Espaço amostral

Na teoria da probabilidade, o espaço amostral (também chamado de espaço amostral de descrição, espaço de possibilidades ou espaço de resultado) de um experimento ou tentativa aleatória é o conjunto de todos os possíveis resultados ou resultados desse experimento. Um espaço amostral geralmente é denotado usando a notação de conjunto, e os possíveis resultados ordenados, ou pontos amostrais, são listados como elementos no conjunto. É comum referir-se a um espaço amostral pelos rótulos S, Ω ou U (para "conjunto universal"). Os elementos de um espaço amostral podem ser números, palavras, letras ou símbolos. Eles também podem ser finitos, infinitos contáveis ou infinitos incontáveis.

Um subconjunto do espaço amostral é um evento, denotado por ENão.. Se o resultado de uma experiência estiver incluído em ENão., então evento ENão. ocorreu.

Por exemplo, se o experimento estiver jogando uma única moeda, o espaço da amostra é o conjunto (H. H. H.,T?Não. {H,T}}, onde o resultado H. H. H.Não. H. significa que a moeda é cabeças e o resultado TNão. T. significa que a moeda é cauda. Os possíveis eventos são E= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(?Não. E=\{}}, E= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(H. H. H.?Não. E={H}}, E= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(T?Não. E={T}}e E= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(H. H. H.,T?Não. E={H,T}}. Para lançar duas moedas, o espaço da amostra é (H. H. H.H. H. H.,H. H. H.T,TH. H. H.,TT?{displaystyle {HH,HT,TH,TT}}, onde o resultado é H. H. H.H. H. H.Não. HH se ambas as moedas são cabeças, H. H. H.TNão. HT se a primeira moeda é cabeças e a segunda é caudas, TH. H. H.Não. TH se a primeira moeda é caudas e a segunda é cabeças, e TTNão. se ambas as moedas são caudas. O evento que pelo menos uma das moedas é cabeças é dado por E= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(H. H. H.H. H. H.,H. H. H.T,TH. H. H.?Não. E={HH,HT,TH}}.

Para lançar um único de seis lados morrem uma vez, onde o resultado do interesse é o número de pips virados para cima, o espaço da amostra é (1,2,3,4,5,6?Não. {1,2,3,4,5,6}}.

Um espaço de amostra bem definido e não vazio SNão. S. é um dos três componentes em um modelo probabilístico (um espaço de probabilidade). Os outros dois elementos básicos são: um conjunto bem definido de possíveis eventos (um espaço de evento), que é tipicamente o conjunto de energia de SNão. S. se SNão. S. é discreto ou uma σ-algebra em SNão. S. se for contínuo, e uma probabilidade atribuída a cada evento (uma função de medida de probabilidade).

Uma representação visual de um espaço de amostra finito e eventos. O oval vermelho é o evento que um número é estranho, e o oval azul é o evento que um número é primo.

Um espaço amostral pode ser representado visualmente por um retângulo, com os resultados do espaço amostral representados por pontos dentro do retângulo. Os eventos podem ser representados por ovais, onde os pontos dentro da oval constituem o evento.

Condições de um espaço amostral

Um conjunto Ω Ω Não. - Sim. com resultados S1,S2,...... ,SnNão. s_{1},s_{2},ldots_{n}} (i.e. Ω Ω = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(S1,S2,...... ,Sn?Não. - Sim. ={s_{1},s_{2},ldots_{n}}}) deve cumprir algumas condições para ser um espaço amostral:

• Os resultados devem ser mutuamente exclusivo, ou seja, se SJJ{displaystyle s_{j}} ocorre, então nenhum outro SEu...Não. s_{i}} terá lugar, Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas Eu...,JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,2,...... ,nEu...≠ ≠ JJ{displaystyle forall i,j=1,2,ldotsnquad ineq j}.
• Os resultados devem ser coletivamente exaustiva, ou seja, em cada experimento (ou julgamento aleatório) sempre terá lugar algum resultado SEu...∈ ∈ Ω Ω {displaystyle s_{i}in Omega } para Eu...∈ ∈ (1,2,...... ,n?{displaystyle iin {1,2,ldotsn}}.
• O espaço da amostra (Ω Ω Não. - Sim.) deve ter o granularidade direita dependendo do que o experimentador está interessado. As informações relevantes devem ser removidas do espaço da amostra e a abstração certa deve ser escolhida.

Por exemplo, no julgamento de lançar uma moeda, um espaço de amostra possível é Ω Ω 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(H. H. H.,T?Não. - Sim. _{1}={H, T}}, onde H. H. H.Não. H. é o resultado onde a moeda cai e TNão. T. é para caudas. Outro espaço de amostra possível poderia ser Ω Ω 2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =((H. H. H.,R),(H. H. H.,NR),(T,R),(T,NR)?Não. - Sim. _{2}={(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)}}. Toma. RNão. R. denota um dia chuvoso e NRNão. NR é um dia onde não está chovendo. Para a maioria das experiências, Ω Ω 1Não. - Sim. _{1}} seria uma escolha melhor do que Ω Ω 2Não. Omega _{2}}, como um experimentador provavelmente não se importa com como o tempo afeta o toss da moeda.

