Esfera

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Uma esfera (do grego antigo σφαῖρα (sphaîra) 'globo, bola') é um objeto geométrico que é um análogo tridimensional de um objeto bidimensional. círculo dimensional. Formalmente, uma esfera é o conjunto de pontos que estão todos à mesma distância $r$ de um determinado ponto no espaço tridimensional. Esse ponto determinado é o centro da esfera e $r$ é o raio da esfera. As primeiras menções conhecidas de esferas aparecem no trabalho dos antigos matemáticos gregos.

A esfera é um objeto fundamental em muitos campos da matemática. Esferas e formas quase esféricas também aparecem na natureza e na indústria. Bolhas como as bolhas de sabão assumem uma forma esférica em equilíbrio. A Terra é frequentemente aproximada como uma esfera na geografia, e a esfera celeste é um conceito importante na astronomia. Itens manufaturados, incluindo vasos de pressão e a maioria dos espelhos e lentes curvos, são baseados em esferas. As esferas rolam suavemente em qualquer direção, de modo que a maioria das bolas usadas em esportes e brinquedos são esféricas, assim como os rolamentos.

Geometricamente, uma esfera pode ser formada girando um círculo meia volta em torno de um eixo que intercepta o centro do círculo, ou girando um semicírculo uma volta completa em torno do eixo que é coincidente (ou concorrente) com a régua do semicírculo.

Terminologia básica

Como mencionado anteriormente, $r$ é o raio da esfera; qualquer linha do centro a um ponto da esfera também é chamada de raio.

Se um raio for estendido do centro até o lado oposto da esfera, ele criará um diâmetro. Assim como o raio, o comprimento de um diâmetro também é chamado de diâmetro e denotado $d$ . Os diâmetros são os segmentos de linha mais longos que podem ser traçados entre dois pontos da esfera: seu comprimento é o dobro do raio, $d = 2 r$ . Dois pontos na esfera conectados por um diâmetro são pontos antípodas um do outro.

Uma esfera unitária é uma esfera com raio unitário ( $r = 1$ ). Por conveniência, muitas vezes considera-se que as esferas têm seu centro na origem do sistema de coordenadas, e as esferas neste artigo têm seu centro na origem, a menos que um centro seja mencionado.

Um grande círculo na esfera tem o mesmo centro e raio da esfera e a divide em dois hemisférios iguais.

Embora a figura da Terra não seja perfeitamente esférica, é conveniente aplicar termos emprestados da geografia à esfera. Uma linha específica que passa pelo seu centro define um eixo (como no eixo de rotação da Terra). A intersecção esfera-eixo define dois pólos antípodas (pólo norte e pólo sul). O grande círculo equidistante dos pólos é chamado de equador. Os grandes círculos que passam pelos pólos são chamados de linhas de longitude ou meridianos. Pequenos círculos na esfera paralelos ao equador são círculos de latitude (ou paralelos). Na geometria não relacionada com corpos astronômicos, a terminologia geocêntrica deve ser usada apenas para ilustração e anotada como tal, a menos que não haja possibilidade de mal-entendidos.

Os matemáticos consideram uma esfera como uma superfície fechada bidimensional inserida no espaço euclidiano tridimensional. Eles fazem uma distinção entre uma esfera e uma bola, que é uma variedade tridimensional com limite que inclui o volume contido pela esfera. Uma bola aberta exclui a própria esfera, enquanto uma bola fechada inclui a esfera: uma bola fechada é a união da bola aberta e da esfera, e uma esfera é o limite de uma bola (fechada ou aberta). A distinção entre bola e esfera nem sempre foi mantida e especialmente as referências matemáticas mais antigas falam de uma esfera como um sólido. A distinção entre "círculo" e "disco" no avião é semelhante.

Pequenas esferas ou bolas são às vezes chamadas de esférulas, por ex. nas esférulas marcianas.

Equações

Na geometria analítica, uma esfera com centro $(x 0, y 0< /sub>, z 0)$ e raio $r$ é o lugar geométrico de todos os pontos $(x, y, z)$ tais que

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}

Como pode ser expressa como um polinômio quadrático, uma esfera é uma superfície quádrica, um tipo de superfície algébrica.

