Equação diofantina

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Equação polinomial cujas soluções de inteiro são procuradas

Encontrar todos os triângulos certos com comprimentos laterais inteiros é equivalente a resolver a equação Diophantine

{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Em matemática, uma equação diofantina é uma equação, normalmente uma equação polinomial em duas ou mais incógnitas com coeficientes inteiros, de modo que as únicas soluções de interesse são as inteiras. Uma equação diofantina linear equivale a uma constante a soma de dois ou mais monômios, cada um de grau um. Uma equação diofantina exponencial é aquela em que incógnitas podem aparecer em expoentes.

Problemas diofantinos têm menos equações do que incógnitas e envolvem encontrar números inteiros que resolvam simultaneamente todas as equações. Como tais sistemas de equações definem curvas algébricas, superfícies algébricas ou, de forma mais geral, conjuntos algébricos, seu estudo é uma parte da geometria algébrica chamada geometria diofantina.

A palavra Diofantino refere-se ao matemático helenístico do século III, Diofanto de Alexandria, que estudou tais equações e foi um dos primeiros matemáticos a introduzir o simbolismo na álgebra. O estudo matemático dos problemas diofantinos que Diofanto iniciou agora é chamado de análise diofantina.

Enquanto as equações individuais apresentam uma espécie de quebra-cabeça e foram consideradas ao longo da história, a formulação de teorias gerais de equações diofantinas (além do caso de equações lineares e quadráticas) foi uma conquista do século XX.

Exemplos

Nas seguintes equações diofantinas, $w, x, y$ e $z$ são as incógnitas e as outras letras são constantes:

${displaystyle ax+by=c}$	Esta é uma equação Diofantina linear.
${displaystyle w^{3}+x^{3}=y^{3}+z^{3}}$	A menor solução não trivial em inteiros positivos é $123 + 1 3 = 9 3 + 10 3 = 1729$ . Foi famosamente dada como uma propriedade evidente de 1729, um número de taxicab (também chamado de número Hardy-Ramanujan) por Ramanujan a Hardy enquanto se reunia em 1917. Existem infinitamente muitas soluções não triviais.
$x^{n}+y^{n}=z^{n}$	Para $n = 2$ há infinitamente muitas soluções $(x, y, z)$ : os triplos pitagóricos. Para valores inteiros maiores $n$ , Fermat's Last Theorem (inicialmente reivindicado em 1637 pela Fermat e provado por Andrew Wiles em 1995) afirma que não há soluções de inteiro positivas $(x, y, z)$ .
${displaystyle x^{2}-ny^{2}=pm 1}$	Esta é a equação de Pell, que é nomeada pelo matemático inglês John Pell. Foi estudado por Brahmagupta no século VII, bem como por Fermat no século XVII.
${displaystyle {frac {4}{n}}={frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}+{frac {1}{z}}}$	A conjectura Erdős–Straus afirma que, para cada inteiro positivo $n$ ≥ 2, existe uma solução em $x, y$ e $zangão.$ , todos como inteiros positivos. Embora não geralmente indicado em forma polinomial, este exemplo é equivalente à equação polinomial ${displaystyle xyz=yzn+xzn+xyn=n(yz+xz+xy).}$
${displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=w^{4}}$	Conjecturado incorretamente pela Euler não tem soluções não triviais. Provado por Elkies ter infinitamente muitas soluções não triviais, com uma busca por computador por Frye determinando a menor solução não trivial, $958004 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4$ .

Equações diofantinas lineares

Uma equação

A equação diofantina linear mais simples assume a forma

{displaystyle ax+by=c,}

um

b)

c

Esta equação Diophantine tem uma solução (onde)

x

Sim.

são inteiros) se e somente se

c

é um múltiplo do maior divisor comum de

um

b)

. Além disso, se

(x, y)

é uma solução, então as outras soluções têm o formulário

(x + kv, y - Sim. ku)

, Onde?

k

é um inteiro arbitrário, e

u

v

são os quocientes de

um

b)

(respectivamente) pelo maior divisor comum de

um

b)

