Duodecimal

O sistema duodecimal (também conhecido como base 12, dozenal ou, raramente, uncial) é um sistema de numeração de notação posicional usando doze como sua base. O número doze (ou seja, o número escrito como "12" no sistema numérico decimal) é escrito como "10" em duodecimal (significando "1 dúzia e 0 unidades", em vez de "1 dez e 0 unidades"), enquanto a sequência de dígitos "12" significa "1 dúzia e 2 unidades" (decimal 14). Da mesma forma, em duodecimal, "100" significa "1 bruto", "1000" significa "1 grande bruto" e "0,1" significa "1 décimo segundo" (em vez de seus significados decimais "1 cem", "1 mil" e "1 décimo", respectivamente).

Vários símbolos têm sido usados para representar dez e onze na notação duodecimal; esta página usa A e B, como em hexadecimal, que fazem uma contagem duodecimal de zero a doze ler 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. As Sociedades Dozenais da América e da Grã-Bretanha (organizações que promovem o uso de duodecimal) usam dígitos virados em seu material publicado: ↊ (um virado 2) para dez e ↋ (um virado 3) para onze.

O número doze, um número superior altamente composto, é o menor número com quatro fatores não triviais (2, 3, 4, 6) e o menor a incluir como fatores todos os quatro números (1 a 4) dentro do gama subitizing, e o menor número abundante. Todos os múltiplos de recíprocos de números 3 suaves (a/2^b·3^c onde a,b,c são inteiros) têm uma representação final em duodecimal. Em particular, +1⁄4 (0,3), +1⁄3 (0,4), +1⁄2 (0,6), função +2⁄3 (0,8) e +3⁄4 (0,9) todos têm uma representação de terminação curta em duodecimal. Há também maior regularidade observável na tabuada de multiplicação duodecimal. Como resultado, o duodecimal foi descrito como o sistema numérico ideal.

Nesses aspectos, o duodecimal é considerado superior ao decimal (que tem apenas 2 e 5 como fatores) e outras bases propostas como octal ou hexadecimal. O sexagesimal se sai ainda melhor nesse aspecto (os recíprocos de todos os números 5 suaves terminam), mas ao custo de tabelas de multiplicação pesadas e um número muito maior de símbolos para memorizar.

Origem

Nesta seção, os numerais são baseados em lugares decimais. Por exemplo, 10 significa dez, e 12 significa doze.

Idiomas que usam sistemas numéricos duodecimais são incomuns. Línguas do Cinturão Médio da Nigéria, como Janji, Gbiri-Niragu (Gure-Kahugu), Piti e o dialeto Nimbia de Gwandara; e a língua Chepang do Nepal são conhecidos por usar numerais duodecimais.

As línguas germânicas têm palavras especiais para 11 e 12, como eleven e twelve em inglês. Eles vêm do proto-germânico *ainlif e *twalif (significando, respectivamente um esquerdo e dois esquerdos), sugerindo uma origem decimal em vez de duodecimal. No entanto, o nórdico antigo usava um sistema híbrido de contagem decimal/duodecimal, com suas palavras para "cento e oitenta" significando 200 e "duzentos" significando 240. Nas Ilhas Britânicas, esse estilo de contagem sobreviveu até a Idade Média como a longa centena.

Historicamente, as unidades de tempo em muitas civilizações são duodecimais. Existem doze signos do zodíaco, doze meses em um ano, e os babilônios tinham doze horas em um dia (embora em algum momento isso tenha sido alterado para 24). Calendários, relógios e bússolas tradicionais chineses são baseados nos doze Ramos Terrestres ou 24 (12 × 2) termos solares. Há 12 polegadas em um pé imperial, 12 onças troy em uma libra troy, 12 pence britânico antigo em um xelim, 24 (12 × 2) horas em um dia e muitos outros itens contados às dezenas, bruto (144, quadrado de 12), ou grande bruto (1728, cubo de 12). Os romanos usavam um sistema de frações baseado em 12, incluindo o uncia, que se tornou as palavras inglesas ounce e inch. Pré-decimalização, a Irlanda e o Reino Unido usavam um sistema monetário misto duodecimal-vigesimal (12 pence = 1 shilling, 20 shillings ou 240 pence para a libra esterlina ou libra irlandesa), e Carlos Magno estabeleceu um sistema monetário que também tinha uma base mista de doze e vinte, cujos remanescentes persistem em muitos lugares.

