Equação de Schrödinger

O Equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear que rege a função de onda de um sistema quântico-mecânico. Sua descoberta foi um marco significativo no desenvolvimento da mecânica quântica. É nomeado após Erwin Schrödinger, que postulou a equação em 1925 e a publicou em 1926, formando a base para o trabalho que resultou em seu Prêmio Nobel de Física em 1933.

Conceitualmente, a equação de Schrödinger é a contraparte quântica da segunda lei de Newton na mecânica clássica. Devido a um conjunto de condições iniciais conhecidas, a segunda lei de Newton faz uma previsão matemática sobre o caminho que um determinado sistema físico levará ao longo do tempo. A equação de Schrödinger dá a evolução ao longo do tempo de uma função de onda, a caracterização quântica-mecânica de um sistema físico isolado. A equação foi postulada por Schrödinger com base em um postulado de Louis de Broglie que toda a matéria tem uma onda de matéria associada. A equação previu estados vinculados do átomo de acordo com observações experimentais.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de estudar sistemas de mecânica quântica e fazer previsões. Outras formulações da mecânica quântica incluem a mecânica matricial, introduzida por Werner Heisenberg, e a formulação integral de caminho, desenvolvida principalmente por Richard Feynman. Quando essas abordagens são comparadas, o uso da equação de Schrödinger é às vezes chamado de “mecânica ondulatória”. Paul Dirac incorporou a relatividade especial e a mecânica quântica em uma única formulação que simplifica a equação de Schrödinger quando os efeitos relativísticos não são significativos.

Definição

Preliminares

Cursos introdutórios de física ou química normalmente introduzem a equação de Schrödinger de uma forma que pode ser apreciada conhecendo apenas os conceitos e notações do cálculo básico, particularmente derivadas em relação ao espaço e ao tempo. Um caso especial da equação de Schrödinger que admite uma afirmação nesses termos é a equação de Schrödinger posição-espaço para uma única partícula não relativística em uma dimensão:

$$(x,t)=left[-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+V(x,t)right]Psi (x,t). ?$$

$(x,t)}$

$Não.$

$Não.$

$Não.$

$(x,t)}$

$Não.$

$- Sim.$

Ampliando além deste caso simples, a formulação matemática da mecânica quântica desenvolvida por Paul Dirac, David Hilbert, John von Neumann, e Hermann Weyl define o estado de um sistema mecânico quântico para ser um vetor $|psi rangle }$ pertencente a um (separável) Espaço de Hilbert ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Este vetor é postulado para ser normalizado sob o produto interno do espaço de Hilbert, ou seja, na notação de Dirac que obedece ${displaystyle langle psi |psi rangle - Sim.$. A natureza exata deste espaço de Hilbert depende do sistema – por exemplo, para descrever a posição e o momentum o espaço de Hilbert é o espaço de funções complexas de integração quadrada $(mathbb {C})}$, enquanto o espaço de Hilbert para a rotação de um único protão é simplesmente o espaço de vetores complexos bidimensionais ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ com o produto interno habitual.

Quantidades físicas de interesse – posição, impulso, energia, rotação – são representadas por "observáveis", que são operadores lineares hermitianos (mais precisamente, auto-ajuntos) atuando no espaço de Hilbert. Uma função de onda pode ser um eigenvector de um observável, no qual se chama um eigenstate, e o eigenvalue associado corresponde ao valor do observável nesse eigenstate. Mais geralmente, um estado quântico será uma combinação linear dos eigenstates, conhecido como uma superposição quântica. Quando um observável é medido, o resultado será um de seus valores de eigen com probabilidade dada pela regra Nascida: no caso mais simples o valor de eigen $- Sim.$ é não degenerado e a probabilidade é dada por ${displaystyle |langle lambda |psi rangle |^{2}}$, onde $|lambda rangle }$ é seu eigenvector associado. Mais geralmente, o eigenvalue é degenerado e a probabilidade é dada por ${displaystyle langle psi |P_{lambda } |psi rangle }$, onde $O que é isso?)$ é o projetor em seu eigenspace associado.

