Favo de mel uniforme convexo

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Nível espacial de polihedra uniforme convexo

O favo de mel cúbico alternativo é um dos 28 tessellations uniformes de enchimento de espaço em Euclidean 3-espaço, composto de tetrahedra amarelo alternado e octahedra vermelho.

Em geometria, um favo de mel uniforme convexo é um mosaico uniforme que preenche o espaço euclidiano tridimensional com células poliédricas uniformes convexas não sobrepostas.

Vinte e oito desses favos de mel são conhecidos:

o favo de mel cúbico familiar e 7 truncas dele;
o favo de mel cúbico alternado e 4 truncas dele;
10 formas prismáticas baseadas nos tilings planos uniformes (11 se incluindo o favo de mel cúbico);
5 modificações de alguns dos acima por alongamento e / ou giro.

Eles podem ser considerados o análogo tridimensional dos ladrilhos uniformes do plano.

O diagrama de Voronoi de qualquer rede forma um favo de mel convexo uniforme no qual as células são zonoedros.

História

1900: Thorold Gosset enumera a lista de politopos convexos semiregulares com células regulares (sólidos platônicos) em sua publicação Nas Figuras Regulares e Semi-Regulares no Espaço de n Dimensões, incluindo um favo de mel cúbico regular, e duas formas semiregulares com tetrahedra e octahedra.
1905: Alfredo Andreini enumera 25 dessas tessellations.
1991: manuscrito de Norman Johnson Politopos uniformes identificou a lista de 28.
1994: Branko Grünbaum, em seu artigo Nível uniforme de 3 espaços, também enumerados independentemente todos os 28, depois de descobrir erros na publicação de Andreini. Ele encontrou o papel de 1905, que listava 25, tinha 1 errado, e 4 desaparecidos. Grünbaum afirma neste artigo que Norman Johnson merece prioridade para alcançar a mesma enumeração em 1991. Ele também menciona que eu. Alexeyev da Rússia tinha contactado ele sobre uma enumeração putativa dessas formas, mas que Grünbaum foi incapaz de verificar isso na época.
2006: George Olshevsky, em seu manuscrito Panoploide uniforme Produtos químicos, juntamente com a repetição da lista derivada de 11 tilings uniformes convexos, e 28 favos uniformes convexos, expande uma lista mais derivada de 143 tetracombs uniformes convexos (combos de mel de 4 politopos uniformes em 4 espaço).

Apenas 14 dos poliedros uniformes convexos aparecem nestes padrões:

três dos cinco sólidos platônicos (o tetraedro, cubo e octahedron),
seis dos treze sólidos arqueicos (os com simetria tetraedral reflexiva ou octahedral), e
cinco da família infinita de prismas (os 3-, 4-, 6-, 8- e 12-gonais; o prisma 4-gonal duplica o cubo).

O icosaedro, o cubo achatado e o antiprisma quadrado aparecem em algumas alternâncias, mas esses favos de mel não podem ser realizados com todas as arestas de comprimento unitário.

Nomes

Este conjunto pode ser chamado de favo de mel regular e semirregular. Foi chamado de favo de mel de Arquimedes por analogia com os poliedros uniformes convexos (não regulares), comumente chamados de sólidos de Arquimedes. Recentemente, Conway sugeriu nomear o conjunto como Pavimentações arquitetônicas e os favos de mel duplos como Tesselações catóptricas.

Os favos de mel individuais são listados com nomes dados a eles por Norman Johnson. (Alguns dos termos usados abaixo são definidos em Uniform 4-polytope#Geometric derivations for 46 nonprismatic Wythoffian uniform 4-polytopes)

Para referência cruzada, eles são fornecidos com índices de lista de Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21–25, 31–34, 41–49, 51–52, 61–65) e Grünbaum(1-28). Coxeter usa δ₄ para um favo de mel cúbico, hδ₄ para um favo de mel cúbico alternado, qδ₄ para um quarto de mel cúbico, com subscritos para outros formas baseadas nos padrões de anéis do diagrama de Coxeter.

Tesselações uniformes euclidianas compactas (por suas infinitas famílias de grupos de Coxeter)

Domínios fundamentais num elemento cúbico de três grupos.

