Equações de Fresnel

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Equações de transmissão de luz e reflexão

Transmissão parcial e reflexão de um pulso que viaja de um baixo para um alto meio de índice de refração.

Na incidência de quase gravidade, as interfaces de mídia parecem espelhadas especialmente devido à reflexão do S polarização, apesar de ser pobre refletores na incidência normal. Óculos de sol polarizados bloqueiam o S polarização, reduzindo muito o brilho das superfícies horizontais.

As equações de Fresnel (ou coeficientes de Fresnel) descrevem a reflexão e a transmissão da luz (ou radiação eletromagnética em geral) quando incidente em uma interface entre diferentes meios ópticos. Eles foram deduzidos por Augustin-Jean Fresnel () que foi o primeiro a entender que a luz é uma onda transversal, embora ninguém tenha percebido que as "vibrações" da onda eram campos elétricos e magnéticos. Pela primeira vez, a polarização pode ser entendida quantitativamente, pois as equações de Fresnel previram corretamente o comportamento diferente das ondas das polarizações s e p incidentes sobre uma interface material.

Visão geral

Quando a luz atinge a interface entre um meio com índice de refração n₁ e um segundo meio com índice de refração n₂, tanto a reflexão quanto a refração da luz podem ocorrer. As equações de Fresnel fornecem a razão entre o campo elétrico da onda refletida e o campo elétrico da onda incidente, e a razão entre a onda transmitida;s campo elétrico para o campo elétrico da onda incidente, para cada um dos dois componentes de polarização. (Os campos magnéticos também podem ser relacionados usando coeficientes semelhantes.) Essas proporções são geralmente complexas, descrevendo não apenas as amplitudes relativas, mas também as mudanças de fase na interface.

As equações assumem que a interface entre os meios é plana e que os meios são homogêneos e isotrópicos. A luz incidente é assumida como uma onda plana, o que é suficiente para resolver qualquer problema, pois qualquer campo de luz incidente pode ser decomposto em ondas planas e polarizações.

Polarizações S e P

O plano de incidência é definido pelo vetor de propagação da radiação recebida e pelo vetor normal da superfície.

Existem dois conjuntos de coeficientes de Fresnel para dois componentes de polarização linear diferentes da onda incidente. Como qualquer estado de polarização pode ser resolvido em uma combinação de duas polarizações lineares ortogonais, isso é suficiente para qualquer problema. Da mesma forma, a luz não polarizada (ou "polarizada aleatoriamente") tem uma quantidade igual de energia em cada uma das duas polarizações lineares.

A polarização s refere-se à polarização do campo elétrico de uma onda normal ao plano de incidência (o $z$ na derivação abaixo); então o campo magnético está dentro do plano de incidência. A polarização p refere-se à polarização do campo elétrico no plano de incidência (o plano $xy$ no a derivação abaixo); então o campo magnético é normal ao plano de incidência.

Embora a reflexão e a transmissão dependam da polarização, na incidência normal (θ = 0) não há distinção entre eles, então todos os estados de polarização são governados por um único conjunto de coeficientes de Fresnel (e outro caso especial é mencionado abaixo em que isso é verdade).

Reflexão de potência (intensidade) e coeficientes de transmissão

Variáveis utilizadas nas equações de Fresnel

Coeficientes de energia: ar a vidro

Coeficientes de energia: vidro ao ar

No diagrama à direita, uma onda plana incidente na direção do raio IO atinge a interface entre dois meios de índices de refração n₁ e n₂ no ponto O. Parte da onda é refletida na direção OR e parte refratada na direção OT. Os ângulos que os raios incidente, refletido e refratado fazem com a normal da interface são dados como θ_i, θ_r e θ_t, respectivamente.

A relação entre esses ângulos é dada pela lei da reflexão:

{displaystyle theta _{mathrm {i} }=theta _{mathrm {r} },}

e a lei de Snell:

{displaystyle n_{1}sin theta _{mathrm {i} }=n_{2}sin theta _{mathrm {t} }.}

O comportamento da luz que atinge a interface é resolvido considerando os campos elétrico e magnético que constituem uma onda eletromagnética e as leis do eletromagnetismo, conforme mostrado abaixo. A proporção de ondas' as amplitudes do campo elétrico (ou campo magnético) são obtidas, mas na prática é mais comum o interesse em fórmulas que determinam coeficientes de potência, já que potência (ou irradiância) é o que pode ser medido diretamente em frequências ópticas. A potência de uma onda é geralmente proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico (ou magnético).

Chamamos a fração da potência incidente que é refletida da interface de refletância (ou refletividade, ou coeficiente de reflexão de potência) R, e a fração que é refratada no segundo meio é chamada de transmitância (ou transmissividade, ou coeficiente de transmissão de energia) T . Observe que isso é o que seria medido em cada lado de uma interface e não considera a atenuação de uma onda em um meio absorvente seguindo a transmissão ou reflexão.

A refletância para luz s-polarizada é

{displaystyle R_{mathrm {s} }=left|{frac {Z_{2}cos theta _{mathrm {i} }-Z_{1}cos theta _{mathrm {t} }}{Z_{2}cos theta _{mathrm {i} }+Z_{1}cos theta _{mathrm {t} }}}right|^{2},}

enquanto a refletância para luz polarizada p é

{displaystyle R_{mathrm {p} }=left|{frac {Z_{2}cos theta _{mathrm {t} }-Z_{1}cos theta _{mathrm {i} }}{Z_{2}cos theta _{mathrm {t} }+Z_{1}cos theta _{mathrm {i} }}}right|^{2},}

onde $Z 1$ e $Z 2$ são as impedâncias de onda dos meios 1 e 2, respectivamente.

Assumimos que a mídia não é magnética (ou seja, μ₁ = μ₂ = μ0), que normalmente é uma boa aproximação em frequências ópticas (e para mídia transparente em outras frequências). Em seguida, as impedâncias das ondas são determinadas apenas pelos índices de refração n₁ e n₂:

{displaystyle Z_{i}={frac {Z_{0}}{n_{i}}},,}

Z. 0

Eu...