A importância de 12 foi atribuída ao número de ciclos lunares em um ano, bem como ao fato de que os humanos têm 12 ossos dos dedos (falanges) em uma mão (três em cada um dos quatro dedos). É possível contar até 12 com o polegar atuando como um ponteiro, tocando cada osso do dedo por vez. Um sistema tradicional de contagem digital ainda em uso em muitas regiões da Ásia funciona dessa maneira e pode ajudar a explicar a ocorrência de sistemas numerais baseados em 12 e 60 além daqueles baseados em 10, 20 e 5. Nesse sistema, o um (normalmente a direita) conta repetidamente até 12, exibindo o número de iterações na outra (geralmente a esquerda), até que cinco dezenas, ou seja, as 60, estejam completas.

Notações e pronúncias

Em um sistema de numeração, a base (doze para duodecimal) deve ser escrita como 10, mas existem inúmeras propostas de como escrever as quantidades (valores de contagem) "dez" e "onze".

Notação
	Fundo	Nota	Por favor. teclado teclado
Por caracteres dedicados
⟨A, B)	Como em hexadecimal	Para permitir a entrada em máquinas de escrever.	Y
⟨T, E)	Iniciais de Dez. e Onze.		Y
⟨X, E)	X do numeral romano para dez		Y
⟨X, Z)			Y
⟨δ, ε)	grego δ, ε, de δέκα "dez" e ένεκα "Onze" '
⟨τ, ε)	grego τ, ε
⟨W, ∂)	W vem de duplicar o numeral romano para cinco; ∂ é baseado em um pêndulo	Silvio Ferrari em Calcolo Decidozzina (1854).
⟨X, E)	X, U+2130 E CAPITAL DE SCRIPT	Frank Emerson Andrews em Novos números (1935).
⟨,, #)	sextil ou asterisco de seis pontos, hash ou octothorpe	Edna Kramer em O fluxo principal de matemática (1951). Usado em publicações da Sociedade Dozenal da América (DSA) de 1974 a 2008., também em telefones de botão de pressão.	Y
⟨,,,)	U+218A ↊ DIGIT TWO, U+218B ↋ TURNED DIGIT THRE	Isaac Pitman (1857); dígitos árabes giraram 180°. Usado pela Sociedade Dozenal da Grã-Bretanha (DSGB) Usado pela DSA 2015–presente Incluído no Unicode 8.0 (2015).
⟨, )	Pronunciou 'dek', 'el '	William Addison Dwiggins (1945/1932?). Usado pela DSA 1945-1974 e 2008-2015
Pela notação base
decimal	Fundo	Nota	Por favor. teclado teclado
54= 64 54;6= 64,5	Em itálico Use ponto e vírgula em vez de um ponto decimal	Ponto de Humphrey	– Y
*54 = 64 54,6 = 64,5	Asterisco para números inteiros, Pontos de Humphrey para outros	Usado pela DSGB.	– Y
54zangão.= 64D	Subscrição '	De "dozenal". Usado pela DSA desde 2015.
5412= 6410.	Número de base subscrito	Uso comum por matemáticos e livros didáticos de matemática
54doze= 64dez.	Subscrito base spelt out	Variação do acima às vezes encontrada em manuais escolares
doz 54 = dec 64			Y

Símbolos transdecimais

Para permitir a entrada em máquinas de escrever, letras como ⟨A, B⟩ (como em hexadecimal), ⟨T, E⟩ (iniciais de Ten e Eleven), ⟨X, E⟩ (X do numeral romano para dez), ou ⟨X, Z⟩ são usados. Alguns empregam letras gregas como ⟨δ, ε⟩ (do grego δέκα 'dez' e ένδεκα 'onze'), ou ⟨τ, ε⟩. Frank Emerson Andrews, um dos primeiros defensores americanos do duodecimal, sugeriu e usou em seu livro Novos Números ⟨X, ℰ⟩ (e maiúsculo, U+2130).

