Félix Hausdorff

Felix Hausdorff (HOWS-dorf, HOWZ-dorf; 8 de novembro de 1868 - 26 de janeiro de 1942) foi um matemático alemão considerado um dos fundadores da topologia moderna e que contribuiu significativamente para a teoria dos conjuntos, teoria dos conjuntos descritivos, teoria da medida e análise funcional.

A vida tornou-se difícil para Hausdorff e sua família após a Kristallnacht em 1938. No ano seguinte, ele iniciou esforços para emigrar para os Estados Unidos, mas não conseguiu fazer arranjos para receber uma bolsa de pesquisa. Em 26 de janeiro de 1942, Felix Hausdorff, junto com sua esposa e cunhada, suicidou-se tomando uma overdose de veronal, em vez de cumprir as ordens alemãs de se mudar para o campo de Endenich, e lá sofrer as prováveis implicações, sobre a qual não tinha ilusões.

Vida

Infância e juventude

O pai de Hausdorff, o comerciante judeu Louis Hausdorff (1843–1896), mudou-se com sua jovem família para Leipzig no outono de 1870 e, com o tempo, trabalhou em várias empresas, incluindo uma fábrica de artigos de linho e algodão. Ele era um homem educado e se tornou morenu aos 14 anos. Ele escreveu vários tratados, incluindo um longo trabalho sobre as traduções aramaicas da Bíblia sob a perspectiva da lei talmúdica.

A mãe de Hausdorff, Hedwig (1848–1902), também referida em vários documentos como Johanna, veio da família judia Tietz. De outro ramo dessa família veio Hermann Tietz, fundador da primeira loja de departamentos e, posteriormente, co-proprietário da rede de lojas de departamentos chamada "Hermann Tietz". Durante o período da ditadura nazista o nome era "arianizado" para Hertie.

De 1878 a 1887, Felix Hausdorff frequentou a Escola Nicolai em Leipzig, uma instalação que tinha a reputação de ser um viveiro de educação humanística. Ele foi um excelente aluno, líder de classe por muitos anos e frequentemente recitava poemas em latim ou alemão de sua autoria nas comemorações da escola.

Nos últimos anos do ensino médio, escolher um assunto principal de estudo não foi fácil para Hausdorff. Magda Dierkesmann, que costumava ser hóspede na casa de Hausdorff nos anos de 1926–1932, relatou em 1967 que:

Seu talento musical versátil foi tão grande que apenas a insistência de seu pai o fez desistir de seu plano de estudar música e se tornar um compositor.

Ele decidiu estudar ciências naturais e, em sua turma de formandos de 1887, foi o único que alcançou a nota mais alta possível.

Licenciatura, Doutoramento e Habilitação

De 1887 a 1891 Hausdorff estudou matemática e astronomia, principalmente em sua cidade natal, Leipzig, interrompido por um semestre em Freiburg (verão de 1888) e Berlim (inverno de 1888/1889). Os depoimentos sobreviventes de outros alunos o retratam como um jovem extremamente versátil e interessado, que, além das aulas de matemática e astronomia, assistia a aulas de física, química e geografia, e também de filosofia e história da filosofia, bem como de questões de linguagem, literatura e ciências sociais. Em Leipzig, ele assistiu a palestras sobre a história da música do musicólogo Oscar Paul. Seu amor precoce pela música durou toda a vida; na casa de Hausdorff, ele realizou noites musicais impressionantes com o proprietário ao piano, de acordo com declarações de testemunhas feitas por vários participantes. Mesmo como estudante em Leipzig, ele era um admirador e conhecedor da música de Richard Wagner.

Nos últimos semestres de seus estudos, Hausdorff era próximo de Heinrich Bruns (1848–1919). Bruns foi professor de astronomia e diretor do observatório da Universidade de Leipzig. Sob sua supervisão, Hausdorff formou-se em 1891 com um trabalho sobre a teoria da refração astronômica da luz na atmosfera. Seguiram-se duas publicações sobre o mesmo assunto, e em 1895 seguiu-se também a sua Habilitação com uma tese sobre a absorção da luz na atmosfera. Esses primeiros trabalhos astronômicos de Hausdorff, apesar de sua excelente formulação matemática, foram de pouca importância para a comunidade científica. Por um lado, a ideia subjacente de Bruns foi posteriormente mostrada como inviável (havia uma necessidade de observações de refração perto do horizonte astronômico e, como Julius Bauschinger mostraria, isso não poderia ser obtido com a precisão necessária). Além disso, o progresso na medição direta de dados atmosféricos (de subidas de balão meteorológico) desde então tornou desnecessária a meticulosa precisão desses dados de observações de refração. No período entre a defesa de seu doutorado e sua Habilitação, Hausdorff completou seu requisito militar de um ano e trabalhou por dois anos como um computador humano no observatório em Leipzig.

Palestrante em Leipzig

Depois de sua habilitação, Hausdorff tornou-se professor na Universidade de Leipzig, onde começou a lecionar extensivamente em diversas áreas matemáticas. Além de ensinar e pesquisar em matemática, ele também perseguiu suas inclinações literárias e filosóficas. Um homem de interesses variados, ele frequentemente se associou a vários escritores, artistas e editores famosos, como Hermann Conradi, Richard Dehmel, Otto Erich Hartleben, Gustav Kirstein, Max Klinger, Max Reger e Frank Wedekind. Os anos de 1897 a 1904 marcam o auge de sua criatividade literária e filosófica, período em que foram publicadas 18 de suas 22 obras pseudônimas, entre elas um livro de poesia, uma peça de teatro, um livro epistemológico e um volume de aforismos.

