Espaço compacto

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Tipo de espaço matemático

Pelos critérios de compactação para o espaço euclidiano, conforme indicado no teorema de Heine-Borel, o intervalo

A = (-\infty, -2)

não é compacto porque não é limitado. O intervalo

C = (2, 4)

não é compacto porque não está fechado (mas limitado). O intervalo

B [0, 1]

é compacto porque é fechado e limitado.

Em matemática, topologia especificamente geral, compactação é uma propriedade que procura generalizar a noção de um subconjunto fechado e limitado de espaço euclidiano. A ideia é que um espaço compacto não tem "punctures" ou "missing endpoints", isto é, inclui todos os valores limitantes de pontos. Por exemplo, o intervalo aberto (0,1) não seria compacto porque exclui os valores limite de 0 e 1, enquanto o intervalo fechado [0,1] seria compacto. Da mesma forma, o espaço de números racionais $mathbb {Q}$ não é compacto, porque tem infinitamente muitas "punctures" correspondentes aos números irracionais, e o espaço de números reais $mathbb {R}$ não é compacto, porque exclui os dois valores limitantes $+infty$ e $-infty$ . No entanto, a linha de números real estendida se ser compacto, uma vez que contém ambos os infinitos. Há muitas maneiras de tornar esta noção heurística precisa. Essas maneiras geralmente concordam em um espaço métrico, mas podem não ser equivalentes em outros espaços topológicos.

Uma dessas generalizações é que um espaço topológico é sequencialmente compacto se toda sequência infinita de pontos amostrados do espaço tiver uma subsequência infinita que converge para algum ponto do espaço.

O teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que um subconjunto do espaço euclidiano é compacto neste sentido sequencial se e somente se for fechado e limitado.

Assim, se escolher um número infinito de pontos no intervalo de unidade fechado $[0, 1]$ , alguns desses pontos ficarão arbitrariamente perto de algum número real nesse espaço. Por exemplo, alguns dos números na sequência 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, acumular para 0 (enquanto outros se acumulam a 1). Uma vez que nem 0 nem 1 são membros do intervalo de unidade aberta $(0,1)$ , esses mesmos conjuntos de pontos não se acumulariam a qualquer ponto dele, de modo que o intervalo de unidade aberta não é compacto. Embora subconjuntos (subespaços) do espaço euclidiano possam ser compactos, todo o espaço em si não é compacto, uma vez que não é limitado. Por exemplo, considerando ${mathbb {R}}^{1}$ (a linha de número real), a sequência de pontos 0, 1, 2, 3,... não tem subsequência que converge para qualquer número real.

A compacidade foi formalmente introduzida por Maurice Fréchet em 1906 para generalizar o teorema de Bolzano-Weierstrass de espaços de pontos geométricos para espaços de funções. O teorema de Arzelà–Ascoli e o teorema de existência de Peano exemplificam as aplicações dessa noção de compacidade à análise clássica. Após sua introdução inicial, várias noções equivalentes de compacidade, incluindo compacidade sequencial e compacidade de ponto limite, foram desenvolvidas em espaços métricos gerais. Em espaços topológicos gerais, no entanto, essas noções de compacidade não são necessariamente equivalentes. A noção mais útil — e a definição padrão do termo não qualificado compacidade — é formulada em termos da existência de famílias finitas de conjuntos abertos que "cobrem" o espaço no sentido de que cada ponto do espaço reside em algum conjunto contido na família. Essa noção mais sutil, introduzida por Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn em 1929, exibe espaços compactos como generalizações de conjuntos finitos. Em espaços que são compactos nesse sentido, muitas vezes é possível juntar informações que se mantêm localmente – isto é, em uma vizinhança de cada ponto – em declarações correspondentes que se mantêm em todo o espaço, e muitos teoremas são desse caráter.

O termo conjunto compacto às vezes é usado como sinônimo de espaço compacto, mas também se refere a um subespaço compacto de um espaço topológico.

