Elipse

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Curva de avião: seção conic

Uma elipse (vermelho) obtida como interseção de um cone com um plano inclinado.

Elipse: notações

Ellipses: exemplos com crescente excentricidade

Em matemática, um Elipse é uma curva de plano em torno de dois pontos focais, que para todos os pontos na curva, a soma das duas distâncias para os pontos focais é uma constante. Generaliza um círculo, que é o tipo especial de elipse em que os dois pontos focais são os mesmos. O alongamento de uma elipse é medido por sua excentricidade $e$ , um número que varia de $e=0$ (o caso limite de um círculo) $e=1$ (o caso limitante de alongamento infinito, não mais um elipse, mas um parabola).

Uma elipse tem uma solução algébrica simples para sua área, mas apenas aproximações para seu perímetro (também conhecido como circunferência), para o qual a integração é necessária para obter uma solução exata.

Analytically, a equação de uma elipse padrão centrada na origem com largura $2a$ e altura $2b$ é:

{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

Assumindo $a ge b$ , os focos são ${displaystyle (pm c,0)}$ para ${textstyle c={sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ . A equação paramétrica padrão é:

{displaystyle (x,y)=(acos(t),bsin(t))quad {text{for}}quad 0leq tleq 2pi.}

Elipses são o tipo fechado de seção cônica: uma curva plana traçando a interseção de um cone com um plano (veja a figura). As elipses têm muitas semelhanças com as outras duas formas de seções cônicas, parábolas e hipérboles, ambas abertas e ilimitadas. Uma seção transversal angular de um cilindro também é uma elipse.

Uma elipse também pode ser definida em termos de um ponto focal e uma linha fora da elipse chamada diretriz: para todos os pontos da elipse, a razão entre a distância ao foco e a distância à diretriz é uma constante. Esta relação constante é a excentricidade acima mencionada:

{displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}

Elipses são comuns em física, astronomia e engenharia. Por exemplo, a órbita de cada planeta no Sistema Solar é aproximadamente uma elipse com o Sol em um ponto de foco (mais precisamente, o foco é o baricentro do par Sol-planeta). O mesmo é verdade para luas orbitando planetas e todos os outros sistemas de dois corpos astronômicos. As formas de planetas e estrelas são muitas vezes bem descritas por elipsóides. Um círculo visto de um ângulo lateral parece uma elipse: ou seja, a elipse é a imagem de um círculo sob projeção paralela ou perspectiva. A elipse é também a figura de Lissajous mais simples formada quando os movimentos horizontal e vertical são sinusóides com a mesma frequência: um efeito semelhante leva à polarização elíptica da luz na óptica.

O nome, ἔλλειψις (élleipsis, "omissão"), foi dada por Apolônio de Perga em suas Cônicas.

Definição como lugar geométrico dos pontos

Ellipse: definição por soma de distâncias para foci

Ellipse: definição por foco e directrix circular

Uma elipse pode ser definida geometricamente como um conjunto ou lugar geométrico de pontos no plano euclidiano:

Considerando dois pontos fixos $F_{1},F_{2}$ chamado de foci e uma distância $2a$ que é maior do que a distância entre os foci, a elipse é o conjunto de pontos $P$ tal que a soma das distâncias ${displaystyle |PF_{1}|, |PF_{2}|}$ é igual a $2a$ : ${displaystyle E=left{Pin mathbb {R} ^{2},mid ,|PF_{2}|+|PF_{1}|=2aright}.}$

O ponto médio $C$ do segmento de linha que une os foci é chamado de centro da elipse. A linha através dos foci é chamada de eixo principal, e a linha perpendicular a ele através do centro é o eixo menor. O eixo principal interseta a elipse em dois vértices ${displaystyle V_{1},V_{2}}$ , que têm distância $a$ ao centro. A distância $c$ do foci ao centro chama-se o distância focal ou excentricidade linear. O quociente ${displaystyle e={tfrac {c}{a}}}$ é o excentricidade.

Processo ${displaystyle F_{1}=F_{2}}$ produz um círculo e é incluído como um tipo especial de elipse.

A equação ${displaystyle |PF_{2}|+|PF_{1}|=2a}$ pode ser visto de uma forma diferente (ver figura):

Se $c_{2}$ é o círculo com centro $F_{2}$ e raio $2a$ , então a distância de um ponto $P$ ao círculo $c_{2}$ igual a distância ao foco $F_{1}$ :
${displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$

$c_{2}$ é chamado de eixo circular (relacionado ao foco $F_{2}$ ) da elipse. Esta propriedade não deve ser confundida com a definição de uma elipse usando uma linha directrix abaixo.

Usando esferas de Dandelin, pode-se provar que qualquer seção de um cone com um plano é uma elipse, assumindo que o plano não contém o ápice e tem inclinação menor que a das linhas no cone.

Em coordenadas cartesianas

Parâmetros de forma:
um: eixo semi-major,
b): eixo semi-minor,
c: excentricidade linear,
p: semi-latus rectum (geralmente) $ell$ ).

Equação padrão

A forma padrão de uma elipse em coordenadas cartesianas assume que a origem é o centro da elipse, o eixo x é o eixo principal e:

os focos são os pontos ${displaystyle F_{1}=(c,,0), F_{2}=(-c,,0)}$ ,

os vértices são ${displaystyle V_{1}=(a,,0), V_{2}=(-a,,0)}$ .

Para um ponto arbitrário $(x,y)$ a distância para o foco $(c,0)$ o ${textstyle {sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ e para o outro foco ${textstyle {sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ . Daí o ponto ${displaystyle (x,,y)}$ está na elipse sempre:

${displaystyle {sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a.}$

Removendo os radicais por squarings adequados e usando ${displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ (ver diagrama) produz a equação padrão da elipse:

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

ou, resolvido para y:

${displaystyle y=pm {frac {b}{a}}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}=pm {sqrt {left(a^{2}-x^{2}right)left(1-e^{2}right)}}.}$

Os parâmetros de largura e altura ${displaystyle a,;b}$ são chamados de machados semi-major e semi-minor. Os pontos superiores e inferiores ${displaystyle V_{3}=(0,,b),;V_{4}=(0,,-b)}$ são os co-vertices. As distâncias de um ponto ${displaystyle (x,,y)}$ na elipse para a esquerda e direita foci são ${displaystyle a+ex}$ e ${displaystyle a-ex}$ .

Resulta da equação que a elipse é simétrica em relação aos eixos coordenados e, portanto, em relação à origem.

Parâmetros

Eixos principais

Ao longo deste artigo, os eixos semi-major e semi-minor são denotados $a$ e $b$ , respectivamente, i.e. $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">um≥ ≥ b)>0.{displaystyle ageq b>0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6a707a53ecd77a2ad7084d41980ec4b9e9f65e" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.814ex; height:2.343ex;"/>$

Em princípio, a equação elipse canônica ${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ pode ter $<math alttext="{displaystyle a um<b)- Sim. <img alt="a$ (e, portanto, a elipse seria mais alta do que é larga). Este formulário pode ser convertido para o formulário padrão, transpondo os nomes variáveis $x$ e $y$ e os nomes dos parâmetros $a$ e ${displaystyle b.}$

Excentricidade linear

Esta é a distância do centro para um foco: ${displaystyle c={sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ .

Excentricidade

A excentricidade pode ser expressa como:

${displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-left({frac {b}{a}}right)^{2}}},}$

supondo $b.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">um>b).Não. b.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f3dbc209b9e7a3f89d6b918f0f67a5fd7cc2d6" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.973ex; height:2.176ex;"/>$ Uma elipse com eixos iguais ( $a=b$ ) tem zero excentricidade, e é um círculo.

Semi-latus reto

O comprimento do acorde através de um foco, perpendicular ao eixo principal, é chamado o latus rectum. Uma metade é o semi-latus rectum $ell$ . Um cálculo mostra:

${displaystyle ell ={frac {b^{2}}{a}}=aleft(1-e^{2}right).}$

O semi-latus rectum $ell$ é igual ao raio da curvatura nos vértices (ver curvatura da seção).

Tangente

Uma linha arbitrária $g$ intersecta uma elipse em 0, 1 ou 2 pontos, respectivamente chamado de linha exterior, tangente e Secação. Através de qualquer ponto de uma elipse há um tangente único. O tangente em um ponto ${displaystyle (x_{1},,y_{1})}$ da elipse ${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ tem a equação de coordenadas:

${displaystyle {frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$

Uma equação paramétrica vetorial da tangente é:

${displaystyle {vec {x}}={begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}end{pmatrix}}+s{begin{pmatrix};!-y_{1}a^{2}\; x_{1}b^{2}end{pmatrix}} }$ com ${displaystyle sin mathbb {R} .}$

Prova:Vamos. ${displaystyle (x_{1},,y_{1})}$ ser um ponto em uma elipse e ${textstyle {vec {x}}={begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}end{pmatrix}}+s{begin{pmatrix}u\vend{pmatrix}}}$ ser a equação de qualquer linha $g$ contendo ${displaystyle (x_{1},,y_{1})}$ . Inserindo a equação da linha na equação elipse e respeitando ${displaystyle {frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$ Rendimentos:

${displaystyle {frac {left(x_{1}+suright)^{2}}{a^{2}}}+{frac {left(y_{1}+svright)^{2}}{b^{2}}}=1 quad Longrightarrow quad 2sleft({frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{frac {y_{1}v}{b^{2}}}right)+s^{2}left({frac {u^{2}}{a^{2}}}+{frac {v^{2}}{b^{2}}}right)=0.}$

Há então casos:

${displaystyle {frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$ Então linha $g$ e a elipse tem apenas ponto ${displaystyle (x_{1},,y_{1})}$ em comum, e $g$ é um tangente. A direção tangente tem vetor perpendicular ${displaystyle {begin{pmatrix}{frac {x_{1}}{a^{2}}}&{frac {y_{1}}{b^{2}}}end{pmatrix}}}$ , então a linha tangente tem equação ${textstyle {frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$ para alguns $k$ . Porque... ${displaystyle (x_{1},,y_{1})}$ é sobre o tangente e a elipse, um obtém $k=1$ .
${displaystyle {frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{frac {y_{1}}{b^{2}}}vneq 0.}$ Então linha $g$ tem um segundo ponto em comum com a elipse, e é um secante.