Em 1899, Hausdorff casou-se com Charlotte Goldschmidt, filha do médico judeu Siegismund Goldschmidt. Sua madrasta era a famosa sufragista e professora de pré-escola Henriette Goldschmidt. O único filho de Hausdorff, sua filha Lenore (Nora), nasceu em 1900; ela sobreviveu à era do nacional-socialismo e teve uma vida longa, morrendo em Bonn em 1991.

Primeira cátedra

Em dezembro de 1901, Hausdorff foi nomeado professor associado adjunto da Universidade de Leipzig. Um fato frequentemente repetido, de que Hausdorff recebeu uma ligação de Göttingen e a rejeitou, não pode ser verificado e provavelmente está errado. Depois de considerar a candidatura de Hausdorff a Leipzig, o Reitor Kirchner sentiu-se compelido a fazer o seguinte acréscimo ao voto muito positivo de seus colegas, escrito por Heinrich Bruns:

O corpo docente, no entanto, considera-se obrigado a relatar ao Ministério Real que a aplicação acima, considerada no dia 2 de novembro deste ano quando uma reunião do corpo docente teve lugar, não foi aceita por todos, mas com 22 votos para 7. A minoria se opôs, porque o Dr. Hausdorff é da fé mosaica.

Esta citação enfatiza o anti-semitismo indisfarçável presente, que teve uma forte reviravolta em todo o Reich alemão após a quebra do mercado de ações de 1873. Leipzig era um foco de sentimento anti-semita, especialmente entre o corpo estudantil, o que pode muito bem ser a razão pela qual Hausdorff não se sentia à vontade em Leipzig. Outro fator contribuinte também pode ter sido o estresse devido à postura hierárquica dos professores de Leipzig.

Após sua habilitação, Hausdorff escreveu outros trabalhos sobre óptica, geometria não-euclidiana e sistemas numéricos hipercomplexos, bem como dois artigos sobre teoria da probabilidade. No entanto, sua principal área de trabalho logo se tornou a teoria dos conjuntos, especialmente a teoria dos conjuntos ordenados. Inicialmente, foi apenas por interesse filosófico que Hausdorff começou a estudar a obra de Georg Cantor, começando por volta de 1897, mas já em 1901 Hausdorff começou a dar palestras sobre a teoria dos conjuntos. Sua foi uma das primeiras palestras sobre teoria dos conjuntos; apenas as palestras de Ernst Zermelo no Göttingen College durante o inverno de 1900/1901 foram anteriores. Nesse mesmo ano, ele publicou seu primeiro artigo sobre tipos de pedidos, no qual examinou uma generalização de boas ordenações chamadas tipos de pedidos graduados, em que uma ordem linear é graduada se nenhum de seus segmentos compartilhar o mesmo tipo de pedido. Ele generalizou o teorema de Cantor-Bernstein, que dizia que a coleção de tipos de ordem contável tem a cardinalidade do continuum e mostrou que a coleção de todos os tipos graduados de uma cardinalidade idempotente m tem uma cardinalidade de 2^m.

No semestre de verão de 1910, Hausdorff foi nomeado professor da Universidade de Bonn. Lá ele começou uma série de palestras sobre teoria dos conjuntos, que ele revisou e expandiu substancialmente para o semestre de verão de 1912.

No verão de 1912, ele também começou a trabalhar em sua obra prima, o livro Basics of set theory. Foi concluído em Greifswald, onde Hausdorff havia sido nomeado para o semestre de verão como professor titular em 1913, e foi lançado em abril de 1914.

A Universidade de Greifswald era a menor das universidades prussianas. O instituto matemático de lá também era pequeno; durante o verão de 1916 e o inverno de 1916/17, Hausdorff foi o único matemático em Greifswald. Isso significava que ele estava quase totalmente ocupado em ministrar cursos básicos. Foi, portanto, uma melhoria substancial para sua carreira acadêmica quando Hausdorff foi nomeado em 1921 para Bonn. Lá ele estava livre para ensinar sobre uma gama mais ampla de tópicos e frequentemente fazia palestras sobre suas pesquisas mais recentes. Ele deu uma palestra particularmente notável sobre teoria da probabilidade (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) no semestre de verão de 1923, na qual fundamentou a teoria da probabilidade na teoria axiomática da teoria da medida, dez anos antes de A. N. Kolmogorov "Conceitos básicos da teoria da probabilidade" (reimpresso na íntegra nas obras coletadas, Volume V). Em Bonn, Hausdorff foi amigo e colega de Eduard Study e, mais tarde, de Otto Toeplitz, ambos matemáticos excepcionais.

Sob a ditadura nazista e o suicídio

Após a tomada do poder pelo partido Nacional-Socialista, o anti-semitismo tornou-se doutrina de Estado. Hausdorff não se preocupou inicialmente com a "Lei para a Restauração do Serviço Civil Profissional", adotada em 1933, porque ele era funcionário público alemão desde antes de 1914. No entanto, ele não foi totalmente poupado, como um de suas palestras foi interrompido por funcionários estudantis nacional-socialistas. No semestre de inverno de 1934/1935, houve uma sessão de trabalho da União Nacional Socialista dos Estudantes Alemães (NSDStB) na Universidade de Bonn, que escolheu "Raça e Etnia" como tema do semestre. Hausdorff cancelou o curso de Cálculo III do semestre de inverno de 1934/1935 em 20 de novembro, e presume-se que a escolha do tema esteja relacionada ao cancelamento da aula de Hausdorff, já que em sua longa carreira como professor universitário sempre lecionou seus cursos até o fim.

