Distribuição de Maxwell-Boltzmann

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Função de distribuição de probabilidade específica, importante na física

Na física (em particular na mecânica estatística), a distribuição de Maxwell–Boltzmann, ou distribuição de Maxwell(ian), é uma distribuição de probabilidade particular nomeada em homenagem a James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann.

Foi definido e usado pela primeira vez para descrever velocidades de partículas em gases idealizados, onde as partículas se movem livremente dentro de um recipiente estacionário sem interagir umas com as outras, exceto em colisões muito breves nas quais elas trocam energia e momento umas com as outras ou com seus ambiente térmico. O termo "partícula" neste contexto refere-se apenas a partículas gasosas (átomos ou moléculas), e assume-se que o sistema de partículas atingiu o equilíbrio termodinâmico. As energias de tais partículas seguem o que é conhecido como estatística de Maxwell-Boltzmann, e a distribuição estatística de velocidades é derivada igualando as energias das partículas com a energia cinética.

Matematicamente, a distribuição de Maxwell-Boltzmann é a distribuição de chi com três graus de liberdade (os componentes do vetor de velocidade no espaço euclidiano), com um parâmetro de escala de velocidades de medição em unidades proporcionais à raiz quadrada de ${displaystyle T/m}$ (a proporção de temperatura e massa de partículas).

A distribuição de Maxwell-Boltzmann é resultado da teoria cinética dos gases, que fornece uma explicação simplificada de muitas propriedades gasosas fundamentais, incluindo pressão e difusão. A distribuição de Maxwell-Boltzmann aplica-se fundamentalmente a velocidades de partículas em três dimensões, mas acaba por depender apenas da velocidade (a magnitude da velocidade) das partículas. Uma distribuição de probabilidade de velocidade de partícula indica quais velocidades são mais prováveis: uma partícula escolhida aleatoriamente terá uma velocidade selecionada aleatoriamente da distribuição e é mais provável que esteja dentro de um intervalo de velocidades do que outro. A teoria cinética dos gases se aplica ao gás ideal clássico, que é uma idealização dos gases reais. Em gases reais, existem vários efeitos (por exemplo, interações de van der Waals, fluxo vortical, limites de velocidade relativísticos e interações de troca quântica) que podem tornar sua distribuição de velocidade diferente da forma de Maxwell-Boltzmann. No entanto, gases rarefeitos em temperaturas normais se comportam quase como um gás ideal e a distribuição de velocidade de Maxwell é uma excelente aproximação para tais gases. Isso também é verdade para plasmas ideais, que são gases ionizados de densidade suficientemente baixa.

A distribuição foi derivada pela primeira vez por Maxwell em 1860 em bases heurísticas. Boltzmann mais tarde, na década de 1870, realizou investigações significativas sobre as origens físicas dessa distribuição. A distribuição pode ser derivada com base no fato de que ela maximiza a entropia do sistema. Uma lista de derivações são:

Distribuição máxima da probabilidade de entropia no espaço de fase, com a restrição da conservação da energia média ${displaystyle langle Hrangle =E}$ ;
Ensemble canônico.

Função de distribuição

Para um sistema contendo um grande número de partículas clássicas não interagindo idênticas, não-relativistas em equilíbrio termodinâmico, a fração das partículas dentro de um elemento infinitesimal do espaço de velocidade tridimensional ${displaystyle d^{3}v}$ , centrado em um vetor de velocidade de magnitude $v$ , é dada por

{displaystyle f(v)~d^{3}v=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{3/2},e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}~d^{3}v,}

m

k

T

f(v)

{textstyle int f(v),d^{3}v}

As funções de densidade de probabilidade de velocidade das velocidades de alguns gases nobres a uma temperatura de 298.15 K (25 °C). O Sim.-axis está em s/m para que a área sob qualquer seção da curva (que representa a probabilidade da velocidade estar nessa faixa) é sem dimensão.

Pode-se escrever o elemento de espaço de velocidade como ${displaystyle d^{3}v=dv_{x},dv_{y},dv_{z}}$ , para velocidades em um sistema de coordenadas cartesianas padrão, ou como ${displaystyle d^{3}v=v^{2},dv,dOmega }$ em um sistema de coordenadas esféricas padrão, onde $dOmega$ é um elemento de ângulo sólido.