Sejam $a, b, c, d, e$ números reais com $a \neq 0$ e coloque

Não. x_{0} = {-b}{a}},quad - Sim. {-c}{a}},quad - Sim. {-d}{a}},quad rho - Sim. {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}

Então a equação

(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}

não tem pontos reais como soluções se ${displaystyle rho <0}$ e é chamado de equação de um esfera imaginária. Se ${displaystyle rho =0}$ , a única solução $(x,y,z)=0}$ é o ponto $Não. P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ e a equação é dita ser a equação de uma esfera ponto. Finalmente, no caso $- Sim.$ , $(x,y,z)=0}$ é uma equação de uma esfera cujo centro é $Não. P_{0}}$ e cujo raio é $- Sim.$ .

Se $a$ na equação acima for zero, então $f (x, y, z) = 0$ é a equação de um plano. Assim, um plano pode ser pensado como uma esfera de raio infinito cujo centro é um ponto no infinito.

Paramétrico

Uma equação paramétrica para a esfera com raio $- Sim.$ e centro $(x_{0},y_{0},z_{0})}$ pode ser parametrizado usando funções trigonométricas.

{displaystyle {begin{aligned}x&=x_{0}+rsin theta ;cos varphi \y&=y_{0}+rsin theta ;sin varphi \z&=z_{0}+rcos theta ,end{aligned}}}

Os símbolos usados aqui são os mesmos usados em coordenadas esféricas. $R$ é constante, enquanto $θ$ varia de 0 a $D$ e $- Sim.$ varia de 0 a 2 $D$ .

Propriedades

Volume fechado

Em três dimensões, o volume dentro de uma esfera (ou seja, o volume de uma bola, mas classicamente referido como o volume de uma esfera) é

{displaystyle V={frac {4}{3}}pi ? {6} d^{3}approx 0.5236cdot d^{3}}

onde $r$ é o raio e $d$ é o diâmetro da esfera. Arquimedes primeiro derivou esta fórmula mostrando que o volume dentro de uma esfera é duas vezes o volume entre a esfera e o cilindro circunscrito dessa esfera (tendo altura e diâmetro iguais ao diâmetro da esfera). Isto pode ser provado inscrevendo um cone de cabeça para baixo em uma semiesfera, observando que a área de uma seção transversal do cone mais a área de uma seção transversal da esfera é igual à área da seção transversal do cilindro circunscrito. e aplicando o princípio de Cavalieri. Esta fórmula também pode ser derivada usando cálculo integral, ou seja, integração de disco para somar os volumes de um número infinito de discos circulares de espessura infinitamente pequena empilhados lado a lado e centralizados ao longo do $eixo x$ de $x = - r$ para $x = r$ , assumindo a esfera de raio $r< /span> está centralizado na origem.$

Proof of sphere volume, using calculus
At any given $x$ , the incremental volume ( $δV$ ) equals the product of the cross-sectional area of the disk at $x$ and its thickness ( $δx$ ): ${displaystyle delta Vapprox pi y^{2}cdot delta x.}$ The total volume is the summation of all incremental volumes: ${displaystyle Vapprox sum pi y^{2}cdot delta x.}$ In the limit as $δx$ approaches zero, this equation becomes: ${displaystyle V=int _{-r}^{r}pi y^{2}dx.}$ At any given $x$ , a right-angled triangle connects $x$ , $y$ and $r$ to the origin; hence, applying the Pythagorean theorem yields: ${displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}$ Using this substitution gives ${displaystyle V=int _{-r}^{r}pi left(r^{2}-x^{2}right)dx,}$ which can be evaluated to give the result ${displaystyle V=pi left[r^{2}x-{frac {x^{3}}{3}}right]_{-r}^{r}=pi left(r^{3}-{frac {r^{3}}{3}}right)-pi left(-r^{3}+{frac {r^{3}}{3}}right)={frac {4}{3}}pi r^{3}.}$ An alternative formula is found using spherical coordinates, with volume element ${displaystyle dV=r^{2}sin theta ,dr,dtheta ,dvarphi }$ so ${displaystyle V=int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta ,dvarphi =2pi int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta =4pi int _{0}^{r}r'^{2},dr' ={frac {4}{3}}pi r^{3}.}$

Proof of sphere volume, using calculus

At any given $x$ , the incremental volume ( $δV$ ) equals the product of the cross-sectional area of the disk at $x$ and its thickness ( $δx$ ):

