Erlang (unidade)

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Medida de carga nas telecomunicações

O erlang (símbolo E) é uma unidade adimensional que é usada na telefonia como uma medida de carga oferecida ou carregada em elementos de fornecimento de serviço, como circuitos telefônicos ou equipamento de comutação telefónica. Um único circuito de cordão tem capacidade para ser usado por 60 minutos em uma hora. A utilização total dessa capacidade, 60 minutos de tráfego, constitui 1 erlang.

O tráfego transportado em erlangs é o número médio de chamadas simultâneas medidas em um determinado período (geralmente uma hora), enquanto o tráfego oferecido é o tráfego que seria transportado se todas as tentativas de chamada fossem bem-sucedidas. A quantidade de tráfego oferecido será transportada na prática dependerá do que acontece com as chamadas não atendidas quando todos os servidores estão ocupados.

O CCITT nomeou a unidade internacional de tráfego telefônico de erlang em 1946 em homenagem a Agner Krarup Erlang. Na análise de Erlang sobre o uso eficiente da linha telefônica, ele derivou as fórmulas para dois casos importantes, Erlang-B e Erlang-C, que se tornaram resultados fundamentais na engenharia de teletráfego e na teoria das filas. Seus resultados, usados até hoje, relacionam a qualidade do serviço ao número de servidores disponíveis. Ambas as fórmulas consideram a carga oferecida como uma de suas principais entradas (em erlangs), que geralmente é expressa como taxa de chegada de chamada vezes duração média da chamada.

Uma suposição distinta por trás da fórmula Erlang B é que não há fila, de modo que, se todos os elementos de serviço já estiverem em uso, uma chamada recém-chegada será bloqueada e subsequentemente perdida. A fórmula dá a probabilidade de isso ocorrer. Em contraste, a fórmula Erlang C prevê a possibilidade de uma fila ilimitada e dá a probabilidade de que uma nova chamada precise aguardar na fila devido a todos os servidores estarem em uso. As fórmulas de Erlang se aplicam amplamente, mas podem falhar quando o congestionamento é especialmente alto, fazendo com que o tráfego malsucedido tente repetidamente. Uma maneira de contabilizar novas tentativas quando nenhuma fila está disponível é o método Extended Erlang B.

Medições de tráfego de um circuito telefônico

Quando usado para representar tráfego transportado, um valor (que pode ser um número não inteiro como 43,5) seguido de “erlangs” representa o número médio de chamadas simultâneas transportadas pelos circuitos (ou outros elementos de prestação de serviços), onde essa média é calculada durante um período de tempo razoável. O período durante o qual a média é calculada geralmente é de uma hora, mas períodos mais curtos (por exemplo, 15 minutos) podem ser usados quando se sabe que há curtos surtos de demanda e se deseja uma medição de tráfego que não mascare esses surtos. Um erlang de tráfego transportado refere-se a um único recurso em uso contínuo, ou dois canais, cada um em uso cinquenta por cento do tempo, e assim por diante. Por exemplo, se um escritório tem duas operadoras de telefonia que estão ocupadas o tempo todo, isso representaria dois erlangs (2 E) de tráfego; ou um canal de rádio ocupado continuamente durante o período de interesse (por exemplo, uma hora) é dito ter uma carga de 1 erlang.

Quando usado para descrever o tráfego oferecido, um valor seguido de “erlangs” representa o número médio de chamadas simultâneas que seriam transportadas se houvesse um número ilimitado de circuitos (ou seja, se o tentativas de chamada feitas quando todos os circuitos estavam em uso não foram rejeitadas). A relação entre o tráfego oferecido e o tráfego transportado depende do design do sistema e do comportamento do usuário. Três modelos comuns são (a) os chamadores cujas tentativas de chamada são rejeitadas vão embora e nunca mais voltam, (b) os chamadores cujas tentativas de chamada são rejeitadas tentam novamente em um espaço de tempo bastante curto e (c) o sistema permite que os usuários esperar na fila até que um circuito fique disponível.

Uma terceira medida de tráfego é o tráfego instantâneo, expresso como um certo número de erlangs, significando o número exato de chamadas ocorrendo em um determinado momento. Neste caso, o número é um inteiro. Dispositivos de registro de nível de tráfego, como gravadores de caneta móvel, plotam o tráfego instantâneo.

Análise de Erlang

Os conceitos e a matemática introduzidos por Agner Krarup Erlang têm ampla aplicabilidade além da telefonia. Aplicam-se sempre que os utentes chegam mais ou menos ao acaso para receber atendimento exclusivo de qualquer um de um grupo de elementos prestadores de serviços sem reserva prévia, por exemplo, quando os elementos prestadores de serviços são balcões de venda de bilhetes, casas de banho de avião ou quartos de motel. (Os modelos de Erlang não se aplicam onde os elementos de fornecimento de serviço são compartilhados entre vários usuários simultâneos ou diferentes quantidades de serviço são consumidas por diferentes usuários, por exemplo, em circuitos que transportam tráfego de dados.)

