braço móvel em função da corrente elétrica aplicada ao dispositivo; a função de transferência de um fotodetector pode ser a tensão de saída em função da intensidade luminosa da luz incidente de um determinado comprimento de onda.

O termo "função de transferência" também é usado na análise de domínio de frequência de sistemas usando métodos de transformação como a transformada de Laplace; aqui significa a amplitude da saída em função da frequência do sinal de entrada. Por exemplo, a função de transferência de um filtro eletrônico é a amplitude da tensão na saída em função da frequência de uma onda senoidal de amplitude constante aplicada à entrada. Para dispositivos de imagem óptica, a função de transferência óptica é a transformada de Fourier da função de dispersão de ponto (portanto, uma função de frequência espacial).

Sistemas lineares invariantes no tempo

Funções de transferência são comumente usadas na análise de sistemas como filtros de entrada única e saída única nos campos de processamento de sinal, teoria de comunicação e teoria de controle. O termo é frequentemente usado exclusivamente para se referir a sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). A maioria dos sistemas reais tem características de entrada/saída não lineares, mas muitos sistemas, quando operados dentro de parâmetros nominais (não "exagerados") têm um comportamento próximo o suficiente do linear para que a teoria do sistema LTI seja uma representação aceitável do comportamento de entrada/saída.

As descrições abaixo são dadas em termos de uma variável complexa, $s = sigma + j cdot omega$ , que tem uma breve explicação. Em muitas aplicações, basta definir $sigma =0$ (mais) $s = j cdot omega$ ), que reduz o Laplace transforma-se com argumentos complexos para Fourier transforma-se com argumento real ω. As aplicações em que isso é comum são aquelas em que há interesse apenas na resposta de estado constante de um sistema LTI, não nos comportamentos de turno e desligamento fugazes ou problemas de estabilidade. Esse é geralmente o caso para processamento de sinais e teoria da comunicação.

Assim, para sinal de entrada em tempo contínuo $x(t)$ e saída $y(t)$ , a função de transferência $H(s)$ é o mapeamento linear da transformação Laplace da entrada, $X(s) = mathcal{L}left{x(t)right}$ , para a transformação Laplace da saída $Y(s) = mathcal{L}left{y(t)right}$ :

Y(s) = H(s);X(s)

{displaystyle H(s)={frac {Y(s)}{X(s)}}={frac {{mathcal {L}}left{y(t)right}}{{mathcal {L}}left{x(t)right}}}.}

Em sistemas de tempo discreto, a relação entre um sinal de entrada $x(t)$ e saída $y(t)$ é tratado com o uso do z-transform, e, em seguida, a função de transferência é similarmente escrito como $H(z) = frac{Y(z)}{X(z)}$ e isso é frequentemente referido como a função de transferência de pulso.

Derivação direta de equações diferenciais

Considere uma equação diferencial linear com coeficientes constantes

L[u] = frac{d^nu}{dt^n} + a_1frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}} + dotsb + a_{n-1}frac{du}{dt} + a_nu = r(t)

Onde? u e R são convenientemente funções lisas de )e L é o operador definido no espaço de função relevante, que transforma u para dentro R. Esse tipo de equação pode ser usado para restringir a função de saída u em termos de força função R. A função de transferência pode ser usada para definir um operador $F[r] = u$ que serve como um inverso direito de L, significando que $L[F[r]] = r$ .

Soluções da homogêneo, equação diferencial constante-coeficiente $L[u] = 0$ pode ser encontrado tentando $u = e^{lambda t}$ . Essa substituição produz o polinômio característico

p_L(lambda) = lambda^n + a_1lambda^{n-1} + dotsb + a_{n-1}lambda + a_n,

O caso inhomogeneous pode ser facilmente resolvido se a função de entrada R é também da forma $r(t) = e^{s t}$ . Nesse caso, substituindo $u = H(s)e^{s t}$ um descobre que $L[H(s) e^{s t}] = e^{s t}$ se definirmos

{displaystyle H(s)={frac {1}{p_{L}(s)}}qquad {text{wherever }}quad p_{L}(s)neq 0.}

Tomando isso como a definição da função de transferência requer uma desambiguação cuidadosa entre valores complexos versus reais, que é tradicionalmente influenciado pela interpretação de abs(H. H. H.(S) como o ganho e −atan(H. H. H.(S)) como a fase lag. Outras definições da função de transferência são utilizadas: por exemplo $1/p_L(ik).$