{displaystyle R_{mathrm {s} }=left|{frac {n_{1}cos theta _{mathrm {i} }-n_{2}cos theta _{mathrm {t} }}{n_{1}cos theta _{mathrm {i} }+n_{2}cos theta _{mathrm {t} }}}right|^{2}=left|{frac {n_{1}cos theta _{mathrm {i} }-n_{2}{sqrt {1-left({frac {n_{1}}{n_{2}}}sin theta _{mathrm {i} }right)^{2}}}}{n_{1}cos theta _{mathrm {i} }+n_{2}{sqrt {1-left({frac {n_{1}}{n_{2}}}sin theta _{mathrm {i} }right)^{2}}}}}right|^{2}!,}

{displaystyle R_{mathrm {p} }=left|{frac {n_{1}cos theta _{mathrm {t} }-n_{2}cos theta _{mathrm {i} }}{n_{1}cos theta _{mathrm {t} }+n_{2}cos theta _{mathrm {i} }}}right|^{2}=left|{frac {n_{1}{sqrt {1-left({frac {n_{1}}{n_{2}}}sin theta _{mathrm {i} }right)^{2}}}-n_{2}cos theta _{mathrm {i} }}{n_{1}{sqrt {1-left({frac {n_{1}}{n_{2}}}sin theta _{mathrm {i} }right)^{2}}}+n_{2}cos theta _{mathrm {i} }}}right|^{2}!.}

A segunda forma de cada equação é derivada da primeira eliminando θ_t usando a lei de Snell e identidades trigonométricas.

Como consequência da conservação de energia, pode-se encontrar a potência transmitida (ou mais corretamente, irradiância: potência por unidade de área) simplesmente como a porção da potência incidente que não é refletida:

{displaystyle T_{mathrm {s} }=1-R_{mathrm {s} }}

{displaystyle T_{mathrm {p} }=1-R_{mathrm {p} }}

Observe que todas essas intensidades são medidas em termos de irradiância de uma onda na direção normal à interface; isso também é medido em experimentos típicos. Esse número pode ser obtido a partir de irradiações na direção de uma onda incidente ou refletida (dada pela magnitude do vetor Poynting de uma onda) multiplicada por cosθ para uma onda em um ângulo θ em relação à direção normal (ou equivalente, tomando o produto escalar do vetor de Poynting com o vetor unitário normal à interface). Essa complicação pode ser ignorada no caso do coeficiente de reflexão, pois cosθ_i = cosθ_r, de modo que a proporção de irradiação refletida para incidente na direção da onda seja a mesma que na direção normal à interface.

Embora essas relações descrevam a física básica, em muitas aplicações práticas trata-se da "luz natural" que pode ser descrito como não polarizado. Isso significa que há uma quantidade igual de energia nas polarizações s e p, de modo que a refletividade efetiva do material é apenas a média das duas refletividades:

{displaystyle R_{mathrm {eff} }={frac {1}{2}}left(R_{mathrm {s} }+R_{mathrm {p} }right).}

Para aplicações de baixa precisão envolvendo luz não polarizada, como computação gráfica, em vez de calcular rigorosamente o coeficiente de reflexão efetivo para cada ângulo, a aproximação de Schlick é frequentemente usada.

Casos especiais

Incidência normal

Para o caso da incidência normal, ${displaystyle theta _{mathrm {i} }=theta _{mathrm {t} }=0}$ , e não há distinção entre a polarização s e p. Assim, a reflexão simplifica a

{displaystyle R=left|{frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}right|^{2},.}

Para vidro comum (n₂ ≈ 1,5) rodeado de ar (n₁=1), a refletância de potência na incidência normal pode ser vista em cerca de 4%, ou 8% representando ambos os lados de um painel de vidro.

Ângulo de Brewster

Em uma interface dielétrica de $n 1$ a $n 2$ , há um determinado ângulo de incidência no qual $R p$ vai para zero e uma onda incidente p-polarizada é puramente refratada, assim toda a luz refletida é s-polarizada. Este ângulo é conhecido como ângulo de Brewster e é de cerca de 56° para n₁=1 e n₂=1,5 (vidro típico).

Reflexão interna total

Quando a luz viajando em um meio mais denso atinge a superfície de um meio menos denso (ou seja, $n 1 > n 2$ ), além de um determinado ângulo de incidência conhecido como ângulo crítico, toda a luz é refletida e $R s = R p = 1$ . Esse fenômeno, conhecido como reflexão interna total, ocorre em ângulos de incidência para os quais a lei de Snell prevê que o seno do ângulo de refração excederia a unidade (enquanto, na verdade, senθ ≤ 1 para todo real θ). Para vidro com n=1,5 rodeado de ar, o ângulo crítico é de aproximadamente 42°.

Reflexão de amplitude complexa e coeficientes de transmissão

As equações acima relacionadas a potências (que podem ser medidas com um fotômetro, por exemplo) são derivadas das equações de Fresnel que resolvem o problema físico em termos de amplitudes complexas de campos eletromagnéticos, ou seja, considerando mudanças de fase além de suas amplitudes. Essas equações subjacentes fornecem razões geralmente de valores complexos desses campos EM e podem assumir várias formas diferentes, dependendo do formalismo usado. Os coeficientes de amplitude complexos para reflexão e transmissão são geralmente representados por letras minúsculas r e t (enquanto os coeficientes de potência são maiúsculos). Como antes, estamos assumindo que a permeabilidade magnética, $µ$ de ambos os meios, é igual à permeabilidade do espaço livre $µ o$ como é essencialmente verdadeiro para todos os dielétricos em frequências ópticas.

Coeficientes de amplificação: ar a vidro

Coeficientes de Amplitude: vidro ao ar

Nas equações e gráficos a seguir, adotamos as seguintes convenções. Para polarização s, o coeficiente de reflexão $r$ é definido como a razão do campo elétrico complexo da onda refletida amplitude à da onda incidente, enquanto para a polarização p $r$ é a razão das ondas complexas magnéticas amplitudes de campo (ou equivalentemente, o negativo da razão de suas amplitudes de campo elétrico). O coeficiente de transmissão $t$ é a razão entre a amplitude do campo elétrico complexo da onda transmitida e a da onda incidente, para qualquer uma das polarizações. Os coeficientes $r$ e $t$ são geralmente diferentes entre os s e p, e mesmo em incidência normal (onde as designações s e p nem se aplicam!) o sinal de $r$ é invertido dependendo se a onda é considerada s ou p polarizado, um artefato da convenção de sinal adotada (veja o gráfico para uma interface ar-vidro com incidência de 0°).