{displaystyle delta Vapprox pi y^{2}cdot delta x.}

The total volume is the summation of all incremental volumes:

{displaystyle Vapprox sum pi y^{2}cdot delta x.}

In the limit as $δx$ approaches zero, this equation becomes:

{displaystyle V=int _{-r}^{r}pi y^{2}dx.}

At any given $x$ , a right-angled triangle connects $x$ , $y$ and $r$ to the origin; hence, applying the Pythagorean theorem yields:

{displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}

Using this substitution gives

{displaystyle V=int _{-r}^{r}pi left(r^{2}-x^{2}right)dx,}

which can be evaluated to give the result

{displaystyle V=pi left[r^{2}x-{frac {x^{3}}{3}}right]_{-r}^{r}=pi left(r^{3}-{frac {r^{3}}{3}}right)-pi left(-r^{3}+{frac {r^{3}}{3}}right)={frac {4}{3}}pi r^{3}.}

An alternative formula is found using spherical coordinates, with volume element

{displaystyle dV=r^{2}sin theta ,dr,dtheta ,dvarphi }

{displaystyle V=int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta ,dvarphi =2pi int _{0}^{pi }int _{0}^{r}r'^{2}sin theta ,dr',dtheta =4pi int _{0}^{r}r'^{2},dr' ={frac {4}{3}}pi r^{3}.}

Para fins mais práticos, o volume dentro de uma esfera inscrita em um cubo pode ser aproximado como 52,4% do volume do cubo, já que $V = π / 6 d 3$ , onde $d$ é o diâmetro da esfera e também o comprimento de um lado do cubo e $π$ /6 ≈ 0,5236. Por exemplo, uma esfera com diâmetro de 1 m tem 52,4% do volume de um cubo com comprimento de aresta 1 m, ou cerca de 0,524 m³.

Área de superfície

A área de superfície de uma esfera de raio $r$ é:

{displaystyle A=4pi r^{2}.}

Arquimedes primeiro derivou esta fórmula do fato de que a projeção à superfície lateral de um cilindro circunscrito é preservador de área. Outra abordagem para obter a fórmula vem do fato de ser igual à derivada da fórmula para o volume em relação a $r$ porque o Volume total dentro de uma esfera de raio $r$ pode ser considerado como a soma da área de superfície de um número infinito de conchas esféricas de A espessura infinitesimal empilhada concentrada dentro uma da outra do raio 0 para o raio $r$ . Na espessura infinitesimal, a discrepância entre a área da superfície interna e externa de qualquer concha é infinitesimal, e o volume elementar no raio $r$ é Simplesmente o produto da área de superfície no raio $r$ e a espessura infinitesimal.

Prova de superfície, usando cálculo
Em qualquer raio $R$ , o volume incremental ( $δV$ ) igual ao produto da área de superfície no raio $R$ ( $A (R)$ ) e a espessura de uma concha ( $δr$ : ${displaystyle delta Vapprox A(r)cdot delta r.}$ O volume total é a soma de todos os volumes do shell: $Não. Vapprox sum A(r)cdot delta r.}$ No limite como $δr$ aproxima zero esta equação torna-se: ${displaystyle V=int _{0}^{r}A(r),dr.}$ Substituto $V$ : ${displaystyle {frac {4}{3}}pi r^{3}=int _{0}^{r}A(r),dr.}$ Diferenciando ambos os lados desta equação com respeito a $R$ produção $A$ como uma função de $R$ : ${displaystyle 4pi r^{2}=A(r). ?$ Isto é geralmente abreviado como: ${displaystyle A=4pi r^{2},}$ Onde? $R$ é agora considerado o raio fixo da esfera. Alternativamente, o elemento de área na esfera é dado em coordenadas esféricas por $DA = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = R 2 pecado θ dθ dθ φ$ . Em coordenadas cartesianas, o elemento de área é $Não. dS={frac {r}{sqrt {r^{2}-{displaystyle sum _{ineq k}x_{i}^{2}}}}}prod _{ineq k}dx_{i},;forall k.}$ A área total pode assim ser obtida através da integração: $- Sim. _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }r^{2}sin theta ,dtheta ,dvarphi =4pi r^{2}.}$