Em 31 de março de 1935, depois de algumas idas e vindas, Hausdorff finalmente recebeu o status de emérito. Nenhuma palavra de agradecimento foi dada por seus 40 anos de trabalho bem-sucedido no sistema de ensino superior alemão.

Seu legado acadêmico mostra que Hausdorff ainda estava trabalhando matematicamente durante esses tempos cada vez mais difíceis e continuou a acompanhar os atuais desenvolvimentos de interesse. Ele escreveu, além da edição expandida de seu trabalho sobre teoria dos conjuntos, sete trabalhos sobre topologia e teoria descritiva dos conjuntos. Estes foram publicados em revistas polacas: um no Studia Mathematica, os outros na Fundamenta Mathematicae. Ele foi apoiado nessa época por Erich Bessel-Hagen, um amigo leal da família Hausdorff que obteve livros e revistas da biblioteca acadêmica, na qual Hausdorff não tinha mais permissão para entrar.

Sabe-se muito sobre as humilhações a que Hausdorff e sua família foram expostos especialmente após a Kristallnacht em 1938. Existem muitas fontes, incluindo as cartas de Bessel-Hagen.

A primeira página de sua carta de despedida para Hans Wollstein

Em 1939, Hausdorff pediu em vão ao matemático Richard Courant uma bolsa de investigação para poder emigrar para os EUA. Em meados de 1941, os judeus de Bonn começaram a ser deportados para o "Mosteiro de Adoração Eterna" em Endenich, Bonn, de onde as freiras foram expulsas. Transportes para campos de extermínio no leste ocorreram mais tarde. Depois que Hausdorff, sua esposa e a irmã de sua esposa, Edith Pappenheim (que morava com eles), receberam ordens em janeiro de 1942 para se mudarem para o campo de Endenich, os três morreram por suicídio em 26 de janeiro de 1942, tomando uma overdose. de veronal. Seu local de descanso final está localizado no cemitério Poppelsdorfer em Bonn. No período entre a colocação em campos temporários e seu suicídio, ele deu seu Nachlass manuscrito ao egiptólogo e presbítero Hans Bonnet, que salvou o máximo possível, apesar da destruição de sua casa por uma bomba.

Alguns de seus companheiros judeus podem ter tido ilusões sobre o acampamento Endenich, mas não Hausdorff. Na propriedade de Bessel-Hagen, E. Neuenschwander descobriu a carta de despedida que Hausdorff escreveu a seu advogado Hans Wollstein, que também era judeu. Aqui está o começo e o fim da carta:

A lápide de Hausdorff em Bonn-Poppelsdorf

Querido amigo Wollstein!

Se você receber essas linhas, nós (três) resolvemos o problema de uma maneira diferente — da maneira que você sempre tentou nos dissuadir. O sentimento de segurança que você previu para nós uma vez que superaríamos as dificuldades do movimento, ainda está nos eluding; pelo contrário, Endenich pode nem mesmo ser o fim!

O que aconteceu nos últimos meses contra os judeus evoca o medo justificado de que eles não nos deixarão viver para ver uma situação mais suportável.

Depois de agradecer aos amigos e, com muita compostura, expressar seus últimos votos sobre seu funeral e seu testamento, Hausdorff escreve:

Sinto muito por te causar mais esforço além da morte, e estou convencido de que você está fazendo o que você pode ser fazer (que talvez não seja muito). Perdoe-nos a nossa deserção! Desejamos que você e todos os nossos amigos experimentem melhores momentos.

O teu verdadeiro devoto

Felix Hausdorff

Infelizmente, esse desejo não foi atendido. O advogado de Hausdorff, Wollstein, foi assassinado em Auschwitz.

Hausdorffstraße (Bonn)

A biblioteca de Hausdorff foi vendida por seu genro e único herdeiro, Arthur König. As partes do Nachlass de Hausdorff que puderam ser salvas por Hans Bonnet estão agora na Universidade e na Biblioteca Estadual de Bonn. O Nachlass está catalogado.

Trabalho e recepção

Hausdorff como filósofo e escritor (Paul Mongré)

O volume de aforismos de Hausdorff, publicado em 1897, foi sua primeira obra publicada sob o pseudônimo de Paul Mongré. É intitulado Sant' Ilario: Pensamentos da paisagem de Zaratustra. O subtítulo joga primeiro com o fato de que Hausdorff havia concluído seu livro durante uma estada de recuperação na costa da Ligúria em Gênova e que, nessa mesma área, Friedrich Nietzsche escreveu as duas primeiras partes de Assim Falou Zaratustra; ele também alude à sua proximidade espiritual com Nietzsche. Em um artigo sobre Sant' Ilario no semanário Die Zukunft, Hausdorff reconheceu in expressis verbis sua dívida para com Nietzsche.

Hausdorff não estava tentando copiar ou mesmo superar Nietzsche. "De Nietzsche imitação sem vestígios", diz uma crítica contemporânea. Ele segue Nietzsche na tentativa de liberar o pensamento individual, de tomar a liberdade de questionar padrões ultrapassados. Hausdorff manteve distância crítica das últimas obras de Nietzsche. Em seu ensaio sobre o livro A Vontade de Poder compilado a partir de notas deixadas no Arquivo Nietzsche ele diz:

Em Nietzsche brilha um fanático. Sua moralidade de criação, erguida em nossos atuais fundamentos biológicos e fisiológicos do conhecimento: isso poderia ser um escândalo histórico mundial contra o qual a Inquisição e julgamentos de bruxas desvanecem em aberrações inofensivas.