Prova: Se $d$ é este máximo divisor comum, a identidade de Bézout afirma a existência de inteiros $e$ e $f$ tal que $ae + bf = d$ . Se $c$ for um múltiplo de $d$ , então $c = dh$ para algum inteiro $h$ e $(eh, fh)$ é uma solução. Por outro lado, para cada par de inteiros $x$ e $y$ , o máximo divisor comum $d$ de $a$ e $b$ divide $machado + por$ . Assim, se a equação tiver uma solução, então $c$ deve ser um múltiplo de $d$ . Se $a = ud$ e $b = vd$ , então para cada solução $(x, y)$ , temos

{displaystyle {begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\&=ax+by+k(udv-vdu)\&=ax+by,end{aligned}}}

(x + kv, y - Sim. ku)

{displaystyle ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,}

{displaystyle u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.}

u

v

v

x 2 - Sim. x 1

k

{displaystyle x_{2}-x_{1}=kv,quad y_{2}-y_{1}=-ku.}

{displaystyle x_{2}=x_{1}+kv,quad y_{2}=y_{1}-ku,}

Teorema do resto chinês

O teorema restante chinês descreve uma classe importante de sistemas diofantinos lineares de equações: deixe ${displaystyle n_{1},dotsn_{k}}$ ser $k$ inteiros coprime pares maiores que um, ${displaystyle a_{1},dotsa_{k}}$ ser $k$ inteiros arbitrários, e $N$ ser o produto ${displaystyle n_{1}cdots n_{k}.}$ O teorema restante chinês afirma que o seguinte sistema diofantino linear tem exatamente uma solução ${displaystyle (x,x_{1},dotsx_{k})}$ tal que $0 \leq x < N$ , e que as outras soluções são obtidas adicionando $x$ um múltiplo de $N$ :

{displaystyle {begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1},x_{1}\&;;vdots \x&=a_{k}+n_{k},x_{k}end{aligned}}}

Sistema de equações diofantinas lineares

De maneira mais geral, todo sistema de equações diofantinas lineares pode ser resolvido calculando a forma normal de Smith de sua matriz, de maneira semelhante ao uso da forma escalonada reduzida por linhas para resolver um sistema de equações lineares sobre um corpo. Usando a notação matricial, todo sistema de equações diofantinas lineares pode ser escrito

{displaystyle AX=C,}

A

m \times n

X

n \times 1

C

m \times 1

O cálculo da forma normal de Smith de $A$ fornece duas matrizes unimodulares (ou seja, matrizes que são invertíveis sobre os inteiros e tem ±1 como determinante) $U$ e $V$ das respectivas dimensões $m \times m$ e $n \times n$ , de modo que a matriz

{displaystyle B=[b_{i,j}]=UAV}

b) Eu...

Eu...

k

{displaystyle B(V^{-1}X)=UC.}

Sim. Eu...

V - Sim. X

D Eu...

D = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = AUXÍLIOS

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{1},quad 1leq ileq k\&0y_{i}=d_{i},quad kb)Eu...,Eu...Sim.Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D1,1≤ ≤ Eu...≤ ≤ k0Sim.Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =DEu...,k<Eu...≤ ≤ n.{displaystyle {begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{1}},quad 1leq ileq k\&0y_{i}=d_{i},quad k<ileq n.end{aligned}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{1},quad 1leq ileq k\&0y_{i}=d_{i},quad k

x

x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Vy!

Sim.

Por favor. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = D

Segue-se que o sistema tem uma solução se e somente se $b i,i$ divide $d i$ para $i \leq k$ e $d i = 0$ para $i > k$ . Se esta condição for satisfeita, as soluções do sistema dado são

{displaystyle V,{begin{bmatrix}{frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\vdots \{frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\h_{k+1}\vdots \h_{n}end{bmatrix}},,}

h k + 1, h n

A forma normal de Hermite também pode ser usada para resolver sistemas de equações diofantinas lineares. No entanto, a forma normal de Hermite não fornece as soluções diretamente; para obter as soluções da forma normal de Hermite, é preciso resolver sucessivamente várias equações lineares. No entanto, Richard Zippel escreveu que a forma normal de Smith "é um pouco mais do que é realmente necessário para resolver equações diofantinas lineares. Em vez de reduzir a equação à forma diagonal, precisamos apenas torná-la triangular, o que é chamado de forma normal de Hermite. A forma normal de Hermite é substancialmente mais fácil de calcular do que a forma normal de Smith."