Desenvolvimento histórico

No século 19, várias propriedades matemáticas díspares foram compreendidas que mais tarde seriam vistas como consequências da compacidade. Por um lado, Bernard Bolzano (1817) sabia que qualquer sequência limitada de pontos (na reta ou no plano, por exemplo) tem uma subsequência que deve eventualmente se aproximar arbitrariamente de algum outro ponto, denominado ponto limite. A prova de Bolzano baseou-se no método da bisseção: a sequência foi colocada em um intervalo que foi então dividido em duas partes iguais, e uma parte contendo infinitos termos da sequência foi selecionada. O processo poderia então ser repetido dividindo o intervalo menor resultante em partes cada vez menores – até que se fechasse no ponto limite desejado. O significado total do teorema de Bolzano e seu método de prova não surgiriam até quase 50 anos depois, quando foi redescoberto por Karl Weierstrass.

Na década de 1880, ficou claro que resultados semelhantes ao teorema de Bolzano-Weierstrass poderiam ser formulados para espaços de funções, em vez de apenas números ou pontos geométricos. A ideia de considerar as funções como pontos de um espaço generalizado remonta às investigações de Giulio Ascoli e Cesare Arzelà. O ponto culminante de suas investigações, o teorema de Arzelà-Ascoli, foi uma generalização do teorema de Bolzano-Weierstrass para famílias de funções contínuas, cuja conclusão precisa foi que era possível extrair uma sequência uniformemente convergente de funções de uma família adequada de funções. funções. O limite uniforme dessa sequência desempenhou então precisamente o mesmo papel que o "ponto limite" de Bolzano. No início do século XX, resultados semelhantes aos de Arzelà e Ascoli começaram a se acumular na área de equações integrais, conforme investigado por David Hilbert e Erhard Schmidt. Para uma certa classe de funções de Green provenientes de soluções de equações integrais, Schmidt mostrou que uma propriedade análoga ao teorema de Arzelà-Ascoli sustentava o sentido de convergência média - ou convergência no que mais tarde seria chamado de espaço de Hilbert. Isso acabou levando à noção de um operador compacto como um desdobramento da noção geral de um espaço compacto. Foi Maurice Fréchet quem, em 1906, destilou a essência da propriedade de Bolzano-Weierstrass e cunhou o termo compacidade para se referir a esse fenômeno geral (ele usou o termo já em seu artigo de 1904 que levou a a famosa tese de 1906).

No entanto, uma noção completamente diferente de compacidade também emergiu lentamente no final do século XIX a partir do estudo do continuum, que era visto como fundamental para a formulação rigorosa da análise. Em 1870, Eduard Heine mostrou que uma função contínua definida em um intervalo fechado e limitado era de fato uniformemente contínua. No decorrer da prova, ele fez uso de um lema de que a partir de qualquer cobertura contável do intervalo por intervalos abertos menores, era possível selecionar um número finito destes que também o abrangesse. A importância deste lema foi reconhecida por Émile Borel (1895), e foi generalizada para coleções arbitrárias de intervalos por Pierre Cousin (1895) e Henri Lebesgue (1904). O teorema de Heine-Borel, como o resultado é agora conhecido, é outra propriedade especial possuída por conjuntos fechados e limitados de números reais.

Essa propriedade era significativa porque permitia a passagem de informações locais sobre um conjunto (como a continuidade de uma função) para informações globais sobre o conjunto (como a continuidade uniforme de uma função). Esse sentimento foi expresso por Lebesgue (1904), que também o explorou no desenvolvimento da integral que hoje leva seu nome. Em última análise, a escola russa de topologia pontual, sob a direção de Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn, formulou a compacidade de Heine-Borel de uma forma que poderia ser aplicada à noção moderna de um espaço topológico. Aleksandrov & Urysohn (1929) mostrou que a versão anterior de compacidade devido a Fréchet, agora chamada de compacidade sequencial (relativa), sob condições apropriadas, seguia-se da versão de compacidade formulada em termos da existência de subcoberturas finitas. Foi essa noção de compacidade que se tornou dominante, porque não era apenas uma propriedade mais forte, mas podia ser formulada em um ambiente mais geral com um mínimo de maquinário técnico adicional, pois dependia apenas da estrutura dos conjuntos abertos. em um espaço.