Edna Kramer em seu livro de 1951 The Main Stream of Mathematics usou um ⟨⚹, #⟩ (sextil ou asterisco de seis pontas, hash ou octotorpe). Os símbolos foram escolhidos porque estavam disponíveis em algumas máquinas de escrever; eles também estão em telefones com botão de pressão. Esta notação foi usada em publicações da Dozenal Society of America (DSA) de 1974 a 2008.

De 2008 a 2015, a DSA usou <, ⟩, os símbolos criados por William Addison Dwiggins.

A Sociedade Dozenal da Grã-Bretanha (DSGB) propôs símbolos <, ⟩. Esta notação, derivada de dígitos árabes por rotação de 180°, foi introduzida por Isaac Pitman. Em março de 2013, uma proposta foi apresentada para incluir as formas de dígitos para dez e onze propagadas pelas Sociedades Dozenais no Padrão Unicode. Destes, as formas britânicas/Pitman foram aceitas para codificação como caracteres em pontos de código U+218A ↊ DIGIT TWO e U+218B ↋ TURNED DIGIT THRE. Eles foram incluídos no Unicode 8.0 (2015).

Depois que os dígitos Pitman foram adicionados ao Unicode, o DSA fez uma votação e começou a publicar conteúdo usando os dígitos Pitman. Eles ainda usam as letras X e E no texto ASCII. Como os caracteres Unicode são pouco suportados, esta página usa "A" e "B".

Outras propostas são mais criativas ou estéticas; por exemplo, muitos não usam numerais arábicos sob o princípio de "identidade separada."

Notação de base

Também existem várias propostas de como distinguir um número duodecimal de um decimal. Eles incluem números duodecimais em itálico "54 = 64", adicionando um "ponto Humphrey" (um ponto e vírgula em vez de um ponto decimal) para números duodecimais "54;6 = 64,5", ou alguma combinação dos dois. Outros usam rótulos subscritos ou afixados para indicar a base, permitindo que mais do que decimal e duodecimal sejam representados (para letras simples 'z' de "dozenal" é usado como 'd' significaria decimal), como "54_z = 64_d," "54₁₂ = 64₁₀" ou "doz 54 = dez 64."

Pronúncia

A Dozenal Society of America sugeriu a pronúncia de dez e onze como "dek" e "el". Para os nomes das potências de doze há dois sistemas proeminentes.

Números duodecimais

Neste sistema, o prefixo e- é adicionado para frações.

Dígitos múltiplos nesta série são pronunciados de forma diferente: 12 é "faça dois"; 30 é "três do"; 100 é "gro"; BA9 é "el gro dek do nine"; B86 é "el gro oito do seis"; 8BB,15A é "oito gro el do el, um gro cinco do dek" ABA é "dek gro el do dek" BBB é "el gro el do el" e 0,06 é "seis egro" e assim por diante.

Nomenclatura Dozenal Sistemática (SDN)

Este sistema usa "-qua" terminando para as potências positivas de 12 e "-cia" terminando para as potências negativas de 12 e uma extensão dos nomes dos elementos sistemáticos da IUPAC (com as sílabas dec e lev para os dois dígitos extras necessários para duodecimal) para expressar qual potência se quer dizer.

Advocacy e "dozenalismo"

William James Sidis usou 12 como base para sua linguagem construída Vendergood em 1906, observando que era o menor número com quatro fatores e sua prevalência no comércio.

A defesa do sistema duodecimal foi extensamente apresentada na obra de Frank Emerson Andrews. Livro de 1935 Novos números: como a aceitação de uma base duodecimal simplificaria a matemática. Emerson observou que, devido à prevalência de fatores de doze em muitas unidades tradicionais de peso e medida, muitas das vantagens computacionais reivindicadas para o sistema métrico poderiam ser realizadas ou pela adoção de pesos baseados em dez e medida ou pela adoção do sistema numérico duodecimal.

Um relógio duodecimal como no logotipo da Sociedade Dozenal da América, aqui usado para denotar chaves musicais

Tanto a Dozenal Society of America quanto a Dozenal Society of Great Britain promovem a ampla adoção do sistema de base doze. Eles usam a palavra "dozenal" em vez de "duodecimal" para evitar a terminologia de base dez mais abertamente. No entanto, a etimologia de "dozenal" em si também é uma expressão baseada na terminologia de base dez desde "dúzia" é uma derivação direta da palavra francesa douzaine que é um derivado da palavra francesa para doze, douze, descendente do latim duodecim.

