Função binária

Em matemática, uma função binária (também chamada de função bivariada ou função de duas variáveis) é uma função que recebe duas entradas.

Especificamente indicado, uma função fNão. é binário se houver conjuntos X,Y,Z.- Sim. tal que

f:: X× × Y→ → Z.{displaystyle ,fcolon Xtimes Yrightarrow Z}

Onde? X× × YNão. Xtimes Y} é o produto cartesiano de X- Sim. e Y.Não. Sim.

Definições alternativas

Definida teoricamente, uma função binária pode ser representada como um subconjunto do produto cartesiano X× × Y× × Z.Não. Xtimes Ytimes Z}, onde (x,Sim.,zangão.)(x,y,z)} pertence ao subconjunto se e somente se f(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =zangão.(x,y)=z}. Por outro lado, um subconjunto RNão. R. define uma função binária se e somente se for x∈ ∈ X{displaystyle xin X} e Sim.∈ ∈ Y- Sim., existe um único zangão.∈ ∈ Z.- Sim. tal que (x,Sim.,zangão.)(x,y,z)} pertence a RNão. R.. f(x,Sim.)(x,y)} é então definido como este zangão.Não..

Alternativamente, uma função binária pode ser interpretada como simplesmente uma função de X× × YNão. Xtimes Y} para Z.Não.. Mesmo quando pensado desta maneira, no entanto, um geralmente escreve f(x,Sim.)(x,y)} em vez de f((x,Sim.))(x,y)}. (Isso é, o mesmo par de parênteses é usado para indicar tanto aplicação de função e a formação de um par ordenado.)

Exemplos

A divisão de números inteiros pode ser pensada como uma função. Se Z.{displaystyle mathbb {Z} } } é o conjunto de inteiros, N+{displaystyle mathbb {N} ^{+}} é o conjunto de números naturais (exceto para zero), e Q{displaystyle mathbb {Q} } } é o conjunto de números racionais, então a divisão é uma função binária f:Z.× × N+→ → Q{displaystyle f:mathbb] {Z} times mathbb {N} ^{+}to mathbb Não..

Outro exemplo é o de produtos internos, ou funções mais geralmente do formulário (x,Sim.)↦ ↦ xTMSim.(x,y)mapsto x^{mathrm {T} }My}, onde x, Sim. são vetores reais de tamanho apropriado e M é uma matriz. Se M é uma matriz definida positiva, isso produz um produto interno.

Funções de duas variáveis reais

Funções cujo domínio é um subconjunto de R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} muitas vezes também são chamadas funções de duas variáveis, mesmo que seu domínio não forma um retângulo e, portanto, o produto cartesiano de dois conjuntos.

Restrições a funções comuns

Por sua vez, pode-se também derivar funções comuns de uma variável de uma função binária. Dado qualquer elemento x∈ ∈ X{displaystyle xin X}, há uma função fx{displaystyle f^{x}}ou f(x,)) ){displaystyle f(x,cdot)}, de YNão. Sim. para Z.Não., dado por fx(Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x,Sim.)(y)=f(x,y)}. Da mesma forma, dado qualquer elemento Sim.∈ ∈ Y- Sim., há uma função fSim.{displaystyle f_{y}}ou f()) ,Sim.){displaystyle f(cdoty)}, de X- Sim. para Z.Não., dado por fSim.(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x,Sim.)(x)=f(x,y)}. Na ciência da computação, essa identificação entre uma função de X× × YNão. Xtimes Y} para Z.Não. e uma função de X- Sim. para Z.YNão. Z^{Y}}, onde Z.YNão. Z^{Y}} é o conjunto de todas as funções de YNão. Sim. para Z.Não., é chamado currying.

Generalizações

Os vários conceitos relativos a funções também podem ser generalizados para funções binárias. Por exemplo, o exemplo de divisão acima é sobrejetivo (ou onto) porque todo número racional pode ser expresso como um quociente de um número inteiro e um número natural. Este exemplo é injetivo em cada entrada separadamente, porque as funções f ^x e f _y são sempre injetivos. No entanto, não é injetivo em ambas as variáveis simultaneamente, porque (por exemplo) f (2,4) = f (1,2).

Também podem ser consideradas funções binárias parciais, que podem ser definidas apenas para determinados valores das entradas. Por exemplo, o exemplo de divisão acima também pode ser interpretado como uma função binária parcial de Z e N para Q, onde N é o conjunto de todos os números naturais, incluindo o zero. Mas esta função é indefinida quando a segunda entrada é zero.

Uma operação binária é uma função binária onde os conjuntos X, Y e Z são todos iguais; operações binárias são freqüentemente usadas para definir estruturas algébricas.

Em álgebra linear, uma transformação bilinear é uma função binária onde os conjuntos X, Ye Z. são todos os espaços vetoriais e as funções derivadas f ^x e f_Sim. são todas as transformações lineares. Uma transformação bilinear, como qualquer função binária, pode ser interpretada como uma função de X × Y para Z., mas esta função em geral não será linear. No entanto, a transformação bilinear também pode ser interpretada como uma única transformação linear do produto tensor X⭐ ⭐ YNão. Xotimes Y} para Z..

Generalizações para funções ternárias e outras

O conceito de função binária é generalizado para ternária (ou 3-ária), função, quaternária (ou 4-ário) função, ou mais geralmente para função n-ária para qualquer número natural n. Uma função 0-ária para Z é simplesmente dada por um elemento de Z. Pode-se também definir uma função A-ária onde A é qualquer conjunto; há uma entrada para cada elemento de A.

Teoria da categoria

Na teoria das categorias, funções n-árias generalizam para morfismos n-ários em uma multicategoria. A interpretação de um morfismo n-ário como um morfismo ordinário cujo domínio é algum tipo de produto dos domínios do morfismo n-ário original funcionará em uma categoria monoidal. A construção dos morfismos derivados de uma variável funcionará em uma categoria monoidal fechada. A categoria de conjuntos é monoidal fechada, mas também a categoria de espaços vetoriais, dando a noção de transformação bilinear acima.