O objetivo da teoria de tráfego de Erlang é determinar exatamente quantos elementos de fornecimento de serviço devem ser fornecidos para satisfazer os usuários, sem desperdício de provisionamento excessivo. Para fazer isso, uma meta é definida para o grau de serviço (GoS) ou qualidade de serviço (QoS). Por exemplo, em um sistema onde não há filas, o GoS pode ser que não mais do que 1 chamada em 100 seja bloqueada (ou seja, rejeitada) devido a todos os circuitos estarem em uso (um GoS de 0,01), que se torna a probabilidade alvo de bloqueio de chamadas, P_b, ao usar a fórmula Erlang B.

Existem várias fórmulas resultantes, incluindo Erlang B, Erlang C e a fórmula Engset relacionada, com base em diferentes modelos de comportamento do usuário e operação do sistema. Cada uma delas pode ser derivada por meio de um caso especial de processos de Markov de tempo contínuo, conhecido como processo de nascimento-morte. O método Extended Erlang B mais recente fornece uma solução de tráfego adicional que se baseia nos resultados de Erlang.

Cálculo do tráfego oferecido

O tráfego oferecido (em erlangs) está relacionado à taxa de chegada de chamadas, λ e ao tempo médio de espera de chamadas (o tempo médio hora de uma chamada telefônica), h, por:

E=lambda h

desde que h e λ sejam expressos usando as mesmas unidades de tempo (segundos e chamadas por segundo, ou minutos e chamadas por minuto).

A medição prática do tráfego é normalmente baseada em observações contínuas durante vários dias ou semanas, durante as quais o tráfego instantâneo é registrado em intervalos curtos e regulares (como a cada poucos segundos). Essas medições são usadas para calcular um único resultado, geralmente o tráfego no horário de pico (em erlangs). Este é o número médio de chamadas simultâneas durante um determinado período de uma hora do dia, em que esse período é selecionado para fornecer o resultado mais alto. (Esse resultado é chamado de tráfego de horário de pico consistente com o tempo). Uma alternativa é calcular um valor de tráfego no horário de pico separadamente para cada dia (que pode corresponder a horários ligeiramente diferentes a cada dia) e tirar a média desses valores. Isso geralmente fornece um valor um pouco mais alto do que o valor de horário de pico consistente com o tempo.

Caso o tráfego de transporte existente em horário de pico, E_c, seja medido em um sistema já sobrecarregado, com um nível significativo de bloqueio, é necessário levar em consideração das chamadas bloqueadas na estimativa do tráfego oferecido no horário de pico E_o (que é o valor do tráfego a ser usado nas fórmulas Erlang). O tráfego oferecido pode ser estimado por E_o = E_c/(1 − P_b). Para este efeito, onde o sistema inclui um meio de contagem de chamadas bloqueadas e chamadas bem-sucedidas, P_b pode ser estimado diretamente a partir da proporção de chamadas bloqueadas. Caso contrário, P_b pode ser estimado usando E_c no lugar de E_o na fórmula Erlang e a estimativa resultante de P_b pode então ser usada em E_o = E_c/(1 − P_b) para fornecer uma primeira estimativa de E_o.

Outro método de estimar E_o em um sistema sobrecarregado é medir a taxa de chegada de chamadas no horário de pico, λ (contando as chamadas bem-sucedidas e chamadas bloqueadas) e o tempo médio de retenção de chamadas (para chamadas bem-sucedidas), h, e então estime E_o usando a fórmula E = λh.

Para uma situação em que o tráfego a ser tratado é um tráfego completamente novo, a única opção é tentar modelar o comportamento esperado do usuário. Por exemplo, pode-se estimar a população de usuários ativos, N, nível esperado de uso, U (número de chamadas/transações por usuário por dia), fator de concentração em horário de pico, C (proporção da atividade diária que cairá na hora de maior movimento), e tempo médio de espera/tempo de atendimento, h (expresso em minutos). Uma projeção do tráfego oferecido no horário de pico seria E_o = NUC/60h erlangs. (A divisão por 60 traduz a taxa de chegada de chamadas/transações no horário de pico em um valor por minuto, para corresponder às unidades nas quais h é expresso.)