A função de distribuição Maxwellian para partículas que se movem em apenas uma direção, se esta direção é $x$ ,

{displaystyle f(v_{x})~dv_{x}=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{1/2},e^{-{frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}~dv_{x},}

v_y

v_z

Reconhecendo a simetria de $f(v)$ , pode-se integrar sobre ângulo sólido e escrever uma distribuição de probabilidade de velocidades como a função

{displaystyle f(v)=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{3/2},4pi v^{2}e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}.}

Esta função de densidade de probabilidade dá a probabilidade, por velocidade da unidade, de encontrar a partícula com uma velocidade próxima $v$ . Esta equação é simplesmente a distribuição Maxwell–Boltzmann (dadada na infobox) com parâmetro de distribuição ${textstyle a={sqrt {kT/m}}}$ . A distribuição Maxwell-Boltzmann é equivalente à distribuição chi com três graus de liberdade e parâmetro de escala ${textstyle a={sqrt {kT/m}}}$ .

A equação diferencial ordinária mais simples satisfeita pela distribuição é:

{displaystyle kTvf'(v)+f(v)left(mv^{2}-2kTright)=0,}

{displaystyle f(1)={sqrt {frac {2}{pi }}}e^{-{frac {m}{2kT}}}left({frac {m}{kT}}right)^{3/2}}

ou em apresentação sem unidade:

{displaystyle a^{2}xf'(x)+left(x^{2}-2a^{2}right)f(x)=0,}

{displaystyle f(1)={frac {{sqrt {frac {2}{pi }}}e^{-{1}/{2a^{2}}}}{a^{3}}}.}

Simulação de um gás 2D relaxante para uma distribuição de velocidade Maxwell–Boltzmann

Relação com a distribuição 2D de Maxwell–Boltzmann

Para partículas confinadas a se moverem em um plano, a distribuição de velocidade é dada por

<math alttext="{displaystyle P(s<|{vec {v}}|P(S<|v→ → |<S+DS)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mSkTexp⁡ ⁡ (- Sim. - Sim. mS22kT)DS{displaystyle P(s<|{vec {v}}|<s+ds)={frac {ms}{kT}}exp left(-{frac {ms^{2}}{2kT}}right)ds}<img alt="{displaystyle P(s<|{vec {v}}|

Esta distribuição é usada para descrever sistemas em equilíbrio. No entanto, a maioria dos sistemas não começa em seu estado de equilíbrio. A evolução de um sistema em direção ao seu estado de equilíbrio é governada pela equação de Boltzmann. A equação prevê que, para interações de curto alcance, a distribuição de velocidade de equilíbrio seguirá uma distribuição de Maxwell-Boltzmann. À direita está uma simulação de dinâmica molecular (MD) na qual 900 partículas de esfera dura são forçadas a se mover em um retângulo. Eles interagem através de colisões perfeitamente elásticas. O sistema é inicializado fora do equilíbrio, mas a distribuição de velocidade (em azul) converge rapidamente para a distribuição 2D de Maxwell-Boltzmann (em laranja).

Velocidades típicas

A distribuição Maxwell–Boltzmann corresponde à atmosfera solar. As massas de partículas são uma massa de prótons, $m p = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1.6.7 \times 10. -27 kg ? 1 Da$ , e a temperatura é a temperatura eficaz da fotosfera do sol, $T = 5800 K$ . $tilde{V}$ , ${bar {V}}$ e $V rms$ marcar as velocidades quadradas mais prováveis, médias e médias de raiz, respectivamente. Seus valores são $tilde{V}$ ? 9.79 km/s, ${bar {V}}$ ? 11.05 km/se $V rms ? 12.00 km/s$ .

A velocidade média ${displaystyle langle vrangle }$ , velocidade mais provável (modo) $v p$ , e velocidade da raiz-mean-quadrado ${textstyle {sqrt {langle v^{2}rangle }}}$ pode ser obtido a partir de propriedades da distribuição Maxwell.

Isso funciona bem para gases monoatômicos quase ideais, como o hélio, mas também para gases moleculares, como o oxigênio diatômico. Isso ocorre porque, apesar da maior capacidade de calor (maior energia interna na mesma temperatura) devido ao maior número de graus de liberdade, sua energia cinética translacional (e, portanto, sua velocidade) permanece inalterada.

