Domínio integral

Na matemática, especificamente na álgebra abstrata, um domínio integral é um anel comutativo diferente de zero no qual o produto de quaisquer dois elementos diferentes de zero é diferente de zero. Os domínios integrais são generalizações do anel de números inteiros e fornecem um ambiente natural para o estudo da divisibilidade. Em um domínio integral, todo elemento diferente de zero a tem a propriedade de cancelamento, ou seja, se a ≠ 0, uma igualdade ab = ac implica b = c.

"Domínio integral" é definido quase universalmente como acima, mas há alguma variação. Este artigo segue a convenção de que os anéis têm uma identidade multiplicativa, geralmente denotada por 1, mas alguns autores não seguem isso, ao não exigir que os domínios integrais tenham uma identidade multiplicativa. Às vezes, são admitidos domínios integrais não comutativos. Este artigo, no entanto, segue a convenção muito mais comum de reservar o termo "domínio integral" para o caso comutativo e usando "domínio" para o caso geral incluindo anéis não comutativos.

Algumas fontes, principalmente Lang, usam o termo anel inteiro para domínio integral.

Alguns tipos específicos de domínios integrais são fornecidos com a seguinte cadeia de inclusões de classe:

Rngs ⊃ anéis ⊃ anéis comutativos ⊃ domínios integrais ⊃ domínios integralmente fechados ⊃ Domínios GCD ⊃ domínios únicos de fatoração ⊃ principais domínios ideais ⊃ Domínios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos fechados algébrica

Definição

Um domínio integral é um anel comutativo diferente de zero no qual o produto de quaisquer dois elementos diferentes de zero é diferente de zero. Equivalentemente:

• Um domínio integral é um anel comutativo nonzero com divisores nonzero zero.
• Um domínio integral é um anel comutativo em que o ideal zero {0} é um ideal primo.
• Um domínio integral é um anel comutativo nonzero para o qual cada elemento nonzero é cancelável sob multiplicação.
• Um domínio integral é um anel para o qual o conjunto de elementos nonzero é um monoide comutativo sob multiplicação (porque um monoide deve ser fechado sob multiplicação).
• Um domínio integral é um anel comutativo nonzero no qual para cada elemento nonzero R, a função que mapeia cada elemento x do anel ao produto xr é injetável. Elementos R com esta propriedade são chamados regular, então é equivalente a exigir que cada elemento nonzero do anel seja regular.
• Um domínio integral é um anel que é isomorfo para um subring de um campo. (Dado um domínio integral, pode-se incorporar em seu campo de frações.)

Exemplos

• O exemplo arquetípico é o anel Z.{displaystyle mathbb {Z} } } de todos os inteiros.
• Cada campo é um domínio integral. Por exemplo, o campo R{displaystyle mathbb {R} } } de todos os números reais é um domínio integral. Por outro lado, cada domínio integral Artiniano é um campo. Em particular, todos os domínios integrais finitos são campos finitos (mais geralmente, pelo teorema pequeno de Wedderburn, domínios finitos são campos finitos). O anel de inteiros Z.{displaystyle mathbb {Z} } } fornece um exemplo de um domínio integral infinito não-Artiniano que não é um campo, possuindo infinitas sequências descendentes de ideais como:

Z.⊃ ⊃ 2Z.⊃ ⊃ ⋯ ⋯ ⊃ ⊃ 2nZ.⊃ ⊃ 2n+1Z.⊃ ⊃ ⋯ ⋯ {displaystyle mathbb {Z} supset 2mathbb {Z} supset cdots supset 2^{n}mathbb {Z} supset 2^{n+1}mathbb {Z} supset cdots }

• Os anéis de polinômios são domínios integrais se os coeficientes vêm de um domínio integral. Por exemplo, o anel Z.Não.x][x] de todos os polinômios em uma variável com coeficientes inteiros é um domínio integral; assim é o anel CNão.x1,...... ,xn][x_{1},ldotsx_{n}]} de todos os polinômios em n-variáveis com coeficientes complexos.