A programação linear inteira equivale a encontrar algumas soluções inteiras (ótimas em certo sentido) de sistemas lineares que também incluem inequações. Assim, os sistemas de equações diofantinas lineares são básicos neste contexto, e os livros didáticos de programação inteira geralmente tratam de sistemas de equações diofantinas lineares.

Equações homogêneas

Uma equação diofantina homogênea é uma equação diofantina definida por um polinômio homogêneo. Uma dessas equações típicas é a equação do Último Teorema de Fermat

{displaystyle x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.}

Como um polinômio homogêneo em $n$ indeterminados define uma hipersuperfície no espaço projetivo de dimensão $n - 1$ , resolver uma equação diofantina homogênea é o mesmo que encontrar os pontos racionais de uma hipersuperfície projetiva.

Resolver uma equação diofantina homogênea é geralmente um problema muito difícil, mesmo no caso não trivial mais simples de três indeterminados (no caso de dois indeterminados, o problema é equivalente a testar se um número racional é o $d$ ésima potência de outro número racional). Uma testemunha da dificuldade do problema é o Último Teorema de Fermat (para $d > 2$ , não há solução inteira do acima equação), que precisou de mais de três séculos de experiência dos matemáticos. esforços antes de serem resolvidos.

Para graus superiores a três, os resultados mais conhecidos são teoremas que afirmam que não há soluções (por exemplo, o Último Teorema de Fermat) ou que o número de soluções é finito (por exemplo, o teorema de Falting).

Para o grau três, existem métodos de resolução gerais, que funcionam em quase todas as equações encontradas na prática, mas não se conhece nenhum algoritmo que funcione para todas as equações cúbicas.

Grau dois

Equações diofantinas homogêneas de grau dois são mais fáceis de resolver. O método de resolução padrão prossegue em duas etapas. É preciso primeiro encontrar uma solução ou provar que não há solução. Quando uma solução é encontrada, todas as soluções são então deduzidas.

Para provar que não há solução, pode-se reduzir a equação módulo p. Por exemplo, a equação diofantina

{displaystyle x^{2}+y^{2}=3z^{2},}

não tem outra solução além da solução trivial $(0, 0, 0)$ . Na verdade, dividindo-se $x, y$ e $zangão.$ pelo seu maior divisor comum, pode-se supor que eles são coprime. Os quadrados modulo 4 são congruentes a 0 e 1. Assim, o lado esquerdo da equação é congruente para 0, 1 ou 2, e o lado direito é congruente para 0 ou 3. Assim, a igualdade só pode ser obtida se $x, y$ e $zangão.$ são todos iguais, e assim não são coprime. Assim, a única solução é a solução trivial $(0, 0, 0)$ . Isso mostra que não há nenhum ponto racional em um círculo de raio ${displaystyle {sqrt {3}},}$ centrado na origem.

De forma mais geral, o princípio de Hasse permite decidir se uma equação diofantina homogênea de grau dois tem uma solução inteira e computar uma solução se ela existir.

Se uma solução inteira não trivial for conhecida, pode-se produzir todas as outras soluções da seguinte maneira.

Interpretação geométrica

Deixe

{displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n})=0}

ser uma equação diofantina homogênea, onde ${displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n})}$ é uma forma quadrática (isto é, um polinômio homogêneo de grau 2), com coeficientes inteiros. O solução trivial é a solução onde tudo $x_{i}$ são zero. Se ${displaystyle (a_{1},ldotsa_{n})}$ é uma solução de inteiro não trivial desta equação, então ${displaystyle left(a_{1},ldotsa_{n}right)}$ são as coordenadas homogêneas de um ponto racional do hipersuperfície definido por $Q$ . Por outro lado, se ${textstyle left({frac {p_{1}}{q}},ldots{frac {p_{n}}{q}}right)}$ são coordenadas homogêneas de um ponto racional desta hipersuperfície, onde ${displaystyle q,p_{1},ldotsp_{n}}$ são inteiros, então ${displaystyle left(p_{1},ldotsp_{n}right)}$ é uma solução inteira da equação Diophantine. Além disso, as soluções integer que definem um determinado ponto racional são todas as sequências da forma

{displaystyle left(k{frac {p_{1}}{d}},ldotsk{frac {p_{n}}{d}}right),}

Onde? $k$ é qualquer inteiro, e $D$ é o maior divisor comum do ${displaystyle p_{i}.}$

Segue-se que resolve a equação de Diophantine ${displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n})=0}$ é completamente reduzido para encontrar os pontos racionais da hipersuperfície projetiva correspondente.