A velocidade mais provável, $v p$ , é a velocidade mais provável de ser possuída por qualquer molécula (da mesma massa $m$ ) no sistema e corresponde ao valor máximo ou ao modo de $f (v)$ . Para encontrá-lo, calculamos o derivado $Df / Dv$ , definir para zero e resolver para $v$ : ${displaystyle {frac {df(v)}{dv}}=-8pi left({frac {m}{2pi kT}}right)^{3/2} v e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}left({frac {mv^{2}}{2kT}}-1right)=0}$ com a solução: ${displaystyle {frac {mv_{text{p}}^{2}}{2kT}}=1}$ ${displaystyle v_{text{p}}={sqrt {frac {2kT}{m}}}={sqrt {frac {2RT}{M}}}}$ $R$ é o gás constante e $M$ é massa molar da substância, e assim pode ser calculado como um produto de massa de partículas, $m$ , e Avogadro constante, $N A$ :

{displaystyle M=mN_{text{A}}}

₂300 K ${displaystyle v_{text{p}}approx {sqrt {frac {2cdot 8.31 {text{J}}cdot {text{mol}}^{-1}{text{K}}^{-1} 300 {text{K}}}{0.028 {text{kg}}cdot {text{mol}}^{-1}}}}approx 422 {text{m/s}}.}$
A velocidade média é o valor esperado da distribuição de velocidade, configuração ${textstyle b={frac {1}{2a^{2}}}={frac {m}{2kT}}}$ : ${displaystyle {begin{aligned}langle vrangle &=int _{0}^{infty }v,f(v),dv\&=4pi left({frac {b}{pi }}right)^{frac {3}{2}}int _{0}^{infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\&=4pi left({frac {b}{pi }}right)^{frac {3}{2}}{frac {1}{2b^{2}}}={sqrt {frac {4}{pi b}}}\&={sqrt {frac {8kT}{pi m}}}={sqrt {frac {8RT}{pi M}}}={frac {2}{sqrt {pi }}}v_{text{p}}end{aligned}}}$
A velocidade quadrada média ${displaystyle langle v^{2}rangle }$ é o momento bruto de segunda ordem da distribuição de velocidade. A "raiz média velocidade quadrada" ${displaystyle v_{mathrm {rms} }}$ é a raiz quadrada da velocidade quadrada média, correspondente à velocidade de uma partícula com energia cinética média, configuração ${textstyle b={frac {1}{2a^{2}}}={frac {m}{2kT}}}$ :
${displaystyle {begin{aligned}v_{mathrm {rms} }&={sqrt {langle v^{2}rangle }}=left(int _{0}^{infty }v^{2},f(v),dvright)^{1/2}\&=left(4pi left({frac {b}{pi }}right)^{3/2}int _{0}^{infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dvright)^{1/2}\&=left(4pi left({frac {b}{pi }}right)^{3/2}{frac {3}{8}}{sqrt {frac {pi }{b^{5}}}}right)^{1/2}=left({frac {3}{2b}}right)^{1/2}\[4pt]&={sqrt {frac {3kT}{m}}}={sqrt {frac {3RT}{M}}}={sqrt {frac {3}{2}}}v_{text{p}}end{aligned}}}$
Em resumo, as velocidades típicas estão relacionadas da seguinte forma:
$<math alttext="{displaystyle v_{text{p}}approx 88.6% langle vrangle <langle vrangle vp? ? 88.6% % ⟨ ⟨ v)) <⟨ ⟨ v)) <10,5% % ⟨ ⟨ v)) ? ? vRmS.{displaystyle v_{text{p}}approx 88.6% langle vrangle <langle vrangle <108.5%\langle vrangle approx v_{mathrm {rms} }<img alt="{displaystyle v_{text{p}}approx 88.6% langle vrangle <langle vrangle$
A raiz quadrada média da velocidade está diretamente relacionada à velocidade do som $c$ no gás, por
${displaystyle c={sqrt {frac {gamma }{3}}} v_{mathrm {rms} }={sqrt {frac {f+2}{3f}}} v_{mathrm {rms} }={sqrt {frac {f+2}{2f}}} v_{text{p}},}$ ${textstyle gamma =1+{frac {2}{f}}}$ $f$ 300 K ${displaystyle f=5}$ ${displaystyle c={sqrt {frac {7}{15}}}v_{mathrm {rms} }approx 68% v_{mathrm {rms} }approx 84% v_{text{p}}approx 353 mathrm {m/s}}$ 29 g/mol347 m/s300 K
A velocidade relativa média
${displaystyle v_{rm {rel}}equiv langle |{vec {v}}_{1}-{vec {v}}_{2}|rangle =int !d^{3}v_{1},d^{3}v_{2}left|{vec {v}}_{1}-{vec {v}}_{2}right|f({vec {v}}_{1})f({vec {v}}_{2})={frac {4}{sqrt {pi }}}{sqrt {frac {kT}{m}}}={sqrt {2}}langle vrangle }$ ${displaystyle f({vec {v}})equiv {frac {1}{left(2pi kT/mright)^{3/2}}}e^{-{frac {1}{2}}m{vec {v}}^{2}/kT}.}$