Correspondências familiares

Os grupos de Coxeter infinitos fundamentais para o espaço tridimensional são:

O ${tilde {C}}_{3}$ [4,3,4], cúbico, (8 formas únicas mais uma alternância)
O ${tilde {B}}_{3}$ [4,3]^1.1], alternado cúbico, (11 formas, 3 novas)
O ${tilde {A}}_{3}$ grupo cíclico, [3,3,3,3)] ou [3^[4]] (5 formas, um novo)

Há uma correspondência entre as três famílias. Removendo um espelho de ${tilde {C}}_{3}$ produz ${tilde {B}}_{3}$ e removendo um espelho de ${tilde {B}}_{3}$ produz ${tilde {A}}_{3}$ . Isso permite várias construções das mesmas favos. Se as células são coloridas com base em posições únicas dentro de cada construção Wythoff, essas simetrias diferentes podem ser mostradas.

Além disso, existem 5 favos de mel especiais que não possuem simetria reflexiva pura e são construídos a partir de formas reflexivas com operações de alongamento e giração.

O total de favos de mel únicos acima é 18.

As pilhas prismáticas de grupos Coxeter infinitos para 3 espaços são:

O ${tilde {C}}_{2}$ × ${tilde {I}}_{1}$ , [4,2,∞] grupo prismático, (2 novas formas)
O ${tilde {G}}_{2}$ × ${tilde {I}}_{1}$ , [6,3,2,∞] grupo prismático, (7 formas únicas)
O ${tilde {A}}_{2}$ × ${tilde {I}}_{1}$ , [(3,3,3),2,∞] grupo prismático, (Sem novas formas)
O ${tilde {I}}_{1}$ × ${tilde {I}}_{1}$ × ${tilde {I}}_{1}$ , [∞,2,∞,2,∞] grupo prismático, (Estes todos se tornam um favo de mel cúbico)

Além disso, há uma forma alongada especial do favo de mel prismático triangular.

O total de favos de mel prismáticos únicos acima (excluindo o cúbico contado anteriormente) é 10.

Combinando essas contagens, 18 e 10 nos dá o total de 28 favos de mel uniformes.

O grupo C̃3, [4,3,4] (cúbico)

O favo de mel cúbico regular, representado pelo símbolo Schläfli {4,3,4}, oferece sete favos de mel uniformes derivados exclusivos por meio de operações de truncamento. (Uma forma redundante, o favo de mel cúbico runcinado, é incluída para completar, embora seja idêntica ao favo de mel cúbico.) A simetria reflexiva é o grupo afim de Coxeter [4,3,4]. Existem quatro subgrupos de índice 2 que geram alternâncias: [1⁺,4,3,4], [(4,3,4,2⁺)], [4,3⁺,4] e [4,3,4]⁺, com as duas primeiras formas repetidas geradas e as duas últimas não uniformes.

C3 melão
Grupo de espaço	Fibrilação	Estendidometria	Estendido diagrama	Ordem	Flores de mel
Pm3m (221)	4^{- Sim.}:	[4,3]		×	1, 2, 3, 4, 5, 6
F m3m (225)	2^{- Sim.}:	[2]⁺,4,3,4] Legislação^1.1]	↔	Metade	7. 11. 12, 13
Eu...43 m (217)	4^o:	[(4,3,4,2⁺)		Meia × 2	7)
FED3m (227)	2⁺:	[[1]⁺,4,3,4,1⁺] ↔ [3]^[4]]	↔	Bairro × 2	10,
Eu...3m (229)	8^o:	[4,3,4]]		×	(1), 8. 9