As equações consideram um incidente de onda de avião em uma interface de plano em ângulo de incidência ${displaystyle theta _{mathrm {i} }}$ , uma onda refletida em ângulo ${displaystyle theta _{mathrm {r} }=theta _{mathrm {i} }}$ , e uma onda transmitida em ângulo ${displaystyle theta _{mathrm {t} }}$ . No caso de uma interface em um material absorvente (onde n é complexo) ou total reflexão interna, o ângulo de transmissão geralmente não avalia para um número real. Nesse caso, porém, resultados significativos podem ser obtidos usando formulações dessas relações nas quais as funções trigonométricas e ângulos geométricos são evitadas; as ondas inhomogeneas lançadas no segundo meio não podem ser descritas usando um único ângulo de propagação.

Usando esta convenção,

{displaystyle {begin{aligned}r_{text{s}}&={frac {n_{1}cos theta _{text{i}}-n_{2}cos theta _{text{t}}}{n_{1}cos theta _{text{i}}+n_{2}cos theta _{text{t}}}},\[3pt]t_{text{s}}&={frac {2n_{1}cos theta _{text{i}}}{n_{1}cos theta _{text{i}}+n_{2}cos theta _{text{t}}}},\[3pt]r_{text{p}}&={frac {n_{2}cos theta _{text{i}}-n_{1}cos theta _{text{t}}}{n_{2}cos theta _{text{i}}+n_{1}cos theta _{text{t}}}},\[3pt]t_{text{p}}&={frac {2n_{1}cos theta _{text{i}}}{n_{2}cos theta _{text{i}}+n_{1}cos theta _{text{t}}}}.end{aligned}}}

Pode-se ver que $t s = r s + 1$ e $n 2 / n 1 t p = r p +1$ . Pode-se escrever equações muito semelhantes aplicando-se à razão das ondas' campos magnéticos, mas a comparação dos campos elétricos é mais convencional.

Como as ondas refletidas e incidentes se propagam no mesmo meio e fazem o mesmo ângulo com a normal à superfície, o coeficiente de reflexão de potência R é apenas a magnitude ao quadrado de r:

{displaystyle R=|r|^{2}.}

Por outro lado, o cálculo do coeficiente de transmissão de energia $T$ é menos direto, pois a luz viaja em diferentes direções em os dois meios. Além do mais, as impedâncias de onda nos dois meios diferem; potência (irradiância) é dada pelo quadrado da amplitude do campo elétrico dividido por a impedância característica do meio (ou pelo quadrado do campo magnético multiplicado por a impedância característica). Isto resulta em:

{displaystyle T={frac {n_{2}cos theta _{text{t}}}{n_{1}cos theta _{text{i}}}}|t|^{2}}

usando a definição acima de $t$ . O fator introduzido de $n 2 / n 1$ é o recíproco da razão das impedâncias de onda da mídia. Os fatores $cos(θ)$ ajustam as ondas' potências para que sejam contadas na direção normal à interface, tanto para as ondas incidentes quanto para as transmitidas, de modo que a transmissão de potência total corresponda a T=1.

No caso de reflexão interna total onde a transmissão de potência $T$ é zero, estilo $t$ , no entanto, descreve o campo elétrico (incluindo sua fase) logo além da interface. Este é um campo evanescente que não se propaga como uma onda (assim $T$ =0), mas tem valores diferentes de zero muito próximos da interface. A mudança de fase da onda refletida na reflexão interna total pode ser obtida de forma semelhante a partir dos ângulos de fase de $r p$ e $r s$ (cujas magnitudes são a unidade neste caso). Essas mudanças de fase são diferentes para ondas s e p, que é o princípio bem conhecido pelo qual a reflexão interna total é usada para efetuar transformações de polarização.

Formas alternativas

Na fórmula acima para $R S$ Se pusermos ${displaystyle n_{2}=n_{1}sin theta _{text{i}}/sin theta _{text{t}}}$ (lei de Snell) e multiplicar o numerador e denominador por $1 / n 1 pecado θ)$ , nós obtemos

{displaystyle r_{text{s}}=-{frac {sin(theta _{text{i}}-theta _{text{t}})}{sin(theta _{text{i}}+theta _{text{t}})}}.}

Se fizermos o mesmo com a fórmula para $r p$ , o resultado é facilmente mostrado como equivalente a

{displaystyle r_{text{p}}={frac {tan(theta _{text{i}}-theta _{text{t}})}{tan(theta _{text{i}}+theta _{text{t}})}}.}

Essas fórmulas são conhecidas respectivamente como Lei do seno de Fresnel e Lei da tangente de Fresnel. Embora na incidência normal essas expressões reduzam para 0/0, pode-se ver que elas produzem os resultados corretos no limite como $θ i \to 0$ .

Várias superfícies

Quando a luz faz múltiplas reflexões entre duas ou mais superfícies paralelas, os múltiplos feixes de luz geralmente interferem uns com os outros, resultando em transmissão líquida e amplitudes de reflexão que dependem do comprimento de onda da luz. A interferência, no entanto, é vista apenas quando as superfícies estão a distâncias comparáveis ou menores que o comprimento de coerência da luz, que para a luz branca comum é de poucos micrômetros; pode ser muito maior para a luz de um laser.

Um exemplo de interferência entre reflexões são as cores iridescentes vistas em uma bolha de sabão ou em finas películas de óleo na água. As aplicações incluem interferômetros Fabry-Pérot, revestimentos antirreflexo e filtros ópticos. Uma análise quantitativa desses efeitos é baseada nas equações de Fresnel, mas com cálculos adicionais para levar em conta a interferência.

O método da matriz de transferência, ou o método recursivo de Rouard pode ser usado para resolver problemas de múltiplas superfícies.

História

Em 1808, Étienne-Louis Malus descobriu que quando um raio de luz era refletido em uma superfície não metálica no ângulo apropriado, ele se comportava como um dos dois raios emergentes de uma superfície duplamente cristal de calcita refrativo. Mais tarde, ele cunhou o termo polarização para descrever esse comportamento. Em 1815, a dependência do ângulo de polarização do índice de refração foi determinada experimentalmente por David Brewster. Mas o motivo dessa dependência era um mistério tão profundo que, no final de 1817, Thomas Young foi levado a escrever:

[T]a grande dificuldade de todos, que é atribuir uma razão suficiente para a reflexão ou não reflexão de um raio polarizado, provavelmente permanecerá longa, para mortificar a vaidade de uma filosofia ambiciosa, completamente não resolvida por qualquer teoria.

