Estrutura algébrica

Em matemática, uma estrutura algébrica consiste em um conjunto não vazio a (chamado conjunto subjacente , Conjunto de transportador > ou deve satisfazer.

Uma estrutura algébrica pode ser baseada em outras estruturas algébricas com operações e axiomas envolvendo várias estruturas. Por exemplo, um espaço vetorial envolve uma segunda estrutura chamada campo e uma operação chamada multiplicação escalar entre elementos do campo (chamado escalares ) e elementos do espaço vetorial (chamado vetores ).

Álgebra abstrata é o nome que é comumente dado ao estudo de estruturas algébricas. A teoria geral das estruturas algébricas tem sido formalizada na álgebra universal. A teoria da categoria é outra formalização que inclui também outras estruturas matemáticas e funções entre estruturas do mesmo tipo (homomorfismos).

Na álgebra universal, uma estrutura algébrica é chamada de álgebra ; Esse termo pode ser ambíguo, uma vez que, em outros contextos, uma álgebra é uma estrutura algébrica que é um espaço vetorial sobre um campo ou um módulo sobre um anel comutativo.

A coleção de todas as estruturas de um determinado tipo (mesmas operações e mesmas leis) é chamado de variedade na álgebra universal; Este termo também é usado com um significado completamente diferente na geometria algébrica, como uma abreviação da variedade algébrica. Na teoria da categoria, a coleção de todas as estruturas de um determinado tipo e homomorfismos entre eles formam uma categoria concreta.

Adição e multiplicação são exemplos prototípicos de operações que combinam dois elementos de um conjunto para produzir um terceiro elemento do mesmo conjunto. Essas operações obedecem a várias leis algébricas. Por exemplo, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c e a ( bc ) = ( ab ) c são leis associativas e a + b = b + a e ab = ba são leis comutativas. Muitos sistemas estudados por matemáticos têm operações que obedecem a alguns, mas não necessariamente todos, das leis da aritmética comum. Por exemplo, os movimentos possíveis de um objeto no espaço tridimensional podem ser combinados executando um primeiro movimento do objeto e, em seguida, um segundo movimento de sua nova posição. Tais movimentos, formalmente chamados de movimentos rígidos, obedecem à lei associativa, mas não conseguem satisfazer a lei comutativa.

Conjuntos com uma ou mais operações que obedecem às leis específicas são chamadas de estruturas algébricas . Quando um novo problema envolve as mesmas leis que essa estrutura algébrica, todos os resultados que foram provados usando apenas as leis da estrutura podem ser aplicados diretamente ao novo problema.

Em plena generalidade, as estruturas algébricas podem envolver uma coleção arbitrária de operações, incluindo operações que combinam mais de dois elementos (operações mais altas da arity) e operações que tomam apenas um argumento (operações unárias) ou mesmo zero argumentos (operações nulares). Os exemplos listados abaixo não são de forma alguma uma lista completa, mas incluem as estruturas mais comuns ensinadas em cursos de graduação.

Um axioma de uma estrutura algébrica geralmente tem a forma de uma identidade, ou seja, uma equação de que os dois lados do sinal igual são expressões que envolvem operações da estrutura e variáveis algébricas. Se as variáveis na identidade forem substituídas por elementos arbitrários da estrutura algébrica, a igualdade deve permanecer verdadeira. Aqui estão alguns exemplos comuns.

Comutação

Uma operação $Não.$ é comutativo se $$Não. - Sim.$$ para todos x e Sim. na estrutura algébrica.

Associação

Uma operação $Não.$ é associativa se $$(x*y)*z=x*(y*z)}$$ para todos x, Sim. e zangão. na estrutura algébrica.

Distribuição esquerda

Uma operação $Não.$ é distribuidor esquerdo com relação a outra operação $Sim.$ se $${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$$ para todos x, Sim. e zangão. na estrutura algébrica (a segunda operação é denunciada aqui como $Sim.$, porque a segunda operação é adição em muitos exemplos comuns).

Direita distribuição

Uma operação $Não.$ é distribuidor direito com relação a outra operação $Sim.$ se $$(y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$$ para todos x, Sim. e zangão. na estrutura algébrica.

Distribuição

Uma operação $Não.$ é distribuição com relação a outra operação $Sim.$ se é tanto distribuidora esquerda e direita. Se a operação $Não.$ é distribuição comutativa, esquerda e direita são ambos equivalentes à distributividade.