• O exemplo anterior pode ser mais explorado tomando quocientes de ideais primos. Por exemplo, o anel CNão.x,Sim.]/(Sim.2- Sim. - Sim. x(x- Sim. - Sim. 1)(x- Sim. - Sim. 2)){displaystyle mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2)}correspondente a uma curva elíptica plana é um domínio integral. A integridade pode ser verificada mostrando Sim.2- Sim. - Sim. x(x- Sim. - Sim. 1)(x- Sim. - Sim. 2)(x-1)(x-2)}é um polinômio irredutível.

• O anel Z.Não.x]/(x2- Sim. - Sim. n)Gerenciamento Gerenciamento Z.Não.n]{displaystyle mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)cong mathbb {Z} [{sqrt {n}}]} é um domínio integral para qualquer inteiro não quadrado nNão.. Se 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>, então este anel é sempre um subring de R{displaystyle mathbb {R} } }, caso contrário, é um subring de C.{displaystyle mathbb {C}.}

• O anel de inteiros p-ádicos Z.p{displaystyle mathbb {Z} _{p}} é um domínio integral.

• O anel de série de poder formal de um domínio integral é um domínio integral.

• Se UNão. é um subconjunto aberto conectado do plano complexo C{displaystyle mathbb {C} } }, então o anel H. H. H.(U){displaystyle {mathcal {H}}(U)} consistindo de todas as funções holomorfocas é um domínio integral. O mesmo é verdadeiro para anéis de funções analíticas em subconjuntos abertos conectados de coletores analíticos.

• Um anel local regular é um domínio integral. Na verdade, um anel local regular é um UFD.

Não exemplos

Os seguintes anéis não são domínios integrais.

• O anel zero (o anel em que 0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não.).

• O anel quociente Z./mZ.{displaystyle mathbb {Z} /mmathbb Não. quando m é um número composto. De fato, escolha uma fatoração adequada m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =xSim.- Sim. (que significa que xNão. e Sim.- Sim. não são iguais a 1Não. 1 ou mNão.). Então... x≢0modm{displaystyle xnot equiv 0{bmod {m}}} e Sim.≢0modm{displaystyle ynot equiv 0{bmod {m}}}, mas xSim.)) 0modm{displaystyle xyequiv 0{bmod {m}}}.

• Um produto de dois anéis comutativos nonzero. Em tal produto R× × SNão. Rtimes S}, um tem (1,0))) (0,1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0,0)(1,0)cdot (0,1)=(0,0)}.

• O anel quociente Z.Não.x]/(x2- Sim. - Sim. n2){displaystyle mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})} para qualquer n∈ ∈ Z.{displaystyle nin mathbb Não.. As imagens de x+nNão. X+n. e x- Sim. - Sim. nNão. são nonzero, enquanto seu produto é 0 neste anel.

• O anel de n × n matrizes sobre qualquer anel nonzero quando n ≥ 2. Se MNão. e NNão. são matrizes tais que a imagem de NNão. está contido no kernel do MNão., então MN= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim.. Por exemplo, isso acontece para M= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =N= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0100)Não. M=N=({begin{smallmatrix}0&1&0end{smallmatrix}})}.

• O anel quociente kNão.x1,...... ,xn]/(fg){displaystyle k[x_{1},ldotsx_{n}]/(fg)} para qualquer campo kNão. e quaisquer polinômios não-constantes f,g∈ ∈ kNão.x1,...... ,xn]{displaystyle f,gin k[x_{1},ldotsx_{n}]}. As imagens de f e g neste anel quociente são elementos nonzero cujo produto é 0. Este argumento mostra, equivalentemente, que (fg)(fg)} não é um ideal primo. A interpretação geométrica deste resultado é que os zeros de fg formar um conjunto afine algébrico que não é irredutível (isto é, não uma variedade algébrica) em geral. O único caso em que este conjunto algébrica pode ser irredutível é quando fg é um poder de um polinômio irredutível, que define o mesmo conjunto algébrica.