Fórmula Erlang B

A fórmula de Erlang B (ou Erlang-B com hífen), também conhecida como fórmula de perda de Erlang, é uma fórmula para a probabilidade de bloqueio que descreve a probabilidade de perda de chamadas para um grupo de recursos paralelos idênticos (linhas telefônicas, circuitos, canais de tráfego ou equivalentes), às vezes chamada de fila M/M/c/c. É utilizado, por exemplo, para dimensionar os enlaces de uma rede telefônica. A fórmula foi derivada por Agner Krarup Erlang e não se limita a redes telefônicas, pois descreve uma probabilidade em um sistema de filas (embora seja um caso especial com vários servidores, mas sem espaço na fila para chamadas recebidas para aguardar um servidor gratuito). Portanto, a fórmula também é usada em certos sistemas de estoque com vendas perdidas.

A fórmula se aplica sob a condição de que uma chamada malsucedida, porque a linha está ocupada, não é colocada na fila ou tentada novamente, mas realmente desaparece para sempre. Assume-se que as tentativas de chamada chegam seguindo um processo de Poisson, então os instantes de chegada da chamada são independentes. Além disso, assume-se que os comprimentos das mensagens (tempos de retenção) são distribuídos exponencialmente (sistema Markoviano), embora a fórmula se aplique a distribuições gerais de tempo de retenção.

A fórmula Erlang B assume uma população infinita de fontes (como assinantes de telefone), que juntas oferecem tráfego para N servidores (como linhas telefônicas). A taxa que expressa a frequência de chegada de novas chamadas, λ, (taxa de natalidade, intensidade de tráfego, etc.) é constante e não depende do número de fontes ativas. O número total de fontes é considerado infinito. A fórmula Erlang B calcula a probabilidade de bloqueio de um sistema de perda sem buffer, onde uma requisição que não é atendida imediatamente é abortada, fazendo com que nenhuma requisição seja enfileirada. O bloqueio ocorre quando uma nova solicitação chega em um momento em que todos os servidores disponíveis estão ocupados no momento. A fórmula também assume que o tráfego bloqueado é limpo e não retorna.

A fórmula fornece o GoS (grau de serviço), que é a probabilidade P_b de que uma nova chamada chegando ao grupo de recursos seja rejeitada porque todos os recursos (servidores, linhas, circuitos) estão ocupados: B(E, m) onde E é o tráfego total oferecido em erlang, oferecido a m recursos paralelos idênticos (servidores, canais de comunicação, vias de tráfego).

P_{b}=B(E,m)={frac {{frac {E^{m}}{m!}}}{sum _{{i=0}}^{m}{frac {E^{i}}{i!}}}}

onde:

$P_{b}$ é a probabilidade de bloqueio
m é o número de recursos paralelos idênticos, como servidores, linhas telefônicas, etc.
E = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = λh é a carga de entrada normalizada (tráfego comercial declarado em erlang).

Observação: erlang é uma unidade de carga adimensional calculada como a taxa média de chegada, λ, multiplicada pelo tempo médio de retenção da chamada, h. Veja a lei de Little para provar que a unidade erlang tem que ser adimensional para que a lei de Little seja dimensionalmente sã.

Isso pode ser expresso recursivamente da seguinte forma, em uma forma que é usada para simplificar o cálculo de tabelas da fórmula Erlang B:

B(E,0)=1.,

B(E,j)={frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}} forall {j}=1,2,ldotsm.

Normalmente, em vez de B(E, m) o inverso 1/B( E, m) é calculado em computação numérica para garantir a estabilidade numérica:

{frac {1}{B(E,0)}}=1

{frac {1}{B(E,j)}}=1+{frac {j}{E}}{frac {1}{B(E,j-1)}} forall {j}=1,2,ldotsm.

Função ErlangB (E Como Duplo, m Como Integer) Como Duplo Dim InvB Como Duplo Dim JJ Como Integer InvB = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1.0. Para JJ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 Para m InvB = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1.0. + InvB * JJ / E  Próximo JJ ErlangB = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1.0. / InvBFim Função

ou uma versão do Python

de erlang_b(E, m: Inv_b = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1.0. para JJ em gama(1,m+1: Inv_b = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1.0. + Inv_b * JJ / E retorno 1.0. / Inv_b

A fórmula Erlang B é decrescente e convexa em m. Requer que as chegadas de chamadas possam ser modeladas por um processo de Poisson, o que nem sempre é uma boa correspondência, mas é válido para qualquer distribuição estatística de tempos de retenção de chamadas com uma média finita. Aplica-se a sistemas de transmissão de tráfego que não armazenam tráfego em buffer. Exemplos mais modernos em comparação com POTS onde Erlang B ainda é aplicável, são comutação de rajada óptica (OBS) e várias abordagens atuais para comutação de pacotes ópticos (OPS). O Erlang B foi desenvolvido como uma ferramenta de dimensionamento de troncos para redes telefônicas com tempos de espera na faixa de minutos, mas por ser uma equação matemática se aplica em qualquer escala de tempo.