Alguns axiomas comuns contêm uma cláusula existencial. Em geral, essa cláusula pode ser evitada através da introdução de novas operações e da substituição da cláusula existencial por uma identidade que envolva a nova operação. Mais precisamente, consideremos um axioma da forma Para todos X há Sim. tal que ${\displaystyle f(X,y)=g(X,y)}$", Onde? X é um k- conjunto de variáveis. Escolher um valor específico de Sim. para cada valor de X define uma função $- Sim. X\mapsto y,}$ que pode ser visto como uma operação de aridade k, e o axioma se torna a identidade ${\displaystyle f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)). ?$

A introdução de tal operação auxiliar complica ligeiramente a afirmação de um axioma, mas tem algumas vantagens. Dada uma estrutura algébrica específica, a prova de que um axioma existencial está satisfeito consiste geralmente na definição da função auxiliar, concluída com verificações diretas. Além disso, quando a computação em uma estrutura algébrica, um geralmente usa explicitamente as operações auxiliares. Por exemplo, no caso dos números, o inverso aditivo é fornecido pela operação de menos ${\displaystyle x\mapsto -x.}$

Além disso, na álgebra universal, uma variedade é uma classe de estruturas algébricas que compartilham as mesmas operações e os mesmos axiomas, com a condição de que todos os axiomas são identidades. O que precede mostra que os axiomas existenciais da forma acima são aceitos na definição de uma variedade.

Aqui estão alguns dos axiomas existenciais mais comuns.

Elemento de identidade

Uma operação binária $Não.$ tem um elemento de identidade se houver um elemento e tal que $${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x}$$ para todos x na estrutura. Aqui, a operação auxiliar é a operação de aridade zero que tem e como resultado.

Elemento inverso

Dada uma operação binária $Não.$ que tem um elemento de identidade e, um elemento x é invertidas se tem um elemento inverso, ou seja, se existe um elemento $(x)}$ tal que $${\displaystyle \operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.}$$Por exemplo, um grupo é uma estrutura algébrica com uma operação binária que é associativa, tem um elemento de identidade e para o qual todos os elementos são invertíveis.

Os axiomas de uma estrutura algébrica podem ser qualquer fórmula de primeira ordem, que é uma fórmula envolvendo conectivos lógicos (como "e", "ou" e "não"), e quantificadores lógicos ($}$) que se aplicam a elementos (não a subconjuntos) da estrutura.

Um axioma tão típico é inversão em campos. Este axioma não pode ser reduzido a axiomas dos tipos anteriores. (Segue -se que os campos não formam uma variedade no sentido de álgebra universal.) Pode ser declarado: " todo elemento diferente de zero de um campo é invertível; : A estrutura tem uma operação unária inv tal que

${\displaystyle \forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.}$

A operação inv pode ser visualizada como uma operação parcial que não está definida para x = 0 < /span>; ou como uma função comum cujo valor em 0 é arbitrário e não deve ser usado.

estruturas simples : no operação binária:

• Conjunto: uma estrutura algébrica degenerada S não ter operações.

Estruturas do tipo grupo : uma operação binária . A operação binária pode ser indicada por qualquer símbolo ou sem símbolo (justaposição), como é feito para multiplicação comum de números reais.

• Grupo: um monoide com uma operação unária (inversa), dando origem a elementos inversos.
• Grupo Abeliano: um grupo cuja operação binária é comutativa.

Estruturas do tipo anel ou ringóides : duas operações binárias, geralmente chamadas de adição e multiplicação, com distribuição de multiplicação sobre a adição.

• Anel: um semiring cujo monoid aditivo é um grupo abeliano.
• Anel de divisão: um anel não trivial em que a divisão por elementos nonzero é definida.
• Anel comutativo: um anel em que a operação de multiplicação é comutativa.
• Campo: um anel de divisão comutativo (ou seja, um anel comutativo que contém um inverso multiplicativo para cada elemento nonzero).

estruturas de treliça : duas operações binárias, incluindo operações chamadas meet e ingresso, conectadas pela lei de absorção.

• Lattice completo: um treliça em que se reúne arbitrário e se junta existe.
• Lattice Bounded: um treliça com um maior elemento e menos elemento.
• Lattice distributivo: um treliça em que cada um se reúne e se junta distribui sobre o outro. Um conjunto de energia sob união e interseção forma uma rede distributiva.
• Álgebra booleana: um lattice distributivo complementado. Qualquer reunião ou união pode ser definida em termos do outro e complementação.

• Módulo: um grupo abeliano M e um anel R como operadores M. Os membros de R às vezes são chamados escalares, e a operação binária de multiplicação escalar é uma função R × M → M, que satisfaz vários axiomas. Contando as operações do anel estes sistemas têm pelo menos três operações.
• Espaço vetorial: um módulo onde o anel R é um campo ou, em alguns contextos, um anel de divisão.

• Algebra sobre um campo: um módulo sobre um campo, que também carrega uma operação de multiplicação que é compatível com a estrutura do módulo. Isso inclui distribuição sobre adição e linearidade com respeito à multiplicação.
• Espaço interno do produto: um F espaço vetorial V com uma forma bilinear definida V × V → F.