Prova de superfície, usando cálculo

Em qualquer raio $R$ , o volume incremental ( $δV$ ) igual ao produto da área de superfície no raio $R$ ( $A (R)$ ) e a espessura de uma concha ( $δr$ :

{displaystyle delta Vapprox A(r)cdot delta r.}

O volume total é a soma de todos os volumes do shell:

Não. Vapprox sum A(r)cdot delta r.}

No limite como $δr$ aproxima zero esta equação torna-se:

{displaystyle V=int _{0}^{r}A(r),dr.}

Substituto $V$ :

{displaystyle {frac {4}{3}}pi r^{3}=int _{0}^{r}A(r),dr.}

Diferenciando ambos os lados desta equação com respeito a $R$ produção $A$ como uma função de $R$ :

{displaystyle 4pi r^{2}=A(r). ?

Isto é geralmente abreviado como:

{displaystyle A=4pi r^{2},}

Onde? $R$ é agora considerado o raio fixo da esfera.

Alternativamente, o elemento de área na esfera é dado em coordenadas esféricas por $DA = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = R 2 pecado θ dθ dθ φ$ . Em coordenadas cartesianas, o elemento de área é

Não. dS={frac {r}{sqrt {r^{2}-{displaystyle sum _{ineq k}x_{i}^{2}}}}}prod _{ineq k}dx_{i},;forall k.}

A área total pode assim ser obtida através da integração:

- Sim. _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }r^{2}sin theta ,dtheta ,dvarphi =4pi r^{2}.}

A esfera tem a menor área de superfície de todas as superfícies que encerram um determinado volume e encerra o maior volume entre todas as superfícies fechadas com uma determinada área de superfície. A esfera, portanto, aparece na natureza: por exemplo, bolhas e pequenas gotas de água são aproximadamente esféricas porque a tensão superficial minimiza localmente a área superficial.

A área de superfície relativa à massa de uma bola é chamada de área de superfície específica e pode ser expressa a partir das equações indicadas acima como

{displaystyle mathrm {SSA} ={frac {A}{Vrho - Sim. - Não.

onde $ρ$ é a densidade (a proporção de massa e volume).

Outras propriedades geométricas

Uma esfera pode ser construída como a superfície formada girando um círculo uma meia revolução sobre qualquer um de seus diâmetros; Isso é muito semelhante à definição tradicional de uma esfera, conforme indicado nos elementos de Euclides. Como um círculo é um tipo especial de elipse, uma esfera é um tipo especial de elipsóide de revolução. Substituindo o círculo por uma elipse girada em torno de seu eixo principal, a forma se torna um esferóide prolato; girou em torno do eixo menor, um esferóide oblato.

Uma esfera é determinada exclusivamente por quatro pontos que não são coplanares. De maneira mais geral, uma esfera é determinada exclusivamente por quatro condições, como passar por um ponto, sendo tangente a um plano etc. Essa propriedade é análoga à propriedade de que três pontos não colineares determinam um círculo exclusivo em um plano.

Consequentemente, uma esfera é determinada exclusivamente por (isto é, passa por) um círculo e um ponto não no plano desse círculo.

Examinando as soluções comuns das equações de duas esferas, pode -se observar que duas esferas se cruzam em um círculo e o plano que contém esse círculo é chamado de plano radical das esferas que se cruzam. Embora o plano radical seja um plano real, o círculo pode ser imaginário (as esferas não têm ponto real em comum) ou consistem em um único ponto (as esferas são tangentes nesse ponto).

O ângulo entre duas esferas em um ponto real de interseção é o ângulo diédrico determinado pelos planos tangentes nas esferas nesse ponto. Duas esferas se cruzam no mesmo ângulo em todos os pontos de seu círculo de cruzamento. Eles se cruzam em ângulos retos (são ortogonais) se e somente se o quadrado da distância entre seus centros for igual à soma dos quadrados de seus raios.

Lápis de esferas

se $f (x, y, z) = 0$ e $g (x, y, z) = 0$ são as equações de duas esferas distintas então

$(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

também é a equação de uma esfera para valores arbitrários dos parâmetros $s$ e estilo $t$ . O conjunto de todas as esferas que satisfazem esta equação é chamado de lápis de esferas determinado pelas duas esferas originais. Nesta definição, uma esfera pode ser um plano (raio infinito, centro no infinito) e se ambas as esferas originais forem planas, então todas as esferas do lápis serão planas, caso contrário, haverá apenas um plano (o plano radical) no lápis.