Usando (1) alguém descobre que ${displaystyle {begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}end{pmatrix}}}$ é um vetor tangente no ponto ${displaystyle (x_{1},,y_{1})}$ , que prova a equação vetorial.

Se $(x_{1},y_{1})$ e $(u,v)$ são dois pontos da elipse tal que ${textstyle {frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$ , então os pontos estão sobre dois conjugar diâmetros (veja abaixo). (Se $a=b$ , a elipse é um círculo e "conjugado" significa "ortogonal".)

Elipse deslocada

Se a elipse padrão é deslocada para ter centro ${displaystyle left(x_{circ },,y_{circ }right)}$ , sua equação é

${displaystyle {frac {left(x-x_{circ }right)^{2}}{a^{2}}}+{frac {left(y-y_{circ }right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Os eixos ainda estão paralelos aos eixos x e y.

Elipse geral

Na geometria analítica, a elipse é definida como um quadric: o conjunto de pontos ${displaystyle (X,,Y)}$ do plano cartesiano que, em casos não degenerados, satisfaz a equação implícita

${displaystyle AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0}$

fornecido $<math alttext="{displaystyle B^{2}-4ACB2- Sim. - Sim. 4AC<0.Não. B^{2}-4AC<0.}<img alt="B^{2}-4AC$

Para distinguir os casos degenerados dos não degenerados, seja ∆ o determinante

${displaystyle Delta ={begin{bmatrix}A&{frac {1}{2}}B&{frac {1}{2}}D\{frac {1}{2}}B&C&{frac {1}{2}}E\{frac {1}{2}}D&{frac {1}{2}}E&Fend{bmatrix}}=left(AC-{frac {B^{2}}{4}}right)F+{frac {BED}{4}}-{frac {CD^{2}}{4}}-{frac {AE^{2}}{4}}.}$

Então a elipse é uma elipse real não degenerada se e somente se C∆ < 0. Se C∆ > 0, temos uma elipse imaginária, e se ∆ = 0, temos uma elipse pontual.

Os coeficientes da equação geral podem ser obtidos do eixo semi-major conhecido $a$ , eixo semi-minor $b$ , coordenadas do centro ${displaystyle left(x_{circ },,y_{circ }right)}$ , e ângulo de rotação $theta$ (o ângulo do eixo horizontal positivo para o eixo principal da elipse) usando as fórmulas:

${displaystyle {begin{aligned}A&=a^{2}sin ^{2}theta +b^{2}cos ^{2}theta \B&=2left(b^{2}-a^{2}right)sin theta cos theta \C&=a^{2}cos ^{2}theta +b^{2}sin ^{2}theta \D&=-2Ax_{circ }-By_{circ }\E&=-Bx_{circ }-2Cy_{circ }\F&=Ax_{circ }^{2}+Bx_{circ }y_{circ }+Cy_{circ }^{2}-a^{2}b^{2}.end{aligned}}}$

Estas expressões podem ser derivadas da equação canônica ${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ por uma transformação afinada das coordenadas ${displaystyle (x,,y)}$ :

${displaystyle {begin{aligned}x&=left(X-x_{circ }right)cos theta +left(Y-y_{circ }right)sin theta \y&=-left(X-x_{circ }right)sin theta +left(Y-y_{circ }right)cos theta.end{aligned}}}$

Por outro lado, os parâmetros de forma canônica podem ser obtidos a partir dos coeficientes de forma geral pelas equações:

$<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}a,b&={frac {-{sqrt {2{Big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{Big)}left((A+C)pm {sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}right)}}}{B^{2}-4AC}}\x_{circ }&={frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}\[3pt]y_{circ }&={frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}\[3pt]theta &={begin{cases}arctan left({frac {1}{B}}left(C-A-{sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}right)right)&{text{for }}Bneq 0\0&{text{for }}B=0, AC\end{cases}}end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">um,b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 2(AE2+CD2- Sim. - Sim. BDE+(B2- Sim. - Sim. 4AC)F)((A+C)± ± (A- Sim. - Sim. C)2+B2)B2- Sim. - Sim. 4ACx∘ ∘ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2CD- Sim. - Sim. BEB2- Sim. - Sim. 4ACSim.∘ ∘ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2AE- Sim. - Sim. BDB2- Sim. - Sim. 4ACθ θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(arctan⁡ ⁡ (1B(C- Sim. - Sim. A- Sim. - Sim. (A- Sim. - Sim. C)2+B2))paraB≠ ≠ 00paraB= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,A<C90∘ ∘ paraB= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,A>C{displaystyle {begin{aligned}a,b&={frac Não. {2{Big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{Big)}left((A+C)pm {sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}right)}}}{B^{2}-4AC}}x_{circ }&={frac {2CD-BE}{B^{2} }}[3pt]y_{circ }&={frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}[3pt]theta &={begin{cases}arctan left({frac {1}{B}}left(C-A-{sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}right)right)&{text{for }}Bneq 0&{text{for }}B=0, ACignend{cases}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}a,b&={frac {-{sqrt {2{Big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{Big)}left((A+C)pm {sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}right)}}}{B^{2}-4AC}}\x_{circ }&={frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}\[3pt]y_{circ }&={frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}\[3pt]theta &={begin{cases}arctan left({frac {1}{B}}left(C-A-{sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}right)right)&{text{for }}Bneq 0\0&{text{for }}B=0, AC\end{cases}}end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acde65bb036f1c47ad935258399a696f50875a68" style="vertical-align: -16.005ex; width:83.931ex; height:33.176ex;"/>$

Representação paramétrica

A construção de pontos baseados na equação paramétrica e a interpretação do parâmetro ), que é devido a de la Hire

Pontos de elipse calculados pela representação racional com parâmetros espaciais iguais ( ${displaystyle Delta u=0.2}$ ).

Representação paramétrica padrão

Usando funções trigonométricas, uma representação paramétrica da elipse padrão ${tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ é:

$<math alttext="{displaystyle (x,,y)=(acos t,,bsin t), 0leq t(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(ume ),b)pecado )),0\leq \leq )<2D D .(x,,y)=(acos t,,bsin t), 0leq t<2pi .} <img alt="{displaystyle (x,,y)=(acos t,,bsin t), 0leq t$

O parâmetro ) (chamada de anomalia excêntrica in astronomia) não é o ângulo de ${displaystyle (x(t),y(t))}$ com o x-axis, mas tem um significado geométrico devido a Philippe de La Hire (ver Desenho elipses abaixo).

Representação racional

Com a substituição ${textstyle u=tan left({frac {t}{2}}right)}$ e fórmulas trigonométricas uma obtém

${displaystyle cos t={frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\quad sin t={frac {2u}{1+u^{2}}}}$

e a equação paramétrica racional de uma elipse

$<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}x(u)&=a{frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\[10mu]y(u)&=b{frac {2u}{1+u^{2}}}end{aligned}};,quad -infty <ux(u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um1- Sim. - Sim. u21+u2Sim.(u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)2u1+u2,- Sim. - Sim. ∞ ∞ <u<∞ ∞ ,{displaystyle {begin{aligned}x(u)&=a{frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\[10mu]y(u)&=b{frac {2u}{1+u^{2}}}end{aligned}};,quad -infty <u<infty ;,}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}x(u)&=a{frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\[10mu]y(u)&=b{frac {2u}{1+u^{2}}}end{aligned}};,quad -infty <u$

que cobre qualquer ponto da elipse ${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ exceto o vértice esquerdo ${displaystyle (-a,,0)}$ .

Para ${displaystyle uin [0,,1],}$ esta fórmula representa o quarto superior direito da elipse movendo-se no sentido anti-horário com o aumento $u.$ O vértice esquerdo é o limite ${textstyle lim _{uto pm infty }(x(u),,y(u))=(-a,,0);.}$

Alternativamente, se o parâmetro ${displaystyle [u:v]}$ é considerado um ponto na linha projetiva real ${textstyle mathbf {P} (mathbf {R})}$ , então a parametrização racional correspondente é

${displaystyle [u:v]mapsto left(a{frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}right).}$

Então... ${textstyle [1:0]mapsto (-a,,0).}$

Representações racionais de seções cônicas são comumente usadas em projeto auxiliado por computador (ver curva de Bezier).

Inclinação da tangente como parâmetro

Uma representação paramétrica, que usa a inclinação $m$ do tangente em um ponto da elipse pode ser obtido a partir do derivado da representação padrão ${displaystyle {vec {x}}(t)=(acos t,,bsin t)^{mathsf {T}}}$ :

${displaystyle {vec {x}}'(t)=(-asin t,,bcos t)^{mathsf {T}}quad rightarrow quad m=-{frac {b}{a}}cot tquad rightarrow quad cot t=-{frac {ma}{b}}.}$

Com a ajuda de fórmulas trigonométricas obtém-se:

${displaystyle cos t={frac {cot t}{pm {sqrt {1+cot ^{2}t}}}}={frac {-ma}{pm {sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\quad quad sin t={frac {1}{pm {sqrt {1+cot ^{2}t}}}}={frac {b}{pm {sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$

Substituição ${displaystyle cos t}$ e $sin t$ da representação padrão produz:

${displaystyle {vec {c}}_{pm }(m)=left(-{frac {ma^{2}}{pm {sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},;{frac {b^{2}}{pm {sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}right),,min mathbb {R}.}$

Aqui. $m$ é a inclinação do tangente no ponto elipse correspondente, ${displaystyle {vec {c}}_{+}}$ é o superior e ${displaystyle {vec {c}}_{-}}$ a metade inferior da elipse. Os vértices ${displaystyle (pm a,,0)}$ , tendo tangentes verticais, não são cobertos pela representação.

