Espaço Hausdorff

Em topologia e ramos relacionados da matemática, um espaço de Hausdorff (HOWS-dorf, HOWZ-dorf), espaço separado ou T₂ espaço é um espaço topológico onde, para quaisquer dois pontos distintos, existem vizinhanças de cada um que são disjuntas umas das outras. Dos muitos axiomas de separação que podem ser impostos em um espaço topológico, a "condição de Hausdorff" (T₂) é o mais freqüentemente usado e discutido. Implica a unicidade dos limites de sequências, redes e filtros.

Os espaços de Hausdorff são nomeados em homenagem a Felix Hausdorff, um dos fundadores da topologia. A definição original de um espaço topológico de Hausdorff (em 1914) incluía a condição de Hausdorff como um axioma.

Definições

Os pontos x e y, separados por seus respectivos bairros U e V.

Pontos xNão. e Sim.- Sim. em um espaço topológico X- Sim. pode ser separados por bairros se existe um bairro UNão. de xNão. e um bairro VNão. de Sim.- Sim. tal que UNão. e VNão. são unidas (U─ ─ V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ )(Ucap V=varnothing)}. X- Sim. é um Espaço de Hausdorff se houver dois pontos distintos em X- Sim. são separados por bairros. Esta condição é o terceiro axioma de separação (após T₀ e T₁), e é por isso que os espaços Hausdorff também são chamados de T₂ espaços. O nome espaço separado também é usado.

Uma noção relacionada, mas mais fraca, é a de um espaço pré-regular. X- Sim. é um espaço pré-regular se algum dois pontos topologicamente distinguíveis podem ser separados por bairros disjuntos. Um espaço pré-regular também é chamado de R₁ espaço.

A relação entre essas duas condições é a seguinte. Um espaço topológico é Hausdorff se e somente se for pré-regular (isto é, pontos topologicamente distinguíveis são separados por vizinhanças) e Kolmogorov (isto é, pontos distintos são topologicamente distinguíveis). Um espaço topológico é pré-regular se e somente se seu quociente Kolmogorov é Hausdorff.

Equivalências

Para um espaço topológico X- Sim., os seguintes são equivalentes:

• X- Sim. é um espaço Hausdorff.
• Limites de redes em X- Sim. são únicos.
• Limites de filtros em X- Sim. são únicos.
• Qualquer conjunto de singleton (x?? ? X{displaystyle {x}subset X} é igual à interseção de todos os bairros fechados de xNão.. (Um bairro fechado de xNão. é um conjunto fechado que contém um conjunto aberto contendo x.)
• A diagonal ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((x,x)∣ ∣ x∈ ∈ X?{displaystyle Delta ={(x,x)mid xin X}} é fechado como um subconjunto do espaço do produto X× × XNão. Xtimes X}.
• Qualquer injeção do espaço discreto com dois pontos X- Sim. tem a propriedade de elevação em relação ao mapa do espaço topológico finito com dois pontos abertos e um ponto fechado para um único ponto.

Exemplos de espaços Hausdorff e não Hausdorff

Quase todos os espaços encontrados na análise são Hausdorff; mais importante, os números reais (sob a topologia métrica padrão em números reais) são um espaço de Hausdorff. Mais geralmente, todos os espaços métricos são Hausdorff. De fato, muitos espaços de uso em análise, como grupos topológicos e variedades topológicas, têm a condição de Hausdorff explicitamente declarada em suas definições.

Um exemplo simples de uma topologia que é T1, mas não é Hausdorff, é a topologia cofinita definida em um conjunto infinito, assim como a topologia contável definida em um conjunto incontável

Espaços pseudométricos normalmente não são Hausdorff, mas são pré-regulares, e seu uso em análise geralmente é apenas na construção de espaços de calibre Hausdorff. De fato, quando os analistas se deparam com um espaço não-Hausdorff, provavelmente ainda é pelo menos pré-regular, e então eles simplesmente o substituem por seu quociente de Kolmogorov, que é Hausdorff.