Exemplos básicos

Qualquer espaço finito é compacto; uma subcobertura finita pode ser obtida selecionando, para cada ponto, um conjunto aberto que o contenha. Um exemplo não trivial de espaço compacto é o intervalo unitário (fechado) $[0,1]$ de números reais. Se escolhermos um número infinito de pontos distintos no intervalo unitário, então deve haver algum ponto de acumulação entre esses pontos naquele intervalo. Por exemplo, os termos ímpares da sequência 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... se aproximam arbitrariamente de 0, enquanto os pares se aproximam arbitrariamente de 1. A sequência de exemplo fornecida mostra a importância de incluir os pontos de limite do intervalo, pois os pontos de limite devem estar no próprio espaço — um intervalo aberto (ou semi-aberto) dos números reais não é compacto. Também é fundamental que o intervalo seja limitado, pois no intervalo $[0,\infty)$ , pode-se escolher a sequência de pontos 0, 1, 2, 3, ..., dos quais nenhuma subsequência chega arbitrariamente perto de qualquer número real dado.

Em duas dimensões, os discos fechados são compactos, pois para qualquer número infinito de pontos amostrados de um disco, algum subconjunto desses pontos deve ficar arbitrariamente próximo de um ponto dentro do disco ou de um ponto na fronteira. No entanto, um disco aberto não é compacto, porque uma sequência de pontos pode tender para o limite — sem se aproximar arbitrariamente de nenhum ponto do interior. Da mesma forma, as esferas são compactas, mas uma esfera sem um ponto não é, pois uma sequência de pontos ainda pode tender para o ponto ausente, não se aproximando arbitrariamente de qualquer ponto dentro do espaço. Linhas e planos não são compactos, pois pode-se tomar um conjunto de pontos igualmente espaçados em qualquer direção sem se aproximar de nenhum ponto.

Definições

Várias definições de compacidade podem ser aplicadas, dependendo do nível de generalidade. Um subconjunto do espaço euclidiano em particular é chamado de compacto se for fechado e limitado. Isso implica, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, que qualquer sequência infinita do conjunto tem uma subsequência que converge para um ponto no conjunto. Várias noções equivalentes de compacidade, como compacidade sequencial e compacidade de ponto limite, podem ser desenvolvidas em espaços métricos gerais.

Em contraste, as diferentes noções de compacidade não são equivalentes em espaços topológicos gerais, e a noção mais útil de compacidade — originalmente chamada de bicompacidade — é definida usando coberturas que consistem em conjuntos abertos (ver Abrir definição de capa abaixo). Que esta forma de compacidade vale para subconjuntos fechados e limitados do espaço euclidiano é conhecido como o teorema de Heine-Borel. A compacidade, quando definida dessa maneira, muitas vezes permite pegar informações que são conhecidas localmente – em uma vizinhança de cada ponto do espaço – e estendê-las para informações que são mantidas globalmente em todo o espaço. Um exemplo desse fenômeno é o teorema de Dirichlet, ao qual foi originalmente aplicado por Heine, de que uma função contínua em um intervalo compacto é uniformemente contínua; aqui, a continuidade é uma propriedade local da função e a continuidade uniforme é a propriedade global correspondente.

Abrir definição de capa

Formalmente, um espaço topológico $X$ é chamado compacto se toda cobertura aberta de $X$ tem uma subcobertura finita. Ou seja, $X$ é compacto se para cada coleção $C$ de subconjuntos abertos de $X$ tal que

{displaystyle X=bigcup _{xin C}x}

existe uma subcoleção finita $F$ ⊆ $C$ tal que

{displaystyle X=bigcup _{xin F}x.}

Alguns ramos da matemática, como a geometria algébrica, tipicamente influenciada pela escola francesa de Bourbaki, usam o termo quase-compacto para a noção geral e reservam o termo compacto para espaços topológicos que são Hausdorff e quase-compactos. Às vezes, um conjunto compacto é chamado de compactum, plural compacta.

Compatidão de subconjuntos

Um subconjunto $K$ de um espaço topológico $X$ é considerado compacto se for compacto como um subespaço (na topologia do subespaço). Ou seja, $K$ é compacto se para cada coleção arbitrária $C$ de subconjuntos abertos de $X$ tal que

{displaystyle Ksubseteq bigcup _{cin C}c}

existe uma subcoleção finita $F$ ⊆ $C$ tal que

{displaystyle Ksubseteq bigcup _{cin F}c.}

A compactação é uma propriedade "topológica". Isso é, se ${displaystyle Ksubset Zsubset Y}$ , com subconjunto $Z.$ equipado com topologia subespacial, então $KK$ é compacto em $Z.$ se e somente se $KK$ é compacto em $Y$ .