Um eigenstate momentum seria uma onda perfeitamente monocromática de extensão infinita, que não é quadrado-integrável. Da mesma forma, uma posição eigenstate seria uma distribuição Dirac delta, não integrável quadrado e tecnicamente não uma função em tudo. Consequentemente, nem pode pertencer ao espaço da partícula Hilbert. Os médicos às vezes introduzem "bases" fictícias para um espaço de Hilbert que compreende elementos fora desse espaço. Estes são inventados para conveniência cálculo e não representam estados físicos. Assim, uma função de onda de espaço de posição $(x,t)}$ como usado acima pode ser escrito como o produto interno de um vetor de estado dependente do tempo ${displaystyle |Psi (t)rangle }$ com "posição eigenstates" unphysical mas conveniente $|xrangle }$:

$${displaystyle Psi (x,t)=langle x|Psi (t)rangle.}$$

Equação dependente do tempo

A forma da equação de Schrödinger depende da situação física. A forma mais geral é a equação de Schrödinger dependente do tempo, que fornece uma descrição de um sistema evoluindo com o tempo:

Onde? $Não.$ é tempo, ${displaystyle vert Psi (t)rangle }$ é o vetor estatal do sistema quântico ($- Sim.$ sendo a letra grega psi), e ${displaystyle {hat {H}}}$ é observável, o operador Hamiltoniano.

O termo "equação de Schrödinger" pode se referir tanto à equação geral quanto à versão não relativística específica. A equação geral é de fato bastante geral, usada em toda a mecânica quântica, para tudo, desde a equação de Dirac até a teoria quântica de campos, inserindo diversas expressões para o hamiltoniano. A versão não relativística específica é uma aproximação que produz resultados precisos em muitas situações, mas apenas até certo ponto (ver mecânica quântica relativística e teoria quântica de campos relativística).

Para aplicar a equação de Schrödinger, escreva o Hamiltoniano para o sistema, representando as energias cinéticas e potenciais das partículas que constituem o sistema, insira-o na equação de Schrödinger. A equação diferencial parcial resultante é resolvida para a função de onda, que contém informações sobre o sistema. Na prática, o quadrado do valor absoluto da função de onda em cada ponto é tomado para definir uma função de densidade de probabilidade. Por exemplo, dada uma função de onda no espaço de posição $(x,t)}$ como acima, nós temos

$${displaystyle Pr(x,t)=|Psi (x,t)|^{2}.}$$

Equação independente do tempo

A equação de Schrödinger dependente do tempo descrita acima prevê que as funções de onda podem formar ondas permanentes, chamadas estados estacionários. Estes estados são particularmente importantes, pois seu estudo individual simplifica mais tarde a tarefa de resolver a equação Schrödinger dependente do tempo para qualquer um Estado. Os estados estacionários também podem ser descritos por uma forma mais simples da equação Schrödinger, a equação Schrödinger independente do tempo.

Onde? $Não.$ é a energia do sistema. Isso só é usado quando o próprio Hamiltoniano não depende do tempo explicitamente. No entanto, mesmo neste caso, a função de onda total é dependente do tempo, conforme explicado na seção sobre linearidade abaixo. Na linguagem da álgebra linear, esta equação é uma equação de valor de eigen. Portanto, a função de onda é um eigenfunction do operador Hamiltoniano com eigenvalue(s) correspondente $Não.$.

Propriedades

Linearidade

A equação de Schrödinger é uma equação diferencial linear, o que significa que se dois vetores estaduais $|psi _{1}rangle }$ e $|psi _{2}rangle }$ são soluções, então assim é qualquer combinação linear

$${displaystyle |psi rangle =a|psi _{1}rangle +b|psi _{2}rangle }$$

${displaystyle |Psi (t)rangle }$

$${displaystyle |Psi (t)rangle =sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/hbar }|psi _{E_{n}}rangle}$$

$Não. A_{n}}$

${displaystyle |psi _{E_{n}}rangle }$

${displaystyle {hat {H}}|psi _{E_{n}}rangle =E_{n}|psi _{E_{n}}rangle }$

Unidade

Segurando o Hamiltoniano ${displaystyle {hat {H}}}$ constante, a equação de Schrödinger tem a solução

$${displaystyle |Psi (t)rangle =e^{-i{hat {H}}t/hbar }|Psi (0)rangle.}$$

${displaystyle {hat {U}}(t)=e^{-i{hat) {H}}t/hbar }}$

$(0)rangle }$

$Não.$

$${displaystyle |Psi (t)rangle ={hat {U}}(t)|Psi (0)rangle }$$

${displaystyle {hat {U}}(t)}$

${displaystyle {hat {U}}(t)}$

$Não.$

$- Não.$

${displaystyle {hat {U}}(t/N)^{N}={hat {U}}(t)}$

$- Sim.$

${displaystyle {hat {U}}(t)}$

$Não.$

$${displaystyle {hat {U}}(t)=e^{-i{hat) (G}}t)$$

$(G)$

${displaystyle {hat {U}}(t)}$

${displaystyle {hat {U}}(delta t)approx {hat {U}}(0)-i{hat {G}}delta t}$

$${displaystyle {hat {U}}(delta t)^{dagger }{hat {U}}(delta t)approx ({hat {U}}(0)^{dagger }+i{hat {G}}^{dagger }delta^{ t)({hat {G}}delta t)=I+ihat {G}}dagger}$$