[4,3,4], grupo espacial Pm3m (221)
Referência Índices	Nome de favo Diagrama de Coxeador e símbolo Schläfli	Contagens de células/vertex e posições em favo de mel cúbico						Quadros (Perspectiva)	Figura do vértice	Célula dupla
Referência Índices	Nome de favo Diagrama de Coxeador e símbolo Schläfli	(0)	(1)	(2)	(3)	Alt	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	Figura do vértice	Célula dupla
JJ_11,15 A₁ W₁ G₂₂ δ₄	Cubic (chon) )₀(4,3,4) (4,3,4)				(8) (4.4.4)				octahedron	Cube,
JJ_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇ O₁	rectificado cúbico (rico) )₁(4,3,4) 4,3,4	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.4.3.4)				Cuboid	Bipiramida quadrada
JJ₁₃ A₁₄ W₁₅ G₈ )₁δ₄ O₁₅	truncado cúbico (tich) )_0,1(4,3,4) 4,3,4	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.8.8)				pirâmide quadrada	Isosceles pirâmide quadrada
JJ₁₄ A_17. W₁₂ G₉ )_0,2δ₄ O₁₄	cúbico cantelado (rico) )_0,2(4,3,4) rr{4,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.4.4)				oblique prisma triangular	Bipiramida triangular
JJ_17. A_18. W₁₃ G₂₅ )_0,1,2δ₄ O_17.	cantitruncated cúbico (grich) )_0,1,2(4,3,4) 4,3,4	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.8)				tetrahedron irregular	Pirâmide triangular
JJ_18. A₁₉ W₁₉ G_20. )_0,1,3δ₄ O₁₉	cubíqueo (próximo) )_0,1,3(4,3,4)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.8)	(1) (3.8.8)				pirâmide trapezoidal oblíqua	Praça da pirâmide
JJ_21.31.51. A₂ W₉ G₁ h)₄ O₂₁	alternado cúbico (octet) 4,3,4				(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			Categorias	O que fazer?
JJ_22,34 A₂₁ W_17. G_10. h₂δ₄ O₂₅	Cúbico cântico (tatoh) ↔	(1) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)	(2) (4.6.6)			pirâmide retangular	Meia octahedrille
JJ₂₃ A_16. W₁₁ G₅ h₃δ₄ O₂₆	Cúbico Runcic (sratoh) ↔	(1) (4.4.4)			(1) (3.3.3)	(3) (3.4.4.4)			prisma triangular cônico	Quarto de quarto
JJ_24. A_20. W_16. G₂₁ h_2,3δ₄ O₂₈	Cúbico Runcicantic (gratoh) ↔	(1) (3.8.8)			(1) (3.6.6)	(2) (4.6.8)			Tetraedro irregular	Meia pirâmide
Não uniforme_b)	snub rectificado cúbico (serch) 4,3,4	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)		(2) (3.3.3)	(4) (3.3.3)			Irr. tridiminished icosahedron
Não uniforme	Cantic snub cúbico (casco) 2₀(4,3,4)	(1) (3.3.3)			(2) (3.4.4.4)	(3) (3.4.4)
Não uniforme	Runcicantic snub cúbico (rusch)	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.3.3)	(1) (3.6.6)	(3) Tribuna
Não uniforme	Cúbico de cantitruncated Runcic (esch) sr.₃(4,3,4)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(3) (3.4.4)

[[4,3,4]] favos, grupo espacial Im3m (229)
Referência Índices	Nome de favo Diagrama de Coxeador e símbolo Schläfli	Contagens de células/vertex e posições em favo de mel cúbico			Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	Figura do vértice	Célula dupla
Referência Índices	Nome de favo Diagrama de Coxeador e símbolo Schläfli	(0,3)	(1,2)	Alt	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	Figura do vértice	Célula dupla
JJ_11,15 A₁ W₁ G₂₂ δ₄ O₁	cubículo descatado (mesmo como cúbico regular) (chon) )_0,3(4,3,4)	(2) (4.4.4)	(6) (4.4.4)				octahedron	Cubo
JJ_16. A₃ W₂ G₂₈ )_1,2δ₄ O_16.	bitruncated cúbico (batch) )_1,2(4,3,4) 2t{4,3,4}	(4) (4.6.6)					(desfenóide)	Obrigatório
JJ₁₉ A₂₂ W_18. G₂₇ )_0,1,2,3δ₄ O_20.	Cúbico ontruncado (gippich) )_0,1,2,3(4,3,4)	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.8)				tetrahedron irregular	Oitavo piramidal
JJ_21.31.51. A₂ W₉ G₁ h)₄ O₂₇	Quarto de mel cúbico (batatoh) Não.₀Não.₃(4,3,4)	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)				antiprisma triangular alongado	Obriga o cubille
JJ_21.31.51. A₂ W₉ G₁ h)₄ O₂₁	Cubic runcinated alternativo (octet) (mesmo como cúbicos alternativos) Não._0,3(4,3,4)	(2) (3.3.3)	(6) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			Categorias
Não uniforme	favo de mel cúbico de Biorthosnub (gabreth) 2_0,3(4,2,4,3)	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.4)	(2) (4.4.6)
Não uniforme_um	Alternated bitruncated cúbico (bisch) h2t{4,3,4}	(4) (3.3.3)		(4) (3.3.3)
Não uniforme	Cantic bisnub cúbico (cabismo) 2_0,3(4,3,4)	(2) (3.4.4.4)	(2) (4.4.4)	(2) (4.4.4)
Não uniforme_c	Alternated ontruncated cúbico (snich) Não._0,1,2,3(4,3,4)	(2) (3.3.3)	(2) (3.3.3.4)	(4) (3.3.3)