Ganho, comportamento transitório e estabilidade

Uma entrada sinusoidal geral para um sistema de frequência ${displaystyle omega _{0}/(2pi)}$ pode ser escrito ${displaystyle exp(jomega _{0}t)}$ . A resposta de um sistema a uma entrada sinusoidal começando no momento $t=0$ consistirá na soma da resposta do estado estável e uma resposta transitória. A resposta do estado estável é a saída do sistema no limite do tempo infinito, e a resposta transitória é a diferença entre a resposta e a resposta do estado estável (ele corresponde à solução homogênea da equação diferencial acima). A função de transferência para um sistema LTI pode ser escrita como produto:

{displaystyle H(s)=prod _{i=1}^{N}{frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}

Onde? S_{P_Eu...} são os N raízes do polinomial característico e será, portanto, os pólos da função de transferência. Considere o caso de uma função de transferência com um único pólo ${displaystyle H(s)={frac {1}{s-s_{P}}}}$ Onde? ${displaystyle s_{P}=sigma _{P}+jomega _{P}}$ . A transformação Laplace de um sinusóide geral da amplitude da unidade será ${displaystyle {frac {1}{s-jomega _{i}}}}$ . A transformação Laplace da saída será ${displaystyle {frac {H(s)}{s-jomega _{0}}}}$ e a saída temporal será a transformação de Laplace inversa dessa função:

{displaystyle g(t)={frac {e^{j,omega _{0},t}-e^{(sigma _{P}+j,omega _{P})t}}{-sigma _{P}+j(omega _{0}-omega _{P})}}}

O segundo termo no numerador é a resposta transitória, e no limite do tempo infinito divergirá para o infinito se σ_P for positivo. Para que um sistema seja estável, sua função de transferência não deve ter polos cujas partes reais sejam positivas. Se a função de transferência for estritamente estável, as partes reais de todos os pólos serão negativas e o comportamento transiente tenderá a zero no limite do tempo infinito. A saída em estado estacionário será:

{displaystyle g(infty)={frac {e^{j,omega _{0},t}}{-sigma _{P}+j(omega _{0}-omega _{P})}}}

A resposta de frequência (ou "ganho") G do sistema é definida como o valor absoluto da razão entre a amplitude de saída e a amplitude de entrada em estado estacionário:

{displaystyle G(omega _{i})=left|{frac {1}{-sigma _{P}+j(omega _{0}-omega _{P})}}right|={frac {1}{sqrt {sigma _{P}^{2}+(omega _{P}-omega _{0})^{2}}}},}

que é apenas o valor absoluto da função de transferência $H(s)$ avaliado em ${displaystyle jomega _{i}}$ . Este resultado pode ser mostrado para ser válido para qualquer número de pólos de função de transferência.

Processamento de sinal

Vamos. $x(t)$ ser a entrada para um sistema linear de tempo-invariante geral, e $y(t)$ ser a saída, e a transformação Laplace bilateral de $x(t)$ e $y(t)$ ser

{begin{aligned}X(s)&={mathcal {L}}left{x(t)right} {stackrel {{mathrm {def}}}{=}} int _{{-infty }}^{{infty }}x(t)e^{{-st}},dt,\Y(s)&={mathcal {L}}left{y(t)right} {stackrel {{mathrm {def}}}{=}} int _{{-infty }}^{{infty }}y(t)e^{{-st}},dt.end{aligned}}

Então a saída está relacionada com a entrada pela função de transferência $H(s)$ como

{displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}

e a própria função de transferência é, portanto,

H(s)={frac {Y(s)}{X(s)}}.

Em particular, se um sinal harmônico complexo com um componente sinusoidal com amplitude $|X|$ , frequência angular $omega$ e fase ${displaystyle arg(X)}$ , onde arg é o argumento

x(t) = Xe^{jomega t} = |X|e^{j(omega t + arg(X))}

Onde?