${displaystyle {hat {U}}(t)}$

Mudanças de base

A equação de Schrödinger é frequentemente apresentada usando quantidades que variam em função da posição, mas como uma equação de operador vetorial ela tem uma representação válida em qualquer base completa arbitrária de kets no espaço de Hilbert. Conforme mencionado acima, "bases" que estão fora do espaço físico de Hilbert também são empregados para fins de cálculo. Isso é ilustrado pelas equações de Schrödinger espaço de posição e espaço de momento para uma partícula não relativística e sem spin. O espaço de Hilbert para tal partícula é o espaço de funções quadradas integráveis complexas no espaço euclidiano tridimensional, e seu hamiltoniano é a soma de um termo de energia cinética que é quadrático no operador de momento e um termo de energia potencial:

$${displaystyle ihbar} {d}{dt}} Psi (t)rangle =left({frac {1}{2m}}{hat {p}}^{2}+{hat {V}}right)|Psi (t)rangle.}$$

$- Sim.$

$- Sim.$

$${displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi (mathbf {r}t)=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}Psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r})Psi (mathbf {r}t). ?$$

$${displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}{tilde {Psi }}(mathbf {p}t)={frac {mathbf {p} ^{2}}{2m}}{tilde {Psi }}(mathbf {p}t)+(2pimath hbar)^{-3/2}int d^{3}mathbf {p},{tilde {V}}(mathbf {p} -$$

${displaystyle Psi (mathbf {r}t)}$

$(mathbf {p}t)}$

${displaystyle |Psi (t)rangle }$

$${displaystyle Psi (mathbf {r}t)=langle mathbf {r} |Psi (t)rangle}$$

$${displaystyle {tilde {Psi }}(mathbf {p}t)=langle mathbf {p} |Psi (t)rangle}$$

${displaystyle |mathbf {r} rangle }$

${displaystyle |mathbf {p} rangle }$

Quando restringido de três dimensões a uma, a equação de espaço de posição é apenas a primeira forma da equação de Schrödinger dada acima. A relação entre posição e impulso na mecânica quântica pode ser apreciada em uma única dimensão. Na quantificação canônica, as variáveis clássicas $Não.$ e $Não.$ são promovidos a operadores autônomos $(x)$ e $- Não.$ que satisfazem a relação de comutação canônica

$${displaystyle [{hat {x}},{hat {p}}]=ihbar.}$$

$${displaystyle langle x|{hat {p}}|Psi rangle =-ihbar {frac {d}{dx}}Psi (x),}$$

$- Não.$

$Não. - Sim. Não.$

${displaystyle {hat {p}}^{2}}$

${displaystyle nabla ^{2}}$

A relação de comutação canônica também implica que as operadoras de posição e impulso são conjugadas entre si. Consequentemente, as funções originalmente definidas em termos de sua dependência de posição podem ser convertidas em funções de impulso usando a transformada de Fourier. Em física de estado sólido, a equação de Schrödinger é frequentemente escrita para funções de ímpeto, como o teorema de Bloch garante os pares potenciais de treliça de cristal periódicos $(p)}$ com $(p+K)}$ para apenas vetores de treliça recíproca discreta $Não.$. Isso torna conveniente resolver a equação de Schrödinger momentum-espaço em cada ponto na zona de Brillouin independentemente dos outros pontos na zona de Brillouin.

Probabilidade atual

A equação de Schrödinger é consistente com a conservação da probabilidade local. Multiplicando a equação de Schrödinger à direita pela função de onda conjugada complexa, e multiplicando a função de onda à esquerda do conjugado complexo da equação de Schrödinger, e subtraindo, dá a equação de continuidade para probabilidade:

$${displaystyle {frac {partial }{partial t}}rho left(mathbf {r}tright)+nabla cdot mathbf {j} =0,}$$

$${displaystyle rho =|Psi |^{2}= Psi ^{*}(mathbf {r}t)Psi (mathbf {r}t)}$$

$${displaystyle mathbf {j} ={frac {1}{2m}}left(Psi ^{*}{hat {mathbf {p} }}Psi -Psi {hat {mathbf {p} }}Psi ^{*}right)}$$