Desde pelo menos 1945, alguns membros da Dozenal Society of America e da Dozenal Society of Great Britain sugeriram que uma palavra mais adequada seria "uncial". Uncial é uma derivação da palavra latina uncia, que significa "um doze avos", e também o análogo de base doze da palavra latina decima, que significa "um décimo".

O matemático e calculador mental Alexander Craig Aitken era um defensor declarado do duodecimal:

As mesas duodecimais são fáceis de dominar, mais fáceis do que as decimais; e no ensino elementar seriam muito mais interessantes, uma vez que as crianças jovens encontrariam coisas mais fascinantes a fazer com doze hastes ou blocos do que com dez. Qualquer pessoa com essas tabelas no comando fará esses cálculos mais de uma e meia vezes mais rápido na escala duodecimal como no decimal. Esta é a minha experiência; tenho certeza de que ainda mais seria a experiência dos outros.

—A. C. Aitken, "Twelves e Tens" em O ouvinte (25 de janeiro de 1962)

Mas a vantagem quantitativa final, em minha própria experiência, é esta: em cálculos variados e extensos de um tipo comum e não indevidamente complicado, realizado ao longo de muitos anos, eu chego à conclusão de que a eficiência do sistema decimal pode ser avaliado em cerca de 65 ou menos, se atribuirmos 100 ao duodecimal.

—A. C. Aitken, Processo contra a decimalização (1962)

Na mídia

Em "Little Twelvetoes", a série de televisão americana Schoolhouse Rock! retratou um ser alienígena usando aritmética de base doze, usando "dek" e "el" como nomes para dez e onze, e Andrews'; script-X e script-E para os símbolos de dígitos.

Sistemas de medidas duodecimais

Sistemas de medição propostos por donalistas incluem:

• Sistema TGM de Tom Pendlebury
• Sistema Universal de Unidade de Takashi Suga
• Sistema Primel de John Volan

Comparação com outros sistemas numéricos

A Dozenal Society of America argumenta que se uma base é muito pequena, expansões significativamente mais longas são necessárias para os números; e se uma base for muito grande, deve-se memorizar uma tabela de multiplicação grande para realizar aritmética. Assim, presume-se que "uma base numérica precisará estar entre cerca de 7 ou 8 até cerca de 16, possivelmente incluindo 18 e 20".

O número 12 tem seis fatores, que são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, dos quais 2 e 3 são primos. É o menor número a ter seis fatores, o maior número a ter pelo menos metade dos números abaixo dele como divisores e não é muito maior que 10. (Os números 18 e 20 também têm seis fatores, mas são muito maiores.) O sistema decimal tem apenas quatro fatores, que são 1, 2, 5 e 10, dos quais 2 e 5 são primos. O senário (base 6) compartilha os fatores primos 2 e 3 com o duodecimal, mas, como o decimal, tem apenas quatro fatores (1, 2, 3 e 6) em vez de seis e está abaixo do limite declarado do DSA.

Octal (base 8) tem quatro fatores, 1, 2, 4 e 8, mas tem apenas um fator primo (2). Hexadecimal (base 16) adiciona 16 como um quinto fator, mas ainda sem primo adicional. Isso ocorre porque 16=8×2 e 8 já contém 2 como fator.

Trigesimal (base 30) é o menor sistema que possui três fatores primos diferentes (todos os três menores primos: 2, 3 e 5) e possui oito fatores no total (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30). Sexagesimal - que os antigos sumérios e babilônios, entre outros, realmente usaram - adiciona os quatro fatores convenientes 4, 12, 20 e 60 a isso, mas nenhum novo fator primo. O menor sistema que possui quatro fatores primos diferentes é a base 210 e o padrão segue os primoriais. No entanto, estas são bases muito grandes.

Em todos os sistemas de base, existem semelhanças na representação de múltiplos de números que são um a menos ou um a mais que a base.