Propriedades da esfera

Em seu livro Geometria e a Imaginação, David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen descrevem onze propriedades da esfera e discutem se essas propriedades determinam exclusivamente a esfera. Várias propriedades são válidas para o plano, que pode ser considerado uma esfera com raio infinito. Essas propriedades são:

Os pontos na esfera são a mesma distância de um ponto fixo. Além disso, a proporção da distância de seus pontos de dois pontos fixos é constante.
A primeira parte é a definição usual da esfera e a determina exclusivamente. A segunda parte pode ser facilmente deduzida e segue um resultado semelhante de Apollonius de Perga para o círculo. Esta segunda parte também detém para o avião.
Os contornos e seções planas da esfera são círculos.
Esta propriedade define a esfera de forma única.
A esfera tem largura constante e girth constante.
A largura de uma superfície é a distância entre pares de planos tangentes paralelos. Numerosas outras superfícies convexas fechadas têm largura constante, por exemplo o corpo Meissner. A circunferência de uma superfície é a circunferência do limite de sua projeção ortogonal em um avião. Cada uma dessas propriedades implica a outra.
Todos os pontos de uma esfera são umbilics.
Em qualquer ponto em uma superfície uma direção normal está em ângulos retos para a superfície porque na esfera estas são as linhas que irradiam para fora do centro da esfera. A interseção de um avião que contém o normal com a superfície formará uma curva que é chamada de secção normal, e a curvatura desta curva é a curvatura normal. Para a maioria dos pontos na maioria das superfícies, diferentes seções terão curvaturas diferentes; os valores máximos e mínimos destes são chamados de curvaturas principais. Qualquer superfície fechada terá pelo menos quatro pontos chamados pontos umbilísticos. Em um umbilic todas as curvaturas seccionais são iguais; em particular as curvaturas principais são iguais. Os pontos umbilical podem ser considerados como os pontos em que a superfície é estreitamente aproximada por uma esfera.
Para a esfera as curvaturas de todas as seções normais são iguais, então cada ponto é umbilic. A esfera e o plano são as únicas superfícies com esta propriedade.
A esfera não tem uma superfície de centros.
Para uma dada seção normal existe um círculo de curvatura que é igual à curvatura seccional, é tangente à superfície, e as linhas centrais das quais estão ao longo da linha normal. Por exemplo, os dois centros correspondentes às curvaturas seccionais máximas e mínimas são chamados de pontos focais, e o conjunto de todos esses centros forma a superfície focal.
Para a maioria das superfícies a superfície focal forma duas folhas que são cada uma uma superfície e se encontram em pontos umbilical. Vários casos são especiais:
* Para superfícies de canal uma folha forma uma curva e a outra folha é uma superfície
* Para cones, cilindros, tori e cicloides ambas as folhas formam curvas.
* Para a esfera o centro de cada círculo oscilante está no centro da esfera e a superfície focal forma um único ponto. Esta propriedade é única para a esfera.
Todas as geodésicas da esfera são curvas fechadas.
Geodésicas são curvas em uma superfície que dão a menor distância entre dois pontos. Eles são uma generalização do conceito de uma linha reta no avião. Para a esfera a geodésica são grandes círculos. Muitas outras superfícies compartilham esta propriedade.
De todos os sólidos com um determinado volume, a esfera é a que tem a menor área de superfície; de todos os sólidos com uma dada área de superfície, a esfera é a que tem o maior volume.
Segue-se da desigualdade isoperimétrica. Essas propriedades definem a esfera de forma única e podem ser vistas em bolhas de sabão: uma bolha de sabão irá fechar um volume fixo, e a tensão superficial minimiza sua área de superfície para esse volume. Uma bolha de sabão flutuante, portanto, aproxima uma esfera (embora tais forças externas como a gravidade distorçam ligeiramente a forma da bolha). Também pode ser visto em planetas e estrelas onde a gravidade minimiza a área de superfície para grandes corpos celestes.
A esfera tem a menor curvatura média total entre todos os sólidos convexos com uma determinada área de superfície.
A curvatura média é a média das duas principais curvaturas, que é constante porque as duas principais curvaturas são constantes em todos os pontos da esfera.
A esfera tem curvatura média constante.
A esfera é a única superfície imbedida que carece de limites ou singularidades com constante curvatura média positiva. Outras superfícies imersas como superfícies mínimas têm curvatura média constante.
A esfera tem constante curvatura gaussiana positiva.
A curvatura gaussiana é o produto das duas principais curvaturas. É uma propriedade intrínseca que pode ser determinada medindo comprimento e ângulos e é independente de como a superfície é incorporada no espaço. Assim, dobrar uma superfície não alterará a curvatura gaussiana, e outras superfícies com curvatura gaussiana positiva constante pode ser obtida cortando uma pequena fenda na esfera e dobrando-a. Todas essas outras superfícies teriam limites, e a esfera é a única superfície que falta um limite com curvatura Gaussiana constante e positiva. A pseudosfera é um exemplo de uma superfície com curvatura Gaussiana negativa constante.
A esfera é transformada em si mesmo por uma família de três parâmetros de movimentos rígidos.
Rodando em torno de qualquer eixo, uma esfera unitária na origem irá mapear a esfera para si mesmo. Qualquer rotação sobre uma linha através da origem pode ser expressa como uma combinação de rotações em torno do eixo de três coordenadas (ver ângulos Euler). Portanto, existe uma família de rotação de três parâmetros, de tal forma que cada rotação transforma a esfera em si mesma; esta família é o grupo de rotação SO(3). O avião é a única outra superfície com uma família de três parâmetros de transformações (traduções ao longo dos $x$ - e $Sim.$ - eixos e rotações em torno da origem). Os cilindros circulares são as únicas superfícies com famílias de dois parâmetros de movimentos rígidos e as superfícies da revolução e dos helicoides são as únicas superfícies com uma família de um parâmetro.