B̃3, [4,31,1] grupo

O ${tilde {B}}_{3}$ , [4,3] grupo oferece 11 formas derivadas através de operações de truncação, quatro sendo únicos favos uniformes. Existem 3 subgrupos índice 2 que geram alternações: [2]⁺,4,3^1.1[4]^1.1)⁺E...^1.1]⁺. O primeiro gera favo de mel repetido, e os dois últimos são não uniformes, mas incluídos para a plenitude.

Os favos de mel deste grupo são chamados cúbicos alternados porque a primeira forma pode ser vista como um favo de mel cúbico com vértices alternados removidos, reduzindo células cúbicas a tetraedros e criando octaedros células nas lacunas.

Os nós são indexados da esquerda para a direita como 0,1,0',3 com 0' estando abaixo e intercambiável com 0. Os nomes cúbicos alternativos fornecidos são baseados nesta ordem.

B3 melões
Grupo de espaço	Fibrilação	Estendidometria	Estendido diagrama	Ordem	Flores de mel
F m3m (225)	2^{- Sim.}:	[4]^1.1] Legislação [4,3,4,1⁺]	↔	×	1, 2, 3, 4
F m3m (225)	2^{- Sim.}:	<⁺,4,3^1.1- Sim. <[3]^[4]- Sim.	↔	×	(1), (3)
Pm3m (221)	4^{- Sim.}:	<[4]^1.1- Sim.		×	5, 6, 7. (6), 9, 10, 11

[4]^1.1] favos uniformes, grupo espacial Fm3m (225)
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador	Células por localização (e contar em torno de cada vértice)				Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador	(0)	(1)	(0')	(3)	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
JJ_21.31.51. A₂ W₉ G₁ h)₄ O₂₁	Cúbico alternativo (octeto) ↔			(6) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)			Categorias
JJ_22,34 A₂₁ W_17. G_10. h₂δ₄ O₂₅	Cúbico cântico (tatoh) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)			pirâmide retangular
JJ₂₃ A_16. W₁₁ G₅ h₃δ₄ O₂₆	Cúbico Runcic (sratoh) ↔	(1) Cubo		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)			prisma triangular cônico
JJ_24. A_20. W_16. G₂₁ h_2,3δ₄ O₂₈	Cúbico Runcicantic (gratoh) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)			Tetraedro irregular

<[4]^1.1- Sim. favos uniformes, grupo espacial Pm3m (221)
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔	Células por localização (e contar em torno de cada vértice)				Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔	(0,0')	(1)	(3)	Alt	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
JJ_11,15 A₁ W₁ G₂₂ δ₄ O₁	Cubic (chon) ↔	(8) (4.4.4)						octahedron
JJ_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇ )₁δ₄ O₁₅	Cúbico retificado (rico) ↔	(4) (3.4.3.4)		(2) (3.3.3.3)				Cuboid
JJ_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇ )₁δ₄ O₁₅	Cúbico retificado (rico) ↔	(2) (3.3.3.3)		(4) (3.4.3.4)				Cuboid
JJ₁₃ A₁₄ W₁₅ G₈ )_0,1δ₄ O₁₄	Cúbico truncado (tich) ↔	(4) (3.8.8)		(1) (3.3.3.3)				pirâmide quadrada
JJ₁₄ A_17. W₁₂ G₉ )_0,2δ₄ O_17.	Cúbico Cantelado (rico) ↔	(2) (3.4.4.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)				obilique prisma triangular
JJ_16. A₃ W₂ G₂₈ )_0,2δ₄ O_16.	Cúbico bitruncated (batch) ↔	(2) (4.6.6)		(2) (4.6.6)				isosceles tetrahedron
JJ_17. A_18. W₁₃ G₂₅ )_0,1,2δ₄ O_18.	Cantitruncated cúbico (grich) ↔	(2) (4.6.8)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)				tetrahedron irregular
JJ_21.31.51. A₂ W₉ G₁ h)₄ O₂₁	Cúbico alternativo (octeto) ↔	(8) (3.3.3)			(6) (3.3.3.3)			Categorias
JJ_22,34 A₂₁ W_17. G_10. h₂δ₄ O₂₅	Cúbico cântico (tatoh) ↔	(2) (3.6.6)		(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			pirâmide retangular
Não uniforme_um	Alternated bitruncated cúbico (bisch) ↔	(2) (3.3.3)		(2) (3.3.3)	(4) (3.3.3)
Não uniforme_b)	Alternated cantitruncated cubic (serch) ↔	(2) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)			Irr. tridiminished icosahedron