Tabelas de conversão de e para decimal

Para converter números entre bases, pode-se usar o algoritmo de conversão geral (consulte a seção relevante em notação posicional). Alternativamente, pode-se usar tabelas de conversão de dígitos. Os dados abaixo podem ser usados para converter qualquer número duodecimal entre 0;01 e BBB,BBB;BB em decimal, ou qualquer número decimal entre 0,01 e 999.999,99 em duodecimal. Para usá-los, o número fornecido deve primeiro ser decomposto em uma soma de números com apenas um dígito significativo cada. Por exemplo:

123,456.78 = 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08

Essa decomposição funciona da mesma forma, independentemente da base em que o número é expresso. Apenas isole cada dígito diferente de zero, preenchendo-os com tantos zeros quantos forem necessários para preservar seus respectivos valores posicionais. Se os dígitos do número fornecido incluírem zeros (por exemplo, 102.304,05), estes são, obviamente, deixados de fora na decomposição de dígitos (102.304,05 = 100.000 + 2.000 + 300 + 4 + 0,05). Em seguida, as tabelas de conversão de dígitos podem ser usadas para obter o valor equivalente na base de destino para cada dígito. Se o número fornecido estiver em duodecimal e a base de destino for decimal, obtemos:

(duodecimal) 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0;7 + 0;08 = (decimal) 248,832 + 41,472 + 5,184 + 576 + 60 + 6 + 0,58333333333333... + 0,055555555555...

Agora, como as somas já estão convertidas para base dez, a aritmética decimal usual é usada para realizar a adição e recompor o número, chegando ao resultado da conversão:

Duodecimal -----> Decimal

 100.000 = 248,832
20.000 = 41,472
3.000 = 5.184
400 = 576
50 = 60
+ 6 = + 6
0,7 = 0,58333333333333...
0;08 = 0,055555555555...
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
123,456;78 = 296,130.6388888888888888...

Isto é, (duodecimal) 123.456,78 é igual a (decimal) 296.130,638 ≈ 296.130,64

Se o número fornecido estiver em decimal e a base de destino for duodecimal, o método é basicamente o mesmo. Usando as tabelas de conversão de dígitos:

(decimal) 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08 = (duodecimal) 49,A54 + B,6A8 + 1,8A0 + 294 + 42 + 6 + 0;849724972497249724972497... + 0;0B62A68781B05915343A0B62...

Porém, para fazer essa soma e recompor o número, agora é preciso usar as tabelas de soma para o sistema duodecimal, ao invés das tabelas de soma para decimal que a maioria das pessoas já conhece, pois as somas agora estão em base doze e assim a aritmética com eles tem que ser em duodecimal também. Em decimal, 6 + 6 é igual a 12, mas em duodecimal é igual a 10; assim, se usar aritmética decimal com números duodecimais chegaria a um resultado incorreto. Fazendo a aritmética corretamente em duodecimal, obtém-se o resultado:

 Decimal -----> Duodecimal

 100.000 = 49,54
20.000 = B,6A8
3.000 = 1,8A0
400 = 294
50 = 42
+ 6 = + 6
0,7 = 0,84949724972497249724972497...
0,08 = 0;0B62A6878B05915343A0B62...
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
123,456.78 = 5B,540;943A0B62A6878B05915343A...

Isto é, (decimal) 123.456,78 é igual a (duodecimal) 5B.540;943A0B62A68781B059153... ≈ 5B,540;94

Conversão de dígitos duodecimais para decimais

Conversão de dígito decimal para duodecimal

Regras de divisibilidade

(Nesta seção, todos os números são escritos com duodecimal)

Esta seção é sobre as regras de divisibilidade em duodecimal.

1

Qualquer inteiro é divisível por 1.

2

Se um número for divisível por 2, o dígito da unidade desse número será 0, 2, 4, 6, 8 ou A.

3

Se um número for divisível por 3, o dígito da unidade desse número será 0, 3, 6 ou 9.

4

Se um número for divisível por 4, o dígito da unidade desse número será 0, 4 ou 8.

5

Para testar a divisibilidade por 5, duplique o dígito das unidades e subtraia o resultado do número formado pelos demais dígitos. Se o resultado for divisível por 5, o número fornecido será divisível por 5.

Esta regra vem de 21 (52{displaystyle 5^{2}}).