A integral pode ser facilmente feita mudando para coordenadas ${displaystyle {vec {u}}={vec {v}}_{1}-{vec {v}}_{2}}$ e ${displaystyle {vec {U}}={frac {{vec {v}}_{1}+{vec {v}}_{2}}{2}}.}$
Derivação e distribuições relacionadas
Estatísticas de Maxwell-Boltzmann
A derivação original em 1860 por James Clerk Maxwell foi um argumento baseado em colisões moleculares da teoria cinética dos gases, bem como certas simetrias na função de distribuição de velocidade; Maxwell também deu um argumento inicial de que essas colisões moleculares acarretam uma tendência ao equilíbrio. Depois de Maxwell, Ludwig Boltzmann em 1872 também derivou a distribuição em bases mecânicas e argumentou que os gases deveriam ao longo do tempo tender para esta distribuição, devido a colisões (ver H-teorema). Mais tarde (1877) derivou a distribuição novamente sob a estrutura da termodinâmica estatística. As derivações nesta seção seguem as linhas da derivação de Boltzmann de 1877, começando com o resultado conhecido como estatística de Maxwell-Boltzmann (da termodinâmica estatística). A estatística de Maxwell-Boltzmann fornece o número médio de partículas encontradas em um determinado microestado de partícula única. Sob certas suposições, o logaritmo da fração de partículas em um determinado microestado é proporcional à razão entre a energia desse estado e a temperatura do sistema:
${displaystyle -log left({frac {N_{i}}{N}}right)propto {frac {E_{i}}{T}}.}$
Esta relação pode ser escrita como uma equação introduzindo um fator de normalização:
${displaystyle {frac {N_{i}}{N}}={frac {exp(-E_{i}/kT)}{sum _{j}exp(-E_{j}/kT)}}}$
(1)
onde:
$N Eu...$ é o número esperado de partículas no microestado monopartícula $Eu...$ ,
$N$ é o número total de partículas no sistema,
$E Eu...$ é a energia do microestado $Eu...$ ,
a soma sobre o índice $JJ$ leva em conta todos os microestados,
$T$ é a temperatura de equilíbrio do sistema,
$k$ é a constante de Boltzmann.
O denominador em Equação (1) é um fator normalizador para que as razões ${displaystyle N_{i}:N}$ adicionar à unidade — em outras palavras é um tipo de função de partição (para o sistema de partícula única, não a função de partição habitual de todo o sistema).
Como a velocidade e a velocidade estão relacionadas à energia, a Equação (1) pode ser usada para derivar as relações entre a temperatura e as velocidades das partículas de gás. Tudo o que é necessário é descobrir a densidade de microestados em energia, que é determinada pela divisão do espaço de momento em regiões de tamanhos iguais.
Distribuição para o vetor de momento
A energia potencial é considerada zero, de modo que toda a energia esteja na forma de energia cinética. A relação entre energia cinética e momento para partículas massivas não relativísticas é
$E=frac{p^2}{2m}$
(2)
onde p² é o quadrado do vetor de momento $p = [p x, p y, p z]$ . Podemos, portanto, reescrever a Equação (1) como:
${displaystyle {frac {N_{i}}{N}}={frac {1}{Z}}exp left[-{frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}right]}$
(3)
Onde? Z. é a função de partição, correspondente ao denominador em Equação (1). Aqui. m é a massa molecular do gás, T é a temperatura termodinâmica e k é a constante de Boltzmann. Esta distribuição ${displaystyle N_{i}:N}$ é proporcional à função de densidade de probabilidade f_p para encontrar uma molécula com esses valores de componentes momentum, assim:
${displaystyle f_{mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})propto exp left[-{frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}right]}$