Parametrização

Deixe agora ${displaystyle A=left(a_{1},ldotsa_{n}right)}$ ser uma solução inteira da equação ${displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n})=0.}$ Como $Q$ é um polinomial de grau dois, uma linha que passa $A$ cruza a hipersuperfície em um único outro ponto, que é racional se e somente se a linha é racional (isto é, se a linha é definida por parâmetros racionais). Isso permite parametrizar a hipersuperfície pelas linhas que passam $A$ , e os pontos racionais são os que são obtidos de linhas racionais, isto é, aqueles que correspondem aos valores racionais dos parâmetros.

Mais precisamente, pode-se proceder da seguinte forma.

Permutando os índices, pode-se supor, sem perda de generalidade que $a_nne 0.$ Em seguida, pode-se passar para o caso de afine considerando o hipersuperfície de affine definido por

{displaystyle q(x_{1},ldotsx_{n-1})=Q(x_{1},ldotsx_{n-1},1),}

que tem o ponto racional

{displaystyle R=(r_{1},ldotsr_{n-1})=left({frac {a_{1}}{a_{n}}},ldots{frac {a_{n-1}}{a_{n}}}right).}

Se este ponto racional for um ponto singular, isto é, se todas as derivadas parciais forem zero em $R$ , todas as linhas que passam por $R$ estão contidos na hipersuperfície, e um tem um cone. A mudança de variáveis

{displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}

não altera os pontos racionais, e transforma $q$ em um polinômio homogêneo em $n - 1$ variáveis. Nesse caso, o problema pode ser resolvido aplicando o método a uma equação com menos variáveis.

Se o polinômio $q$ é um produto de polinômios lineares (possivelmente com coeficientes não racionais), então ele define dois hiperplanos. A interseção desses hiperplanos é um plano racional e contém pontos singulares racionais. Este caso é, portanto, uma instância especial do caso anterior.

No caso geral, vamos considerar a equação paramétrica de uma reta passando por $R$ :

{displaystyle {begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\&;;vdots \x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).end{aligned}}}

Substituir isto em $q$ , um recebe um polinômio de grau dois em $x 1$ , isso é zero para $x 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = R 1$ . É assim divisível por $x 1 - R 1$ . O quociente é linear em $x 1$ , e pode ser resolvido para expressar $x 1$ como um quociente de dois polinômios de grau no máximo dois em ${displaystyle t_{2},ldotst_{n-1},}$ com coeficientes inteiros:

{displaystyle x_{1}={frac {f_{1}(t_{2},ldotst_{n-1})}{f_{n}(t_{2},ldotst_{n-1})}}.}

Substituir isso nas expressões para ${displaystyle x_{2},ldotsx_{n-1},}$ um recebe, para $Eu... 1,..., n - 1$ ,

{displaystyle x_{i}={frac {f_{i}(t_{2},ldotst_{n-1})}{f_{n}(t_{2},ldotst_{n-1})}},}

Onde? ${displaystyle f_{1},ldotsf_{n}}$ são polinômios de grau no máximo dois com coeficientes inteiros.

Então, pode-se retornar ao caso homogêneo. Seja, para $i = 1, \dots, n$ ,

{displaystyle F_{i}(t_{1},ldotst_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}left({frac {t_{2}}{t_{1}}},ldots{frac {t_{n-1}}{t_{1}}}right),}

ser a homogeneização de ${displaystyle f_{i}.}$ Estes polinômios quadráticos com coeficientes inteiros formam uma parametrização da hipersuperfície projetiva definida por $Q$ :

{displaystyle {begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},ldotst_{n-1})\&;;vdots \x_{n}&=F_{n}(t_{1},ldotst_{n-1}).end{aligned}}}