Seu padrão crítico ele tomou do próprio Nietzsche,

Do tipo, modesto, compreensão Nietzsche e do espírito livre do fresco, dogma-livre, Nietzsche cético não sistemático...

Em 1898—também sob o pseudônimo de Paul Mongré—Hausdorff publicou um experimento epistemológico intitulado Caos na seleção cósmica. A crítica da metafísica apresentada neste livro teve seu ponto de partida no confronto de Hausdorff com a ideia de eterno retorno de Nietzsche. Em última análise, trata-se de destruir qualquer tipo de metafísica. Do próprio mundo, do núcleo transcendente do mundo – como diz Hausdorff – nada sabemos e nada podemos saber. Devemos assumir que "o próprio mundo" como indeterminado e indeterminável, como mero caos. O mundo de nossa experiência, nosso cosmos, é o resultado das seleções que fizemos e sempre faremos instintivamente de acordo com nossa capacidade de compreensão. Visto desse caos, todas as outras estruturas, outros cosmos, são concebíveis. Ou seja, do mundo do nosso cosmos, não se pode tirar nenhuma conclusão sobre o mundo transcendente.

Em 1904, na revista The New Rundschau, apareceu a peça de Hausdorff, a peça de um ato O médico em sua homenagem. É uma sátira grosseira ao duelo e aos conceitos tradicionais de honra e nobreza do corpo de oficiais prussianos, que na sociedade burguesa em desenvolvimento eram cada vez mais anacrônicos. O médico em sua homenagem foi a obra literária mais popular de Hausdorff. Em 1914–1918 houve inúmeras apresentações em mais de trinta cidades. Mais tarde, Hausdorff escreveu um epílogo para a peça, mas não foi encenado na época. Somente em 2006 esse epílogo teve sua estreia no encontro anual da Sociedade Alemã de Matemática em Bonn.

Além das obras mencionadas acima, Hausdorff também escreveu numerosos ensaios que apareceram em algumas das principais revistas literárias da época. Ele também escreveu um livro de poemas, Ecstasy (1900). Alguns de seus poemas foram musicados pelo compositor austríaco Joseph Marx.

Teoria dos conjuntos ordenados

A entrada de Hausdorff em um estudo completo de conjuntos ordenados foi solicitado em parte pelo problema contínuo de Cantor: onde deve o número cardinal ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2? ? 0{displaystyle aleph =2^{aleph _{0}}} ser colocado na sequência (? ? α α ?Não. {aleph _{alpha }}}? Em uma carta a Hilbert em 29 de setembro de 1904, ele fala deste problema, "ele me tem atormentado quase como monomania". Hausdorff viu uma nova estratégia para atacar o problema no conjunto cumRD(T(? ? 0))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? (T(aleph _{0})=aleph }). Cantor tinha suspeitado ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? 1{displaystyle aleph =aleph _{1}}, mas só tinha sido capaz de mostrar que ? ? ≥ ≥ ? ? 1{displaystyle aleph geq aleph _{1}}. Enquanto ? ? 1{displaystyle aleph _{1}} é o "número" de possíveis bem-ordens de um conjunto contável, ? ? - Sim. tinha agora emergido como o "número" de todas as ordens possíveis de tal quantidade. Era natural, portanto, estudar sistemas mais específicos do que ordens, mas mais gerais do que bem-ordens. Hausdorff fez exatamente isso em seu primeiro volume de 1901, com a publicação de estudos teóricos de "conjuntos graduados". No entanto, sabemos dos resultados de Kurt Gödel e Paul Cohen que esta estratégia para resolver o problema do continuum é tão ineficaz quanto a estratégia de Cantor, que visava generalizar o princípio Cantor-Bendixson de conjuntos fechados para conjuntos incontáveis gerais.

Em 1904 Hausdorff publicou a recorrência nomeada por ele, que afirma que para cada ordinal não-limite μ μ - Sim. nós temos ? ? μ μ ? ? α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? μ μ ? ? μ μ - Sim. - Sim. 1? ? α α .{displaystyle aleph _{mu }^{aleph _{alpha }}=aleph _{mu };aleph _{mu -1} * Sim.

Esta fórmula foi, junto com uma noção posterior chamada cofinalidade introduzida por Hausdorff, a base para todos os resultados posteriores para a exponenciação de Aleph. O excelente conhecimento de Hausdorff sobre fórmulas de recorrência desse tipo também o capacitou a descobrir um erro na palestra de Julius König no Congresso Internacional de Matemáticos em 1904 em Heidelberg. Lá, König argumentou que o continuum não pode ser bem ordenado, então sua cardinalidade não é um Aleph, e assim causou uma grande agitação. O fato de ter sido Hausdorff quem esclareceu o erro tem um significado especial, já que uma falsa impressão dos acontecimentos em Heidelberg durou mais de 50 anos.

Nos anos de 1906–1909, Hausdorff fez seu trabalho inovador e fundamental em conjuntos ordenados. De fundamental importância para toda a teoria é o conceito de cofinalidade, que Hausdorff introduziu. Um ordinal é chamado regular se for cofinal com qualquer ordinal menor; caso contrário, é chamado de singular. A questão de Hausdorff, se existem números regulares que indexam um ordinal limite, foi o ponto de partida para a teoria dos cardinais inacessíveis. Hausdorff já havia notado que tais números, se existem, devem ser de "tamanho exorbitante".