Múltiplos espaços de amostra

Para muitos experimentos, pode haver mais de um espaço amostral plausível disponível, dependendo de qual resultado é de interesse do experimentador. Por exemplo, ao retirar uma carta de um baralho padrão de cinquenta e duas cartas, uma possibilidade para o espaço amostral pode ser as várias classificações (Ás a Rei), enquanto outra pode ser os naipes (paus, ouros, copas ou espadas).). Uma descrição mais completa dos resultados, no entanto, poderia especificar tanto a denominação quanto o naipe, e um espaço amostral descrevendo cada carta individual pode ser construído como o produto cartesiano dos dois espaços amostrais observados acima (esse espaço conteria cinqüenta e duas cartas igualmente prováveis). resultados). Ainda outros espaços de amostra são possíveis, como o lado direito para cima ou para baixo, se algumas cartas forem viradas ao embaralhar.

Resultados igualmente prováveis

Virar uma moeda leva a uma espaço de amostra composto por dois resultados que são quase igualmente prováveis.

Para cima ou para baixo? Virar uma tack de bronze leva a uma espaço de amostra composto por dois resultados que não são igualmente prováveis.

Alguns tratamentos de probabilidade assumem que os vários resultados de uma experiência são sempre definidos de modo a ser igualmente provável. Para qualquer espaço de amostra com NNão. resultados igualmente prováveis, cada resultado é atribuído a probabilidade 1NNão. Não.. No entanto, há experimentos que não são facilmente descritos por um espaço amostral de resultados igualmente prováveis - por exemplo, se se devesse lançar uma tack polegar muitas vezes e observar se aterrou com seu ponto para cima ou para baixo, não há nenhuma simetria física para sugerir que os dois resultados devem ser igualmente prováveis.

Embora a maioria dos fenômenos aleatórios não tenham resultados igualmente prováveis, pode ser útil definir um espaço amostral de forma que os resultados sejam pelo menos aproximadamente igualmente prováveis, pois essa condição simplifica significativamente o cálculo de probabilidades para eventos dentro da amostra espaço. Se cada resultado individual ocorrer com a mesma probabilidade, então a probabilidade de qualquer evento torna-se simplesmente:

P(evento)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =número de resultados em eventonúmero de resultados em espaço amostral{displaystyle mathrm {P} ({text{event}})={frac {text{número de resultados em evento}}{text{número de resultados em espaço de amostra}}}}

Por exemplo, se dois dados justos de seis lados são jogados para gerar dois inteiros uniformemente distribuídos, D1Não. D_{1}} e D2{displaystyle D_{2}}, cada um no intervalo de 1 a 6, inclusive, os 36 possíveis pares ordenados de resultados (D1,D2)(D_{1},D_{2})} constituem um espaço amostral de eventos igualmente prováveis. Neste caso, aplica-se a fórmula acima, como calcular a probabilidade de uma determinada soma dos dois rolos em um resultado. A probabilidade do evento que a soma D1+D2Não. D_{1}+D_{2}} 5 436{displaystyle {frac {4}{36}}}, uma vez que quatro dos trinta e seis pares igualmente prováveis de resultados soma para cinco.

Se o espaço amostral foi todas as somas possíveis obtidas a partir de dois dados de seis lados, a fórmula acima ainda pode ser aplicada porque os rolos de dados são justos, mas o número de resultados em um determinado evento irá variar. Uma soma de dois pode ocorrer com o resultado ((1,1)?{displaystyle {(1,1)}}, então a probabilidade é 136(1}{36}}}. Para uma soma de sete, os resultados no evento são ((1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)?{displaystyle {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}}, então a probabilidade é 636- Sim..

Amostra aleatória simples

Na estatística, as inferências são feitas sobre as características de uma população estudando uma amostra dos indivíduos dessa população. Para chegar a uma amostra que apresente uma estimativa imparcial das verdadeiras características da população, os estatísticos muitas vezes procuram estudar uma amostra aleatória simples - isto é, uma amostra na qual todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de serem incluídos. O resultado disso é que toda combinação possível de indivíduos que poderiam ser escolhidos para a amostra tem igual chance de ser a amostra selecionada (ou seja, o espaço de amostras aleatórias simples de um determinado tamanho de uma determinada população é composto por resultados igualmente prováveis).

Espaços amostrais infinitamente grandes

Em uma abordagem elementar da probabilidade, qualquer subconjunto do espaço amostral é geralmente chamado de evento. No entanto, isso gera problemas quando o espaço amostral é contínuo, de modo que uma definição mais precisa de um evento é necessária. Sob esta definição, apenas subconjuntos mensuráveis do espaço amostral, constituindo uma σ-álgebra sobre o próprio espaço amostral, são considerados eventos.

Um exemplo de espaço amostral infinitamente grande é medir a vida útil de uma lâmpada. O espaço amostral correspondente seria [0, ∞).