Em 1821, no entanto, Augustin-Jean Fresnel obteve resultados equivalentes às suas leis do seno e da tangente (acima), modelando ondas de luz como ondas elásticas transversais com vibrações perpendiculares ao que anteriormente era chamado de plano de polarização. Fresnel prontamente confirmou por experimento que as equações previam corretamente a direção da polarização do feixe refletido quando o feixe incidente era polarizado a 45° em relação ao plano de incidência, para a luz incidente do ar no vidro ou na água; em particular, as equações forneceram a polarização correta no ângulo de Brewster. A confirmação experimental foi relatada em um "postscript" ao trabalho em que Fresnel revelou pela primeira vez sua teoria de que ondas de luz, incluindo ondas "não polarizadas" ondas, eram puramente transversais.

Detalhes da derivação de Fresnel, incluindo as formas modernas da lei do seno e da tangente, foram fornecidos posteriormente, em um livro de memórias lido para a Academia Francesa de Ciências em janeiro de 1823. Essa derivação combinou conservação de energia com continuidade da vibração tangencial na interface, mas falhou em permitir qualquer condição no componente normal da vibração. A primeira derivação dos princípios eletromagnéticos foi dada por Hendrik Lorentz em 1875.

No mesmo livro de memórias de janeiro de 1823, Fresnel descobriu que, para ângulos de incidência maiores que o ângulo crítico, suas fórmulas para os coeficientes de reflexão ( $r s$ e $r p$ ) forneceram valores complexos com magnitudes unitárias. Observando que a magnitude, como sempre, representava a razão das amplitudes de pico, ele supôs que o argumento representava a mudança de fase e verificou a hipótese experimentalmente. A verificação envolvida

calculando o ângulo de incidência que introduziria uma diferença de fase total de 90° entre os componentes s e p, para vários números de reflexões internas totais nesse ângulo (geralmente havia duas soluções),
submetendo luz a esse número de reflexões internas totais nesse ângulo de incidência, com uma polarização linear inicial a 45 ° ao plano de incidência, e
verificando que a polarização final era circular.

Assim, ele finalmente teve uma teoria quantitativa para o que hoje chamamos de Rombo de Fresnel — um dispositivo que ele vinha usando em experimentos, de uma forma ou de outra, desde 1817 (ver Fresnel rhomb § História).

O sucesso do coeficiente de reflexão complexo inspirou James MacCullagh e Augustin-Louis Cauchy, a partir de 1836, a analisar a reflexão de metais usando as equações de Fresnel com um índice de refração complexo.

Quatro semanas antes de apresentar sua teoria completa da reflexão interna total e do losango, Fresnel enviou um livro de memórias no qual introduziu os termos necessários polarização linear, polarização circular, e polarização elíptica, e no qual ele explicou a rotação óptica como uma espécie de birrefringência: a luz polarizada linearmente pode ser dividida em dois componentes polarizados circularmente girando em direções opostas e, se estes se propagarem em velocidades diferentes, a diferença de fase entre eles - portanto, a orientação de sua resultante polarizada linearmente - variará continuamente com a distância.

Assim, a interpretação de Fresnel dos valores complexos de seus coeficientes de reflexão marcou a confluência de vários fluxos de sua pesquisa e, sem dúvida, a conclusão essencial de sua reconstrução da óptica física na hipótese da onda transversal (ver Augustin-Jean Fresnel).

Derivação

Aqui derivamos sistematicamente as relações acima de premissas eletromagnéticas.

Parâmetros de materiais

Para calcular coeficientes de Fresnel significativos, devemos assumir que o meio é (aproximadamente) linear e homogêneo. Se o meio também for isotrópico, os quatro vetores de campo $E, B, D, H$ são relacionados por

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {D} &=epsilon mathbf {E} \mathbf {B} &=mu mathbf {H} ,,end{aligned}}}

onde ϵ e μ são escalares, conhecidos respectivamente como permissividade (elétrica) e permeabilidade (magnética) i> do meio. Para um vácuo, eles têm os valores ϵ₀ e μ₀, respectivamente. Portanto, definimos a permissividade relativa (ou constante dielétrica) $ϵ rel = ϵ / ϵ 0$ , e a permeabilidade relativa $μ rel = μ / μ 0$ .

Em óptica, é comum assumir que o meio não é magnético, de modo que μ_rel=1. Para materiais ferromagnéticos em frequências de rádio/microondas, valores maiores de μ_rel deve ser levado em consideração. Mas, para meios opticamente transparentes, e para todos os outros materiais em frequências ópticas (exceto possíveis metamateriais), μ_rel é de fato muito próximo de 1; isto é, μ≈μ₀.

Em óptica, geralmente se conhece o índice de refração n do meio, que é a razão entre a velocidade da luz no vácuo ( $c$ ) à velocidade da luz no meio. Na análise da reflexão parcial e da transmissão, interessa também a impedância da onda eletromagnética $Z$ , que é a razão da amplitude de $E$ para a amplitude de $H$ . Portanto, é desejável expressar n e $Z$ em termos de ϵ e μ, e daí relacionar $Z$ a n. A última relação mencionada, no entanto, tornará conveniente derivar os coeficientes de reflexão em termos da onda admitância $Y$ , que é o recíproco da impedância de onda $Z$ .

No caso de ondas senoidais planas uniformes, a impedância ou admitância da onda é conhecida como impedância ou admitância intrínseca do meio. Este caso é aquele para o qual os coeficientes de Fresnel devem ser derivados.

Ondas planas eletromagnéticas

Em uma onda eletromagnética senoidal plana uniforme, o campo elétrico $E$ tem a forma

{displaystyle mathbf {E_{k}} e^{i(mathbf {kcdot r} -omega t)},}

(1)

onde $E k$ é o vetor de amplitude complexa (constante), $i$ é a unidade imaginária, $k$ é o vetor de onda (cuja magnitude $k$ é o número de onda angular), $r$ é o vetor de posição, ω é a frequência angular, $t$ é o tempo, e entende-se que a parte real de a expressão é o campo físico. O valor da expressão permanece inalterado se a posição $r$ variar em uma direção normal a $k$ ; portanto, $k$ é normal às frentes de onda.