Separação de variáveis

Se o Hamiltoniano não for uma função explícita do tempo, a equação de Schrödinger será:

$${displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi (mathbf {r}t)=left[-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V(mathbf {r})right] Psi (mathbf {r}t). ?$$

$${displaystyle Psi (mathbf {r}t)=psi (mathbf {r})tau (t),}$$

${displaystyle psi (mathbf {r})}$

${displaystyle tau (t)}$

$- Sim.$

${displaystyle tau (t)}$

$${displaystyle Psi (mathbf {r}t)=psi (mathbf {r})e^{-i{Et/hbar Sim.$$

A parte espacial da função de onda completa resolve:

$$(mathbf {r})+{frac {2m}{hbar ^{2}}}left[E-V(mathbf {r})right]psi (mathbf {r})=0.}$$

$Não.$

Isso generaliza para qualquer número de partículas em qualquer número de dimensões (em um potencial independente do tempo): as soluções de ondas estacionárias da equação dependente do tempo são os estados com energia definida, em vez de uma distribuição de probabilidade de diferentes energias. Na física, essas ondas estacionárias são chamadas de "estados estacionários" ou "estados próprios de energia"; em química eles são chamados de "orbitais atômicos" ou "orbitais moleculares". Superposições de estados próprios de energia mudam suas propriedades de acordo com as fases relativas entre os níveis de energia. Os estados próprios de energia formam uma base: qualquer função de onda pode ser escrita como uma soma sobre os estados de energia discretos ou uma integral sobre estados de energia contínuos, ou mais geralmente como uma integral sobre uma medida. Este é o teorema espectral em matemática e, em um espaço de estados de dimensão finita, é apenas uma afirmação da completude dos autovetores de uma matriz Hermitiana.

A separação de variáveis também pode ser um método útil para a equação de Schrödinger independente do tempo. Por exemplo, dependendo da simetria do problema, os eixos cartesianos podem ser separados,

$${displaystyle psi (mathbf {r})=psi _{x}(x)psi _{y}(y)psi _{z}(z),}$$

$${displaystyle psi (mathbf {r})=psi _{r}(r)psi _{theta }(theta)psi _{phi }(phi).}$$

Exemplos

Partícula em uma caixa

A partícula em uma caixa de energia potencial unidimensional é o exemplo mais matematicamente simples onde as restrições levam à quantificação dos níveis de energia. A caixa é definida como tendo zero energia potencial interior uma determinada região e uma energia potencial infinita fora. Para o caso unidimensional no $Não.$ direção, a equação Schrödinger independente do tempo pode ser escrita

$$Não. - Sim. ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=Epsi.}$$

Com o operador diferencial definido por

$${displaystyle {hat {p}}_{x}=-ihbar - Sim.$$

$$Não. {p}}_{x}^{2}=E,}$$

$- Sim.$

$Não.$

As soluções gerais da equação de Schrödinger para a partícula em uma caixa são

$${displaystyle psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}qquad qquad E={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}}}$$

$${displaystyle psi (x)=Csin(kx)+Dcos(kx). ?$$

As paredes potenciais infinitas da caixa determinam os valores de $- Sim.$ e $Não.$ em $- Sim.$ e $- Sim.$ Onde? $- Sim.$ Deve ser zero. Assim, $- Sim.$,

$$(0)=0=Csin(0)+Dcos(0)=D}$$

$- Sim.$

$- Sim.$

$${displaystyle psi (L)=0=Csin(kL),}$$

$Não. C.$

$- Sim.$

${displaystyle sin(kL)=0}$

$- Sim.$

$- Sim.$

$$- Sim. (em inglês) }{L}}qquad qquad n=1,2,3,ldots.}$$

Esta restrição $Não.$ implica uma restrição nos níveis de energia, produzindo

$$Não. E_{n}={frac {displaystyle ^{2}pi} ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}}}.}$$

Um poço de potencial finito é a generalização do problema do poço de potencial infinito para poços potenciais com profundidade finita. O problema do poço de potencial finito é matematicamente mais complicado do que o problema da partícula infinita em uma caixa, pois a função de onda não está fixada em zero nas paredes do poço. Em vez disso, a função de onda deve satisfazer condições de contorno matemáticas mais complicadas, uma vez que é diferente de zero em regiões fora do poço. Outro problema relacionado é o da barreira de potencial retangular, que fornece um modelo para o efeito de tunelamento quântico que desempenha um papel importante no desempenho de tecnologias modernas, como memória flash e microscopia de tunelamento de varredura.