{displaystyle X=|X|e^{jarg(X)}}

é inserido em um sistema linear invariante no tempo, então o componente correspondente na saída é:

{begin{aligned}y(t)&=Ye^{{jomega t}}=|Y|e^{{j(omega t+arg(Y))}},\Y&=|Y|e^{{jarg(Y)}}.end{aligned}}

Note que, em um sistema linear de tempo-invariante, a frequência de entrada $omega$ não mudou, apenas a amplitude e o ângulo de fase do sinusóide foi alterado pelo sistema. A resposta de frequência ${displaystyle H(jomega)}$ descreve esta mudança para cada frequência $omega$ em termos de ganho:

{displaystyle G(omega)={frac {|Y|}{|X|}}=|H(jomega)|}

e mudança de fase:

phi (omega)=arg(Y)-arg(X)=arg(H(jomega)).

O atraso de fase (ou seja, a quantidade de atraso dependente da frequência introduzida na senóide pela função de transferência) é:

tau _{{phi }}(omega)=-{frac {phi (omega)}{omega }}.

O atraso do grupo (ou seja, a quantidade dependente de frequência de atraso introduzida no envelope do sinusóide pela função de transferência) é encontrado pela computação do derivado da mudança de fase em relação à frequência angular $omega$ ,

tau _{{g}}(omega)=-{frac {dphi (omega)}{domega }}.

A função de transferência também pode ser mostrada usando a transformada Fourier que é apenas um caso especial da transformada Laplace bilateral para o caso em que $s = j omega$ .

Famílias de funções de transferência comuns

Embora qualquer sistema LTI possa ser descrito por alguma função de transferência ou outra, existem certas "famílias" de funções de transferência especiais que são comumente usadas.

Algumas famílias comuns de funções de transferência e suas características particulares são:

Filtro Butterworth – maximamente plana em banda de passe e banda para a ordem dada
Filtro Chebyshev (Tipo I) – maximamente plana em stopband, corte mais nítido do que um filtro Butterworth da mesma ordem
Filtro de Chebyshev (Tipo II) – maximamente plana em banda de passe, corte mais nítido do que um filtro de Butterworth da mesma ordem
Filtro de mexilhão – melhor resposta de pulso para uma determinada ordem, porque não tem recaída de atraso de grupo
Filtro elíptico – corte mais nítida (transição mais estreita entre banda de passe e banda de parada) para a ordem dada
Filtro ideal "L"
Filtro gaussiano – atraso mínimo do grupo; não dá superação a uma função passo
Filtro de óculos
Filtro de proteína

Engenharia de controle

Na engenharia de controle e na teoria de controle, a função de transferência é derivada usando a transformada de Laplace.

A função de transferência foi a principal ferramenta usada na engenharia de controle clássica. No entanto, provou ser difícil de manejar para a análise de sistemas de entrada múltipla e saída múltipla (MIMO) e foi amplamente suplantado por representações de espaço de estado para tais sistemas. Apesar disso, uma matriz de transferência sempre pode ser obtida para qualquer sistema linear, a fim de analisar sua dinâmica e outras propriedades: cada elemento de uma matriz de transferência é uma função de transferência relacionando uma determinada variável de entrada a uma variável de saída.

Uma representação útil ligando o espaço de estado e os métodos de função de transferência foi proposta por Howard H. Rosenbrock e é chamada de matriz de sistema de Rosenbrock.

Óptica

Na óptica, a função de transferência de modulação indica a capacidade de transmissão de contraste óptico.

Por exemplo, ao observar uma série de franjas de luz preto-branco desenhadas com uma frequência espacial específica, a qualidade da imagem pode diminuir. As franjas brancas desaparecem enquanto as pretas ficam mais brilhantes.

A função de transferência de modulação em uma frequência espacial específica é definida por

{displaystyle mathrm {MTF} (f)={frac {M(mathrm {image})}{M(mathrm {source})}},}

onde a modulação (M) é calculada a partir da seguinte imagem ou brilho da luz:

M={frac {L_{{max }}-L_{{min }}}{L_{{max }}+L_{{min }}}}.

Imagiologia

Na geração de imagens, as funções de transferência são usadas para descrever a relação entre a luz da cena, o sinal da imagem e a luz exibida.

Sistemas não lineares

As funções de transferência não existem adequadamente para muitos sistemas não lineares. Por exemplo, eles não existem para osciladores de relaxamento; no entanto, as funções descritivas podem às vezes ser usadas para aproximar esses sistemas não lineares invariantes no tempo.

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