Caracterização

Se $X$ for um espaço topológico, então os seguintes são equivalentes:

$X$ é compacto; ou seja, cada capa aberta de $X$ tem uma cobertura finita.
$X$ tem uma sub-base tal que cada cobertura do espaço, por membros da sub-base, tem uma sub-cobertura finita (teorema sub-base de Alexander).
$X$ é Lindelöf e contável compacto.
Qualquer coleção de subconjuntos fechados de $X$ com a propriedade de interseção finita não tem nenhuma interseção.
Cada rede em $X$ tem uma sub-rede convergente (veja o artigo sobre redes para uma prova).
Cada filtro em $X$ tem um refinamento convergente.
Cada rede em $X$ tem um ponto de cluster.
Cada filtro em $X$ tem um ponto de cluster.
Cada ultrafiltro sobre $X$ converge para pelo menos um ponto.
Cada subconjunto infinito de $X$ tem um ponto de acumulação completo.
Para cada espaço topológico $Y$ , a projeção ${displaystyle Xtimes Yto Y}$ é um mapeamento fechado (ver mapa adequado).

Bourbaki define um espaço compacto (espaço quase-compacto) como um espaço topológico onde cada filtro tem um ponto de cluster (ou seja, 8. no acima).

Espaço euclidiano

Para qualquer subconjunto $A$ do espaço euclidiano, $A$ é compacto se e somente se for fechado e limitado; este é o teorema de Heine-Borel.

Como um espaço euclidiano é um espaço métrico, as condições da próxima subseção também se aplicam a todos os seus subconjuntos. De todas as condições equivalentes, na prática é mais fácil verificar se um subconjunto é fechado e limitado, por exemplo, para um intervalo fechado ou $fechado. n$ -bola.

Espaços métricos

Para qualquer espaço métrico $(X, d)$ , os seguintes são equivalentes (assumindo uma escolha contável):

$(X, D)$ é compacto.
$(X, D)$ é completo e totalmente limitado (isso também é equivalente à compactação para espaços uniformes).
$(X, D)$ é sequencialmente compacto; isto é, cada sequência em $X$ tem uma subsequência convergente cujo limite está em $X$ (isto também é equivalente à compactação para espaços uniformes de primeira contagem).
$(X, D)$ é ponto limite compacto (também chamado fracamente contável compacto); isto é, cada subconjunto infinito de $X$ tem pelo menos um ponto limite em $X$ .
$(X, D)$ é contável compacto; isto é, cada cobertura aberta contável de $X$ tem uma cobertura finita.
$(X, D)$ é uma imagem de uma função contínua do conjunto Cantor.
Cada sequência aninhada decrescente de subconjuntos fechados vazios $S1 \supseteq S2 ......$ em $(X, D)$ tem uma interseção sem graça.
Cada sequência aninhada crescente de subconjuntos abertos adequados $S1 \subseteq S2 \subseteq...$ em $(X, D)$ falha em cobrir $X$ .

Um espaço métrico compacto $(X, d)$ também satisfaz as seguintes propriedades:

Lebesgue: Para cada cobertura aberta $X$ , existe um número δ > 0 tal que cada subconjunto de $X$ de diâmetro < $δ$ está contido em algum membro da capa.
$(X, D)$ é segundo-contável, separável e Lindelöf – estas três condições são equivalentes para espaços métricos. O converso não é verdade; por exemplo, um espaço discreto contável satisfaz essas três condições, mas não é compacto.
$X$ é fechado e limitado (como um subconjunto de qualquer espaço métrico cuja métrica restrita é $D$ ). O converso pode falhar por um espaço não-euclidiano; por exemplo, a linha real equipada com a métrica discreta é fechada e limitada, mas não compacta, como a coleção de todos os singletons do espaço é uma capa aberta que não admite nenhuma subcobertura finita. É completo, mas não totalmente limitado.

Espaços ordenados

Para um espaço ordenado $(X, <)$ (ou seja, um conjunto totalmente ordenado equipado com a topologia de ordem), os seguintes são equivalentes:

$(X, <)$ é compacto.
Cada subconjunto de $X$ tem um supremum (ou seja, um limite mínimo superior) em $X$ .
Cada subconjunto de $X$ tem um infim (ou seja, um maior limite inferior) em $X$ .
Cada subconjunto fechado vazio $X$ tem um elemento máximo e mínimo.