O seguinte teorema devido a Hausdorff também é de importância fundamental: para cada conjunto denso não aderido e ordenado ANão. A. há dois números iniciais regulares único determinado ω ω ? ? ,ω ω ? ? [displaystyle omega _{xi },omega _{eta) assim ANão. A. é cofinal com ω ω ? ? {displaystyle omega _{xi }} e coinitial com ω ω ? ? ∗ ∗ {displaystyle omega _{eta }^{*}} (onde * denota a ordem inversa). Este teorema fornece, por exemplo, uma técnica para caracterizar elementos e lacunas em conjuntos ordenados.

Se WNão. W. é um conjunto predeterminado de caracteres (elementos e caracteres de lacuna), a pergunta surge se há conjuntos ordenados cujo conjunto de caracteres é exatamente WNão. W.. Pode-se facilmente encontrar uma condição necessária para WNão. W., mas Hausdorff também foi capaz de mostrar que esta condição é suficiente. Para este necessita um rico reservatório de conjuntos ordenados, que Hausdorff também foi capaz de criar com sua teoria de produtos e poderes gerais. Neste reservatório pode ser encontrado estruturas interessantes como o Hausdorff ? ? α α {displaystyle eta _{alpha) tipos normais, em conexão com o qual Hausdorff primeiro formulou a hipótese de continuidade generalizada. Hausdorff's ? ? α α {displaystyle eta _{alpha)-sets formou o ponto de partida para o estudo da importante teoria modelo da estrutura saturada.

Os produtos gerais de Hausdorff e as potências das cardinalidades o levaram a estudar o conceito de conjunto parcialmente ordenado. A questão de saber se algum subconjunto ordenado de um conjunto parcialmente ordenado está contido em um subconjunto ordenado maximal foi respondida positivamente por Hausdorff usando o teorema da boa ordenação. Este é o princípio maximal de Hausdorff, que decorre do teorema da boa ordenação ou do axioma da escolha e, como se viu, também é equivalente ao axioma da escolha.

Escrevendo em 1908, Arthur Moritz Schoenflies descobriu em seu relatório sobre a teoria dos conjuntos que a teoria mais recente dos conjuntos ordenados (ou seja, aquela que ocorreu após as extensões de Cantor) era quase exclusivamente devida a Hausdorff.

O "Magnum Opus": "Princípios da teoria dos conjuntos"

Segundo as noções anteriores, a teoria dos conjuntos incluía não apenas a teoria geral dos conjuntos e a teoria dos conjuntos de pontos, mas também a teoria das dimensões e medidas. O livro-texto de Hausdorff foi o primeiro a apresentar toda a teoria dos conjuntos nesse sentido amplo, sistematicamente e com provas completas. Hausdorff estava ciente de quão facilmente a mente humana pode errar ao mesmo tempo em que busca rigor e verdade, então no prefácio de sua obra ele promete:

... ser o mais econômico possível com o privilégio humano do erro.

Este livro foi muito além de seu retrato magistral de conceitos já conhecidos. Ele também continha uma série de importantes contribuições originais do autor.

Os primeiros capítulos lidam com os conceitos básicos da teoria geral dos conjuntos. No início Hausdorff fornece uma álgebra de conjunto detalhada com alguns novos conceitos pioneiros (corrente de diferenças, conjuntos de anéis e campos definidos, δ δ - Sim.- e σ σ - Sim.-sistemas). Os parágrafos introdutórios em conjuntos e suas conexões incluíram, por exemplo, a noção moderna de funções set-theoretic. Os capítulos 3 a 5 discutiram a teoria clássica dos números cardeais, tipos de ordem e ordinais, e no sexto capítulo "Relações entre conjuntos ordenados e bem ordenados" Hausdorff apresenta, entre outras coisas, os resultados mais importantes de sua própria pesquisa sobre conjuntos ordenados.

Nos capítulos sobre "conjuntos de pontos"—os capítulos topológicos—Hausdorff desenvolveu pela primeira vez, com base nos axiomas de bairro conhecidos, uma teoria sistemática de espaços topológicos, onde, além disso, acrescentou o axioma de separação mais tarde nomeado após ele. Esta teoria emerge de uma síntese abrangente de abordagens anteriores de outros matemáticos e as próprias reflexões de Hausdorff sobre o problema do espaço. Os conceitos e teoremas da teoria dos conjuntos de ponto clássico Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} são - tanto quanto possível -transferidos ao caso geral, e assim tornar-se parte da topologia geral ou set-theoretic recém-criada. Mas Hausdorff não só realizou este "trabalho de tradução", mas também desenvolveu métodos básicos de construção de topologia, como formação de núcleo (coração aberta, núcleo autodenso) e formação de conchas (closure), e trabalha através da importância fundamental do conceito de um conjunto aberto (chamado "área" por ele) e do conceito de compactação introduzido por Fréchet. Ele também fundou e desenvolveu a teoria do conjunto conectado, particularmente através da introdução dos termos "componente" e "quasi-componente".

Com o primeiro axioma da contagem de Hausdorff, e eventualmente o segundo, os espaços considerados foram gradualmente mais especializados. Uma grande classe de espaços satisfazendo o primeiro axioma contável são espaços métricos. Eles foram introduzidos em 1906 por Fréchet sob o nome "classes (E)". O termo "espaço métrico" vem de Hausdorff. Em Princípios, desenvolveu a teoria dos espaços métricos e enriquecido sistematicamente através de uma série de novos conceitos: métrica de Hausdorff, completa, limite total, ? ? - Sim.- conectividade, conjuntos redutíveis. O trabalho de Fréchet não é particularmente famoso; somente através de Hausdorff Princípios os espaços métricos tornaram-se conhecimentos comuns aos matemáticos.