Exemplos:
13 governar => |1- Sim. - Sim. 2× × 3|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =5|1-2times 3|=5}, que é divisível por 5.
2BA5 governar => |2BA- Sim. - Sim. 2× × 5|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2B0(5× × 70){displaystyle |2{texttt {B}}{texttt {A}}-2times 5|=2{texttt {B}}0(5times 70)}, que é divisível por 5 (ou aplicar a regra em 2B0).

OU

Para testar a divisibilidade por 5, subtraia o algarismo das unidades e o triplo do resultado ao número formado pelos demais algarismos. Se o resultado for divisível por 5, o número fornecido será divisível por 5.

Esta regra vem de 13 (5× × 3{displaystyle 5times 3}).

Exemplos:
13 governar => |3- Sim. - Sim. 3× × 1|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0|3-3times 1|=0}, que é divisível por 5.
2BA5 governar => |5- Sim. - Sim. 3× × 2BA|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =8B1(5× × 195){displaystyle |5-3times 2{texttt (B) {A}}|=8{texttt {B}}1(5times 195)}, que é divisível por 5 (ou aplicar a regra em 8B1).

OU

Forme a soma alternada de blocos de dois da direita para a esquerda. Se o resultado for divisível por 5, o número fornecido será divisível por 5.

Esta regra vem de 101, desde 101= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =5× × 25{displaystyle 101=5times 25}; assim, esta regra também pode ser testada para a divisibilidade por 25.

Exemplo:

97,374,627 - Sim. 27- Sim. - Sim. 46.+37- Sim. - Sim. 97= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 7B[displaystyle 27-46+37-97=-7{texttt {B}}}, que é divisível por 5.

6

Se um número for divisível por 6, o dígito da unidade desse número será 0 ou 6.

7

Para testar a divisibilidade por 7, triplique o algarismo das unidades e some o resultado ao número formado pelos demais algarismos. Se o resultado for divisível por 7, o número fornecido será divisível por 7.

Esta regra vem de 2B (7× × 5{displaystyle 7times 5})

Exemplos:
12governar => |3× × 2+1|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7{displaystyle |3times 2+1|=7}, que é divisível por 7.
271Bgovernar => |3× × B+271|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =29 de MarçoA(7× × 4A)|3times {texttt {B}}+271|=29{texttt {A}}(7times 4{texttt {A}})}, que é divisível por 7 (ou aplicar a regra em 29A).

OU

Para testar a divisibilidade por 7, subtraia o dígito das unidades e dobre o resultado do número formado pelos demais dígitos. Se o resultado for divisível por 7, o número fornecido será divisível por 7.

Esta regra vem de 12 (7× × 2{displaystyle 7times 2}).

Exemplos:
12governar => |2- Sim. - Sim. 2× × 1|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle |2-2times 1|=0}, que é divisível por 7.
271Bgovernar => |B- Sim. - Sim. 2× × 271|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =513(7× × 89){displaystyle |{texttt {B}}-2times 271|=513(7times 89)}, que é divisível por 7 (ou aplicar a regra em 513).

OU

Para testar a divisibilidade por 7, quadruplique o dígito das unidades e subtraia o resultado do número formado pelos demais dígitos. Se o resultado for divisível por 7, o número fornecido será divisível por 7.

Esta regra vem de 41 (72{displaystyle 7^{2}}).

Exemplos:
12governar => |4× × 2- Sim. - Sim. 1|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7|4times 2-1|=7}, que é divisível por 7.
271Bgovernar => |4× × B- Sim. - Sim. 271|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =235(7× × 3B)|4times {texttt {B}}-271|=235(7times 3{texttt {B}})}, que é divisível por 7 (ou aplicar a regra em 235).

OU

Forme a soma alternada de blocos de três da direita para a esquerda. Se o resultado for divisível por 7, o número fornecido será divisível por 7.

Esta regra vem de 1001, desde 1001= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7× × 11× × 17.{displaystyle 1001=7times 11times 17}, assim, esta regra também pode ser testada para a divisibilidade por 11 e 17.

Exemplo:

386,967,443 - Sim. 443- Sim. - Sim. 967+386= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 168Não. 443-967+386=-168}, que é divisível por 7.

8

Se o número de 2 dígitos formado pelos últimos 2 dígitos do número fornecido for divisível por 8, o número fornecido será divisível por 8.