Para avançar a fase pelo ângulo ϕ, substituímos $ωt$ por $ωt+ϕ$ (ou seja, substituímos $-ωt$ por $-ωt-ϕ$ ), com o resultado de que o campo (complexo) é multiplicado por $e -iϕ$ . Portanto, um avanço de fase é equivalente à multiplicação por uma constante complexa com um argumento negativo. Isso se torna mais óbvio quando o campo (1) é fatorado como $E k e i k\cdotr e -iωt,$ onde o o último fator contém a dependência do tempo. Esse fator também implica que a diferenciação w.r.t. tempo corresponde à multiplicação por $-iω$ .

Se Eu... é o componente de $R$ na direção de $k,$ o campo (1) pode ser escrito $E k e Eu... (kl-ωt)$ . Se o argumento de $e Eu... (em inglês)$ é ser constante, Eu...deve aumentar na velocidade ${displaystyle omega /k,,,}$ conhecido como o velocidade da fase $(v p)$ . Isto por sua vez é igual a $c/n$ . Vendendo para $k$ dá

{displaystyle k=nomega /c,.}

(2)

Como de costume, descartamos o fator dependente do tempo $e -iωt$ que é entendido como multiplicando cada campo complexo quantidade. O campo elétrico para uma onda senoidal plana uniforme será então representado pelo fasor dependente de localização

{displaystyle mathbf {E_{k}} e^{imathbf {kcdot r} }.}

(3)

Para corpos dessa forma, a lei de Faraday e a lei de Maxwell-Ampère se reduzem, respectivamente, a

{displaystyle {begin{aligned}omega mathbf {B} &=mathbf {k} times mathbf {E} \omega mathbf {D} &=-mathbf {k} times mathbf {H} ,.end{aligned}}}

Colocando $B = μ H$ e $D = ϵ E,$ como acima, podemos eliminar $B$ e $D$ para obter equações em apenas $E$ e $H$ :

{displaystyle {begin{aligned}omega mu mathbf {H} &=mathbf {k} times mathbf {E} \omega epsilon mathbf {E} &=-mathbf {k} times mathbf {H} ,.end{aligned}}}

εμ

k, E, H. H. H.

tríade ortogonal de mão direita2

{displaystyle {begin{aligned}mu cH&=nE\epsilon cE&=nH,,end{aligned}}}

H. H. H.

E

H. H. H.

E

{displaystyle n=c,{sqrt {mu epsilon }},.}

(4)

Dividir (ou multiplicar) as mesmas duas equações dá $H = YE,$ onde

{displaystyle Y={sqrt {epsilon /mu }},.}

(5)

Esta é a admissibilidade intrínseca.

De...4) obtemos a velocidade de fase ${displaystyle c/n=1{big /}!{sqrt {mu epsilon ,}}}$ . Para um vácuo isso reduz a ${displaystyle c=1{big /}!{sqrt {mu _{0}epsilon _{0}}}}$ . Dividir o segundo resultado pela primeira dá

{displaystyle n={sqrt {mu _{text{rel}}epsilon _{text{rel}}}},.}

não magnético

{displaystyle n={sqrt {epsilon _{text{rel}}}}}

(Tomando o recíproco de (5), nós achamos que o intrínseco impedância o ${textstyle Z={sqrt {mu /epsilon }}}$ . Em um vácuo isso leva o valor ${textstyle Z_{0}={sqrt {mu _{0}/epsilon _{0}}},approx 377,Omega ,,}$ conhecido como a impedância do espaço livre. Pela divisão, ${textstyle Z/Z_{0}={sqrt {mu _{text{rel}}/epsilon _{text{rel}}}}}$ . Para um não magnético médio, isso se torna ${displaystyle Z=Z_{0}{big /}!{sqrt {epsilon _{text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$ )

Os vetores de onda

Incidente, refletido e transmitido vetores de onda (

k Eu..., k R,

k)

), para incidência de um meio com índice de refração

n 1

a um meio com índice de refração

n 2

. As setas vermelhas são perpendiculares aos vetores de onda.

Em coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ , deixe a região $y < 0$ tem índice de refração $n 1,$ admitância intrínseca $Y 1,$ etc., e deixe a região $y > 0$ tem índice de refração $n 2,$ admitância intrínseca $Y 2,$ etc. Então o plano $xz$ é a interface, e o eixo $y$ é normal à interface (consulte o diagrama). Seja $i$ e $j$ (em negrito romano) os vetores unitários nas direções $x$ e $y$ , respectivamente. Seja o plano de incidência o plano $xy$ (o plano da página), com o ângulo de incidência $θ i$ medido de $j$ em direção a $i$ . Seja o ângulo de refração, medido no mesmo sentido, $θ t,$ onde o subscrito $t$ significa transmitido (reservando $r$ para refletido).

Na ausência de desvios Doppler, ω não muda na reflexão ou refração. Portanto, por (2), a magnitude do vetor de onda é proporcional ao índice de refração.

Então, para um determinado ω, se redefinirmos $k$ como a magnitude do vetor de onda no meio de referência (para o qual $n = 1$ ), então o vetor de onda tem magnitude $n 1 k$ na primeira mídia (region $y < 0$ no diagrama) e magnitude $n 2 k$ na segunda mídia. A partir das magnitudes e da geometria, descobrimos que os vetores de onda são

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {k} _{text{i}}&=n_{1}k(mathbf {i} sin theta _{text{i}}+mathbf {j} cos theta _{text{i}})\[.5ex]mathbf {k} _{text{r}}&=n_{1}k(mathbf {i} sin theta _{text{i}}-mathbf {j} cos theta _{text{i}})\[.5ex]mathbf {k} _{text{t}}&=n_{2}k(mathbf {i} sin theta _{text{t}}+mathbf {j} cos theta _{text{t}})\&=k(mathbf {i} ,n_{1}sin theta _{text{i}}+mathbf {j} ,n_{2}cos theta _{text{t}}),,end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {k} _{text{i}}mathbf {cdot r} &=n_{1}k(xsin theta _{text{i}}+ycos theta _{text{i}})\mathbf {k} _{text{r}}mathbf {cdot r} &=n_{1}k(xsin theta _{text{i}}-ycos theta _{text{i}})\mathbf {k} _{text{t}}mathbf {cdot r} &=k(n_{1}xsin theta _{text{i}}+n_{2}ycos theta _{text{t}}),.end{aligned}}}

(6)

Portanto:

{displaystyle y=0,,~~~mathbf {k} _{text{i}}mathbf {cdot r} =mathbf {k} _{text{r}}mathbf {cdot r} =mathbf {k} _{text{t}}mathbf {cdot r} =n_{1}kxsin theta _{text{i}},.}

(7)

Os componentes s

Para a polarização s, o campo $E$ é paralelo ao campo $z$ e pode, portanto, ser descrito por seu componente na direção $z$ . Sejam os coeficientes de reflexão e transmissão $r s$ e $t s,$ respectivamente. Então, se o campo $E$ do incidente for considerado como tendo amplitude unitária, a forma fasorial (3) de seu campo $z$ componente é

{displaystyle E_{text{i}}=e^{imathbf {k} _{text{i}}mathbf {cdot r} },}

(8)

e os campos refletidos e transmitidos, da mesma forma, são

{displaystyle {begin{aligned}E_{text{r}}&=r_{s,}e^{imathbf {k} _{text{r}}mathbf {cdot r} }\E_{text{t}}&=t_{s,}e^{imathbf {k} _{text{t}}mathbf {cdot r} }.end{aligned}}}

(9)

De acordo com a convenção de sinais usada neste artigo, uma reflexão positiva ou coeficiente de transmissão é aquele que preserva a direção do campo transversal, significando (neste contexto) o campo normal ao plano de incidência. Para a polarização s, isso significa o campo $E$ . Se os campos incidentes, refletidos e transmitidos $E$ (nas equações acima) estiverem no $z$ direção ("fora da página"), então os respectivos campos $H$ estão no direções das setas vermelhas, desde $k, E, H$ formam uma tríade ortogonal à direita. Os campos $H$ podem, portanto, ser descritos por seus componentes nas direções dessas setas, denotados por $H i, H r, H t$ . Então, desde $H = SIM,$

{displaystyle {begin{aligned}H_{text{i}}&=,Y_{1}e^{imathbf {k} _{text{i}}mathbf {cdot r} }\H_{text{r}}&=,Y_{1}r_{s,}e^{imathbf {k} _{text{r}}mathbf {cdot r} }\H_{text{t}}&=,Y_{2}t_{s,}e^{imathbf {k} _{text{t}}mathbf {cdot r} }.end{aligned}}}

(10.)

Na interface, pelas condições usuais de interface para campos eletromagnéticos, as componentes tangenciais do $E$ e $Os campos H$ devem ser contínuos; aquilo é,

{displaystyle left.{begin{aligned}E_{text{i}}+E_{text{r}}&=E_{text{t}}\H_{text{i}}cos theta _{text{i}}-H_{text{r}}cos theta _{text{i}}&=H_{text{t}}cos theta _{text{t}}end{aligned}}~~right}~~~{text{at}}~~y=0,.}

(11)

Quando substituímos das equações (8) para (10) e depois de (7), os fatores exponenciais se cancelam, então que as condições de interface se reduzem às equações simultâneas

{displaystyle {begin{aligned}1+r_{text{s}}&=,t_{text{s}}\Y_{1}cos theta _{text{i}}-Y_{1}r_{text{s}}cos theta _{text{i}}&=,Y_{2}t_{text{s}}cos theta _{text{t}},,end{aligned}}}

(12)

que são facilmente resolvidos para $r s$ e $t s,$ cedendo

{displaystyle r_{text{s}}={frac {Y_{1}cos theta _{text{i}}-Y_{2}cos theta _{text{t}}}{Y_{1}cos theta _{text{i}}+Y_{2}cos theta _{text{t}}}}}

(13)

{displaystyle t_{text{s}}={frac {2Y_{1}cos theta _{text{i}}}{Y_{1}cos theta _{text{i}}+Y_{2}cos theta _{text{t}}}},.}

(14)

Em incidência normal $(θ i = θ t = 0),$ indicado por um subscrito adicional 0, esses resultados tornam-se

{displaystyle r_{text{s0}}={frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}}

(15)

{displaystyle t_{text{s0}}={frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}},.}

(16.)

Em incidência rasteira $(θ i \to 90°)$ , temos $cos θ i \to 0,$ portanto $r s \to -1$ e $t s \to 0$ .

Os componentes p

Para a polarização p, os campos $E$ incidente, refletido e transmitido são paralelos às setas vermelhas e podem, portanto, ser descritos por seus componentes nas direções dessas setas. Deixe esses componentes serem $E i, E r, E t$ (redefinindo os símbolos para o novo contexto). Sejam os coeficientes de reflexão e transmissão $r p$ e $t p$ . Então, se o campo incidente $E$ for considerado como tendo amplitude unitária, temos

{displaystyle {begin{aligned}E_{text{i}}&=e^{imathbf {k} _{text{i}}mathbf {cdot r} }\E_{text{r}}&=r_{p,}e^{imathbf {k} _{text{r}}mathbf {cdot r} }\E_{text{t}}&=t_{p,}e^{imathbf {k} _{text{t}}mathbf {cdot r} }.end{aligned}}}

(17.)

Se os campos $E$ estiverem nas direções das setas vermelhas, então, para $k, E, H$ para formar um direito tríade ortogonal de duas mãos, os respectivos campos $H$ devem estar na forma $-z$ direção ("na página") e pode, portanto, ser descrito por seus componentes nessa direção. Isso é consistente com a convenção de sinal adotada, ou seja, que uma reflexão positiva ou coeficiente de transmissão é aquele que preserva a direção do campo transversal (a H no caso da polarização p). A concordância do campo outro com as setas vermelhas revela uma definição alternativa da convenção de sinais: que uma reflexão positiva ou coeficiente de transmissão é aquele para o qual o vetor de campo no plano de incidência aponta para o mesmo meio antes e depois da reflexão ou transmissão.

Assim, para os campos incidente, refletido e transmitido $H$ , deixe os respectivos componentes no $-z$ direção be $H i, H r, H t . Então, desde H = SIM,$

{displaystyle {begin{aligned}H_{text{i}}&=,Y_{1}e^{imathbf {k} _{text{i}}mathbf {cdot r} }\H_{text{r}}&=,Y_{1}r_{p,}e^{imathbf {k} _{text{r}}mathbf {cdot r} }\H_{text{t}}&=,Y_{2}t_{p,}e^{imathbf {k} _{text{t}}mathbf {cdot r} }.end{aligned}}}

(18.)