O capítulo sobre ilustrações e o capítulo final de Princípios na teoria da medida e da integração são enriquecidas pela generalidade do material e pela originalidade da apresentação. A menção de Hausdorff sobre a importância da teoria da medida para a probabilidade teve grande efeito histórico, apesar de sua brevidade lacônica. Um encontra neste capítulo a primeira prova correta da forte lei de grande número de Émile Borel. Finalmente, o apêndice contém o resultado mais espetacular de todo o livro, ou seja, o teorema de Hausdorff que não se pode definir um volume para todos os subconjuntos limitados de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} para n≥ ≥ 3{displaystyle ngeq 3}. A prova é baseada na decomposição paradoxal da bola de Hausdorff, cuja produção requer o axioma da escolha.

Durante o século 20, tornou-se o padrão construir teorias matemáticas na teoria axiomática dos conjuntos. A criação de teorias generalizadas fundamentadas axiomaticamente, como a topologia geral, serviu, entre outras coisas, para destacar o núcleo estrutural comum para vários casos ou regiões específicas e, em seguida, estabelecer uma teoria abstrata, que continha todas essas partes como casos especiais. Isso trouxe um grande sucesso na forma de simplificação e harmonização e, finalmente, trouxe consigo uma economia de pensamento. O próprio Hausdorff destacou esse aspecto nos Princípios. No capítulo topológico, os conceitos básicos são metodologicamente um esforço pioneiro e abriram caminho para o desenvolvimento da matemática moderna.

Princípios da teoria dos conjuntos apareceu em abril de 1914, às vésperas da Primeira Guerra Mundial, que afetou dramaticamente a vida científica na Europa. Nessas circunstâncias, os efeitos do livro de Hausdorff sobre o pensamento matemático não seriam vistos por cinco a seis anos após seu aparecimento. Após a guerra, uma nova geração de jovens pesquisadores começou a expandir as abundantes sugestões que foram incluídas neste trabalho. Sem dúvida, a topologia foi o principal foco de atenção. A revista Fundamenta Mathematicae, fundada na Polônia em 1920, desempenhou um papel especial na recepção das ideias de Hausdorff. Foi uma das primeiras revistas matemáticas com ênfase especial na teoria dos conjuntos, topologia, teoria das funções reais, teoria da medida e integração, análise funcional, lógica e fundamentos da matemática. Em todo esse espectro, um foco especial foi colocado na topologia. Os Princípios de Hausdorff foram citados no primeiro volume da Fundamenta Mathematicae e, por meio da contagem de citações, sua influência continuou em um ritmo notável. Das 558 obras (as três obras do próprio Hausdorff não incluídas), que apareceram nos primeiros vinte volumes da Fundamenta Mathematicae de 1920 a 1933, 88 delas citam Princípios. Deve-se também levar em conta o fato de que, à medida que as ideias de Hausdorff se tornaram cada vez mais comuns, também foram usadas em várias obras que não as citavam explicitamente.

A escola topológica russa, fundada por Paul Alexandroff e Paul Urysohn, baseava-se fortemente nos Princípios de Hausdorff. Isso é mostrado pela correspondência sobrevivente em Nachlass de Hausdorff com Urysohn, e especialmente em Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes de Alexandroff e Urysohn, uma obra do tamanho de um livro, na qual Urysohn a teoria da dimensão desenvolvida e os Princípios são citados nada menos que 60 vezes.

Após a Segunda Guerra Mundial houve uma forte demanda pelo livro de Hausdorff, e houve três reimpressões no Chelsea de 1949, 1965 e 1978.

Teoria descritiva dos conjuntos, teoria da medida e análise

Em 1916, Alexandroff e Hausdorff resolveram independentemente o problema do continuum para conjuntos de Borel: Cada Borel definido em um espaço métrico separável completo é contável ou tem a cardinalidade do continuum. Este resultado generaliza o teorema de Cantor-Bendixson que tal declaração detém para os conjuntos fechados de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}. Para linear Gδ δ - Sim.) William Henry Young provou o resultado em 1903, para Gδ δ σ σ δ δ Não. G_{delta sigma delta) conjuntos Hausdorff obteve um resultado correspondente em 1914 em Princípios. O teorema de Alexandroff e Hausdorff foi um forte ímpeto para o desenvolvimento da teoria dos conjuntos descritivos.

Entre as publicações de Hausdorff em seu tempo em Greifswald, a obra Dimensão e medida externa de 1919 é particularmente notável. Neste trabalho foram introduzidos os conceitos que hoje são conhecidos como medida de Hausdorff e dimensão de Hausdorff. Permaneceu altamente atual e nos últimos anos foi um dos trabalhos matemáticos mais citados da década de 1910 a 1920.

O conceito de dimensão de Hausdorff é útil para a caracterização e comparação de "quantidades altamente robustas". Os conceitos de Dimensão e medida externa experimentaram aplicações e desenvolvimentos em muitas áreas, como na teoria de sistemas dinâmicos, teoria de medidas geométricas, teoria de conjuntos auto-similares e fractais, teoria estocástica processos, análise harmônica, teoria do potencial e teoria dos números.