A equação do tangente em ponto ${vec c}_{pm }(m)$ tem o formulário ${displaystyle y=mx+n}$ . O ainda desconhecido $n$ pode ser determinado inserindo as coordenadas do ponto elipse correspondente ${vec c}_{pm }(m)$ :

${displaystyle y=mxpm {sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}};.}$

Esta descrição das tangentes de uma elipse é uma ferramenta essencial para a determinação da ortóptica de uma elipse. O artigo ortóptico contém outra prova, sem cálculo diferencial e fórmulas trigonométricas.

Elipse geral

Ellipse como uma imagem affine do círculo da unidade

Outra definição de uma elipse usa transformações afins:

Qualquer Elipse é uma imagem afine do círculo da unidade com equação $x^2 + y^2 = 1$ .

Representação paramétrica

Uma transformação afinada do plano euclidiano tem a forma ${displaystyle {vec {x}}mapsto {vec {f}}!_{0}+A{vec {x}}}$ , onde $A$ é uma matriz regular (com não-zero determinante) e ${displaystyle {vec {f}}!_{0}}$ é um vetor arbitrário. Se ${displaystyle {vec {f}}!_{1},{vec {f}}!_{2}}$ são os vetores de coluna da matriz $A$ , o círculo da unidade ${displaystyle (cos(t),sin(t))}$ , ${displaystyle 0leq tleq 2pi }$ , é mapeado para a elipse:

${displaystyle {vec {x}}={vec {p}}(t)={vec {f}}!_{0}+{vec {f}}!_{1}cos t+{vec {f}}!_{2}sin t.}$

Aqui. ${displaystyle {vec {f}}!_{0}}$ é o centro e ${displaystyle {vec {f}}!_{1},;{vec {f}}!_{2}}$ são as direções de dois diâmetros conjugados, em geral não perpendicular.

Versículos

Os quatro vértices da elipse são ${displaystyle {vec {p}}(t_{0}),;{vec {p}}left(t_{0}pm {tfrac {pi }{2}}right),;{vec {p}}left(t_{0}+pi right)}$ , para um parâmetro $t=t_{0}$ definido por:

${displaystyle cot(2t_{0})={frac {{vec {f}}!_{1}^{,2}-{vec {f}}!_{2}^{,2}}{2{vec {f}}!_{1}cdot {vec {f}}!_{2}}}.}$

(Se) ${displaystyle {vec {f}}!_{1}cdot {vec {f}}!_{2}=0}$ , então $t_{0}=0$ .) Isto é derivado da seguinte forma. O vetor tangente em ponto ${displaystyle {vec {p}}(t)}$ é:

${displaystyle {vec {p}},'(t)=-{vec {f}}!_{1}sin t+{vec {f}}!_{2}cos t.}$

Em um parâmetro de vértice $t=t_{0}$ , o tangente é perpendicular aos eixos principais / minor, assim:

${displaystyle 0={vec {p}}'(t)cdot left({vec {p}}(t)-{vec {f}}!_{0}right)=left(-{vec {f}}!_{1}sin t+{vec {f}}!_{2}cos tright)cdot left({vec {f}}!_{1}cos t+{vec {f}}!_{2}sin tright).}$

Expandir e aplicar as identidades ${displaystyle ;cos ^{2}t-sin ^{2}t=cos 2t, 2sin tcos t=sin 2t;}$ dá a equação para ${displaystyle t=t_{0};.}$

Área

Do teorema de Apolonios (veja abaixo) obtém-se:
A área de uma elipse ${displaystyle ;{vec {x}}={vec {f}}_{0}+{vec {f}}_{1}cos t+{vec {f}}_{2}sin t;}$ o

${displaystyle A=pi |det({vec {f}}_{1},{vec {f}}_{2})|.}$

Semieixos

Com as abreviações ${displaystyle ;M={vec {f}}_{1}^{2}+{vec {f}}_{2}^{2}, N=left|det({vec {f}}_{1},{vec {f}}_{2})right|}$ as declarações do teorema de Apolonios podem ser escritas como:

${displaystyle a^{2}+b^{2}=M,quad ab=N.}$

Solucionar este sistema não linear $a,b$ produz os semieixos:

${displaystyle a={frac {1}{2}}({sqrt {M+2N}}+{sqrt {M-2N}})}$

${displaystyle b={frac {1}{2}}({sqrt {M+2N}}-{sqrt {M-2N}}).}$

Representação implícita

Solucionando a representação paramétrica para ${displaystyle ;cos t,sin t;}$ pela regra de Cramer e usando ${displaystyle ;cos ^{2}t+sin ^{2}t-1=0;}$ , obtém-se a representação implícita

${displaystyle det({vec {x}}!-!{vec {f}}!_{0},{vec {f}}!_{2})^{2}+det({vec {f}}!_{1},{vec {x}}!-!{vec {f}}!_{0})^{2}-det({vec {f}}!_{1},{vec {f}}!_{2})^{2}=0}$ .

Inversamente: Se a equação

${displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0}$ com $0;,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">D2- Sim. - Sim. c2>0,{displaystyle ;d^{2}-c^{2}>0;,}0;,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ad11ee9f6ae2583717cc6b02ba0a4928d8e90d" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.372ex; height:3.009ex;"/>$

de uma elipse centrada na origem é dado, então os dois vetores

${displaystyle {vec {f}}_{1}={e choose 0},quad {vec {f}}_{2}={frac {e}{sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c choose 1} }$

apontar para dois pontos conjugados e as ferramentas desenvolvidas acima são aplicáveis.

Exemplo: Para a elipse com equação ${displaystyle ;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0;}$ os vetores são

${displaystyle {vec {f}}_{1}={1 choose 0},quad {vec {f}}_{2}={frac {1}{sqrt {2}}}{-1 choose 1}}$ .

Whirls: elipses aninhadas, dimensionadas e giradas. A espiral não é desenhada: vemos como o locus de pontos onde as elipses são especialmente próximas umas das outras.

Elipse padrão rotativo

Para ${displaystyle {vec {f}}_{0}={0 choose 0},;{vec {f}}_{1}=a{cos theta choose sin theta },;{vec {f}}_{2}=b{-sin theta choose ;cos theta }}$ um obtém uma representação paramétrica da elipse padrão girada por ângulo $theta$ :

${displaystyle x=x_{theta }(t)=acos theta cos t-bsin theta sin t}$

${displaystyle y=y_{theta }(t)=asin theta cos t+bcos theta sin t.}$

Ellipse no espaço

A definição de elipse nesta seção dá uma representação paramétrica de uma elipse arbitrária, mesmo no espaço, se se permite ${displaystyle {vec {f}}!_{0},{vec {f}}!_{1},{vec {f}}!_{2}}$ ser vetores no espaço.

Formas polares

Forma polar em relação ao centro

Coordenadas polares centradas no centro.

Em coordenadas polares, com a origem no centro da elipse e com a coordenada angular $theta$ medida do eixo principal, a equação da elipse é

${displaystyle r(theta)={frac {ab}{sqrt {(bcos theta)^{2}+(asin theta)^{2}}}}={frac {b}{sqrt {1-(ecos theta)^{2}}}}}$

Onde? $e$ é a excentricidade, não o número de Euler

Forma polar em relação ao foco

Coordenadas polares centradas no foco.

Se, em vez disso, usarmos coordenadas polares com a origem em um foco, com a coordenada angular $theta =0$ ainda medido do eixo principal, a equação da elipse é

${displaystyle r(theta)={frac {a(1-e^{2})}{1pm ecos theta }}}$

onde o sinal no denominador é negativo se a direção de referência $theta =0$ aponta para o centro (como ilustrado à direita), e positivo se essa direção aponta para longe do centro.

No caso ligeiramente mais geral de uma elipse com um foco na origem e outro foco na coordenação angular $phi$ , a forma polar é

${displaystyle r(theta)={frac {a(1-e^{2})}{1-ecos(theta -phi)}}.}$

O ângulo $theta$ nestas fórmulas chama-se a verdadeira anomalia do ponto. O numerador destas fórmulas é o semi-latus rectum ${displaystyle ell =a(1-e^{2})}$ .

Excentricidade e propriedade diretriz

Ellipse: propriedade directrix

Cada uma das duas linhas paralelas ao eixo menor, e a uma distância ${textstyle d={frac {a^{2}}{c}}={frac {a}{e}}}$ dele, chama-se um Direto da elipse (ver diagrama).

Para um ponto arbitrário $P$ da elipse, o quociente da distância a um foco e ao directrix correspondente (ver diagrama) é igual à excentricidade:
${displaystyle {frac {left|PF_{1}right|}{left|Pl_{1}right|}}={frac {left|PF_{2}right|}{left|Pl_{2}right|}}=e={frac {c}{a}}.}$

A prova para o par ${displaystyle F_{1},l_{1}}$ a partir do fato de que ${displaystyle left|PF_{1}right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}, left|Pl_{1}right|^{2}=left(x-{tfrac {a^{2}}{c}}right)^{2}}$ e ${displaystyle y^{2}=b^{2}-{tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$ satisfazer a equação

${displaystyle left|PF_{1}right|^{2}-{frac {c^{2}}{a^{2}}}left|Pl_{1}right|^{2}=0.}$

O segundo caso é provado de forma análoga.