Oscilador harmônico

A equação de Schrödinger para esta situação é

$$Não. Epsi =-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}}{dx^{2}}}psi +{frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}psi}$$

$Não.$

$- Sim.$

As soluções no espaço de posição são

$${displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}} left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4} e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}} {mathcal {H}}_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),}$$

${displaystyle nin {0,1,2,ldots }}$

${displaystyle {mathcal {H}}_{n}}$

$Não.$

$${displaystyle psi _{n}(x)={frac {1}{sqrt {n!}}}left({sqrt {frac {momega }{2hbar }}}right)^{n}left(x-{frac - Não. }}{frac {d}{dx}}right)^{n}left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{frac {1}{4}}e^{frac {momega} x^{2}}{2hbar }}.}$$

Os autovalores são

$$Não. E_{n}=left(n+{frac {1}{2}}right)hbar omega.}$$

Processo $Não.$ é chamado de estado de terra, sua energia é chamada de energia de ponto zero, e a função de onda é um gaussiano.

O oscilador harmônico, como a partícula em uma caixa, ilustra a característica genérica da equação de Schrödinger de que as energias dos autoestados ligados são discretizadas.

Átomo de hidrogênio

A equação de Schrödinger para o elétron em um átomo de hidrogênio (ou em um átomo semelhante ao hidrogênio) é

$$Não. Epsi =- {hbar ^{2}}{2mu }}nabla ^{2}psi - Sim. {q^{2}}{4pi varepsilon _{0}r}}psi }$$

$Não.$

$- Sim.$

${displaystyle r=|mathbf {r} |}$

${displaystyle varepsilon _{0}}$

$${displaystyle mu ={frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$

$Não. m_{p}}$

$Não. m_{q}}$

A equação de Schrödinger para um átomo de hidrogênio pode ser resolvida pela separação de variáveis. Neste caso, as coordenadas polares esféricas são as mais convenientes. Por isso,

$${displaystyle psi (r,thetavarphi)=R(r)Y_{ell }^{m}(thetavarphi)=R(r)Theta (theta)Phi (varphi),}$$

$Não. Y_{l}^{m}(thetavarphi)}$

$- Sim.$

$Não.$

$${displaystyle psi _{nell m}(r,thetavarphi)={sqrt {left({frac) {2}{na_{0}}}right)^{3}{frac {(n-ell -1)!}{2n[(n+ell)]}}e^{-r/na_{0}}left({frac {2r}{na_{0}}}right)^{ell }L_{n-ell -1}^{2ell +1}left({frac {2r}{na_{0}}}right)cdot Y_{ell }^{m}(thetavarphi)}$$

• $Não. a_{0}={frac (em inglês) - Sim. _{0}hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$ é o raio de Bohr,
• $Não. L_{n-ell -1}^{2ell +1}(cdots)}$ são os polinômios Laguerre generalizados de grau $- Sim.$,
• $Não.$ são os números quânticos principais, azimutais e magnéticos, respectivamente, que tomam os valores $- Sim.$ ${displaystyle ell =0,1,2,dotsn-1,}$ $Não. m=-elldotsell.}$

Soluções aproximadas

Normalmente não é possível resolver a equação de Schrödinger exatamente para situações de interesse físico. Conseqüentemente, soluções aproximadas são obtidas usando técnicas como métodos variacionais e aproximação WKB. Também é comum tratar um problema de interesse como uma pequena modificação em um problema que pode ser resolvido com exatidão, um método conhecido como teoria das perturbações.

Limite semiclássico

Uma maneira simples de comparar o clássico com a mecânica quântica é considerar a evolução do tempo da esperado posição e esperado momentum, que pode então ser comparado com a evolução do tempo da posição comum e impulso na mecânica clássica. Os valores de expectativa quântica satisfazem o teorema Ehrenfest. Para uma partícula quântica unidimensional que se move em um potencial $Não.$, o teorema do Ehrenfest diz

$$- Sim. {d}{dt}}langle xrangle =langle prangle;quad {frac {d}{dt}}langle prangle =-leftlangle V'(X)rightrangle.}$$

$(langle Xranglelangle Prangle)}$

$${displaystyle -V'left(leftlangle Xrightrangle right)}$$

$Não. -leftlangle V'(X)rightrangle }$

$Não.$

$Não.$

Para sistemas gerais, o melhor que podemos esperar é que a posição e o impulso esperados aproximadamente aproximadamente siga as trajetórias clássicas. Se a função de onda é altamente concentrada em torno de um ponto ${displaystyle x_{0}}$, então ${displaystyle V'left(leftlangle Xrightrangle right)}$ e ${displaystyle leftlangle V'(X)rightrangle }$ será quase quase quase o mesmo, uma vez que ambos serão aproximadamente iguais $(x_{0})}$. Nesse caso, a posição esperada e o impulso esperado permanecerão muito perto das trajetórias clássicas, pelo menos enquanto a função de onda permanecer altamente localizada na posição.