• O anel de funções contínuas no intervalo da unidade. Considere as funções

f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(1- Sim. - Sim. 2xx∈ ∈ Não.0,12]0x∈ ∈ Não.12,1]g(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0x∈ ∈ Não.0,12]2x- Sim. - Sim. 1x∈ ∈ Não.12,1]{displaystyle f(x)={begin{cases}1-2x&xin left[0,{tfrac {1}{2}}right]&xin left[{tfrac {1}{2}},1right]end{cases}}qquad g(x)={begin{cases}0&xin left[0}{tfrac {1}

Nem sequer. fNão. nem gNão. está em todo lugar zero, mas fgNão. É.

• O produto tensor C⭐ ⭐ RC{displaystyle mathbb (C} otimes _{mathbb (R) }mathbb Não.. Este anel tem dois idempotentes não triviais, e1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(1⭐ ⭐ 1)- Sim. - Sim. 12(Eu...⭐ ⭐ Eu...)Não. e_{1}={tfrac {1}{2}}(1otimes 1)-{tfrac {1}{2}}(iotimes i)} e e2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(1⭐ ⭐ 1)+12(Eu...⭐ ⭐ Eu...)Não. e_{2}={tfrac {1}{2}}(1otimes 1)+{tfrac {1}{2}}(iotimes i)}. Eles são ortogonais, o que significa que e1e2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não. e_{1}e_{2}=0}e daí C⭐ ⭐ RC{displaystyle mathbb (C} otimes _{mathbb (R) }mathbb Não. não é um domínio. Na verdade, há um isomorfismo C× × C→ → C⭐ ⭐ RC{displaystyle mathbb {C} times mathbb {C} to mathbb {C} otimes _{mathbb (R) }mathbb Não. definido por (zangão.,O quê?)↦ ↦ zangão.)) e1+O quê?)) e2{displaystyle (z,w)mapsto zcdot e_{1}+wcdot e_{2}}. Seu inverso é definido por zangão.⭐ ⭐ O quê?↦ ↦ (zangão.O quê?,zangão.O quê?? ? ){displaystyle zotimes wmapsto (zw,z{overline {w}})}. Este exemplo mostra que um produto de fibra de esquemas afinos irredutíveis não precisa ser irredutível.

Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíveis

Nesta seção, R é um domínio integral.

Dados os elementos a e b de R, diz-se que a divide b, ou que a é um divisor de b, ou que b é um múltiplo de a, se existe um elemento x em R tal que ax = b.

As unidades de R são os elementos que dividem 1; estes são precisamente os elementos inversíveis em R. As unidades dividem todos os outros elementos.

Se a divide b e b divide a, então a e b são elementos associados ou associados. Equivalentemente, a e b são associados se a = ub para alguma unidade u.

Um elemento irredutível é uma não-unidade diferente de zero que não pode ser escrita como um produto de duas não-unidades.

Um p diferente de zero e não unitário é um elemento primo se, sempre que p divide um produto ab, então p divide a ou p divide b. Equivalentemente, um elemento p é primo se e somente se o ideal principal (p) é um ideal primo diferente de zero.

Ambas as noções de elementos irredutíveis e elementos primos generalizam a definição comum de números primos no anel Z.,{displaystyle mathbb {Z}} se considerarmos como primos negativos.