O inverso também é verdadeiro e pode ser usado para definir uma elipse (de maneira semelhante à definição de uma parábola):

Para qualquer ponto $F$ (foco), qualquer linha $l$ (directrix) não através $F$ e qualquer número real $e$ com $<math alttext="{displaystyle 0<e0<e<1,{displaystyle 0<e<1,} <img alt="{displaystyle 0<e$ a elipse é o locus de pontos para os quais o quociente das distâncias ao ponto e à linha é $e,$ Isso é:
${displaystyle E=left{P left| {frac {|PF|}{|Pl|}}=eright.right}.}$

A extensão para $e=0$ , que é a excentricidade de um círculo, não é permitido neste contexto no plano euclidiano. No entanto, pode-se considerar o directrix de um círculo a ser a linha no infinito no plano projectivo.

(A escolha $e=1$ produz um parabola, e se $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">e>1- Sim. 1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9605ca17e3915b659685c0326fbbcbfb522f11b3" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , um hiperbola.)

Lápis de conics com um vértice comum e recto semi-latus comum

Prova

Vamos. $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(f,0),e>0Não. F=(f,,0), e>0} 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd147cff6705625f8bba0e2b98233f80546551f" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.47ex; height:2.843ex;"/>$ e assumir ${displaystyle (0,,0)}$ é um ponto na curva. O directrix $l$ tem equação ${displaystyle x=-{tfrac {f}{e}}}$ . Com ${displaystyle P=(x,,y)}$ , a relação ${displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$ produz as equações

${displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}left(x+{frac {f}{e}}right)^{2}=(ex+f)^{2}}$ e ${displaystyle x^{2}left(e^{2}-1right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

A substituição ${displaystyle p=f(1+e)}$ produção

${displaystyle x^{2}left(e^{2}-1right)+2px-y^{2}=0.}$

Esta é a equação de um Elipse ( $<math alttext="{displaystyle ee<1- Sim. <img alt="{displaystyle e$ ), ou Parabola ( $e=1$ ), ou hiperbola ( $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">e>1- Sim. 1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9605ca17e3915b659685c0326fbbcbfb522f11b3" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ ). Todos estes conics não degenerados têm, em comum, a origem como um vértice (ver diagrama).

Se $<math alttext="{displaystyle ee<1- Sim. <img alt="{displaystyle e$ , introduzir novos parâmetros ${displaystyle a,,b}$ assim ${displaystyle 1-e^{2}={tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{text{ and }} p={tfrac {b^{2}}{a}}}$ , e então a equação acima se torna

${displaystyle {frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

que é a equação de uma elipse com centro ${displaystyle (a,,0)}$ , o x- eixo como eixo principal, e o eixo principal/minor semi ${displaystyle a,,b}$ .

Construção de um directrix

Construção de um directrix

Por causa de ${displaystyle ccdot {tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ponto $L_{1}$ de redix $l_{1}$ (ver diagrama) e foco $F_{1}$ são inversos com respeito à inversão do círculo no círculo ${displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ (em diagrama verde). Daí $L_{1}$ pode ser construído como mostrado no diagrama. Directrizes $l_{1}$ é o perpendicular ao eixo principal no ponto $L_{1}$ .

Elipse geral

Se o foco é ${displaystyle F=left(f_{1},,f_{2}right)}$ e o directrix ${displaystyle ux+vy+w=0}$ , um obtém a equação

${displaystyle left(x-f_{1}right)^{2}+left(y-f_{2}right)^{2}=e^{2}{frac {left(ux+vy+wright)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}.}$

(O lado direito da equação usa a forma normal de Hesse de uma linha para calcular a distância ${displaystyle |Pl|}$ .)

Propriedade de reflexão foco a foco

Ellipse: os bisects tangentes o ângulo complementar do ângulo entre as linhas para os foci.

Os raios de um foco refletem a elipse para passar pelo outro foco.

Uma elipse possui a seguinte propriedade:

O normal em um ponto $P$ bisecta o ângulo entre as linhas ${displaystyle {overline {PF_{1}}},,{overline {PF_{2}}}}$ .

Prova

Como a tangente é perpendicular à normal, a afirmação também é verdadeira para a tangente e o ângulo suplementar do ângulo entre as linhas aos focos (consulte o diagrama).

Vamos. $L$ ser o ponto na linha ${displaystyle {overline {PF_{2}}}}$ com a distância $2a$ para o foco $F_{2}$ , $a$ é o semi-major eixo da elipse. Let line $w$ ser o bissetor do ângulo complementar ao ângulo entre as linhas ${displaystyle {overline {PF_{1}}},,{overline {PF_{2}}}}$ . A fim de provar que $w$ é a linha tangente no ponto $P$ , um verifica que qualquer ponto $Q$ em linha $w$ que é diferente de $P$ não pode estar na elipse. Daí $w$ tem apenas ponto $P$ em comum com a elipse e é, portanto, o tangente em ponto $P$ .

Do diagrama e da desigualdade de triângulo reconhece-se que $<math alttext="{displaystyle 2a=left|LF_{2}right|2um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|LF2|<|QF2|+|QL|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|QF2|+|QF1|{displaystyle 2a=left|LF_{2}right|<left|QF_{2}right|+left|QLright|=left|QF_{2}right|+left|QF_{1}right|}<img alt="{displaystyle 2a=left|LF_{2}right|$ que significa: $2a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">|QF2|+|QF1|>2um{displaystyle left|QF_{2}right|+left|QF_{1}right|>2a}2a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4573ceb4761556e70f3c5617cf35c235cabf4ef8" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.693ex; height:2.843ex;"/>$ . A igualdade ${displaystyle left|QLright|=left|QF_{1}right|}$ é verdade do teorema do bissetor Angle porque ${displaystyle {frac {left|PLright|}{left|PF_{1}right|}}={frac {left|QLright|}{left|QF_{1}right|}}}$ e ${displaystyle left|PLright|=left|PF_{1}right|}$ . Mas se $Q$ é um ponto da elipse, a soma deve ser $2a$ .

Aplicação

Os raios de um foco são refletidos pela elipse para o segundo foco. Esta propriedade tem aplicações ópticas e acústicas semelhantes à propriedade reflexiva de uma parábola (veja a galeria de sussurros).

Diâmetros conjugados

Definição de diâmetros conjugados

Diâmetros ortogonais de um círculo com um quadrado de tangents, midpoints de acordes paralelos e uma imagem afine, que é uma elipse com diâmetros conjugados, um paralelogramo de tangents e midpoints de acordes.

Um círculo tem a seguinte propriedade:

Os pontos médios de acordes paralelos estão sobre um diâmetro.

Uma transformação afim preserva o paralelismo e os pontos médios dos segmentos de linha, portanto, essa propriedade é verdadeira para qualquer elipse. (Observe que as cordas paralelas e o diâmetro não são mais ortogonais.)

Definição

Dois diâmetros ${displaystyle d_{1},,d_{2}}$ de uma elipse são conjugar o se os pontos médios dos acordes paralelos a $d_{1}$ mentir ${displaystyle d_{2}.}$

No diagrama encontra-se:

Dois diâmetros ${displaystyle {overline {P_{1}Q_{1}}},,{overline {P_{2}Q_{2}}}}$ de uma elipse são conjugados sempre que os tangentes em $P_{1}$ e $Q_{1}$ são paralelos a ${displaystyle {overline {P_{2}Q_{2}}}}$ .

Diâmetros conjugados em uma elipse generalizam diâmetros ortogonais em um círculo.

Na equação paramétrica para uma elipse geral dada acima,

${displaystyle {vec {x}}={vec {p}}(t)={vec {f}}!_{0}+{vec {f}}!_{1}cos t+{vec {f}}!_{2}sin t,}$

qualquer par de pontos ${displaystyle {vec {p}}(t), {vec {p}}(t+pi)}$ pertencem a um diâmetro, e o par ${displaystyle {vec {p}}left(t+{tfrac {pi }{2}}right), {vec {p}}left(t-{tfrac {pi }{2}}right)}$ pertencem ao seu diâmetro conjugado.

Para a representação paramétrica comum ${displaystyle (acos t,bsin t)}$ da elipse com equação ${tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ um recebe: Os pontos

${displaystyle (x_{1},y_{1})=(pm acos t,pm bsin t)quad }$ (assinaturas: (+,+) ou (-,-)))

${displaystyle (x_{2},y_{2})=({color {red}{mp }}asin t,pm bcos t)quad }$ (assinaturas: (-,+) ou (+,-)))

são conjugados e

${displaystyle {frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0.}$

Em caso de círculo a última equação desmorona para ${displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0.}$

Teorema de Apollonios sobre diâmetros conjugados

Teorema de Apolonios

Para a fórmula de área alternativa

Para uma elipse com semi-eixos ${displaystyle a,,b}$ o seguinte é verdadeiro:

Vamos. ${displaystyle c_{1}}$ e ${displaystyle c_{2}}$ ser metades de dois diâmetros conjugados (ver diagrama) então
${displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$ .
O triângulo ${displaystyle O,P_{1},P_{2}}$ com lados ${displaystyle c_{1},,c_{2}}$ (ver diagrama) tem a área constante ${textstyle A_{Delta }={frac {1}{2}}ab}$ , que pode ser expressa por ${displaystyle A_{Delta }={tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}sin alpha }$ Também. $d_{1}$ é a altitude do ponto $P_{1}$ e $alpha$ o ângulo entre os meio diâmetros. Daí a área da elipse (ver propriedades métricas de seção) pode ser escrita como ${displaystyle A_{el}=pi ab=pi c_{2}d_{1}=pi c_{1}c_{2}sin alpha }$ .
O paralelograma de tangentes adjacentes aos diâmetros conjugados dados tem o ${displaystyle {text{Area}}_{12}=4ab.}$

Prova

Deixe a elipse estar na forma canônica com equação paramétrica

${displaystyle {vec {p}}(t)=(acos t,,bsin t)}$ .