A equação de Schrödinger em sua forma geral

$${displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi left(mathbf {r}tright)={hat {H}}Psi left(mathbf {r}tright)}$$

$${displaystyle -{frac {partial }{partial t}}S(q_{i},t)=Hleft(q_{i},{frac {partial S}{partial q_{i}}}, tright)}$$

$Não. S.$

$Não. H.$

$Não. q_{i}}$

$Não.$

${displaystyle mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

Substituindo

$${displaystyle Psi ={sqrt {rho (mathbf {r}t)}}e^{iS(mathbf {r}t)/hbar }}$$

$- Sim.$

${displaystyle hbar to 0$

Matrizes de densidade

As funções de onda nem sempre são a maneira mais conveniente de descrever sistemas quânticos e seu comportamento. Quando a preparação de um sistema é conhecida apenas de forma imperfeita, ou quando o sistema sob investigação faz parte de um todo maior, podem ser utilizadas matrizes de densidade. Uma matriz de densidade é um operador semidefinido positivo cujo traço é igual a 1. (O termo "operador de densidade" também é usado, particularmente quando o espaço de Hilbert subjacente é de dimensão infinita.) O conjunto de todas as densidades matrizes são convexas e os pontos extremos são os operadores que se projetam em vetores no espaço de Hilbert. Estas são as representações da matriz de densidade das funções de onda; na notação de Dirac, eles são escritos

$$- Não. }}=|Psi rangle langle Psi |.}$$

O análogo de densidade-matriz da equação de Schrödinger para funções de onda é

$${displaystyle ihbar {frac {partial {displaystyle ihbar {frac {partial} {displaystyle ihbar {frac {paral} {hat {rho }}}{partial t}}=[{hat {H}},{hat {rho }}],}$$

$$(t)=e^{-i{hat {H}}t/hbar }{hat {rho }}(0)e^{i{hat {H}}t/hbar }$$

Mais geralmente, se o operador unitário ${displaystyle {hat {U}}(t)}$ descreve a evolução da função de onda ao longo de algum intervalo de tempo, então a evolução do tempo de uma matriz de densidade sobre esse mesmo intervalo é dada por

$${displaystyle {hat {rho }}(t)={hat {U}}(t){hat {rho }}(0){hat {U}}(t)^{dagger }.}$$

A evolução unitária de uma matriz de densidade conserva sua entropia de von Neumann.

Física quântica relacional e teoria quântica do campo

A equação de Schrödinger de uma partícula descrita acima é válida essencialmente no domínio não relativístico. Por uma razão, é essencialmente invariante nas transformações galileanas, que constituem o grupo de simetria da dinâmica newtoniana. Além disso, os processos que alteram o número de partículas são naturais na relatividade e, portanto, uma equação para uma partícula (ou qualquer número fixo dela) só pode ter uso limitado. Uma forma mais geral da equação de Schrödinger que também se aplica em situações relativísticas pode ser formulada dentro da teoria quântica de campos (QFT), uma estrutura que permite a combinação da mecânica quântica com a relatividade especial. A região em que ambos se aplicam simultaneamente pode ser descrita pela mecânica quântica relativística. Tais descrições podem utilizar a evolução temporal gerada por um operador hamiltoniano, como no método funcional de Schrödinger.

Equações Klein-Gordon e Dirac

As tentativas de combinar a física quântica com a relatividade especial começaram com a construção de equações de onda relativísticas a partir da relação relativística energia-momento

$${displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+left(m_{0}c^{2}right)^{2},}$$

$$(1}{c^{2}}} frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}psi +nabla ^{2}psi - Sim. {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}psi}$$

${displaystyle alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3},beta }$

$${displaystyle left(beta mc^{2}+cleft(sum _{nmathop {=} 1}^{3}alpha _{n}p_{n}right)right)psi =ihbar {fracpartial psi }{partial - Sim.$$

Isso tem novamente a forma da equação de Schrödinger, com a derivada temporal da função de onda sendo dada por um operador hamiltoniano atuando sobre a função de onda. Incluir influências sobre a partícula requer a modificação do operador hamiltoniano. Por exemplo, o hamiltoniano de Dirac para uma partícula de massa m e carga elétrica q em um campo eletromagnético (descrito pelos potenciais eletromagnéticos φ e A) é:

$${displaystyle {hat {H}}_{text{Dirac}}=gamma ^{0}left[c{boldsymbol {gamma }}cdot left({hat {mathbf {p}) }}-qmathbf {A} right)+mc^{2}+gamma ^{0}qvarphi right],}$$

Para a equação de Klein-Gordon, a forma geral da equação de Schrödinger é inconveniente de usar e, na prática, o hamiltoniano não é expresso de forma análoga ao hamiltoniano de Dirac. As equações para campos quânticos relativísticos, das quais as equações de Klein-Gordon e Dirac são dois exemplos, podem ser obtidas de outras maneiras, como partindo de uma densidade Lagrangiana e usando as equações de Euler-Lagrange para campos, ou usando a teoria de representação de o grupo de Lorentz no qual certas representações podem ser usadas para fixar a equação para uma partícula livre de determinado spin (e massa).