Um ponto da hipersuperfície projetiva definida por $Q$ é racional se e somente se for obtido a partir de valores racionais ${displaystyle t_{1},ldotst_{n-1}.}$ Como ${displaystyle F_{1},ldotsF_{n}}$ são polinômios homogêneos, o ponto não é alterado se todos $) Eu...$ são multiplicados pelo mesmo número racional. Assim, pode-se supor que ${displaystyle t_{1},ldotst_{n-1}}$ são inteiros de coprime. Segue-se que as soluções inteiras da equação Diophantine são exatamente as sequências $(x_1, ldots, x_n)$ onde, para $Eu... = 1,..., n$ ,

{displaystyle x_{i}=k,{frac {F_{i}(t_{1},ldotst_{n-1})}{d}},}

Onde? $k$ é um inteiro, ${displaystyle t_{1},ldotst_{n-1}}$ são inteiros de coprime, e $D$ é o maior divisor comum do $n$ inteiros ${displaystyle F_{i}(t_{1},ldotst_{n-1}).}$

Poderíamos esperar que a coprimalidade do $t i$ , poderia implicar que $d = 1$ . Infelizmente, este não é o caso, conforme mostrado na próxima seção.

Exemplo de triplos pitagóricos

A equação

x^{2}+y^{2}-z^{2}=0

é provavelmente a primeira equação diofantina homogênea de grau dois que foi estudada. Suas soluções são os triplos pitagóricos. Esta é também a equação homogênea do círculo unitário. Nesta seção, mostramos como o método acima permite recuperar a fórmula de Euclides para gerar triplos pitagóricos.

Para recuperar exatamente a fórmula de Euclides, partimos da solução $(-1, 0, 1)$ , correspondente ao ponto $(-1, 0)$ do círculo unitário. Uma linha que passa por este ponto pode ser parametrizada por sua inclinação:

{displaystyle y=t(x+1).}

Colocando isso na equação do círculo

{displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}

alguém consegue

{displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}

Dividindo por $x + 1$ , resulta em

{displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}

que é fácil de resolver em $x$ :

{displaystyle x={frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}

Segue

{displaystyle y=t(x+1)={frac {2t}{1+t^{2}}}.}

Homogeneizando conforme descrito acima, obtém-se todas as soluções como

{displaystyle {begin{aligned}x&=k,{frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\y&=k,{frac {2st}{d}}\z&=k,{frac {s^{2}+t^{2}}{d}},end{aligned}}}

onde $k$ é qualquer inteiro, $s$ e $t$ são números inteiros primos, e $d$ é o máximo divisor comum dos três numeradores. Na verdade, $d = 2$ se $s$ e $t$ são ambos ímpares e $d = 1$ se um for ímpar e o outro for par.

Os triplos primitivos são as soluções em que $k = 1$ e $s > t > 0$ .

Esta descrição das soluções difere ligeiramente da fórmula de Euclides porque a fórmula de Euclides considera apenas as soluções tais que $x, y$ e $z$ são todos positivos e não distingue entre dois triplos que diferem pela troca de $x$ e $y$ ,

Análise diofantina

Perguntas típicas

As perguntas feitas na análise diofantina incluem:

Existem soluções?
Existem soluções além de algumas que são facilmente encontradas por inspeção?
Existem finitas ou infinitamente muitas soluções?
Todas as soluções podem ser encontradas em teoria?
Alguém na prática pode calcular uma lista completa de soluções?

Esses problemas tradicionais geralmente permanecem sem solução por séculos, e os matemáticos gradualmente passaram a entender sua profundidade (em alguns casos), em vez de tratá-los como quebra-cabeças.

Problema típico

A informação fornecida é que a idade de um pai é 1 a menos que o dobro de seu filho e que os dígitos $AB$ que compõem a idade do pai são invertidos na idade do filho (ou seja, $BA$ ). Isso leva à equação $10 A + B = 2(10 B + A) - 1$ , portanto $19 B - 8 A = 1$ . A inspeção fornece o resultado $A = 7$ , $B = 3$ , e assim $AB$ é igual a 73 anos e $BA$ é igual a 37 anos. Pode-se mostrar facilmente que não há outra solução com $A$ e $B$ inteiros positivos menores que 10.