Tratamento por área da matemática

Geometria esférica

Os elementos básicos da geometria plana euclidiana são pontos e retas. Na esfera, os pontos são definidos no sentido usual. O análogo da "linha" é a geodésica, que é um círculo máximo; a característica definidora de um círculo máximo é que o plano que contém todos os seus pontos também passa pelo centro da esfera. A medição pelo comprimento do arco mostra que o caminho mais curto entre dois pontos situados na esfera é o segmento mais curto do grande círculo que inclui os pontos.

Muitos teoremas da geometria clássica também são válidos para a geometria esférica, mas nem todos o são porque a esfera não satisfaz alguns dos postulados da geometria clássica, incluindo o postulado das paralelas. Na trigonometria esférica, os ângulos são definidos entre círculos máximos. A trigonometria esférica difere da trigonometria comum em muitos aspectos. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico sempre excede 180 graus. Além disso, quaisquer dois triângulos esféricos semelhantes são congruentes.

Qualquer par de pontos em uma esfera que esteja em linha reta através do centro da esfera (ou seja, o diâmetro) são chamados de pontos antípodas - na esfera, a distância entre eles é exatamente metade do comprimento da circunferência. Qualquer outro par (ou seja, não antípoda) de pontos distintos em uma esfera

mente em um grande círculo único,
segmentá-lo em um menor (ou seja, mais curto) e um maior (ou seja, mais longo) arco, e
ter o comprimento do arco menor ser o distância mais curta entre eles na esfera.

A geometria esférica é uma forma de geometria elíptica que, juntamente com a geometria hiperbólica, constitui a geometria não-euclidiana.

Geometria diferencial

A esfera é uma superfície lisa com curvatura gaussiana constante em cada ponto igual a $1/ r 2$ . De acordo com o Teorema Egregium de Gauss, esta curvatura é independente da incorporação da esfera no espaço tridimensional. Seguindo também Gauss, uma esfera não pode ser mapeada em um plano mantendo áreas e ângulos. Portanto, qualquer projeção cartográfica introduz alguma forma de distorção.

Uma esfera de raio $R$ tem elemento de área ${displaystyle dA=r^{2}in theta ,dtheta ,dvarphi }$ . Isso pode ser encontrado a partir do elemento de volume em coordenadas esféricas com $R$ constante.