Os dois pontos ${displaystyle {vec {c}}_{1}={vec {p}}(t), {vec {c}}_{2}={vec {p}}left(t+{frac {pi }{2}}right)}$ estão em diâmetros conjugados (ver secção anterior). De fórmulas trigonométricas uma obtém ${displaystyle {vec {c}}_{2}=(-asin t,,bcos t)^{mathsf {T}}}$ e

${displaystyle left|{vec {c}}_{1}right|^{2}+left|{vec {c}}_{2}right|^{2}=cdots =a^{2}+b^{2}.}$

A área do triângulo gerado por ${displaystyle {vec {c}}_{1},,{vec {c}}_{2}}$ o

${displaystyle A_{Delta }={frac {1}{2}}det left({vec {c}}_{1},,{vec {c}}_{2}right)=cdots ={frac {1}{2}}ab}$

e do diagrama pode-se ver que a área do paralelogramo é 8 vezes a do ${displaystyle A_{Delta }}$ . Daí

${displaystyle {text{Area}}_{12}=4ab.}$

Tangentes ortogonais

Ellipse com sua ortopedia

Para a elipse ${tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ os pontos de interseção ortogonal tangentes mente sobre o círculo $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$ .

Este círculo é chamado de ortóptico ou círculo diretor da elipse (não confundir com a diretriz circular definida acima).

Desenhar elipses

Projeção central de círculos (gate)

As elipses aparecem na geometria descritiva como imagens (projeção paralela ou central) de círculos. Existem várias ferramentas para desenhar uma elipse. Os computadores fornecem o método mais rápido e preciso para desenhar uma elipse. No entanto, existem ferramentas técnicas (elipsógrafos) para desenhar uma elipse sem um computador. O princípio dos elipsógrafos era conhecido por matemáticos gregos como Arquimedes e Proklos.

Se não houver elipsógrafo disponível, pode-se desenhar uma elipse usando uma aproximação pelos quatro círculos osculantes nos vértices.

Para qualquer método descrito abaixo, é necessário o conhecimento dos eixos e dos semi-eixos (ou equivalentemente: os focos e o semi-eixo maior). Se esta presunção não for cumprida, deve-se conhecer pelo menos dois diâmetros conjugados. Com a ajuda da construção de Rytz, os eixos e semi-eixos podem ser recuperados.

Construção do ponto de De La Hire

A seguinte construção de pontos únicos de uma elipse é devido a de La Hire. É baseado na representação paramétrica padrão ${displaystyle (acos t,,bsin t)}$ de uma elipse:

Desenhe os dois círculos centralizado no centro da elipse com radii $a,b$ e os eixos da elipse.
Desenhe um linha através do centro, que cruza os dois círculos em ponto $A$ e $B$ , respectivamente.
Desenhe um linha de linha através de $A$ que é paralelo ao eixo menor e um linha de linha através de $B$ que é paralelo ao eixo principal. Estas linhas encontram-se em um ponto de elipse (ver diagrama).
Repita os passos (2) e (3) com diferentes linhas através do centro.

método de La Hire
Animação do método

Ellipse: método do jardineiro

Método de alfinetes e string

A caracterização de um elipse como o locus de pontos de modo que a soma das distâncias para o foci é constante leva a um método de desenhar um usando dois pinos de desenho, um comprimento de corda e um lápis. Neste método, os pinos são empurrados para o papel em dois pontos, que se tornam os focos da elipse. Uma corda é amarrada em cada extremidade aos dois pinos; seu comprimento após a amarração é $2a$ . A ponta do lápis então rastreia uma elipse se for movida enquanto mantém a cordel taut. Usando dois pinos e uma corda, os jardineiros usam este procedimento para delinear um canteiro de flores elípticas - assim é chamado o elipse do jardineiro.

Um método semelhante para desenhar elipses confocais com uma string fechada foi criado pelo bispo irlandês Charles Graves.

Métodos de tiras de papel

Os dois métodos a seguir dependem da representação paramétrica (consulte a seção representação paramétrica, acima):

${displaystyle (acos t,,bsin t)}$

Esta representação pode ser modelada tecnicamente por dois métodos simples. Em ambos os casos centro, os eixos e semi eixos ${displaystyle a,,b}$ tem de ser conhecido.

Método 1

O primeiro método começa com

uma tira de papel de comprimento $a+b$ .

O ponto, onde os semi eixos se encontram é marcado por $P$ . Se a tira desliza com ambas as extremidades nos eixos da elipse desejada, em seguida, apontar $P$ traça a elipse. Para a prova mostra-se esse ponto $P$ tem a representação paramétrica ${displaystyle (acos t,,bsin t)}$ , onde parâmetro $t$ é o ângulo da inclinação da tira de papel.

Uma realização técnica do movimento da tira de papel pode ser alcançada por um casal Tusi (veja animação). O dispositivo é capaz de desenhar qualquer elipse com um fixo soma $a+b$ , que é o raio do círculo grande. Esta restrição pode ser uma desvantagem na vida real. Mais flexível é o segundo método de tira de papel.

Construção de elipse: método de tira de papel 1
Ellipses com casal Tusi. Dois exemplos: vermelho e ciano.

Uma variação do método de tira de papel 1 usa a observação de que o ponto médio $N$ da tira de papel está se movendo no círculo com centro $M$ (da elipse) e raio ${displaystyle {tfrac {a+b}{2}}}$ . Daí, a feira pode ser cortada no ponto $N$ em metades, conectado novamente por uma articulação em $N$ e a extremidade deslizante $K$ fixo no centro $M$ (ver diagrama). Após esta operação, o movimento da metade inalterada da viagem de documentos é inalterado. Esta variação requer apenas um sapato deslizante.

Variação do método de tira de papel 1
Animação da variação do método de tira de papel 1

Construção de elipse: método de tira de papel 2

Método 2

O segundo método começa com

uma tira de papel de comprimento $a$ .

Um marca o ponto, que divide a tira em duas sub-trips de comprimento $b$ e $a-b$ . A tira é posicionada nos eixos como descrito no diagrama. Então a extremidade livre da tira traça uma elipse, enquanto a tira é movida. Para a prova, reconhece-se que o ponto de rastreamento pode ser descrito parametralmente por ${displaystyle (acos t,,bsin t)}$ , onde parâmetro $t$ é o ângulo de inclinação da tira de papel.

Este método é a base para vários elipsógrafos (veja a seção abaixo).

Semelhante à variação do método da tira de papel 1, uma variação do método da tira de papel 2 pode ser estabelecida (veja o diagrama) cortando a parte entre os eixos em duas metades.

Trame de Arquimedes (princípio)
Ellipsógrafo devido a Benjamin Bramer
Variação do método de tira de papel 2

A maioria dos instrumentos de desenho de elipsógrafos são baseados no método da segunda tira de papel.

Aproximação de uma elipse com círculos oscilantes

Aproximação por círculos osculadores

Das propriedades métricas abaixo, obtém-se:

O raio da curvatura nos vértices ${displaystyle V_{1},,V_{2}}$ é: ${displaystyle {tfrac {b^{2}}{a}}}$
O raio da curvatura nos co-vertices ${displaystyle V_{3},,V_{4}}$ é: ${displaystyle {tfrac {a^{2}}{b}}.}$

O diagrama mostra uma maneira fácil de encontrar os centros de curvatura ${displaystyle C_{1}=left(a-{tfrac {b^{2}}{a}},0right),,C_{3}=left(0,b-{tfrac {a^{2}}{b}}right)}$ em vértice $V_{1}$ e co-vertex $V_{3}$ , respectivamente:

marcar o ponto auxiliar ${displaystyle H=(a,,b)}$ e desenhar o segmento de linha ${displaystyle V_{1}V_{3}}$
desenhar a linha através $H$ , que é perpendicular à linha ${displaystyle V_{1}V_{3}}$
os pontos de interseção desta linha com os eixos são os centros dos círculos oscilantes.

(prova: cálculo simples.)

Os centros dos vértices restantes são encontrados por simetria.

Com a ajuda de uma curva francesa, desenha-se uma curva, que tem contato suave com os círculos osculadores.

Geração Steiner

Ellipse: Geração de Steiner

O método a seguir para construir pontos únicos de uma elipse depende da geração de Steiner de uma seção cônica:

Dado dois lápis ${displaystyle B(U),,B(V)}$ de linhas em dois pontos ${displaystyle U,,V}$ (todas as linhas contendo $U$ e $V$ , respectivamente) e um mapeamento projetivo mas não de perspectiva $pi$ de $B(U)$ sobre $B(V)$ , então os pontos de interseção das linhas correspondentes formam uma seção conic projectiva não degenerada.

Para a geração de pontos da elipse ${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ um usa os lápis nos vértices ${displaystyle V_{1},,V_{2}}$ . Vamos. ${displaystyle P=(0,,b)}$ ser um co-vertex superior da elipse e ${displaystyle A=(-a,,2b),,B=(a,,2b)}$ .

$P$ é o centro do retângulo ${displaystyle V_{1},,V_{2},,B,,A}$ . O lado ${overline {AB}}$ do retângulo é dividido em n segmentos de linha espaçada iguais e esta divisão é projetada paralelamente com a diagonal ${displaystyle AV_{2}}$ como direção para o segmento de linha ${displaystyle {overline {V_{1}B}}}$ e atribuir a divisão como mostrado no diagrama. A projeção paralela em conjunto com o reverso da orientação faz parte do mapeamento projetivo entre os lápis em $V_{1}$ e $V_{2}$ necessário. Os pontos de interseção de duas linhas relacionadas ${displaystyle V_{1}B_{i}}$ e ${displaystyle V_{2}A_{i}}$ são pontos da elipse únicamente definida. Com a ajuda dos pontos ${displaystyle C_{1},,dotsc }$ os pontos do segundo quarto da elipse podem ser determinados. Analogamente se obtém os pontos da metade inferior da elipse.

A geração de Steiner também pode ser definida para hipérboles e parábolas. Às vezes é chamado de método do paralelogramo porque pode-se usar outros pontos em vez dos vértices, que começam com um paralelogramo em vez de um retângulo.