Um espaço ordenado que satisfaz (qualquer uma) dessas condições é chamado de rede completa.

Além disso, os seguintes são equivalentes para todos os espaços ordenados $(X, <)$ , e (assumindo escolha contável) são verdadeiros sempre que $(X, <)$ é compacto. (O inverso geralmente falha se $(X, <)$ também não for metrizável.):

Cada sequência em $(X, <)$ tem uma subsequência que converge em $(X, <)$ .
Cada sequência de aumento de monótono em $X$ converge para um limite único em $X$ .
Cada sequência decrescente monotone em $X$ converge para um limite único em $X$ .
Cada sequência aninhada decrescente de subconjuntos fechados vazios $S1$ ⊇ $S2$ ...... in $(X, <)$ tem uma interseção sem graça.
Cada sequência aninhada crescente de subconjuntos abertos adequados $S1$ ⊆ $S2$ ⊆... em $(X, <)$ falha em cobrir $X$ .

Caracterização por funções contínuas

Vamos. $X$ ser um espaço topológico e $C(X)$ o anel de funções contínuas reais em $X$ . Para cada $p \in X$ , o mapa de avaliação ${displaystyle operatorname {ev} _{p}colon C(X)to mathbb {R} }$ por $ev p (f) = f (p)$ é um homomorfismo do anel. O kernel do $ev p$ é um ideal máximo, uma vez que o campo de resíduos $C(X) p$ é o campo dos números reais, pelo primeiro teorema do isomorfismo. Um espaço topológico $X$ é pseudocompacto se e somente se cada ideal máximo em $C(X)$ tem campo de resíduos os números reais. Para espaços completamente regulares, isso é equivalente a cada ideal máximo sendo o núcleo de um homomorfismo de avaliação. No entanto, existem espaços pseudocompactos que não são compactos.

Em geral, para espaços não pseudocompactos sempre há ideais maximais $m$ em $C (X)$ de forma que o campo de resíduo $C(X)/ m$ é um campo hiper-real (não arquimediano). A estrutura da análise não padronizada permite a seguinte caracterização alternativa de compacidade: um espaço topológico $X$ é compacto se e somente se cada ponto $x$ da extensão natural $*X$ está infinitamente próximo de um ponto $x 0$ de $X$ (mais precisamente, $x$ está contido na mônada de $x 0$ ).

Definição hiper-real

Um espaço $X$ é compacto se sua extensão hiper-real $*X$ (construído, por exemplo, pela construção ultrapower) tem a propriedade de que cada ponto de $*X$ é infinitamente próximo de algum ponto de $X \subset *X$ . Por exemplo, um intervalo real aberto $X = (0, 1)$ não é compacto porque a extensão hiperreal $*(0,1)$ contém infinitesimais, que são infinitamente próximos de 0, que não é um ponto de $X$ .

Condições suficientes

Um subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto.
Uma união finita de conjuntos compactos é compacta.
Uma imagem contínua de um espaço compacto é compacta.
A interseção de qualquer coleção não vazia de subconjuntos compactos de um espaço Hausdorff é compacta (e fechada);
- Se $X$ não é Hausdorff então a interseção de dois subconjuntos compactos pode deixar de ser compacta (veja nota de rodapé, por exemplo).
O produto de qualquer coleção de espaços compactos é compacto. (Este é o teorema de Tychonoff, que é equivalente ao axioma da escolha.)
Em um espaço metrizável, um subconjunto é compacto se e somente se for sequencialmente compacto (assumindo a escolha contável)
Um conjunto finito dotado de qualquer topologia é compacto.