(4)
A constante de normalização pode ser determinada reconhecendo que a probabilidade de uma molécula ter algum momento deve ser 1. Integrando a exponencial em (4) sobre todo p_x, p_y e p_z produz um fator de
${displaystyle iiint _{-infty }^{+infty }exp left[-{frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}right]dp_{x},dp_{y},dp_{z}=left({sqrt {pi }}{sqrt {2mkT}}right)^{3}}$
Para que a função de distribuição normalizada seja:
${displaystyle f_{mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=left(2pi mkTright)^{-3/2}exp left[-{frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}right]}$ (6)
A distribuição é considerada como produto de três variáveis independentes normalmente distribuídas $p_{x}$ , $p_{y}$ e $p_{z}$ , com variância $mkT$ . Além disso, pode-se ver que a magnitude do impulso será distribuída como uma distribuição Maxwell–Boltzmann, com $a=sqrt{mkT}$ . A distribuição de Maxwell-Boltzmann para o ímpeto (ou igualmente para as velocidades) pode ser obtida mais fundamentalmente usando o teorema H em equilíbrio dentro da teoria cinética do quadro de gases.
Distribuição para a energia
A distribuição de energia encontra-se imponente
${displaystyle f_{E}(E)dE=f_{p}({textbf {p}}),d^{3}{textbf {p}},}$
(7)
Onde? $d^{3}{textbf p}$ é o volume de fase-espaço infinitesimal de momenta correspondente ao intervalo de energia $dE$ . Utilizando a simetria esférica da relação de dispersão de energia-momento ${displaystyle E=|{textbf {p}}|^{2}/2m}$ , isto pode ser expresso em termos de $dE$ como
${displaystyle d^{3}{textbf {p}}=4pi |{textbf {p}}|^{2}d|{textbf {p}}|=4pi m{sqrt {2mE}},dE.}$
(8)
Usando então (8) em (7), e expressando tudo em termos de energia $E$ , nós temos
${displaystyle f_{E}(E)dE={frac {1}{(2pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4pi m{sqrt {2mE}}dE=2{sqrt {frac {E}{pi }}}left({frac {1}{kT}}right)^{3/2}exp left(-{frac {E}{kT}}right)dE}$
${displaystyle f_{E}(E)=2{sqrt {frac {E}{pi }}}left({frac {1}{kT}}right)^{3/2}exp left(-{frac {E}{kT}}right)}$ (9)
Uma vez que a energia é proporcional à soma dos quadrados dos três componentes de impulso normalmente distribuídos, esta distribuição de energia pode ser escrita equivalentemente como uma distribuição gama, usando um parâmetro de forma, ${displaystyle k_{text{shape}}=3/2}$ e um parâmetro de escala, ${displaystyle theta _{text{scale}}=kT}$ .
Usando o teorema da equipartição, dado que a energia é uniformemente distribuída entre os três graus de liberdade em equilíbrio, também podemos dividir ${displaystyle f_{E}(E)dE}$ em um conjunto de distribuições qui-quadrado, onde a energia por grau de liberdade, $epsilon$ , é distribuído como uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade,
${displaystyle f_{epsilon }left(epsilon right),depsilon ={sqrt {frac {1}{pi epsilon kT}}}~exp left(-{frac {epsilon }{kT}}right),depsilon }$
No equilíbrio, esta distribuição será válida para qualquer número de graus de liberdade. Por exemplo, se as partículas são dipolos de massa rígidos de momento de dipolo fixo, eles terão três graus de liberdade de translação e dois graus de liberdade de rotação adicionais. A energia em cada grau de liberdade será descrita de acordo com a distribuição qui-quadrada acima com um grau de liberdade, e a energia total será distribuída de acordo com uma distribuição qui-quadrada com cinco graus de liberdade. Isso tem implicações na teoria do calor específico de um gás.
Distribuição para o vetor velocidade