Uma esfera de qualquer raio centrada em zero é uma superfície integral da seguinte forma diferencial:

${displaystyle x,dx+y,dy+z,dz=0.}$

Esta equação reflete que o vetor posição e o plano tangente em um ponto são sempre ortogonais entre si. Além disso, o vetor normal voltado para fora é igual ao vetor de posição dimensionado por $1/r$ .

Na geometria Riemanniana, a conjectura da área de preenchimento afirma que o hemisfério é o preenchimento isométrico ideal (menor área) do círculo Riemanniano.

Topologia

Notavelmente, é possível virar uma esfera comum do avesso em um espaço tridimensional com possíveis auto-interseções, mas sem criar vincos, em um processo chamado eversão da esfera.

O quociente antípoda da esfera é a superfície chamada de plano projetivo real, que também pode ser pensado como o Hemisfério Norte com pontos antípodas do equador identificados.

Curvas em uma esfera

Círculos

Os círculos na esfera são, como os círculos no plano, compostos por todos os pontos a uma certa distância de um ponto fixo na esfera. A interseção de uma esfera e um plano é um círculo, um ponto ou um vazio. Os grandes círculos são a intersecção da esfera com um plano que passa pelo centro de uma esfera: outros são chamados de pequenos círculos.

Superfícies mais complicadas também podem cruzar uma esfera em círculos: a intersecção de uma esfera com uma superfície de revolução cujo eixo contém o centro da esfera (são coaxiais) consiste em círculos e/ou pontos se não estiver vazio. Por exemplo, o diagrama à direita mostra a intersecção de uma esfera e um cilindro, que consiste em dois círculos. Se o raio do cilindro fosse o da esfera, a intersecção seria um único círculo. Se o raio do cilindro fosse maior que o da esfera, a interseção estaria vazia.

Loxódromo

Na navegação, uma linha de rumo ou loxódromo é um arco que cruza todos os meridianos de longitude no mesmo ângulo. Loxódromos são iguais às linhas retas na projeção de Mercator. Uma linha de rumo não é uma espiral esférica. Exceto em alguns casos simples, a fórmula de uma linha de rumo é complicada.

Curvas de Clélia

Uma curva de Clelia é uma curva em uma esfera para a qual a longitude $- Sim.$ e a colatitude $- Sim.$ satisfazer a equação

${displaystyle varphi =c;thetaquad C>0$ .

Casos especiais são: curva de Viviani ( $Não.$ ) e espirais esféricas ( $Não.$ ) como a espiral de Seiffert. As curvas de Clelia aproximam o caminho dos satélites em órbita polar.

Cônicas esféricas

O análogo de uma seção cônica na esfera é uma cônica esférica, uma curva quártica que pode ser definida de várias maneiras equivalentes, incluindo:

como a interseção de uma esfera com um cone quadrático cujo vértice é o centro da esfera;
como a interseção de uma esfera com um cilindro elíptico ou hiperbólico cujo eixo passa pelo centro da esfera;
como o locus de pontos cuja soma ou diferença de grandes distâncias de círculo de um par de foci é uma constante.

Muitos teoremas relacionados às seções cônicas planas também se estendem às cônicas esféricas.

Intersecção de uma esfera com uma superfície mais geral

Se uma esfera for interceptada por outra superfície, poderá haver curvas esféricas mais complicadas.

Exemplo: esfera – cilindro

A interseção da esfera com equação ${displaystyle ;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2};}$ e o cilindro com equação ${displaystyle ;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},;y_{0}neq Não.$ não é apenas um ou dois círculos. É a solução do sistema não linear de equações

$Não. x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}$

$(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0.}$

(ver curva implícita e o diagrama)

Generalizações

Elipsóides

Um elipsóide é uma esfera que foi esticada ou comprimida em uma ou mais direções. Mais exatamente, é a imagem de uma esfera sob uma transformação afim. Um elipsóide tem a mesma relação com a esfera que uma elipse tem com um círculo.

Dimensionalidade

As esferas podem ser generalizadas para espaços de qualquer número de dimensões. Para qualquer número natural $n$ , um $n$ -esfera, geralmente denotada como $S n$ , é o conjunto de pontos em ( $n + Espaço euclidiano 1$ )-dimensional que estão a uma distância fixa $r$ de um ponto central desse espaço, onde $r$ é, como antes, um número real positivo. Em particular:

$S 0$ : uma esfera de 0 consiste em dois pontos discretos, $- Sim. R$ e $R$
$S 1$ : uma esfera 1 é um círculo de raio R
$S 2$ : uma esfera 2 é uma esfera comum
$S 3$ : uma esfera 3 é uma esfera em espaço Euclidiano 4-dimensional.

