Endomorfismo

Projeção ortogonal em uma linha, m, é um operador linear no avião. Este é um exemplo de um endomorfismo que não é um automorfismo.

Na matemática, um endomorfismo é um morfismo de um objeto matemático para si mesmo. Um endomorfismo que também é um isomorfismo é um automorfismo. Por exemplo, um endomorfismo de um espaço vetorial V é um mapa linear f: V → V, e um endomorfismo de um grupo G é um homomorfismo de grupo f: G → G. Em geral, podemos falar sobre endomorfismos em qualquer categoria. Na categoria de conjuntos, endomorfismos são funções de um conjunto S para si mesmo.

Em qualquer categoria, a composição de quaisquer dois endomorfismos de X é novamente um endomorfismo de X. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de X forma um monóide, o monóide de transformação completa, e denotado End(X) (ou Fim_C(X) para enfatizar a categoria C).

Automorfismos

Um endomorfismo invertível de X é chamado de automorfismo. O conjunto de todos os automorfismos é um subconjunto de End(X) com uma estrutura de grupo, chamada grupo de automorfismo de X e denotado Aut(X). No diagrama a seguir, as setas denotam implicação:

Anéis de endomorfismo

Quaisquer dois endomorfismos de um grupo abeliano, A, podem ser somados pela regra (f + g)(a) = f(a) + g (a). Sob esta adição, e sendo a multiplicação definida como composição de funções, os endomorfismos de um grupo abeliano formam um anel (o anel de endomorfismo). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de ℤⁿ é o anel de todos os n × n com entradas inteiras. Os endomorfismos de um espaço vetorial ou módulo também formam um anel, assim como os endomorfismos de qualquer objeto em uma categoria pré-aditiva. Os endomorfismos de um grupo nonabeliano geram uma estrutura algébrica conhecida como anel próximo. Todo anel com um é o anel de endomorfismo de seu módulo regular, e assim é um subanel de um anel de endomorfismo de um grupo abeliano; porém existem anéis que não são o anel de endomorfismo de nenhum grupo abeliano.

Teoria do operador

Em qualquer categoria concreta, especialmente para espaços vetoriais, os endomorfismos são aplicações de um conjunto em si mesmo, e podem ser interpretados como operadores unários desse conjunto, atuando sobre os elementos, permitindo definir a noção de órbitas dos elementos, etc..

Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em questão (topologia, métrica,...), tais operadores podem ter propriedades como continuidade, limitação e assim por diante. Mais detalhes devem ser encontrados no artigo sobre a teoria dos operadores.

Endofunções

Uma endofunção é uma função cujo domínio é igual ao seu contradomínio. Uma endofunção homomórfica é um endomorfismo.

Seja S um conjunto arbitrário. Entre as endofunções em S encontram-se permutações de S e funções constantes associando a cada x em S o mesmo elemento c em S. Toda permutação de S tem o contradomínio igual ao seu domínio e é bijetiva e invertível. Se S tiver mais de um elemento, uma função constante em S tem uma imagem que é um subconjunto próprio de seu contradomínio e, portanto, não é bijetiva (e, portanto, não invertível). A função que associa a cada número natural n o andar de n/2 tem sua imagem igual ao seu contradomínio e não é invertível.

Endofunções finitas são equivalentes a pseudoflorestas direcionadas. Para conjuntos de tamanho n existem nⁿ endofunções no conjunto.

Exemplos particulares de endofunções bijetivas são as involuções; ou seja, as funções coincidentes com seus inversos.