Como hipotrocóide

Uma elipse (em vermelho) como um caso especial da hipotrocoide comR= 2R

A elipse é um caso especial da hipotrocoide quando ${displaystyle R=2r}$ , como mostrado na imagem adjacente. O caso especial de um círculo em movimento com raio $r$ dentro de um círculo com raio ${displaystyle R=2r}$ Chama-se casal Tusi.

Ângulos inscritos e forma de três pontos

Círculos

Círculo: teorema de ângulo inscrito

Um círculo com equação ${displaystyle left(x-x_{circ }right)^{2}+left(y-y_{circ }right)^{2}=r^{2}}$ é determinada exclusivamente por três pontos ${displaystyle left(x_{1},y_{1}right),;left(x_{2},,y_{2}right),;left(x_{3},,y_{3}right)}$ Não em linha. Uma maneira simples de determinar os parâmetros ${displaystyle x_{circ },y_{circ },r}$ usa o teorema de ângulo inscrito para círculos:

Para quatro pontos ${displaystyle P_{i}=left(x_{i},,y_{i}right), i=1,,2,,3,,4,,}$ (ver diagrama) a seguinte declaração é verdadeira:

Os quatro pontos estão em um círculo se e somente se os ângulos em $P_{3}$ e $P_{4}$ são iguais.

Normalmente, mede-se ângulos inscritos em um grau ou radiano θ,, mas aqui a seguinte medida é mais conveniente:

Para medir o ângulo entre duas linhas com equações ${displaystyle y=m_{1}x+d_{1}, y=m_{2}x+d_{2}, m_{1}neq m_{2},}$ um usa o quociente:
${displaystyle {frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=cot theta .}$

Teorema do ângulo inscrito para círculos

Para quatro pontos ${displaystyle P_{i}=left(x_{i},,y_{i}right), i=1,,2,,3,,4,,}$ não três deles em uma linha, temos o seguinte (ver diagrama):

Os quatro pontos estão em um círculo, se e somente se os ângulos em $P_{3}$ e $P_{4}$ são iguais. Em termos de medição de ângulo acima, isso significa:
${displaystyle {frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$

A princípio, o compasso está disponível apenas para acordes não paralelos ao eixo y, mas a fórmula final funciona para qualquer acorde.

Forma de três pontos da equação do círculo

Como consequência, obtém-se uma equação para o círculo determinado por três pontos não-colineares ${displaystyle P_{i}=left(x_{i},,y_{i}right)}$ :
${displaystyle {frac {({color {red}x}-x_{1})({color {red}x}-x_{2})+({color {red}y}-y_{1})({color {red}y}-y_{2})}{({color {red}y}-y_{1})({color {red}x}-x_{2})-({color {red}y}-y_{2})({color {red}x}-x_{1})}}={frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$

Por exemplo, ${displaystyle P_{1}=(2,,0),;P_{2}=(0,,1),;P_{3}=(0,,0)}$ a equação de três pontos é:

${displaystyle {frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$ , que pode ser reorganizado para ${displaystyle (x-1)^{2}+left(y-{tfrac {1}{2}}right)^{2}={tfrac {5}{4}}.}$

Usando vetores, produtos de ponto e determinantes esta fórmula pode ser arranjada mais claramente, deixando ${displaystyle {vec {x}}=(x,,y)}$ :

${displaystyle {frac {left({color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{1}right)cdot left({color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{2}right)}{det left({color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{1},{color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{2}right)}}={frac {left({vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{1}right)cdot left({vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{2}right)}{det left({vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{1},{vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{2}right)}}.}$

O centro do círculo ${displaystyle left(x_{circ },,y_{circ }right)}$ satisfaz:

${displaystyle {begin{bmatrix}1&{frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\{frac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x_{circ }\y_{circ }end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\{frac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}end{bmatrix}}.}$

O raio é a distância entre qualquer um dos três pontos e o centro.

${displaystyle r={sqrt {left(x_{1}-x_{circ }right)^{2}+left(y_{1}-y_{circ }right)^{2}}}={sqrt {left(x_{2}-x_{circ }right)^{2}+left(y_{2}-y_{circ }right)^{2}}}={sqrt {left(x_{3}-x_{circ }right)^{2}+left(y_{3}-y_{circ }right)^{2}}}.}$

Elipses

Esta seção, consideramos a família de elipses definidas por equações ${displaystyle {tfrac {left(x-x_{circ }right)^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {left(y-y_{circ }right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ com um fixo excentricidade $e$ . É conveniente usar o parâmetro:

${displaystyle {color {blue}q}={frac {a^{2}}{b^{2}}}={frac {1}{1-e^{2}}},}$

e para escrever a equação da elipse como:

${displaystyle left(x-x_{circ }right)^{2}+{color {blue}q},left(y-y_{circ }right)^{2}=a^{2},}$

Onde? q é fixo e ${displaystyle x_{circ },,y_{circ },,a}$ variar sobre os números reais. (Tal elipse tem seus eixos paralelos aos eixos de coordenadas: se $<math alttext="{displaystyle qq<1- Sim. <img alt="{displaystyle q$ , o eixo principal é paralelo ao x-axis; se $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">q>1- Sim. 1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3606e1cf4480eb39e5ddcd46d4dae2067c0b5a" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;"/>$ , é paralelo ao Sim.-axis.)

Teorema de ângulo inscrito para uma elipse

Como um círculo, tal elipse é determinada por três pontos não lineares.

Para esta família de elipses, introduz-se a seguinte medida de ângulo q-analógica, que não é uma função da medida de ângulo usual θ:

Para medir um ângulo entre duas linhas com equações ${displaystyle y=m_{1}x+d_{1}, y=m_{2}x+d_{2}, m_{1}neq m_{2}}$ um usa o quociente:
${displaystyle {frac {1+{color {blue}q};m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}.}$

Teorema do ângulo inscrito para elipses

Dadas quatro pontos ${displaystyle P_{i}=left(x_{i},,y_{i}right), i=1,,2,,3,,4}$ , nenhum três deles em uma linha (ver diagrama).

Os quatro pontos estão em uma elipse com equação ${displaystyle (x-x_{circ })^{2}+{color {blue}q},(y-y_{circ })^{2}=a^{2}}$ se e somente se os ângulos em $P_{3}$ e $P_{4}$ são iguais no sentido da medição acima — isto é, se
${displaystyle {frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{color {blue}q};(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{color {blue}q};(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$

A princípio, o compasso está disponível apenas para acordes que não são paralelos ao eixo y. Mas a fórmula final funciona para qualquer acorde. A prova decorre de um cálculo direto. Para a direção da prova, dado que os pontos estão em uma elipse, pode-se supor que o centro da elipse é a origem.

Forma de três pontos da equação da elipse

Uma consequência, obtém-se uma equação para a elipse determinada por três pontos não-colineares ${displaystyle P_{i}=left(x_{i},,y_{i}right)}$ :
${displaystyle {frac {({color {red}x}-x_{1})({color {red}x}-x_{2})+{color {blue}q};({color {red}y}-y_{1})({color {red}y}-y_{2})}{({color {red}y}-y_{1})({color {red}x}-x_{2})-({color {red}y}-y_{2})({color {red}x}-x_{1})}}={frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{color {blue}q};(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$

Por exemplo, ${displaystyle P_{1}=(2,,0),;P_{2}=(0,,1),;P_{3}=(0,,0)}$ e $q=4$ um obtém o formulário de três pontos

${displaystyle {frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$ e após a conversão ${displaystyle {frac {(x-1)^{2}}{2}}+{frac {left(y-{frac {1}{2}}right)^{2}}{frac {1}{2}}}=1.}$

De forma análoga ao caso do círculo, a equação pode ser escrita de forma mais clara usando vetores:

${displaystyle {frac {left({color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{1}right)*left({color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{2}right)}{det left({color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{1},{color {red}{vec {x}}}-{vec {x}}_{2}right)}}={frac {left({vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{1}right)*left({vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{2}right)}{det left({vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{1},{vec {x}}_{3}-{vec {x}}_{2}right)}},}$

Onde? $*$ é o produto do ponto modificado ${displaystyle {vec {u}}*{vec {v}}=u_{x}v_{x}+{color {blue}q},u_{y}v_{y}.}$

Relação pólo-polar

Ellipse: relação pólo-polar

Qualquer elipse pode ser descrita em um sistema de coordenadas adequado por uma equação ${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ . A equação do tangente em um ponto ${displaystyle P_{1}=left(x_{1},,y_{1}right)}$ da elipse é ${displaystyle {tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}$ Se um permite ponto ${displaystyle P_{1}=left(x_{1},,y_{1}right)}$ para ser um ponto arbitrário diferente da origem, então

ponto ${displaystyle P_{1}=left(x_{1},,y_{1}right)neq (0,,0)}$ é mapeado para a linha ${displaystyle {tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}$ , não através do centro da elipse.

Essa relação entre pontos e retas é uma bijeção.

Os mapas de funções inversas

linha de linha ${displaystyle y=mx+d, dneq 0}$ para o ponto ${displaystyle left(-{tfrac {ma^{2}}{d}},,{tfrac {b^{2}}{d}}right)}$ e
linha de linha ${displaystyle x=c, cneq 0}$ para o ponto ${displaystyle left({tfrac {a^{2}}{c}},,0right).}$

Essa relação entre pontos e linhas geradas por uma cônica é chamada de relação polo-polar ou polaridade. O pólo é o ponto; o polar a linha.

Pelo cálculo, pode-se confirmar as seguintes propriedades da relação polo-polar da elipse:

Para um ponto (polo) sobre a elipse, o polar é o tangente neste ponto (veja diagrama: ${displaystyle P_{1},,p_{1}}$ ).
Para um poste $P$ fora a elipse, os pontos de interseção de seu polar com a elipse são os pontos de tangência dos dois tangentes passando $P$ (ver diagrama: ${displaystyle P_{2},,p_{2}}$ ).
Para um ponto dentro de a elipse, o polar não tem ponto com a elipse em comum (veja diagrama: ${displaystyle F_{1},,l_{1}}$ ).