Esferas para $n > 2$ às vezes são chamadas de hiperesferas.

A $n$ -esfera de raio unitário centrado na origem é denotada como $S n$ e é frequentemente referido como "o" $n$ -esfera. A esfera comum é uma esfera bidimensional, porque é uma superfície bidimensional que está embutida no espaço tridimensional.

Na topologia, a $n$ -esfera é um exemplo de variedade topológica compacta sem limites. Uma esfera topológica não precisa ser lisa; se for suave, não precisa ser difeomorfo à esfera euclidiana (uma esfera exótica).

A esfera é a imagem inversa de um ponto definido sob a função contínua $‖ x ‖$ , então está fechado; $S n$ também é limitado, portanto é compacto pelo teorema de Heine–Borel.

Espaços métricos

De forma mais geral, em um espaço métrico $(E, d)$ , a esfera do centro $x$ e raio $r > 0$ é o conjunto de pontos $y$ tais que $d (x, y) = r$ .

Se o centro for um ponto distinto que é considerado a origem de $E$ , como em um espaço normado, ele não é mencionado na definição e notação. O mesmo se aplica ao raio se for considerado igual a um, como no caso de uma esfera unitária.

Ao contrário de uma bola, mesmo uma esfera grande pode ser um conjunto vazio. Por exemplo, em $Z n$ com métrica euclidiana, uma esfera de raio $r$ não é vazio somente se $r 2$ puder ser escrito como a soma de $n$ quadrados de números inteiros.

Um octaedro é uma esfera na geometria do táxi, e um cubo é uma esfera na geometria usando a distância de Chebyshev.

Histórico

A geometria da esfera foi estudada pelos gregos. Os Elementos de Euclides definem a esfera no livro XI, discutem várias propriedades da esfera no livro XII e mostram como inscrever os cinco poliedros regulares dentro de uma esfera no livro XIII. Euclides não inclui a área e o volume de uma esfera, apenas um teorema de que o volume de uma esfera varia como a terceira potência do seu diâmetro, provavelmente devido a Eudoxo de Cnido. As fórmulas de volume e área foram determinadas pela primeira vez em Sobre a Esfera e o Cilindro de Arquimedes pelo método de exaustão. Zenodoro foi o primeiro a afirmar que, para uma determinada área superficial, a esfera é o sólido de volume máximo.

Arquimedes escreveu sobre o problema de dividir uma esfera em segmentos cujos volumes estão em uma determinada proporção, mas não o resolveu. Uma solução por meio da parábola e da hipérbole foi dada por Dionísodoro. Um problema semelhante - construir um segmento igual em volume a um determinado segmento e em superfície a outro segmento - foi resolvido mais tarde por al-Quhi.

Galeria

$An image of one of the most accurate human-made spheres, as it refracts the image of Einstein in the background. This sphere was a fused quartz gyroscope for the Gravity Probe B experiment, and differs in shape from a perfect sphere by no more than 40 atoms (less than 10 nm) of thickness. It was announced on 1 July 2008 that Australian scientists had created even more nearly perfect spheres, accurate to 0.3 nm, as part of an international hunt to find a new global standard kilogram.[20]$
Uma imagem de uma das esferas mais precisas, como refrata a imagem de Einstein no fundo. Esta esfera foi um giroscópio de quartzo fundido para o experimento Gravity Probe B, e difere em forma de uma esfera perfeita por não mais de 40 átomos (menos de 10nm) de espessura. Foi anunciado em 1 de julho de 2008 que os cientistas australianos tinham criado esferas ainda mais quase perfeitas, precisas para 0.3nm, como parte de uma caça internacional para encontrar um novo quilograma padrão global.
Deck de cartas de jogo ilustrando instrumentos de engenharia, Inglaterra, 1702. Rei das espadas: Esferas

Regiões

Hemisfério
Tampa esférica
Luna esférica
Polígono esférico
Sector esférico
Segmento esférico
cunha esférica
Zona esférica

Notas e referências

Notas

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