Erlang B estendido

Estendido Erlang B difere dos pressupostos Erlang-B clássicos, permitindo que uma proporção de chamadas bloqueadas tente novamente, causando um aumento no tráfego oferecido do nível de base inicial. É um cálculo iterativo em vez de uma fórmula e adiciona um parâmetro extra, o fator de recall $R_{f}$ , que define as tentativas de recall.

Os passos no processo são os seguintes. Começa na iteração $k=0$ com um nível de base inicial conhecido de tráfego $E_{0}$ , que é sucessivamente ajustado para calcular uma sequência de novos valores de tráfego oferecidos ${displaystyle E_{k+1}}$ , cada um dos quais responde aos recalls decorrentes do tráfego previamente calculado oferecido $E_{k}$ .

1. Calcule a probabilidade de um chamador ser bloqueado em sua primeira tentativa

{displaystyle P_{b}=B(E_{k},m),}

como acima para Erlang B.

2. Calcule o número provável de chamadas bloqueadas

{displaystyle B_{e}=E_{k}P_{b},}

3. Calcule o número de recalls, $R$ , assumindo um fator recall fixo, $R_{f}$ ,

R=B_{e}R_{f},

4. Calcule o novo tráfego oferecido

{displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R,}

Onde? $E_{0}$ é o nível inicial (baseline) de tráfego.

5. Retornar ao passo 1, substituindo ${displaystyle E_{k+1}}$ para $E_{k}$ , e iterar até um valor estável de $E$ é obtido.

Uma vez que um valor satisfatório $E$ foi encontrado, a probabilidade de bloqueio $P_{b}$ e o fator de recall pode ser usado para calcular a probabilidade de que todas as tentativas de um chamador são perdidas, não apenas sua primeira chamada, mas também qualquer retries subsequentes.

Fórmula Erlang C

O Fórmula de Erlang C expressa a probabilidade de que um cliente que chega precise de fila (ao contrário de ser imediatamente servido). Assim como a fórmula Erlang B, Erlang C assume uma população infinita de fontes, que em conjunto oferecem tráfego de $E$ erlangs to $m$ servidores. No entanto, se todos os servidores estão ocupados quando um pedido chega de uma fonte, o pedido é solicitado. Um número ilimitado de pedidos pode ser realizado na fila desta forma simultaneamente. Esta fórmula calcula a probabilidade de filar tráfego oferecido, assumindo que as chamadas bloqueadas permanecem no sistema até que possam ser tratadas. Esta fórmula é usada para determinar o número de agentes ou representantes de atendimento ao cliente necessários para a equipe de um call center, para uma probabilidade desejada especificada de fila. No entanto, a fórmula Erlang C assume que os callers nunca desligar enquanto na fila, o que faz a fórmula prever que mais agentes devem ser usados do que são realmente necessários para manter um nível de serviço desejado.

{displaystyle P_{w}={{{frac {E^{m}}{m!}}{frac {m}{m-E}}} over left(sum limits _{i=0}^{m-1}{frac {E^{i}}{i!}}right)+{frac {E^{m}}{m!}}{frac {m}{m-E}}},}

onde:

$E$ é o tráfego total oferecido em unidades de erlangs
$m$ é o número de servidores
$P_{w}$ é a probabilidade de um cliente ter que esperar pelo serviço.

Assume-se que as chegadas de chamadas podem ser modeladas por um processo de Poisson e que os tempos de retenção de chamadas são descritos por uma distribuição exponencial.

Limitações da fórmula Erlang

Quando Erlang desenvolveu as equações de tráfego Erlang-B e Erlang-C, elas foram desenvolvidas com base em um conjunto de suposições. Essas suposições são precisas na maioria das condições; no entanto, no caso de congestionamento de tráfego extremamente alto, as equações de Erlang falham em prever com precisão o número correto de circuitos necessários devido ao tráfego reentrante. Isso é chamado de sistema de alta perda, onde o congestionamento gera mais congestionamento nos horários de pico. Em tais casos, primeiro é necessário que muitos circuitos adicionais sejam disponibilizados para que a alta perda possa ser aliviada. Uma vez que esta ação foi tomada, o congestionamento retornará a níveis razoáveis e as equações de Erlang podem então ser usadas para determinar exatamente quantos circuitos são realmente necessários.

Um exemplo de instância que causaria o desenvolvimento de um sistema de alta perda seria se um anúncio baseado na TV anunciasse um determinado número de telefone para ligar em um horário específico. Nesse caso, um grande número de pessoas ligaria simultaneamente para o número fornecido. Se o provedor de serviços não atendeu a esse pico repentino de demanda, o congestionamento extremo do tráfego se desenvolverá e as equações de Erlang não poderão ser usadas.

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