Ã3, [3[4]] grupo

Há 5 formas construídas a partir do ${tilde {A}}_{3}$ [3]^[4]] Grupo Coxeter, dos quais apenas o favo de mel cúbico é único. Há um subgrupo índice 2 [3^[4]]⁺ que gera a forma snub, que não é uniforme, mas incluído para a plenitude.

A3 melões
Grupo de espaço	Fibrilação	Medição de quadrados	Estendidometria	Estendido diagrama	Estendido grupo	Diagramas de favo de mel
F43 m (216)	1^o:	A1	[3]^[4]]		${tilde {A}}_{3}$	(Nenhum)
F m3m (225)	2^{- Sim.}:	D2	<^[4]- Sim. Legislação^1.1]	↔	${tilde {A}}_{3}$ ×₁ ↔ ${tilde {B}}_{3}$	₁,₂
FED3m (227)	2⁺:	g2	[3]^[4]] ou [2⁺[3]^[4]]	↔	${tilde {A}}_{3}$ ×₂	₃
Pm3m (221)	4^{- Sim.}:	D4	<2^[4]- Sim. [4,3]	↔	${tilde {A}}_{3}$ ×₁ ↔ ${tilde {C}}_{3}$	₄
Eu...3 (204)	8^{- Sim.}	R8	[4]^[4]]⁺ [4.3]⁺,4]	↔	1⁄2 ${tilde {A}}_{3}$ × 8 ↔ ${tilde {C}}_{3}$ ×	_(*)
Eu...3m (229)	8^o:	R8	[4]^[4]] [4,3,4]]	↔	${tilde {A}}_{3}$ × 8 ↔ ${tilde {C}}_{3}$ ×	₅

[3]^[4]favos uniformes, grupo espacial FED3M (227)
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador	Células por localização (e contar em torno de cada vértice)		Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador	(0,1)	(2,3)	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
JJ_25,33 A₁₃ W_10. G₆ q δ₄ O₂₇	quarto cúbico (batatoh) ↔ q{4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)			antiprisma triangular

<^[4]]> direccionamento [4.3]^1.1] favos uniformes, grupo espacial Fm3m (225)
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔	Células por localização (e contar em torno de cada vértice)			Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔	0	(1,3)	2	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
JJ_21.31.51. A₂ W₉ G₁ h)₄ O₂₁	alternado cúbico (octet) ↔ ↔ 4,3,4		(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			Categorias
JJ_22,34 A₂₁ W_17. G_10. h₂δ₄ O₂₅	cúbico cântico (tatoh) ↔ ↔ h₂(4,3,4)	(2) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			Pirâmide retangular

[2]^[4]]] φ [4,3,4] favos uniformes, grupo espacial Pm3m (221)
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔	Células por localização (e contar em torno de cada vértice)		Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔	(0,2)	(1,3)	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
JJ_12,32 A₁₅ W₁₄ G₇ )₁δ₄ O₁	rectificado cúbico (rico) ↔ ↔ ↔ 4,3,4	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.3.3.3)			Cuboid

[4]^[4]]] φ [[4,3,4]] favos uniformes, grupo espacial Eu...3m (229)
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔ ↔	Células por localização (e contar em torno de cada vértice)		Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
Referência índices	Nome de favo Diagramas de Coxeador ↔ ↔	(0,1,3)	Alt	Sólidos (Parte)	Quadros (Perspectiva)	figura de vértice
JJ_16. A₃ W₂ G₂₈ )_1,2δ₄ O_16.	bitruncated cúbico (batch) ↔ ↔ 2t{4,3,4}	(4) (4.6.6)				isosceles tetrahedron
Não uniforme_um	Alternated cantitruncated cubic (bisch) ↔ ↔ h2t{4,3,4}	(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)

Formas não wythoffianas (giradas e alongadas)

Três favos de mel mais uniformes são gerados quebrando um ou outro dos favos de mel acima onde suas faces formam um plano contínuo, então girando camadas alternadas em 60 ou 90 graus (giração) e/ou inserindo um camada de prismas (alongamento).