Na interface, os componentes tangenciais de $E$ e $H$ campos devem ser contínuos; aquilo é,

{displaystyle left.{begin{aligned}E_{text{i}}cos theta _{text{i}}-E_{text{r}}cos theta _{text{i}}&=E_{text{t}}cos theta _{text{t}}\H_{text{i}}+H_{text{r}}&=H_{text{t}}end{aligned}}~~right}~~~{text{at}}~~y=0,.}

(19)

Quando substituímos das equações (17) e (18) e depois de (7), os fatores exponenciais novamente se cancelam, para que as condições de interface se reduzam a

{displaystyle {begin{aligned}cos theta _{text{i}}-r_{text{p}}cos theta _{text{i}}&=,t_{text{p}}cos theta _{text{t}}\Y_{1}+Y_{1}r_{text{p}}&=,Y_{2}t_{text{p}},.end{aligned}}}

(20.)

Resolvendo para $r p$ e $t p,$ encontramos

{displaystyle r_{text{p}}={frac {Y_{2}cos theta _{text{i}}-Y_{1}cos theta _{text{t}}}{Y_{2}cos theta _{text{i}}+Y_{1}cos theta _{text{t}}}}}

(21)

{displaystyle t_{text{p}}={frac {2Y_{1}cos theta _{text{i}}}{Y_{2}cos theta _{text{i}}+Y_{1}cos theta _{text{t}}}},.}

(22)

Em incidência normal $(θ i = θ t = 0),$ indicado por um subscrito adicional 0, esses resultados tornam-se

{displaystyle r_{text{p0}}={frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}}

(23)

{displaystyle t_{text{p0}}={frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}},.}

(24.)

Em incidência rasteira $(θ i \to 90°)$ , novamente temos $cos θ i \to 0,$ daí $r p \to -1$ e $t p \to 0$ .

Comparando (23) e (24) com (15) e (16), vemos que na incidência normal, sob a convenção de sinais adotada, os coeficientes de transmissão para as duas polarizações são iguais, enquanto os coeficientes de reflexão têm magnitudes iguais, mas sinais opostos. Embora esse choque de sinais seja uma desvantagem da convenção, a vantagem correspondente é que os sinais concordam na incidência pastelar.

Taxas de potência (refletividade e transmissividade)

O vetor de Poynting para uma onda é um vetor cuja componente em qualquer direção é a irradiância (potência por unidade de área) dessa onda em uma superfície perpendicular a essa direção. Para uma onda senoidal plana, o vetor de Poynting é $1 / 2 Re{E \times H *},$ onde $E$ e $H$ devem-se apenas à onda em questão, e o asterisco denota conjugação complexa. Dentro de um dielétrico sem perdas (o caso usual), $E$ e $H$ estão em fase e em ângulos retos entre si e com o vetor de onda $k$ ; então, para polarização s, usando $z$ e $xy$ de $E$ e $H$ respectivamente (ou para polarização p, usando $xy$ e $-z$ componentes de $E$ e $H$ ), a irradiância na direção de $k$ é dada simplesmente por $EH /2 ,$ que é $E 2 / 2Z$ em um meio de impedância intrínseca $Z =1/ Y$ . Para calcular a irradiância na direção normal à interface, conforme exigiremos na definição do coeficiente de transmissão de potência, poderíamos usar apenas o $x$ componente (em vez do componente $xy$ completo) de $H$ ou $E$ ou, equivalentemente, simplesmente multiplique $EH /2$ pelo fator geométrico adequado, obtendo $(E 2 / 2Z) cos θ$ .

A partir das equações (13) e (21), tomando as magnitudes ao quadrado, descobrimos que a refletividade (razão entre a potência refletida e o incidente poder) é

{displaystyle R_{text{s}}=left|{frac {Y_{1}cos theta _{text{i}}-Y_{2}cos theta _{text{t}}}{Y_{1}cos theta _{text{i}}+Y_{2}cos theta _{text{t}}}}right|^{2}}

(25)

para a polarização s, e

{displaystyle R_{text{p}}=left|{frac {Y_{2}cos theta _{text{i}}-Y_{1}cos theta _{text{t}}}{Y_{2}cos theta _{text{i}}+Y_{1}cos theta _{text{t}}}}right|^{2}}

(26)

para a polarização p. Observe que, ao comparar as potências de duas dessas ondas no mesmo meio e com o mesmo cos θ, a impedância e os fatores geométricos mencionados acima são idênticos e se anulam. Mas ao calcular a transmissão de energia (abaixo), esses fatores devem ser levados em consideração.

A maneira mais simples de obter o coeficiente de transmissão de potência (transmissividade, a razão entre a potência transmitida e a potência incidente na direção normal à interface, ou seja, a y direção) é usar $R + T =1$ (conservação de energia). Desta forma encontramos

{displaystyle T_{text{s}}=1-R_{text{s}}=,{frac {4,{text{Re}}{Y_{1}Y_{2}cos theta _{text{i}}cos theta _{text{t}}}}{left|Y_{1}cos theta _{text{i}}+Y_{2}cos theta _{text{t}}right|^{2}}}}

(25T)

para a polarização s, e

{displaystyle T_{text{p}}=1-R_{text{p}}=,{frac {4,{text{Re}}{Y_{1}Y_{2}cos theta _{text{i}}cos theta _{text{t}}}}{left|Y_{2}cos theta _{text{i}}+Y_{1}cos theta _{text{t}}right|^{2}}}}

(26T)

para a polarização p.

No caso de uma interface entre dois meios sem perdas (para os quais ε e μ são reais e positivos), pode-se obter esses resultados diretamente usando as magnitudes quadradas dos coeficientes de transmissão de amplitude que encontramos anteriormente nas equações (14) e (22). Mas, para uma determinada amplitude (como observado acima), o componente do vetor de Poynting na direção $y$ é proporcional ao fator geométrico $cos θ$ e inversamente proporcional a a impedância de onda $Z$ . Aplicando essas correções a cada onda, obtemos duas razões multiplicando o quadrado do coeficiente de transmissão de amplitude:

{displaystyle T_{text{s}}=left({frac {2Y_{1}cos theta _{text{i}}}{Y_{1}cos theta _{text{i}}+Y_{2}cos theta _{text{t}}}}right)^{2}{frac {,Y_{2},}{Y_{1}}},{frac {cos theta _{text{t}}}{cos theta _{text{i}}}}={frac {4Y_{1}Y_{2}cos theta _{text{i}}cos theta _{text{t}}}{left(Y_{1}cos theta _{text{i}}+Y_{2}cos theta _{text{t}}right)^{2}}}}

(27)

para a polarização s, e

{displaystyle T_{text{p}}=left({frac {2Y_{1}cos theta _{text{i}}}{Y_{2}cos theta _{text{i}}+Y_{1}cos theta _{text{t}}}}right)^{2}{frac {,Y_{2},}{Y_{1}}},{frac {cos theta _{text{t}}}{cos theta _{text{i}}}}={frac {4Y_{1}Y_{2}cos theta _{text{i}}cos theta _{text{t}}}{left(Y_{2}cos theta _{text{i}}+Y_{1}cos theta _{text{t}}right)^{2}}}}

(28)

para a polarização p. As duas últimas equações se aplicam apenas a dielétricos sem perdas e apenas a ângulos de incidência menores que o ângulo crítico (além do qual, é claro, $T =0$ ).