Em geral, o hamiltoniano a ser substituído na equação geral de Schrödinger não é apenas uma função dos operadores de posição e momento (e possivelmente do tempo), mas também de matrizes de spin. Além disso, as soluções para uma equação de onda relativística, para uma partícula massiva de spin s, têm valores complexos < span class="texhtml">2(2s + 1)-component campos espinor.

Espaço Fock

Como originalmente formulado, a equação Dirac é uma equação para uma única partícula quântica, assim como a equação Schrödinger de uma única partícula com função de onda $(x,t)}$. Isto é de uso limitado na mecânica quântica relativista, onde o número de partículas não é fixo. Heurísticamente, esta complicação pode ser motivada por notar que a equivalência de massa-energia implica partículas materiais podem ser criadas a partir da energia. Uma maneira comum de abordar isso no QFT é introduzir um espaço de Hilbert onde os estados de base são rotulados pelo número de partículas, um chamado espaço Fock. A equação de Schrödinger pode então ser formulada para estados quânticos neste espaço de Hilbert. No entanto, porque a equação de Schrödinger escolhe um eixo de tempo preferido, a invariância de Lorentz da teoria não é mais manifesta e, portanto, a teoria é muitas vezes formulada de outras maneiras.

Histórico

Após a quantificação da luz de Max Planck (ver radiação de corpo negro), Albert Einstein interpretou a quanta de Planck como fótons, partículas de luz e propôs que a energia de um fóton é proporcional à sua frequência, um dos primeiros sinais de dualidade de onda-partícula. Uma vez que a energia e o impulso estão relacionados da mesma forma que a frequência e o número de onda na relatividade especial, seguiu-se que o impulso $Não.$ de um fóton é inversamente proporcional ao seu comprimento de onda $- Sim.$, ou proporcional ao seu número de onda $Não.$:

$$- Sim. Não. }}=hbar k,}$$

$Não.$

${displaystyle hbar ?)$

$Não. L.$

$$L=n{frac {h}{2pi }}=nhbar.}$$

$${displaystyle nlambda =2pi r.}$$

Esta abordagem confinou essencialmente a onda de elétrons em uma dimensão, ao longo de uma órbita circular de raio $Não.$.

Em 1921, antes de de Broglie, Arthur C. Lunn, da Universidade de Chicago, usou o mesmo argumento baseado na conclusão do vetor relativístico energia-momento 4 para derivar o que hoje chamamos de relação de de Broglie. Ao contrário de de Broglie, Lunn formulou a equação diferencial agora conhecida como equação de Schrödinger e resolveu seus autovalores de energia para o átomo de hidrogênio; o artigo foi rejeitado pela Physical Review, segundo Kamen.

Seguindo as ideias de De Broglie, o físico Peter Debye fez um comentário improvisado de que se as partículas se comportassem como ondas, elas deveriam satisfazer algum tipo de equação de onda. Inspirado pela observação de Debye, Schrödinger decidiu encontrar uma equação de onda tridimensional adequada para o elétron. Ele foi guiado pela analogia de William Rowan Hamilton entre mecânica e óptica, codificada na observação de que o limite do comprimento de onda zero da óptica se assemelha a um sistema mecânico - as trajetórias dos raios de luz tornam-se trilhas nítidas que obedecem ao princípio de Fermat., um análogo do princípio da menor ação.

A equação que ele encontrou é

$${displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi (mathbf {r}t)=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}Psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r})Psi (mathbf {r}t). ?$$

Naquela época, Arnold Sommerfeld havia refinado o modelo de Bohr com correções relativísticas. Schrödinger usou a relação relativística energia-momento para encontrar o que hoje é conhecido como equação de Klein-Gordon em um potencial de Coulomb (em unidades naturais):

$${displaystyle left(E+{frac {e^{2}}{r}}right)^{2}psi (x)=-nabla ^{2}psi (x)+m^{2}psi (x).}$$

Ele encontrou as ondas estacionárias desta equação relativística, mas as correções relativísticas discordaram da fórmula de Sommerfeld. Desanimado, ele deixou de lado seus cálculos e isolou-se com uma amante em uma cabana na montanha em dezembro de 1925.