Em contraste, espaços não pré-regulares são encontrados com muito mais frequência em álgebra abstrata e geometria algébrica, em particular como a topologia de Zariski em uma variedade algébrica ou o espectro de um anel. Eles também surgem na teoria do modelo da lógica intuicionista: toda álgebra de Heyting completa é a álgebra de conjuntos abertos de algum espaço topológico, mas esse espaço não precisa ser pré-regular, muito menos de Hausdorff, e de fato geralmente não é nenhum dos dois. O conceito relacionado de domínio de Scott também consiste em espaços não pré-regulares.

Enquanto a existência de limites únicos para redes e filtros convergentes implica que um espaço é Hausdorff, existem espaços não Hausdorff T₁ nos quais cada sequência convergente tem um limite único. Esses espaços são chamados de espaços dos EUA.

Propriedades

Subespaços e produtos de espaços de Hausdorff são Hausdorff, mas espaços quocientes de espaços de Hausdorff não precisam ser Hausdorff. De fato, todo espaço topológico pode ser percebido como o quociente de algum espaço Hausdorff.

Os espaços de Hausdorff são T1, o que significa que cada singleton é um conjunto fechado. Da mesma forma, os espaços pré-regulares são R0. Todo espaço de Hausdorff é um espaço sóbrio, embora o inverso geralmente não seja verdadeiro.

Outra propriedade dos espaços de Hausdorff é que cada conjunto compacto é um conjunto fechado. Para espaços não Hausdorff, pode ser que cada conjunto compacto seja um conjunto fechado (por exemplo, a topologia contável em um conjunto incontável) ou não (por exemplo, a topologia cofinita em um conjunto infinito e o espaço de Sierpiński).

A definição de um espaço de Hausdorff diz que os pontos podem ser separados por vizinhanças. Acontece que isso implica em algo aparentemente mais forte: em um espaço de Hausdorff todo par de conjuntos compactos disjuntos também pode ser separado por vizinhanças, ou seja, existe uma vizinhança de um conjunto e uma vizinhança do outro, tal que os dois bairros são disjuntos. Este é um exemplo da regra geral de que conjuntos compactos geralmente se comportam como pontos.

As condições de compactação junto com a pré-regularidade geralmente implicam axiomas de separação mais fortes. Por exemplo, qualquer espaço pré-regular localmente compacto é completamente regular. Espaços pré-regulares compactos são normais, o que significa que eles satisfazem o lema de Urysohn e o teorema de extensão de Tietze e têm partições de unidade subordinadas a coberturas abertas localmente finitas. As versões de Hausdorff dessas declarações são: todo espaço de Hausdorff localmente compacto é Tychonoff, e todo espaço de Hausdorff compacto é Hausdorff normal.

Os resultados a seguir são algumas propriedades técnicas sobre mapas (contínuos e não) de e para espaços de Hausdorff.

Vamos. f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sim. ser uma função contínua e suponha YNão. Sim. é Hausdorff. Então o gráfico de fNão., ((x,f(x))∣ ∣ x∈ ∈ X?{displaystyle {(x,f(x))mid xin X}}, é um subconjunto fechado de X× × YNão. Xtimes Y}.

Vamos. f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sim. ser uma função e deixar ker⁡ ⁡ (f)≜ ≜ ((x,x?)∣ ∣ f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x?)?{displaystyle operatorname {ker} (f)triangleq {(x,x')mid f(x)=f(x')}} ser seu kernel considerado como um subespaço de X× × XNão. Xtimes X}.

• Se fNão. é contínuo e YNão. Sim. é Hausdorff então ker⁡ ⁡ (f)(f)} é um conjunto fechado.
• Se fNão. é um surjection aberto e ker⁡ ⁡ (f)(f)} é um conjunto fechado então YNão. Sim. é Hausdorff.
• Se fNão. é uma surjeção contínua e aberta (ou seja, um mapa de quociente aberto) então YNão. Sim. é Hausdorff se e somente se ker⁡ ⁡ (f)(f)} é um conjunto fechado.