Propriedades de espaços compactos

Um subconjunto compacto de um espaço Hausdorff X está fechado.
- Se $X$ não é Hausdorff então um subconjunto compacto de $X$ pode não ser um subconjunto fechado de $X$ (ver nota de rodapé, por exemplo).
- Se $X$ não é Hausdorff então o fechamento de um conjunto compacto pode deixar de ser compacto (veja nota de rodapé, por exemplo).
Em qualquer espaço vetorial topológico (TVS), um subconjunto compacto está completo. No entanto, cada TVS não Hausdorff contém subconjuntos compactos (e assim completos) que são não fechado.
Se $A$ e $B$ são conjuntos compactos disjoint de um espaço Hausdorff $X$ , então existe conjunto aberto disjunto $U$ e $V$ em $X$ tal que $A \subseteq U$ e $B \subseteq V$ .
Uma bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo.
Um espaço Hausdorff compacto é normal e regular.
Se um espaço $X$ é compacto e Hausdorff, então nenhuma topologia mais fina em $X$ é compacto e nenhuma topologia grosseiro em $X$ é Hausdorff.
Se um subconjunto de um espaço métrico $(X, D)$ é compacto, então é $D$ - Apanhou.

Funções e espaços compactos

Como uma imagem contínua de um espaço compacto é compacta, o teorema do valor extremo é válido para tais espaços: uma função contínua de valor real em um espaço compacto não vazio é limitada acima e atinge seu supremo. (Um pouco mais geralmente, isso é verdade para uma função semicontínua superior.) Como uma espécie de inverso às afirmações acima, a pré-imagem de um espaço compacto sob um mapa adequado é compacta.

Compactificações

Todo espaço topológico $X$ é um subespaço denso aberto de um espaço compacto tendo no máximo um ponto a mais que $X$ , pela compactação de um ponto de Alexandroff. Pela mesma construção, todo espaço de Hausdorff localmente compacto $X$ é um subespaço denso aberto de um espaço de Hausdorff compacto tendo no máximo um ponto a mais que $X$ .

Espaços compactos ordenados

Um subconjunto compacto não vazio dos números reais tem um elemento máximo e um elemento mínimo.

Seja $X$ um conjunto simplesmente ordenado dotado da topologia de ordem. Então $X$ é compacto se e somente se $X$ é uma rede completa (ou seja, todos os subconjuntos têm suprema e infima).