Muitos quebra-cabeças bem conhecidos no campo da matemática recreativa levam a equações diofantinas. Exemplos incluem o problema da bala de canhão, o problema do gado de Arquimedes e o macaco e os cocos.

Séculos XVII e XVIII

Em 1637, Pierre de Fermat rabiscou na margem de sua cópia da Aritmética: "É impossível separar um cubo em dois cubos, ou uma quarta potência em duas quartas potências, ou, em geral, qualquer potência maior que a segunda em duas potências semelhantes." Em linguagem mais moderna, "A equação $a n + b n = c n$ não tem soluções para nenhum $n$ maior que 2." Em seguida, ele escreveu: "Eu descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa desta proposição, que esta margem é muito estreita para conter." Tal prova iludiu os matemáticos durante séculos, no entanto, e como tal, sua declaração tornou-se famosa como o Último Teorema de Fermat. Não foi até 1995 que foi provado pelo matemático britânico Andrew Wiles.

Em 1657, Fermat tentou resolver a equação diofantina $61 x 2 + 1 = y 2$ (resolvido por Brahmagupta mais de 1000 anos antes). A equação acabou sendo resolvida por Euler no início do século 18, que também resolveu várias outras equações diofantinas. A menor solução desta equação em inteiros positivos é $x = 226153980$ , $y = 1766319049$ (consulte o método Chakravala).

Décimo problema de Hilbert

Em 1900, David Hilbert propôs a solubilidade de todas as equações diofantinas como o décimo de seus problemas fundamentais. Em 1970, Yuri Matiyasevich o resolveu negativamente, com base no trabalho de Julia Robinson, Martin Davis e Hilary Putnam para provar que não pode existir um algoritmo geral para resolver todas as equações diofantinas.

Geometria diofantina

A geometria diofantina, que é a aplicação de técnicas da geometria algébrica neste campo, continuou a crescer como resultado; como tratar equações arbitrárias é um beco sem saída, a atenção se volta para equações que também têm um significado geométrico. A ideia central da geometria diofantina é a de um ponto racional, ou seja, uma solução para uma equação polinomial ou um sistema de equações polinomiais, que é um vetor em um campo prescrito $K$ , quando $K$ não é fechado algebricamente.

Pesquisa moderna

Uma das poucas abordagens gerais é através do princípio de Hasse. A descida infinita é o método tradicional e tem sido levado longe.

A profundidade do estudo das equações diofantinas gerais é mostrada pela caracterização dos conjuntos diofantinos como equivalentemente descritos como recursivamente enumeráveis. Em outras palavras, o problema geral da análise diofantina é abençoado ou amaldiçoado com universalidade e, em todo caso, não é algo que será resolvido exceto reexpressando-o em outros termos.

O campo de aproximação diofantina trata dos casos de desigualdades diofantinas. Aqui as variáveis ainda devem ser integrais, mas alguns coeficientes podem ser números irracionais, e o sinal de igualdade é substituído por limites superior e inferior.

A questão mais célebre no campo, a conjectura conhecida como Último Teorema de Fermat, foi resolvida por Andrew Wiles, usando ferramentas de geometria algébrica desenvolvidas durante o século passado, em vez de dentro da teoria dos números, onde a conjectura foi originalmente formulado. Outros resultados importantes, como o teorema de Faltings, descartaram velhas conjecturas.

Equações diofantinas infinitas

Um exemplo de uma equação diofantina infinita é:

{displaystyle n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+cdots}

n

n

n

{displaystyle n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+cdots}

n

Equações diofantinas exponenciais

Se uma equação diofantina tem como variável adicional ou variáveis ocorrendo como expoentes, é uma equação diofantina exponencial. Os exemplos incluem a equação de Ramanujan-Nagell, $2 n - 7 = x 2$ , e a equação da conjectura de Fermat-Catalan e da conjectura de Beal, $a m + b n = c k$ com restrições de desigualdade nos expoentes. Uma teoria geral para tais equações não está disponível; casos particulares, como a conjectura do catalão, foram abordados. No entanto, a maioria é resolvida por meio de métodos ad hoc, como o teorema de Størmer ou mesmo tentativa e erro.

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