Se f,g:X→ → Y{displaystyle f,g:Xto Y} são mapas contínuos e YNão. Sim. é Hausdorff então o equalizador eq(f,g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x∣ ∣ f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =g(x)?{displaystyle {mbox{eq}}(f,g)={xmid f(x)=g(x)}} é um conjunto fechado X- Sim.. Segue-se que se YNão. Sim. é Hausdorff e fNão. e gNão. concorda em um subconjunto denso de X- Sim. então f= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =gNão.. Em outras palavras, as funções contínuas em espaços Hausdorff são determinadas por seus valores em subconjuntos densos.

Vamos. f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sim. ser uma surjeção fechada tal que f- Sim. - Sim. 1(Sim.)(y)} é compacto para todos Sim.∈ ∈ Y- Sim.. Então, se X- Sim. é Hausdorff assim é YNão. Sim..

Vamos. f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sim. ser um mapa quociente com X- Sim. um espaço Hausdorff compacto. Então os seguintes são equivalentes:

• YNão. Sim. é Hausdorff.
• fNão. é um mapa fechado.
• ker⁡ ⁡ (f)(f)} é um conjunto fechado.

Pré-regularidade versus regularidade

Todos os espaços regulares são pré-regulares, assim como todos os espaços de Hausdorff. Existem muitos resultados para espaços topológicos que valem tanto para espaços regulares quanto para espaços de Hausdorff. Na maioria das vezes, esses resultados são válidos para todos os espaços pré-regulares; eles foram listados para espaços regulares e Hausdorff separadamente porque a ideia de espaços pré-regulares veio mais tarde. Por outro lado, aqueles resultados que são verdadeiramente sobre regularidade geralmente não se aplicam também a espaços Hausdorff não regulares.

Há muitas situações em que outra condição de espaços topológicos (como paracompacidade ou compacidade local) implicará regularidade se a pré-regularidade for satisfeita. Tais condições geralmente vêm em duas versões: uma versão regular e uma versão Hausdorff. Embora os espaços de Hausdorff não sejam, em geral, regulares, um espaço de Hausdorff que também é (digamos) localmente compacto será regular, porque qualquer espaço de Hausdorff é pré-regular. Assim, de certo ponto de vista, é realmente a pré-regularidade, e não a regularidade, que importa nessas situações. No entanto, as definições geralmente ainda são formuladas em termos de regularidade, uma vez que essa condição é mais conhecida do que a pré-regularidade.

Veja História dos axiomas de separação para saber mais sobre este assunto.

Variantes

Os termos "Hausdorff", "separado" e "pré-regular" também pode ser aplicado a tais variantes em espaços topológicos como espaços uniformes, espaços de Cauchy e espaços de convergência. A característica que une o conceito em todos esses exemplos é que os limites de redes e filtros (quando existem) são únicos (para espaços separados) ou únicos até a indistinguibilidade topológica (para espaços pré-regulares).

Acontece que os espaços uniformes, e mais geralmente os espaços de Cauchy, são sempre pré-regulares, de modo que a condição de Hausdorff nesses casos se reduz à condição T₀. Esses também são os espaços nos quais a completude faz sentido, e a Hausdorffness é uma companheira natural da completude nesses casos. Especificamente, um espaço é completo se e somente se toda rede de Cauchy tiver pelo menos um limite, enquanto um espaço é Hausdorff se e somente se toda rede de Cauchy tiver no máximo um limite (uma vez que apenas as redes Cauchy podem ter limites em primeiro lugar).

Álgebra de funções

A álgebra de funções contínuas (reais ou complexas) em um espaço compacto de Hausdorff é uma C*-álgebra comutativa e, inversamente, pelo teorema de Banach-Stone, pode-se recuperar a topologia do espaço a partir das propriedades algébricas de sua álgebra de funções contínuas. Isso leva à geometria não comutativa, onde se considera C*-álgebras não comutativas como representando álgebras de funções em um espaço não comutativo.

Humor acadêmico

• A condição de Hausdorff é ilustrada pelo pun que em espaços Hausdorff qualquer dois pontos podem ser "abrigados" um do outro por conjuntos abertos.
• No Instituto de Matemática da Universidade de Bonn, em que Felix Hausdorff pesquisado e palestrado, há uma certa sala designada o Hausdorff-Raum. Isto é um trocadilho. Raum significa Quarto e espaço em alemão.