O ponto de interseção de dois polares é o pólo da linha através de seus pólos.
O foci ${displaystyle (c,,0)}$ e ${displaystyle (-c,,0)}$ , respectivamente, e os directrizs ${displaystyle x={tfrac {a^{2}}{c}}}$ e ${displaystyle x=-{tfrac {a^{2}}{c}}}$ , respectivamente, pertencem a pares de pólo e polar. Porque eles são pares polares com respeito ao círculo ${displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ , os directrizs podem ser construídos por bússola e borda reta (ver geometria inversiva).

Também existem relações pólo-polares para hipérboles e parábolas.

Propriedades da métrica

Todas as propriedades métricas fornecidas abaixo referem-se a uma elipse com equação

{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

(1)

exceto para a seção sobre a área delimitada por uma elipse inclinada, onde a forma generalizada da Eq.(1) será dada.

Área

A área $A_{text{ellipse}}$ fechado por uma elipse é:

{displaystyle A_{text{ellipse}}=pi ab}

(2)

Onde? $a$ e $b$ são os comprimentos dos eixos semi-major e semi-minor, respectivamente. A fórmula da área ${displaystyle pi ab}$ é intuitivo: comece com um círculo de raio $b$ (a sua área é ${displaystyle pi b^{2}}$ ) e esticá-lo por um fator $a/b$ para fazer uma elipse. Isso escala a área pelo mesmo fator: ${displaystyle pi b^{2}(a/b)=pi ab.}$ No entanto, usar a mesma abordagem para a circunferência seria falácia – comparar as integrais ${textstyle int f(x),dx}$ e ${textstyle int {sqrt {1+f'^{2}(x)}},dx}$ . Também é fácil provar rigorosamente a fórmula da área usando a integração da seguinte forma. Equação (1) pode ser reescrito como ${textstyle y(x)=b{sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}$ Para ${displaystyle xin [-a,a],}$ esta curva é a metade superior da elipse. Assim, o dobro da integralidade $y(x)$ sobre o intervalo $[-a,a]$ será a área da elipse:

${displaystyle {begin{aligned}A_{text{ellipse}}&=int _{-a}^{a}2b{sqrt {1-{frac {x^{2}}{a^{2}}}}},dx\&={frac {b}{a}}int _{-a}^{a}2{sqrt {a^{2}-x^{2}}},dx.end{aligned}}}$

A segunda integral é a área de um círculo de raio $a,$ Isso é, ${displaystyle pi a^{2}.}$ Então...

${displaystyle A_{text{ellipse}}={frac {b}{a}}pi a^{2}=pi ab.}$

Uma elipse definida implicitamente ${displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$ tem área ${displaystyle 2pi /{sqrt {4AC-B^{2}}}.}$

A área também pode ser expressa em termos de excentricidade e o comprimento do eixo semi-major como ${displaystyle a^{2}pi {sqrt {1-e^{2}}}}$ (obtido pela solução para achatamento, em seguida, computando o eixo semi-minor).

A área fechada por uma elipse inclinada é ${displaystyle pi ;y_{text{int}},x_{text{max}}}$ .

Até agora temos tratado Erect elipses, cujos principais e menores eixos são paralelos aos $x$ e $y$ machados. No entanto, algumas aplicações exigem inclinado Elipses. Na óptica de feixe de partículas carregadas, por exemplo, a área fechada de uma elipse ereta ou inclinada é uma propriedade importante do feixe, sua emitir. Neste caso, uma fórmula simples ainda se aplica, nomeadamente

{displaystyle A_{text{ellipse}}=pi ;y_{text{int}},x_{text{max}}=pi ;x_{text{int}},y_{text{max}}}

(3)

Onde? ${displaystyle y_{text{int}}}$ , ${displaystyle x_{text{int}}}$ são interceptações e ${displaystyle x_{text{max}}}$ , ${displaystyle y_{text{max}}}$ são valores máximos. Segue diretamente do teorema de Apolonios.

Circunferência

Elipses com a mesma circunferência

A circunferência $C$ de uma elipse é:

${displaystyle C,=,4aint _{0}^{pi /2}{sqrt {1-e^{2}sin ^{2}theta }} dtheta ,=,4a,E(e)}$

onde voltar $a$ é o comprimento do eixo semi-major, ${textstyle e={sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ é a excentricidade, e a função $E$ é a integral elíptica completa do segundo tipo,

${displaystyle E(e),=,int _{0}^{pi /2}{sqrt {1-e^{2}sin ^{2}theta }} dtheta }$

que em geral não é uma função elementar.

A circunferência da elipse pode ser avaliada em termos de $E(e)$ usando a média aritmética-geométrica de Gauss; este é um método iterativo convergente quadraticamente (veja aqui detalhes).

A série infinita exata é:

${displaystyle {begin{aligned}C&=2pi aleft[{1-left({frac {1}{2}}right)^{2}e^{2}-left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}{frac {e^{4}}{3}}-left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right)^{2}{frac {e^{6}}{5}}-cdots }right]\&=2pi aleft[1-sum _{n=1}^{infty }left({frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}right)^{2}{frac {e^{2n}}{2n-1}}right]\&=-2pi asum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}right)^{2}{frac {e^{2n}}{2n-1}},end{aligned}}}$

Onde? $n!!$ é o factorial duplo (destinado a inteiros estranhos negativos pela relação de recidiva ${displaystyle (2n-1)!!=(2n+1)!!/(2n+1)}$ , para ${displaystyle nleq 0}$ ). Esta série converge, mas expandindo em termos de ${displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}$ James Ivory e Bessel derivaram uma expressão que converge muito mais rapidamente:

${displaystyle {begin{aligned}C&=pi (a+b)sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}right)^{2}h^{n}\&=pi (a+b)left[1+{frac {h}{4}}+sum _{n=2}^{infty }left({frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}right)^{2}h^{n}right]\&=pi (a+b)left[1+sum _{n=1}^{infty }left({frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}right)^{2}{frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}right].end{aligned}}}$

Srinivasa Ramanujan deu duas aproximações próximas para a circunferência em §16 de "Equações Modulares e aproximações a $pi$ "; eles são

${displaystyle Capprox pi {biggl [}3(a+b)-{sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{biggr ]}=pi {biggl [}3(a+b)-{sqrt {10ab+3left(a^{2}+b^{2}right)}}{biggr ]}}$

${displaystyle Capprox pi left(a+bright)left(1+{frac {3h}{10+{sqrt {4-3h}}}}right),}$

Onde? $h$ assume o mesmo significado que acima. Os erros nestas aproximações, que foram obtidos empiricamente, são de ordem $h^{3}$ e ${displaystyle h^{5},}$ respectivamente.

Comprimento do arco

De forma mais geral, o comprimento do arco de uma parte da circunferência, em função do ângulo subtendido (ou $x$ coordenadas de quaisquer dois pontos na metade superior da elipse), é dada por uma integral elíptica incompleta. A metade superior de uma elipse é parametrizada por

${displaystyle y=b {sqrt {1-{frac {x^{2}}{a^{2}}} }}~.}$

Então o comprimento do arco $s$ a partir de ${displaystyle x_{1} }$ para ${displaystyle x_{2} }$ é:

${displaystyle s=-bint _{arccos {frac {x_{1}}{a}}}^{arccos {frac {x_{2}}{a}}}{sqrt { 1+left({tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1right) sin ^{2}z~}};mathrm {d} z~.}$

Isto é equivalente a

${displaystyle s=b left[;Eleft(z;{Biggl |};1-{frac {a^{2}}{b^{2}}}right);right]_{z = arccos {frac {x_{2}}{a}}}^{arccos {frac {x_{1}}{a}}}}$

Onde? ${displaystyle E(zmid m)}$ é a integral elíptica incompleta do segundo tipo com parâmetro ${displaystyle m=k^{2}.}$

Alguns limites inferiores e superiores na circunferência da elipse canônica ${displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1 }$ com ${displaystyle ageq b }$ são

${displaystyle {begin{aligned}2pi b&leq Cleq 2pi a\\pi (a+b)&leq Cleq 4(a+b)\4{sqrt {a^{2}+b^{2} }}&leq Cleq {sqrt {2 }}pi {sqrt {a^{2}+b^{2} }}~.end{aligned}}}$

Aqui o limite superior ${displaystyle 2pi a }$ é a circunferência de um círculo concêntrico circunscrito passando pelos pontos finais do eixo principal da elipse, e o limite inferior $4{sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ é o perímetro de um rómbolo inscrito com vértices nos terminais dos eixos principais e menores.

Curvatura

A curvatura é dada por ${displaystyle kappa ={frac {1}{a^{2}b^{2}}}left({frac {x^{2}}{a^{4}}}+{frac {y^{2}}{b^{4}}}right)^{-{frac {3}{2}}}}$ raio de curvatura no ponto $(x,y)$ :

${displaystyle rho =a^{2}b^{2}left({frac {x^{2}}{a^{4}}}+{frac {y^{2}}{b^{4}}}right)^{frac {3}{2}}={frac {1}{a^{4}b^{4}}}{sqrt {left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}right)^{3}}}.}$

Raio de curvatura nos dois vértices $(pm a,0)$ e os centros de curvatura:

${displaystyle rho _{0}={frac {b^{2}}{a}}=p\qquad left(pm {frac {c^{2}}{a}},{bigg |},0right).}$

Raio de curvatura nos dois co-vertices ${displaystyle (0,pm b)}$ e os centros de curvatura:

${displaystyle rho _{1}={frac {a^{2}}{b}}\qquad left(0,{bigg |},pm {frac {c^{2}}{b}}right).}$

Na geometria do triângulo

As elipses aparecem na geometria do triângulo como

Elipse Steiner: elipse através dos vértices do triângulo com centro no centroide,
inellipses: elipses que tocam os lados de um triângulo. Casos especiais são o Steiner inellipse e o Mandart inellipse.