Os ladrilhos cúbicos alternados alongados e giro-alongados têm a mesma figura de vértice, mas não são iguais. Na forma alongada, cada prisma encontra um tetraedro em uma extremidade triangular e um octaedro na outra. Na forma giroalongada, prismas que encontram tetraedros em ambas as extremidades se alternam com prismas que encontram octaedros em ambas as extremidades.

O ladrilho prismático triangular giro-alongado tem a mesma figura de vértice que um dos ladrilhos prismáticos planos; os dois podem ser derivados das telhas prismáticas triangulares giradas e planas, respectivamente, inserindo camadas de cubos.

Referência índices	símbolo	Nome de favo	tipos de células (# em cada vértice)	figura de vértice
JJ₅₂ A_{2 '} G₂ O₂₂	h{4,3,4}:g	gyrated alternado cúbico (gytoh)	Tecnologia (8) octahedron (6)	Ortopedia triangular
JJ₆₁ A_? G₃ O_24.	h{4,3,4}:ge	gyroelongated alternado cúbico (gyetoh)	prisma triangular (6) Tetrahedron (4) octahedron (3)
JJ₆₂ A_? G₄ O₂₃	H{4,3,4}:e	cubos alternados alongados (etoh)	prisma triangular (6) Tetrahedron (4) octahedron (3)
JJ₆₃ A_? G₁₂ O₁₂	{3,6}:g × {∞}	gyrated triangular prismático (gytoph)	prisma triangular (12)
JJ₆₄ A_? G₁₅ O₁₃	{3,6}:ge × {∞}	gyroelongated triangular prismático (gyetaph)	prisma triangular (6) (4)

Pilhas prismáticas

Onze ladrilhos prismáticos são obtidos empilhando-se os onze ladrilhos planos uniformes, mostrados abaixo, em camadas paralelas. (Um desses favos de mel é o cúbico, mostrado acima.) A figura do vértice de cada um é uma bipirâmide irregular cujas faces são triângulos isósceles.

O C̃2×Ĩ1(∞), [4,4,2,∞], grupo prismático

Existem apenas 3 favos de mel exclusivos do ladrilho quadrado, mas todos os 6 truncamentos de ladrilhos estão listados abaixo para serem completos, e as imagens de ladrilhos são mostradas por cores correspondentes a cada forma.

Índices	Coxeador-Dynkin e Schläfli símbolos	Nome de favo	Avião de ti
JJ_11,15 A₁ G₂₂	(4,4}×{∞}	Cubic (Square prismatic) (chon)	(4.4.4.4)
	r{4,4} ×{∞}
	rr{4,4}×{∞}
JJ₄₅ A₆ G_24.	T{4,4}×{∞}	Truncated/Bitruncated praça prismática (tassiph)	(4.8.8)
JJ₄₅ A₆ G_24.	- Não.	Truncated/Bitruncated praça prismática (tassiph)	(4.8.8)
JJ₄₄ A₁₁ G₁₄	Sr{4,4}×{∞}	Snub quadrado prismático (sassiph)	(3.3.4.3.4)
Não uniforme	Não._0,1,2,3{4,2,∞}

O grupo prismático G̃2xĨ1(∞), [6,3,2,∞]