Exemplo: 1B48, 4120

 regra => desde 48(8*7) divisível por 8, então 1B48 é divisível por 8.
regra => desde 20(8*3) divisível por 8, então 4120 é divisível por 8.

9

Se o número de 2 dígitos formado pelos últimos 2 dígitos do número fornecido for divisível por 9, o número fornecido será divisível por 9.

Exemplo: 7423, 8330

 regra => desde 23(9*3) divisível por 9, então 7423 é divisível por 9.
regra => desde 30(9*4) divisível por 9, então 8330 é divisível por 9.

A

Se o número for divisível por 2 e 5, então o número é divisível por A.

B

Se a soma dos dígitos de um número for divisível por B, então o número é divisível por B (o equivalente a descartar noves em decimal).

Exemplo: 29, 61B13

 governar => 2+9 = B que é divisível por B, então 29 é divisível por B.
regra => 6+1+B+1+3 = 1A que é divisível por B, então 61B13 é divisível por B.

10.

Se um número for divisível por 10, o dígito da unidade desse número será 0.

11

Soma os dígitos alternativos e subtrai as somas. Se o resultado for divisível por 11, o número é divisível por 11 (o equivalente à divisibilidade por onze em decimal).

Exemplo: 66, 9427

 governar => |6-6| = 0 que é divisível por 11, então 66 é divisível por 11.
regra => |(9+2)-(4+7)| = |A-A| = 0 que é divisível por 11, então 9427 é divisível por 11.

12

Se o número for divisível por 2 e 7, então o número é divisível por 12.

13

Se o número for divisível por 3 e 5, então o número é divisível por 13.

14

Se o número de 2 dígitos formado pelos últimos 2 dígitos do número fornecido for divisível por 14, o número fornecido será divisível por 14.

Exemplo: 1468, 7394

 regra => desde 68(14*5) divisível por 14, então 1468 é divisível por 14.
regra => desde 94(14*7) divisível por 14, então 7394 é divisível por 14.

Frações e números irracionais

Frações

As frações duodecimais podem ser simples:

• 1/2 = 0,6
• 1/3 = 0,4
• 1/4 = 0;3
• 1/6 = 0;2
• 1/8 = 0;16
• 1/9 = 0;14
• 1/10. = 0;1 (isto é um décimo segundo, 1/A é um décimo)
• 1/14 = 0;09 (este é um décimo sexto, 1/12 é um décimo quarto)

ou complicado:

• 1/5 = 0;2497... recorrente (arredondado para 0;24A)
• 1/7 = 0;186A35... recorrente (arredondado para 0;187)
• 1/A = 0;12497... recorrente (arredondado para 0;125)
• 1/B = 0;1... recorrente (arredondado para 0;111)
• 1/11 = 0;0B... recorrente (arredondado para 0;0B1)
• 1/12 = 0;0A35186... recorrente (arredondado para 0;0A3)
• 1/13 = 0;09724... recorrente (arredondado para 0;097)

Conforme explicado em decimais recorrentes, sempre que uma fração irredutível é escrita em notação de ponto de raiz em qualquer base, a fração pode ser expressa exatamente (termina) se e somente se todos os fatores primos de seu denominador também forem fatores primos da base.

Como 2 × 5 = 10, no sistema decimal, as frações cujos denominadores são compostos apenas por múltiplos de 2 e 5 terminam: 1/8 = 1/(2×2×2), 1/20 = 1/(2×2×5) e 1/500 = 1/(2×2×5×5×5) pode ser expresso exatamente como 0,125, 0,05 e 0,002 respectivamente. 1/ 3 e 1/7, porém, recorrentes (0,333... e 0,142857142857...).

Porque 2 × 2 × 3 = 12, no sistema duodecimal, 1/8 é exato; 1/ 20 e 1/500 são recorrentes porque incluem 5 como fator; 1/ 3 é exato; e 1/7 é recorrente, assim como em decimal.

O número de denominadores que fornecem frações terminais dentro de um determinado número de dígitos, digamos n, em uma base b é o número de fatores (divisores) de bⁿ, a nésima potência da base b (embora isso inclua o divisor 1, que não produz frações quando usado como denominador). O número de fatores de bⁿ é dado usando sua fatoração primária.