Como seções planas de quádricas

As elipses aparecem como seções planas das seguintes quádricas:

Elipsóide
Cone elíptico
Cilindro elíptico
Hiperbolóide de uma folha
Hiperbolóide de duas folhas

Elipsóide
Cone elíptico
Cilindro elíptico
Hiperbolóide de uma folha
Hiperbolóide de duas folhas

Aplicativos

Física

Refletores elípticos e acústica

Padrão de onda de uma pequena gota caiu em mercúrio em um foco da elipse

Se a superfície da água for perturbada em um dos focos de um tanque de água elíptico, as ondas circulares dessa perturbação, depois de refletidas nas paredes, convergem simultaneamente para um único ponto: o segundo foco. Isso é uma consequência do comprimento total da viagem ser o mesmo ao longo de qualquer caminho de ressalto na parede entre os dois focos.

Da mesma forma, se uma fonte de luz é colocada em um foco de um espelho elíptico, todos os raios de luz no plano da elipse são refletidos para o segundo foco. Como nenhuma outra curva suave possui tal propriedade, ela pode ser usada como uma definição alternativa de elipse. (No caso especial de um círculo com uma fonte em seu centro, toda a luz seria refletida de volta ao centro). para todos os raios fora da fonte. Alternativamente, um espelho cilíndrico com seção transversal elíptica pode ser usado para focalizar a luz de uma lâmpada fluorescente linear ao longo de uma linha do papel; esses espelhos são usados em alguns scanners de documentos.

As ondas sonoras são refletidas de maneira semelhante, portanto, em uma grande sala elíptica, uma pessoa parada em um foco pode ouvir uma pessoa parada no outro foco notavelmente bem. O efeito é ainda mais evidente sob um teto abobadado em forma de seção de um esferóide prolato. Essa sala é chamada de câmara de sussurros. O mesmo efeito pode ser demonstrado com dois refletores em forma de tampas de tal esferóide, colocados frente a frente na distância adequada. Exemplos são o National Statuary Hall no Capitólio dos Estados Unidos (onde se diz que John Quincy Adams usou esta propriedade para espionar assuntos políticos); o Tabernáculo Mórmon na Praça do Templo em Salt Lake City, Utah; em uma exposição sobre som no Museu de Ciência e Indústria em Chicago; em frente ao Auditório Foellinger da Universidade de Illinois em Urbana-Champaign; e também numa câmara lateral do Palácio de Carlos V, na Alhambra.

Órbitas planetárias

No século 17, Johannes Kepler descobriu que as órbitas ao longo das quais os planetas viajam ao redor do Sol são elipses com o Sol [aproximadamente] em um foco, em sua primeira lei do movimento planetário. Mais tarde, Isaac Newton explicou isso como um corolário de sua lei da gravitação universal.

De forma mais geral, no problema gravitacional de dois corpos, se os dois corpos estão ligados um ao outro (isto é, a energia total é negativa), suas órbitas são elipses semelhantes com o baricentro comum sendo um dos focos de cada um elipse. O outro foco de qualquer uma das elipses não tem significado físico conhecido. A órbita de qualquer corpo no referencial do outro também é uma elipse, com o outro corpo no mesmo foco.

As órbitas elípticas Keplerianas são o resultado de qualquer força de atração dirigida radialmente cuja força é inversamente proporcional ao quadrado da distância. Assim, em princípio, o movimento de duas partículas com cargas opostas no espaço vazio também seria uma elipse. (No entanto, esta conclusão ignora as perdas devido à radiação eletromagnética e aos efeitos quânticos, que se tornam significativos quando as partículas se movem em alta velocidade.)

Para órbitas elípticas, relações úteis envolvendo a excentricidade $e$ são:

${displaystyle {begin{aligned}e&={frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\r_{a}&=(1+e)a\r_{p}&=(1-e)aend{aligned}}}$

onde

$r_{a}$ é o raio em apoapse (a distância mais distante)
$r_{p}$ é o raio em periapsis (a distância mais próxima)
$a$ é o comprimento do eixo semi-major

Além disso, em termos de $r_{a}$ e $r_{p}$ , o eixo semi-major $a$ é a sua média aritmética, o eixo semi-minor $b$ é a sua média geométrica, e o semi-latus rectum $ell$ é a sua média harmônica. Em outras palavras,

${displaystyle {begin{aligned}a&={frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\[2pt]b&={sqrt {r_{a}r_{p}}}\[2pt]ell &={frac {2}{{frac {1}{r_{a}}}+{frac {1}{r_{p}}}}}={frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}end{aligned}}}$ .

Osciladores harmônicos

A solução geral para um oscilador harmônico em duas ou mais dimensões também é uma elipse. É o caso, por exemplo, de um longo pêndulo que se move livremente em duas dimensões; de uma massa presa a um ponto fixo por uma mola perfeitamente elástica; ou de qualquer objeto que se mova sob a influência de uma força de atração diretamente proporcional à sua distância de um atrator fixo. Ao contrário das órbitas Keplerianas, no entanto, essas "órbitas harmônicas" têm o centro de atração no centro geométrico da elipse e têm equações de movimento bastante simples.

Visualização de fase

Em eletrônica, a fase relativa de dois sinais senoidais pode ser comparada alimentando-os nas entradas vertical e horizontal de um osciloscópio. Se a exibição da figura de Lissajous for uma elipse, em vez de uma linha reta, os dois sinais estão fora de fase.

Engrenagens elípticas

Duas engrenagens não circulares com o mesmo contorno elíptico, cada uma girando em torno de um foco e posicionadas no ângulo adequado, giram suavemente enquanto mantêm contato o tempo todo. Alternativamente, eles podem ser conectados por uma corrente de elos ou correia dentada, ou no caso de uma bicicleta, a coroa principal pode ser elíptica ou ovóide semelhante a uma elipse em forma. Essas engrenagens elípticas podem ser usadas em equipamentos mecânicos para produzir velocidade angular variável ou torque a partir de uma rotação constante do eixo motriz ou, no caso de uma bicicleta, para permitir uma velocidade variável de rotação da manivela com vantagem mecânica inversamente variável.

As engrenagens da bicicleta elíptica facilitam o deslizamento da corrente da engrenagem ao trocar de marcha.

Um exemplo de aplicação de engrenagem seria um dispositivo que enrola linha em uma bobina cônica em uma máquina de fiar. A bobina precisaria ser enrolada mais rápido quando a linha estiver perto do ápice do que quando estiver perto da base.

Óptica

Em um material que é opticamente anisotrópico (birefringente), o índice de refração depende da direção da luz. A dependência pode ser descrita por um elipsoide de índice. (Se o material é opticamente isotrópico, este elipsoide é uma esfera.)
Nos lasers de estado sólido abatidos por lâmpadas, os refletores em forma de cilindro elíptico foram usados para direcionar a luz da lâmpada da bomba (coaxial com um eixo focal elipse) para a haste média ativa (coaxial com o segundo eixo focal).
No laser-plasma produzido fontes de luz EUV usadas na litografia microchip, a luz EUV é gerada pelo plasma posicionado no foco primário de um espelho elipsoide e é coletada no foco secundário na entrada da máquina de litografia.

Estatísticas e finanças

Em estatísticas, um vetor aleatório bivariado $(X,Y)$ é distribuído conjuntamente ellipticamente se seus contornos de iso-densidade—loci de valores iguais da função de densidade—são elipses. O conceito se estende a um número arbitrário de elementos do vetor aleatório, em que caso em geral os contornos de iso-densidade são elipsóides. Um caso especial é a distribuição normal multivariada. As distribuições elípticas são importantes em finanças porque se as taxas de retorno sobre os ativos forem distribuídas de forma elíptica, todas as carteiras podem ser caracterizadas completamente por sua média e variância - isto é, quaisquer duas carteiras com média idêntica e variância de retorno do portfólio têm distribuições idênticas de retorno do portfólio.

Computação gráfica

Desenhar uma elipse como uma primitiva gráfica é comum em bibliotecas de exibição padrão, como MacIntosh QuickDraw API e Direct2D no Windows. Jack Bresenham, da IBM, é mais famoso pela invenção de primitivos de desenho 2D, incluindo desenho de linha e círculo, usando apenas operações inteiras rápidas, como adição e ramificação no bit de transporte. M. L. V. Pitteway estendeu o algoritmo de Bresenham para linhas a cônicas em 1967. Outra generalização eficiente para desenhar elipses foi inventada em 1984 por Jerry Van Aken.

Em 1970, Danny Cohen apresentou-se no "Computer Graphics 1970" conferência na Inglaterra um algoritmo linear para desenhar elipses e círculos. Em 1971, L. B. Smith publicou algoritmos semelhantes para todas as seções cônicas e provou que elas tinham boas propriedades. Esses algoritmos precisam apenas de algumas multiplicações e adições para calcular cada vetor.

É benéfico usar uma formulação paramétrica em computação gráfica porque a densidade de pontos é maior onde há maior curvatura. Assim, a mudança na inclinação entre cada ponto sucessivo é pequena, reduzindo a aparente "irregularidade" da aproximação.

Desenho com caminhos Bézier

Curvas de Bézier compostas também podem ser usadas para desenhar uma elipse com precisão suficiente, uma vez que qualquer elipse pode ser interpretada como uma transformação afim de um círculo. Os métodos spline usados para desenhar um círculo podem ser usados para desenhar uma elipse, desde que as curvas de Bézier constituintes se comportem apropriadamente sob tais transformações.

Teoria da otimização

Às vezes é útil encontrar a elipse limite mínima em um conjunto de pontos. O método do elipsóide é bastante útil para resolver este problema.

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