Para luz não polarizada:

${displaystyle T={1 over 2}(T_{s}+T_{p})}$

${displaystyle R={1 over 2}(R_{s}+R_{p})}$

Onde? $R+T=1$ .

Índices de refração iguais

A partir das equações (4) e (5), vemos que dois meios diferentes terão o mesmo índice de refração, mas admitâncias diferentes, se a razão de suas permeabilidades é o inverso da razão de suas permissividades. Nessa situação incomum, temos $θ t = θ i$ (ou seja, o raio transmitido não é desviado), de modo que os cossenos nas equações (13), (14), (21), (22) e (25) a (28) cancelam e todos os reflexos e as relações de transmissão tornam-se independentes do ângulo de incidência; em outras palavras, as razões de incidência normal tornam-se aplicáveis a todos os ângulos de incidência. Quando estendido para reflexão esférica ou dispersão, isso resulta no efeito Kerker para dispersão de Mie.

Mídia não magnética

Como as equações de Fresnel foram desenvolvidas para óptica, elas geralmente são dadas para materiais não magnéticos. Dividindo (4) por (5)) resulta

{displaystyle Y={frac {n}{,cmu ,}},.}

μ₀μ

{displaystyle Y_{1}={frac {n_{1}}{,cmu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={frac {n_{2}}{,cmu _{0}}},;}

1316.2126c₀

{displaystyle r_{text{s}}={frac {n_{1}cos theta _{text{i}}-n_{2}cos theta _{text{t}}}{n_{1}cos theta _{text{i}}+n_{2}cos theta _{text{t}}}}}

(29 de Março)

{displaystyle t_{text{s}}={frac {2n_{1}cos theta _{text{i}}}{n_{1}cos theta _{text{i}}+n_{2}cos theta _{text{t}}}},}

(30)

{displaystyle r_{text{p}}={frac {n_{2}cos theta _{text{i}}-n_{1}cos theta _{text{t}}}{n_{2}cos theta _{text{i}}+n_{1}cos theta _{text{t}}}}}

(31)

{displaystyle t_{text{p}}={frac {2n_{1}cos theta _{text{i}}}{n_{2}cos theta _{text{i}}+n_{1}cos theta _{text{t}}}},.}

(32)

Para o caso de incidência normal, reduzem-se a:

{displaystyle r_{text{s0}}={frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}

(33)

{displaystyle t_{text{s0}}={frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}}

(34)

{displaystyle r_{text{p0}}={frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}}

(35)

{displaystyle t_{text{p0}}={frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}},.}

(36)

Os coeficientes de reflexão de energia tornam-se:

{displaystyle R_{text{s}}=left|{frac {n_{1}cos theta _{text{i}}-n_{2}cos theta _{text{t}}}{n_{1}cos theta _{text{i}}+n_{2}cos theta _{text{t}}}}right|^{2}}

(37)

{displaystyle R_{text{p}}=left|{frac {n_{2}cos theta _{text{i}}-n_{1}cos theta _{text{t}}}{n_{2}cos theta _{text{i}}+n_{1}cos theta _{text{t}}}}right|^{2},.}

(38)

As transmissões de energia podem ser encontradas em $T =1- R$ .

Ângulo de Brewster

Para permeabilidades iguais (por exemplo, mídia não magnética), se $θ i$ e $θ t$ são complementares, podemos substituir $sin θ t$ para $cos θ i,$ e $pecado θ i$ para $cos θ t,$ para que o numerador na equação (31) se torne $n 2 sin θ t - n 1 sin θ i,$ que é zero (pela lei de Snell). Portanto $r p = 0$ e apenas o componente s-polarizado é refletido. Isso é o que acontece no ângulo de Brewster. Substituindo $cos θ i$ para $sin θ t$ na lei de Snell, obtemos prontamente

{displaystyle theta _{text{i}}=arctan(n_{2}/n_{1})}

(39)

para o ângulo de Brewster.

Permissividades iguais

Embora não seja encontrado na prática, as equações também podem se aplicar ao caso de dois meios com uma permissividade comum, mas diferentes índices de refração devido a diferentes permeabilidades. Das equações (4) e (5), se ϵ for fixo em vez de μ, então $Y$ torna-se inversamente proporcional a $n$ , com o resultado de que os subscritos 1 e 2 nas equações (29) a (38) são trocados (devido à etapa adicional de multiplicar o numerador e denominador por $n 1 n 2$ ). Portanto, em (29) e (31), as expressões para $r s$ e $r p$ em termos de índices de refração serão trocados, de modo que Brewster' s ângulo (39) dará $r s = 0$ em vez de $r p = 0,$ e qualquer feixe refletido nesse ângulo será p-polarizado em vez de s-polarizado. Da mesma forma, a lei do seno de Fresnel será aplicada à polarização p em vez da polarização s, e sua lei tangente à polarização s em vez da polarização p.

Esta troca de polarizações tem um análogo na velha teoria mecânica das ondas de luz (ver §História, acima). Pode-se prever coeficientes de reflexão que concordam com a observação supondo (como Fresnel) que diferentes índices de refração são devidos a diferentes densidades e que as vibrações são normais ao que era então chamado de plano de polarização, ou supondo (como MacCullagh e Neumann) que diferentes índices de refração eram devidos a diferentes elasticidades e que as vibrações eram paralelas a esse plano. Assim, a condição de permissividades iguais e permeabilidades desiguais, embora não seja realista, tem algum interesse histórico.

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