Para decimal, 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ. O número de divisores é encontrado adicionando um a cada expoente de cada número primo e multiplicando as quantidades resultantes, então o número de fatores de 10ⁿ é (n + 1)(n + 1) = (n + 1)².

Por exemplo, o número 8 é um fator de 10³ (1000), então 1/8 e outras frações com um denominador de 8 não podem exigir mais de 3 dígitos decimais fracionários para terminar. 5/8 = 0,625₁₀

Para duodecimal, 10ⁿ = 2²ⁿ × 3 ⁿ. Isso tem (2n + 1)(n + 1) divisores. O denominador de amostra de 8 é um fator de (12² = 144 bruto em decimal), portanto, os oitavos não podem precisar de mais de duas casas fracionais duodecimais para encerrar. 5/ 8 = 0,76₁₂

Como dez e doze têm dois fatores primos únicos, o número de divisores de bⁿ para b = 10 ou 12 cresce quadraticamente com o expoente n (ou seja, da ordem de n²).

Dígitos recorrentes

A Dozenal Society of America argumenta que os fatores de 3 são mais comumente encontrados em problemas de divisão da vida real do que os fatores de 5. Assim, em aplicações práticas, o incômodo de repetir decimais é encontrado com menos frequência quando a notação duodecimal é usada. Os defensores dos sistemas duodecimais argumentam que isso é particularmente verdadeiro nos cálculos financeiros, nos quais os doze meses do ano costumam entrar nos cálculos.

No entanto, quando frações recorrentes do ocorrem em notação duodecimal, é menos provável que tenham um período muito curto do que em notação decimal, porque 12 (doze) está entre dois números primos, 11 (onze) e 13 (treze), enquanto dez é adjacente ao número composto 9. No entanto, ter um período mais curto ou mais longo não ajuda no principal inconveniente de não se obter uma representação finita para tais frações na base dada (portanto, o arredondamento, que introduz inexatidão, é necessário para lidar com eles nos cálculos) e, em geral, é mais provável que se tenha que lidar com dígitos recorrentes infinitos quando as frações são expressas em decimal do que em duodecimal, porque um em cada três números consecutivos contém o fator primo 3 em sua fatoração, enquanto apenas um em cada cinco contém o fator primo 5. Todos os outros fatores primos, exceto 2, não são compartilhados por dez ou doze, então eles não influenciam a probabilidade relativa de encontrar dígitos recorrentes (qualquer fração irredutível que contenha qualquer um desses outros fatores em seu denominador será recorrente em qualquer uma das bases).

Além disso, o fator primo 2 aparece duas vezes na fatoração de doze, enquanto apenas uma vez na fatoração de dez; o que significa que a maioria das frações cujos denominadores são potências de dois terão uma representação final mais curta e conveniente em duodecimal do que em decimal:

• 1/(2)²) = 0,25_10. = 0,3₁₂
• 1/(2)³) = 0,125_10. = 0,16₁₂
• 1/(2)⁴) = 0,0625_10. = 0,09₁₂
• 1/(2)⁵) = 0,03125_10. = 0,046₁₂

A duração do período duodecimal de 1/n é (em decimal)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 30, 0, 16, 12, 0, 9, 6, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, A246004 no OEIS)

A duração do período duodecimal de 1/(nª linha) é (em decimal)

0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, A246489 no OEIS)

O menor número primo com período duodecimal n é (em decimal)

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 290436306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373se A252170 no OEIS)

Números irracionais

As representações de números irracionais em qualquer sistema numérico posicional (incluindo decimal e duodecimal) não terminam nem se repetem. A tabela a seguir fornece os primeiros dígitos de alguns números algébricos e transcendentais importantes, tanto em decimal quanto em duodecimal.

Número irracional algébrica	Em decimal	Em duodecimal
√2, a raiz quadrada de 2	1.414213562373...	1; 4B79170A07B8...
φ (phi), a proporção de ouro = 1+52Não. (em inglês) {5}}}{2}}}	1.618033988749...	1;74BB6772802A...
Número transcendental	Em decimal	Em duodecimal
D (pi), a relação da circunferência de um círculo ao seu diâmetro	3.141592653589...	3;184809493B91...
e, a base do logaritmo natural	2.718281828459...	2;875236069821...