O trabalho analítico significativo de Hausdorff ocorreu em sua segunda vez em Bonn. Em Métodos de síntese e sequências de momentos I em 1921, ele desenvolveu uma classe inteira de métodos de soma para séries divergentes, que hoje são chamados de métodos Hausdorff. No clássico de Hardy Série Divergente, um capítulo inteiro é dedicado ao método Hausdorff. Os métodos clássicos de Hölder e Cesàro provaram ser casos especiais do método Hausdorff. Cada método Hausdorff é dado por uma sequência de momento; neste contexto Hausdorff deu uma solução elegante do problema do momento para um intervalo finito, ignorando a teoria das frações continuadas. No seu jornal Problemas de umidade para um intervalo finito de 1923 ele tratou problemas de momento mais especiais, como aqueles com certas restrições para gerar densidade φ φ (x)(x)}, por exemplo φ φ (x)∈ ∈ LpNão.0,1]{displaystyle varphi (x)in L^{p}[0,1]}. Critérios de solvibilidade e decidabilidade de problemas de momento ocuparam Hausdorff por muitos anos, como centenas de páginas de notas escritas à mão em seu atestar Nachlass.

Uma contribuição significativa para o campo emergente da análise funcional na década de 1920 foi a extensão de Hausdorff do teorema de Riesz-Fischer para LpNão. L^{p}} espaços em seu trabalho de 1923 Uma extensão do teorema de Parseval na série Fourier. Ele provou as desigualdades agora nomeadas por ele e W.H. Young. As desigualdades Hausdorff-Young tornaram-se o ponto de partida dos grandes novos desenvolvimentos.

O livro Set Theory de Hausdorff apareceu em 1927. Foi declarado como uma segunda edição de Princípios, mas na verdade era um livro completamente novo. Uma vez que a escala foi significativamente reduzida devido ao seu aparecimento na biblioteca de ensino de Goschen, grandes partes da teoria de conjuntos ordenados e medidas e teoria de integração foram removidas. Em seu prefácio, Hausdorff escreve: “Talvez ainda mais do que essas exclusões, o leitor lamentará mais que, para economizar ainda mais espaço na teoria dos conjuntos de pontos, eu abandonei o ponto de vista topológico através do qual a primeira edição aparentemente adquiriu muitos amigos, e focado na teoria mais simples dos espaços métricos'.

Na verdade, esse foi um arrependimento explícito de alguns revisores da obra. Como uma espécie de compensação, Hausdorff mostrou pela primeira vez o estado atual da teoria descritiva dos conjuntos. Este fato garantiu ao livro uma recepção quase tão intensa quanto Princípios, especialmente na Fundamenta Mathematicae. Como livro didático, era muito popular. Em 1935, foi publicada uma edição expandida, reimpressa por Dover em 1944. Uma tradução para o inglês apareceu em 1957 com reimpressões em 1962 e 1967.

Houve também uma edição russa (1937), embora fosse apenas uma tradução fiel em parte e uma reformulação de Alexandroff e Kolmogorov. Nesta tradução, o ponto de vista topológico voltou a ocupar o primeiro plano. Em 1928, uma revisão da Teoria dos Conjuntos foi escrita por Hans Hahn, que talvez tivesse em mente o perigo do anti-semitismo alemão ao encerrar sua discussão com a seguinte frase:

Uma representação exemplar em todos os aspectos de uma área difícil e espinhosa, um trabalho em par com aqueles que levaram a fama da ciência alemã em todo o mundo, e tal que todos os matemáticos alemães podem estar orgulhosos.

Seus últimos trabalhos

Em 1938, o último trabalho de Hausdorff Extensão de um mapa contínuo mostrou que uma função contínua de um subconjunto fechado FNão. de um espaço métrico ENão. pode ser estendido para todos os ENão. (embora a imagem possa precisar ser estendida). Como um caso especial, cada homeomorfismo de FNão. pode ser estendido para um homeomorfismo de ENão.. Este trabalho continuou a pesquisa de anos anteriores. Em 1919, em Sobre funções semi-contínuas e sua generalização, Hausdorff tinha, entre outras coisas, dado outra prova do teorema de extensão Tietze. Em 1930, em Extender um homeomorfismo, ele mostrou o seguinte: Vamos. ENão. ser um espaço métrico, F⊆ ⊆ ENão. Fsubseteq E} um subconjunto fechado. Se FNão. é dada uma nova métrica sem alterar a topologia, esta métrica pode ser estendida para todo o espaço sem alterar a topologia. O trabalho Espaços classificados apareceu em 1935, onde Hausdorff discutiu espaços que cumpriram os axiomas de fechamento de Kuratowski até o axioma da idempotência. Estes espaços são frequentemente chamados de espaços de fechamento, e Hausdorff usou-os para estudar relações entre os espaços limite Fréchet e espaços topológicos.

Hausdorff como doador de nomes

O nome Hausdorff é encontrado em toda a matemática. Entre outros, esses conceitos foram nomeados em sua homenagem:

• Conclusão do Hausdorff
• Convergência de Hausdorff
• Densidade de Hausdorff
• Dimensão de Hausdorff
• Distância de Hausdorff
• Intervalo de Hausdorff
• Princípio máximo de Hausdorff
• Medida de Hausdorff
• métrica de Hausdorff
• Problema de momento Hausdorff
• paradoxo de Hausdorff
• Espaço de Hausdorff
• Hausdorff–Sua desigualdade
• Conversão de Baker–Campbell–Hausdorff

Nas universidades de Bonn e Greifswald, essas coisas foram nomeadas em sua homenagem:

• o Centro de Matemática Hausdorff em Bonn,
• o Instituto de Pesquisa de Hausdorff para Matemática em Bonn, e
• o Felix Hausdorff Produtos relacionados em Greifswald.