Cada elemento principal é irredutível. O converso não é verdadeiro em geral: por exemplo, no anel inteiro quadrático Z.Não.- Sim. - Sim. 5]{displaystyle mathbb {Z} left[{sqrt {-5}}right]} o elemento 3 é irredutível (se ele fatorado não trivialmente, os fatores teriam que cada um ter a norma 3, mas não há nenhuma norma 3 elementos desde um2+5b)2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =3{displaystyle a^{2}+5b^{2}=3} não tem soluções inteiras), mas não primo (desde 3 divisões (2+- Sim. - Sim. 5)(2- Sim. - Sim. - Sim. - Sim. 5){displaystyle left(2+{sqrt {-5}}right)left(2-{sqrt {-5}}right)} sem dividir qualquer fator). Em um domínio de fatoração única (ou mais geralmente, um domínio GCD), um elemento irredutível é um elemento primo.

Embora a fatoração única não se mantenha Z.Não.- Sim. - Sim. 5]{displaystyle mathbb {Z} left[{sqrt {-5}}right]}, há fatoração única de ideais. Veja Lasker–Noether theorem.

Propriedades

• Um anel comutativo R é um domínio integral se e somente se o ideal (0) de R é um ideal primo.
• Se R é um anel comutativo e P é um ideal em R, então o anel quociente R/P é um domínio integral se e somente se P é um ideal primo.
• Vamos. R ser um domínio integral. Então os anéis polinomiais sobre R (em qualquer número de indeterminados) são domínios integrais. Este é, em particular, o caso se R é um campo.
• A propriedade de cancelamento detém em qualquer domínio integral: para qualquer um, b)e c em um domínio integral, se um ≠ 0 e A = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ACÇÃO então b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = c. Outra maneira de afirmar isso é que a função x ↦ Ax é injetável para qualquer nonzero um no domínio.
• A propriedade de cancelamento detém para ideais em qualquer domínio integral: se XI = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = xJ, então ou x é zero ou Eu... = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = JJ.
• Um domínio integral é igual à interseção de suas localizações em ideais máximos.
• Um limite indutivo de domínios integrais é um domínio integral.
• Se A,BA.B. são domínios integrais sobre um campo algébricamente fechado k, então A⭐ ⭐ kBNão. Aotimes _{k}B} é um domínio integral. Esta é uma consequência da nullstellensatz de Hilbert, e, em geometria algébrica, implica a afirmação de que o anel de coordenadas do produto de duas variedades algébricas afinas sobre um campo algébricamente fechado é novamente um domínio integral.

Campo de frações

O campo de frações KK de um domínio integral R é o conjunto de frações um/b) com um e b) em R e b) ≠ 0 modulo uma relação de equivalência apropriada, equipado com as operações de adição e multiplicação habituais. É "o menor campo que contém R" no sentido de que há um homomorfismo de anel injetável R → KK tal que qualquer homomorfismo de anel injetável de R para fatores de campo através KK. O campo de frações do anel de inteiros Z.{displaystyle mathbb {Z} } } é o campo dos números racionais Q.{displaystyle mathbb {Q}.} O campo de frações de um campo é isomorfo para o próprio campo.

Geometria algébrica

Domínios integrais são caracterizados pela condição de serem reduzidos (ou seja, x² = 0 implica x = 0) e irredutíveis (ou seja, existe apenas um ideal primo mínimo). A primeira condição garante que o radical nil do anel seja zero, de modo que a interseção de todos os primos mínimos do anel seja zero. A última condição é que o anel tenha apenas um primo mínimo. Segue-se que o único ideal primo mínimo de um anel reduzido e irredutível é o ideal zero, então tais anéis são domínios integrais. O inverso é claro: um domínio integral não tem elementos nilpotentes diferentes de zero, e o ideal zero é o único ideal primo mínimo.

Isso se traduz, em geometria algébrica, no fato de que o anel de coordenadas de um conjunto algébrico afim é um domínio integral se e somente se o conjunto algébrico for uma variedade algébrica.

Em geral, um anel comutativo é um domínio integral se e somente se seu espectro é um esquema afim integral.

Características e homomorfismos

A característica de um domínio integral é 0 ou um número primo.

Se R é um domínio integral de característica prima p, então o endomorfismo de Frobenius f(x) = x^p é injetivo.