Índices	Coxeador-Dynkin e Schläfli símbolos	Nome de favo	Avião de ti
JJ₄₁ A₄ G₁₁	{3,6} × {∞}	Prismática Triangular (tiph)	(36)
JJ₄₂ A₅ G₂₆	{6,3} × {∞}	Prismática hexagonal (hiph)	(63)
JJ₄₂ A₅ G₂₆	T{3,6} × {∞}	Prismática hexagonal (hiph)	(63)
JJ₄₃ A₈ G_18.	∞	Prismática Trihexagonal (thiph)	(3.6.3.6)
JJ_46. A₇ G₁₉	T{6,3} × {∞}	Prismática hexagonal truncada (fat)	(3.12.12)
JJ₄₇ A₉ G_16.	Rr{6,3} × {∞}	Prismática Rhombi-trihexagonal (esrotafo)	(3.4.4).
JJ₄₈ A₁₂ G_17.	Sr{6,3} × {∞}	Snub hexagonal prismatic (snathaph)	(3.3.3.3.6)
JJ₄₉ A_10. G₂₃	Não.	truncado prismático trihexagonal (grothaph)	(4.6.12)
JJ₆₅ A_{11 '} G₁₃	{3,6}:e × {∞}	elongado triangular prismático (etoph)	(3.3.3.4.4)
JJ₅₂ A_{2 '} G₂	h3t{3,6,2,∞}	gyrated tetrahedral-octahedral (gytoh)	(36)
JJ₅₂ A_{2 '} G₂	s2r{3,6,2,∞}	gyrated tetrahedral-octahedral (gytoh)	(36)
Não uniforme	Não._0,1,2,3{3,6,2,∞}

Enumeração de formulários Wythoff

Todas as construções não prismáticas de Wythoff por grupos de Coxeter são dadas abaixo, junto com suas alternâncias. Soluções uniformes são indexadas com a listagem de Branko Grünbaum. Fundos verdes são mostrados em favos de mel repetidos, com as relações expressas nos diagramas de simetria estendidos.

Grupo Coxeador	Estendidometria	Flores de mel		Chiral alargada simetria	Comprimidos de mel alternativos
[4,3]	[4,3]	6	₂₂ \| ₇ \| ₈ ₉ \| ₂₅ \| _20.	[2]⁺,4,3⁺4,1⁺]	(2)	₁ \| _b)
	[2]⁺[4,3,4]] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =	(1)	₂₂	[2]⁺[4.3]⁺4,2⁺)	(1)	₁ \| ₆
	[2]⁺[4,3,4]]	1	₂₈	[2]⁺[4.3]⁺4,2⁺)	(1)	_um
	[2]⁺[4,3,4]]	2	₂₇	[2]⁺[4,3,4]]⁺	(1)	_c
[4]^1.1]	[4]^1.1]	4	₁ \| ₇ \| _10. \| ₂₈
	[14]^1.1[4,3] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =	7)	₂₂ \| ₇ \| ₂₂ \| ₇ \| ₉ \| ₂₈ \| ₂₅	[1[1]⁺,4,3^1.1]⁺	(2)	₁ \| ₆ \| _um
		7)	₂₂ \| ₇ \| ₂₂ \| ₇ \| ₉ \| ₂₈ \| ₂₅	[14]^1.1]⁺ [4,3]⁺	(1)	_b)
[3]^[4]]	[3]^[4]]	(não)
	[2]⁺[3]^[4]]	1	₆
	[1[3]^[4][4.3]^1.1] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =	(2)	₁ \| _10.
	[2]^[4][4,3] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =	(1)	₇
	[2]⁺,4)[3]^[4]O quê?⁺[4,3,4]] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =	(1)	₂₈	[2]⁺,4)[3]^[4]]⁺ [2]⁺[4,3,4]]⁺	(1)	_um

Exemplos

Todas as 28 dessas tesselações são encontradas em arranjos de cristal.

O favo de mel cúbico alternado é de especial importância, pois seus vértices formam um empacotamento cúbico de esferas. A treliça de preenchimento espacial de octaedros e tetraedros compactados foi aparentemente descoberta pela primeira vez por Alexander Graham Bell e redescoberta independentemente por Buckminster Fuller (que a chamou de treliça do octeto e a patenteou na década de 1940). [3] [4] [5] [6]. As treliças octetos estão agora entre os tipos mais comuns de treliças usadas na construção.

Frizar formulários

Se for permitido que as células sejam ladrilhos uniformes, mais favos de mel uniformes podem ser definidos:

Famílias:

${tilde {C}}_{2}$ × $A_{1}$ : [4,2] Mel de laje cubículo (3 formas)
${tilde {G}}_{2}$ × $A_{1}$ : [6,3,2] Mel de laje tri-hexagonal (8 formas)
${tilde {A}}_{2}$ × $A_{1}$ : [3,3,3),2] Mel de laje triangular (Sem novas formas)
${tilde {I}}_{1}$ × $A_{1}$ × $A_{1}$ : [∞,2,2] = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Coluna cúbica (1 formulário)
$I_{2}(p)$ × ${tilde {I}}_{1}$ : [p,2,∞] Coluna poligonal de mel (análogos aos duoprismos: estes parecem uma única torre infinita de prismas p-gonais, com o espaço restante cheio de prismas apeirogonais)
${tilde {I}}_{1}$ × ${tilde {I}}_{1}$ × $A_{1}$ : [∞,2,∞,2] = [4,2] - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (Mesmo como família de favo de mel de laje cúbica)