Além destas, em Bonn existe a Hausdorffstraße (Rua Hausdorff), onde morou pela primeira vez. (Haus-Nr. 61). Em Greifswald existe uma Felix-Hausdorff–Straße, onde estão localizados os Institutos de Bioquímica e Física, entre outros. Desde 2011, existe um "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) no meio de Leipziger Ortsteil Gohlis.

O asteroide 24947 Hausdorff foi batizado em sua homenagem.

Escritos

Como Paul Mongré

Apenas uma seleção dos ensaios que apareceram no texto são mostrados aqui.

• Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1897.
• Das Chaos em kosmischer Auslese — Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1898; Reprinted with foreword by Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN 3-87007-013-7
• Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
• Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
• Ekstasen. Volume da poesia. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
• Der Wille zur Macht. In: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
• Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
• Anúncio grátis para sua empresa Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
• Der Arzt seiner Ehre, Groteske. In: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Nova edição como: Der Arzt seiner Ehre. Hotéis em Einem Akt mit einem Epilog. Com 7 retratos e cortes de madeira por Hans Alexander Müller após desenhos de Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. Quinta impressão de Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Nova edição: S. Fischer, Berlim 1912, 88 S.

Como Felix Hausdorff

• Produtos de plástico. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences em Leipzig. Math.-phys. Classe 53 (1901), S. 152–178.
• Über eine gewisse Geordneter de arte Mengen. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences em Leipzig. Math.-phys. Classe 53 (1901), S. 460–475.
• Das Raumproblem (Conferência inaugural na Universidade de Leipzig em 4 de julho de 1903). Ostwald's Annals of Natural Philosophy 3 (1903), S. 1–23.
• Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Relatório anual do DMV 13 (1904), S. 569–571.
• Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences em Leipzig. Math.-phys. Klasse 58 (1906), S. 106-169.
• Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences em Leipzig. Math.-phys. Klasse 59 (1907), S. 84-159.
• Über dichte Ordnungstypen. Relatório anual do DMV 16 (1907), S. 541–546.
• Produtos de plástico Theorie der geordneten Mengen. Math. Annalen 65 (1908), S. 435–505.
• Die Graduierung nach dem Endverlauf. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences em Leipzig. Math.-phys. Klasse 31 (1909), S. 295–334.
• Indústria de impressão. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit 53 Figuren. Outras impressões: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978.
• Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Annalen 77 (1916), S. 430–437.
• Dimension und äußeres Maß. Math. Annalen 79 (1919), S. 157–179.
• Über halbstetiging Funktionen und deren Verallgemeinerung. Math. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309.
• Inscrições e Momentfolgen I, II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74-109, II: S. 280-299.
• Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 163-169.
• Momentprobleme für ein endliches Intervalo. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 220-248.
• Mecânica, segunda edição retrabalhada. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlim. 285 S. com 12 números.
• O que fazer? (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360.
• Mecânica, terceira edição. Com um capítulo adicional e vários apêndices. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlim. 307 S. mit 12 Figuren. Nachdruck: Dover Pub. Nova Iorque, 1944. Edição Englisch: Teoria dos conjuntos. Traduzido do alemão por J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., Nova Iorque 1957, 1962, 1967.
• Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502.
• Produtos químicos em Alemania (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47.
• Produtos de plástico. 2 volumes. Ed.: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. Do Nachlass, Volume Eu inclui fascículos 510–543, 545–559, 561–577, Volume II fascículos 578–584, 598–658 (todos os fascículos dados em facsimile).

Hausdorff em conjuntos ordenados. Trans. e Ed.: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Obras coletadas

A "Hausdorff-Edition", editada por E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (todos Bonn), R. Remmert (†) (Münster) e E. Scholz (Wuppertal) com a colaboração de mais de vinte matemáticos, historiadores, filósofos e estudiosos, é um projeto em andamento da Academia de Ciências, Humanidades e Artes da Renânia do Norte-Vestfália para apresentar as obras de Hausdorff, com comentários e muito material adicional. Os volumes foram publicados pela Springer-Verlag, Heidelberg. Nove volumes foram publicados com o volume I sendo dividido em volume IA e volume IB. Consulte o site do projeto Hausdorff no site da Hausdorff Edition (alemão) para obter mais informações. Os volumes são:

• Banda IA: Allgemeine Mengenlehre. 2013, ISBN 978-3-642-25598-4.
• Banda IB: Felix Hausdorff – Paul Mongré (Biographie). 2018, ISBN 978-3-662-56380-9.
• Banda II: Grundzüge der Mengenlehre (1914). 2002, ISBN 978-3-540-42224-2
• Banda III: Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. 2008, ISBN 978-3-540-76806-7
• Banda IV: Análise, Algebra und Zahlentheorie. 2001, ISBN 978-3-540-41760-6
• Banda V: Astronomia, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006, ISBN 978-3-540-30624-5
• Banda VI: Geometria, Raum und Zeit. 2020. ISBN 978-3-540-77838-7
• Banda VII: Filosóficos Werk. 2004, ISBN 978-3-540-20836-5
• Banda VIII: Literarisches Werk. 2010, ISBN 978-3-540-77758-8
• Banda IX: Korrespondenz. 2012, ISBN 978-3-642-01116-0.

Referências