Exemplos

Qualquer espaço topológico finito, incluindo o conjunto vazio, é compacto. Mais geralmente, qualquer espaço com uma topologia finita (somente finitamente muitos conjuntos abertos) é compacto; isso inclui, em particular, a topologia trivial.
Qualquer espaço com a topologia cofinita é compacto.
Qualquer espaço localmente compacto Hausdorff pode ser transformado em um espaço compacto adicionando um único ponto para ele, por meio da compactação de um ponto Alexandroff. A compactação de um ponto $mathbb {R}$ é homeomorfo para o círculo $S 1$ ; a compactação de um ponto $mathbb {R} ^{2}$ é homeomorfo para a esfera $S 2$ . Usando a compactação de um ponto, também pode-se facilmente construir espaços compactos que não são Hausdorff, começando com um espaço não-Hausdorff.
A topologia de ordem direita ou topologia de ordem esquerda em qualquer conjunto totalmente ordenado limitado é compacto. Em particular, o espaço Sierpiński é compacto.
Nenhum espaço discreto com um número infinito de pontos é compacto. A coleção de todos os singletons do espaço é uma capa aberta que não admite nenhuma cobertura finita. Espaços discretos finitos são compactos.
Em $mathbb {R}$ carregando a topologia limite inferior, nenhum conjunto incontável é compacto.
Na topologia contável em um conjunto incontável, nenhum conjunto infinito é compacto. Como o exemplo anterior, o espaço como um todo não é localmente compacto, mas ainda é Lindelöf.
O intervalo de unidade fechado $[0, 1]$ é compacto. Isso segue do teorema de Heine-Borel. O intervalo aberto $(0,1)$ não é compacto: a tampa aberta ${textstyle left({frac {1}{n}},1-{frac {1}{n}}right)}$ para $n - 3, 4,...$ não tem uma cobertura finita. Da mesma forma, o conjunto de números racionais no intervalo fechado $[0,1]$ não é compacto: os conjuntos de números racionais nos intervalos ${textstyle left[0,{frac {1}{pi }}-{frac {1}{n}}right]{text{ and }}left[{frac {1}{pi }}+{frac {1}{n}},1right]}$ cobrir todas as racionais em [0, 1] para $n 4, 5,...$ mas esta capa não tem uma subcobertura finita. Aqui, os conjuntos estão abertos na topologia subespacial, mesmo que não estejam abertos como subconjuntos de $mathbb {R}$ .
O conjunto $mathbb {R}$ de todos os números reais não é compacto, pois há uma cobertura de intervalos abertos que não tem uma cobertura finita. Por exemplo, intervalos $(n - 1, n + 1)$ , onde $n$ leva todos os valores inteiros em $Z.$ , capa $mathbb {R}$ mas não há nenhuma subcobertura finita.
Por outro lado, a linha de número real estendida carregando a topologia análoga o compacto; note que a capa descrita acima nunca chegaria aos pontos no infinito e, portanto, iria não cobrir a linha real estendida. Na verdade, o conjunto tem o homeomorfismo para [−1, 1] de mapear cada infinito para sua unidade correspondente e cada número real para seu sinal multiplicado pelo número único na parte positiva do intervalo que resulta em seu valor absoluto quando dividido por um menos em si, e desde homeomorfismos preservar coberturas, a propriedade Heine-Borel pode ser inferida.
Para cada número natural $n$ , a n-esfera é compacta. Novamente do teorema de Heine-Borel, a esfera de unidade fechada de qualquer espaço vetorial normático de dimensão finita é compacta. Isso não é verdade para dimensões infinitas; de fato, um espaço vetorial normático é finito-dimensional se e somente se sua esfera de unidade fechada é compacta.
Por outro lado, a esfera de unidade fechada da dupla de um espaço normático é compacta para a topologia fraca-*. (Teorema de Alaoglu)
O conjunto Cantor é compacto. Na verdade, cada espaço métrico compacto é uma imagem contínua do conjunto Cantor.
Considere o conjunto $KK$ de todas as funções $mathbb {R}$ da linha de número real para o intervalo de unidade fechada, e definir uma topologia em $KK$ para que uma sequência ${f_{n}}$ em $KK$ converge para $f \in KK$ se e somente se ${f_{n}(x)}$ converge para $f (x)$ para todos os números reais $x$ . Há apenas uma tal topologia; é chamado de topologia de convergência pontual ou topologia do produto. Então... $KK$ é um espaço topológico compacto; isto segue do teorema de Tychonoff.
Considere o conjunto $KK$ de todas as funções $f : [0, 1] \to [0, 1]$ satisfazendo a condição Lipschitz $| f (x) f (Sim.) | \leq | x - Sim. Sim. |$ para todos $x, Sim. \in [0,1]$ . Considere $KK$ a métrica induzida pela distância uniforme ${displaystyle d(f,g)=sup _{xin [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$ Então por Arzelà-Ascoli teorema do espaço $KK$ é compacto.
O espectro de qualquer operador linear limitado em um espaço Banach é um subconjunto compacto sem nenhum valor dos números complexos $mathbb {C}$ . Por outro lado, qualquer subconjunto compacto de $mathbb {C}$ surge desta maneira, como o espectro de algum operador linear limitado. Por exemplo, um operador diagonal no espaço de Hilbert $ell ^{2}$ pode ter qualquer subconjunto vazio compacto $mathbb {C}$ como espectro.

Exemplos algébricos

Grupos teológicos como um grupo ortogonal são compactos, enquanto grupos como um grupo linear geral não são.
Uma vez que os inteiros p-adic são homeomorphic para o conjunto Cantor, eles formam um conjunto compacto.
O espectro de qualquer anel comutativo com a topologia de Zariski (isto é, o conjunto de todos os ideais primos) é compacto, mas nunca Hausdorff (exceto em casos triviais). Em geometria algébrica, tais espaços topológicos são exemplos de esquemas quase-compactos, "quasi" referindo-se à natureza não-Hausdorff da topologia.
O espectro de uma álgebra booleana é compacto, um fato que faz parte do teorema da representação de pedra. Espaços de pedra, espaços compactos totalmente desconectados Hausdorff, formam a estrutura abstrata em que esses espectros são estudados. Esses espaços também são úteis no estudo de grupos profinos.
O espaço de estrutura de uma álgebra de Banach unital comutativa é um espaço Hausdorff compacto.
O cubo de Hilbert é compacto, novamente uma consequência do teorema de Tychonoff.
Um grupo profinito (por exemplo, grupo Galois) é compacto.

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