Exemplos (particularmente desenhados)
Mel de laje cubículo	Melcomb de laje hexagonal alternativo	Mel de laje trihexagonal

(4)³: (1) 4⁴: tiling quadrado	(4)³: (3) 3⁴: octahedron (1)⁶: tiling triangular	(2) 3.4.4: prisma triangular (2) 4.4.6: prisma hexagonal (1) (3.6)²: Tiling trihexagonal

As duas primeiras formas mostradas acima são semirregulares (uniformes com apenas facetas regulares) e foram listadas por Thorold Gosset em 1900, respectivamente, como semi-cheque 3-ico e semi-cheque tetraédrico verifique.

Favo de mel escaliforme

Um favo de mel escaliforme é transitivo de vértice, como um favo de mel uniforme, com faces poligonais regulares, enquanto células e elementos superiores só precisam ser orbiformes, equiláteros, com seus vértices sobre hiperesferas. Para favos de mel 3D, isso permite um subconjunto de sólidos de Johnson junto com os poliedros uniformes. Alguns escaliformes podem ser gerados por um processo de alternância, deixando, por exemplo, lacunas de pirâmides e cúpulas.

Euclidean melcomb scaliforms
Lajes de friso			pilhas prismáticas
S₃{2,6,3}	S₃{2,4},	S{2,4,4},	3₄{4,2,∞},


(1) 3.4.3.4: cúpula triangular (2) 3.4.6: cúpula triangular (1) 3.3.3.3: octahedron (1) 3.6.3.6: tiling trihexagonal	(1) 3.4.4.4: cúpula quadrada (2) 3.4.8: cúpula quadrada (1) 3.3.3: tetraedro (1) 4.8.8: tiling quadrado truncado	(1) 3.3.3.3: pirâmide quadrada (4) 3.3.4: pirâmide quadrada (4) 3.3.3: tetraedro (1) 4.4.4.4: nível quadrado	(1) 3.3.3.3: pirâmide quadrada (4) 3.3.4: pirâmide quadrada (4) 3.3.3: tetraedro (4) 4.4.4: cubo

Formas hiperbólicas

A ordem-4 favo de mel dodecaedral, {5,3,4} em perspectiva

O favo-de-mel paracompacto de tilinho hexagonal, {6,3,3}, em perspectiva

Existem 9 famílias de grupos de Coxeter de favos de mel uniformes compactos em 3 espaços hiperbólicos, gerados como construções de Wythoff e representados por permutações de anéis dos diagramas de Coxeter-Dynkin para cada família.

Destas 9 famílias, há um total de 76 favos de mel únicos gerados:

[3,5,3]: - 9 formulários
[5,3,4]: - 15 formas
[5,3,5]: - 9 formulários
[5]^1.1? - 11 formas (7 sobreposição com [5,3,4] família, 4 são únicos)
[(4,3,3,3)] - 9 formulários
[(4,3,4,3)] - 6 formas
[(5,3,3,3)]: - 9 formulários
[(5,3,4,3)] - 9 formulários
[(5,3,5,3)]: - 6 formas

Várias formas não Wythoffianas fora da lista de 76 são conhecidas; não se sabe quantos são.

Formas hiperbólicas paracompactas

Existem também 23 grupos Coxeter paracompactos de nível 4. Essas famílias podem produzir favos de mel uniformes com facetas ilimitadas ou figura de vértice, incluindo vértices ideais no infinito:

Resumo do grupo paracompacto hiperbólico simples
Tipo	Grupos de Coxeador	Contagem única de favo de mel
Gráficos lineares	\| \| \| \| \| \|	4×15+6+8+8 = 82
Gráficos tridentais	\| \|	4+4+0 = 8
Gráficos cíclicos	\| \| \| \| \| \| \| \|	4×9+5+1+4+1+0 = 47
Gráficos de cauda	\| \| \|	4+4+4+2+2 = 14

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