Enquanto estava na cabine, Schrödinger decidiu que seus cálculos não relativos anteriores eram novos o suficiente para publicar e decidiu deixar de lado o problema das correções relativistas para o futuro. Apesar das dificuldades em resolver a equação diferencial para hidrogênio (ele tinha procurado ajuda de seu amigo o matemático Hermann Weyl) Schrödinger mostrou que sua versão não-relativista da equação de onda produziu as energias espectrais corretas de hidrogênio em um artigo publicado em 1926. Schrödinger computou a série espectral de hidrogênio, tratando o elétron de um átomo de hidrogênio como uma onda ${displaystyle Psi (mathbf {x}t)}$, movendo-se em um poço potencial $Não.$, criado pelo próton. Esta computação reproduziu com precisão os níveis de energia do modelo Bohr.

A equação de Schrödinger detalha o comportamento de $- Sim.$ mas não diz nada natureza. Schrödinger tentou interpretar a parte real de $Não. Psi {frac {partial Psi ^{*}}{partial t}}}$ como uma densidade de carga e, em seguida, revisou esta proposta, dizendo em seu próximo artigo que o módulo quadrado de $- Sim.$ é uma densidade de carga. Esta abordagem foi, no entanto, mal sucedida. Em 1926, poucos dias depois que este artigo foi publicado, Max Born interpretado com sucesso $- Sim.$ como a amplitude de probabilidade, cujo modulus quadrado é igual à densidade de probabilidade. Mais tarde, Schrödinger explicou esta interpretação da seguinte forma:

A função psi já mencionada... é agora o meio para prever a probabilidade de resultados de medição. Nele é encarnado a soma momentaneamente alcançada de expectativa futura teoricamente baseada, um pouco como estabelecido em um catálogo.

—O que é que se passa?

Interpretação

A equação de Schrödinger fornece uma maneira de calcular a função de onda de um sistema e como ela muda dinamicamente no tempo. No entanto, a equação de Schrödinger não diz diretamente qual é exatamente a função de onda. O significado da equação de Schrödinger e como as entidades matemáticas nela contidas se relacionam com a realidade física dependem da interpretação da mecânica quântica que se adota.

Nas visões frequentemente agrupadas como a interpretação de Copenhague, a função de onda de um sistema é uma coleção de informações estatísticas sobre esse sistema. A equação de Schrödinger relaciona informações sobre o sistema em um momento com informações sobre ele em outro. Embora o processo de evolução temporal representado pela equação de Schrödinger seja contínuo e determinístico, na medida em que conhecer a função de onda num instante é, em princípio, suficiente para calculá-la para todos os tempos futuros, as funções de onda também podem mudar de forma descontínua e estocasticamente durante uma medição. A função de onda muda, de acordo com esta escola de pensamento, porque novas informações estão disponíveis. A função de onda pós-medição geralmente não pode ser conhecida antes da medição, mas as probabilidades para as diferentes possibilidades podem ser calculadas usando a regra de Born. Outras interpretações mais recentes da mecânica quântica, como a mecânica quântica relacional e o QBismo, também conferem à equação de Schrödinger um status desse tipo.

O próprio Schrödinger sugeriu em 1952 que os diferentes termos de uma superposição evoluindo sob a equação de Schrödinger “não são alternativas, mas todos realmente acontecem simultaneamente”. Isto foi interpretado como uma versão inicial da interpretação de muitos mundos de Everett. Esta interpretação, formulada de forma independente em 1956, sustenta que todas as possibilidades descritas pela teoria quântica simultaneamente ocorrem num multiverso composto principalmente por universos paralelos independentes. Esta interpretação remove o axioma do colapso da função de onda, deixando apenas a evolução contínua sob a equação de Schrödinger, e assim todos os estados possíveis do sistema medido e do aparelho de medição, juntamente com o observador, estão presentes numa superposição quântica física real. Embora o multiverso seja determinístico, percebemos um comportamento não determinístico governado por probabilidades, pois não observamos o multiverso como um todo, mas apenas um universo paralelo por vez. Exatamente como isso deveria funcionar tem sido objeto de muito debate. Por que deveríamos atribuir probabilidades a resultados que certamente ocorrerão em alguns mundos, e por que as probabilidades deveriam ser dadas pela regra de Born? Foram propostas diversas maneiras de responder a essas questões na estrutura de muitos mundos, mas não há consenso sobre se elas serão bem-sucedidas.

A mecânica bohmiana reformula a mecânica quântica para torná-la determinística, ao preço de torná-la explicitamente não-local (um preço exigido pelo teorema de Bell). Atribui a cada sistema físico não apenas uma função de onda, mas também uma posição real que evolui deterministicamente sob uma equação orientadora não local. A evolução de um sistema físico é sempre dada pela equação de Schrödinger juntamente com a equação orientadora.