Reconhecendo que a densidade de probabilidade de velocidade f_v é proporcional à função de densidade de probabilidade de momento por
${displaystyle f_{mathbf {v} }d^{3}v=f_{mathbf {p} }left({frac {dp}{dv}}right)^{3}d^{3}v}$
e usando p = mv obtemos
$f_{{mathbf {v}}}(v_{x},v_{y},v_{z})=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{{3/2}}exp left[-{frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}right]$
que é a distribuição de velocidade de Maxwell–Boltzmann. A probabilidade de encontrar uma partícula com velocidade no elemento infinitesimal $[dv x, dv y, dv z]$ sobre a velocidade $v = [v x, v y, v z]$ é
${displaystyle f_{mathbf {v} }left(v_{x},v_{y},v_{z}right),dv_{x},dv_{y},dv_{z}.}$
Como o impulso, esta distribuição é vista como o produto de três variáveis independentes normalmente distribuídas $v_x$ , $v_y$ e $v_z$ , mas com variância ${textstyle {frac {kT}{m}}}$ . Também pode ser visto que a distribuição de velocidade Maxwell-Boltzmann para a velocidade vetorial $Não. v x, v Sim., v zangão.]$ é o produto das distribuições para cada uma das três direções:
${displaystyle f_{mathbf {v} }left(v_{x},v_{y},v_{z}right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$ ${displaystyle f_{v}(v_{i})={sqrt {frac {m}{2pi kT}}}exp left(-{frac {mv_{i}^{2}}{2kT}}right).}$
Cada componente do vetor de velocidade tem uma distribuição normal com média $mu_{v_x} = mu_{v_y} = mu_{v_z} = 0$ e desvio padrão ${textstyle sigma _{v_{x}}=sigma _{v_{y}}=sigma _{v_{z}}={sqrt {frac {kT}{m}}}}$ , assim o vetor tem uma distribuição normal tridimensional, um tipo particular de distribuição normal multivariada, com média ${displaystyle mu _{mathbf {v} }=mathbf {0} }$ e covariância ${textstyle Sigma _{mathbf {v} }=left({frac {kT}{m}}right)I}$ , onde $I$ é o $3times 3$ matriz de identidade.
Distribuição para a velocidade
A distribuição de Maxwell–Boltzmann para a velocidade segue imediatamente da distribuição do vetor de velocidade, acima. Note que a velocidade é
${displaystyle v={sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$ ${displaystyle dv_{x},dv_{y},dv_{z}=v^{2}sin theta ,dv,dtheta ,dphi =v^{2}dv,dOmega }$ $phi$ $theta$ $dOmega$ $4pi$
${displaystyle f(v)=left({frac {2}{pi }}right)^{1/2}left({frac {m}{kT}}right)^{3/2}v^{2}exp left[-{frac {mv^{2}}{2kT}}right].}$
No espaço n-dimensional
No espaço ndimensional, a distribuição de Maxwell–Boltzmann se torna:
${displaystyle f(v)~d^{n}v=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{n/2},e^{-{frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~d^{n}v}$
A distribuição de velocidade torna-se:
${displaystyle f(v)~dv={text{const.}}times e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}times v^{n-1}~dv}$
O seguinte resultado integral é útil:
${displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{+infty }v^{a}e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=left[{frac {2kT}{m}}right]^{(a+1)/2}int _{0}^{+infty }e^{-x}x^{frac {a}{2}}dx^{frac {1}{2}}\&=left[{frac {2kT}{m}}right]^{(a+1)/2}int _{0}^{+infty }e^{-x}x^{frac {a}{2}}{frac {x^{-{frac {1}{2}}}}{2}}dx\&=left[{frac {2kT}{m}}right]^{(a+1)/2}{frac {Gamma ({frac {a+1}{2}})}{2}}end{aligned}}}$ ${displaystyle Gamma (z)}$ ${displaystyle {begin{aligned}langle vrangle &={frac {displaystyle int _{0}^{+infty }vcdot v^{n-1}e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{displaystyle int _{0}^{+infty }v^{n-1}e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\[4pt]&=left[{frac {2kT}{m}}right]^{1/2}{frac {Gamma left({frac {n+1}{2}}right)}{Gamma left({frac {n}{2}}right)}}end{aligned}}}$ ${textstyle v_{text{avg}}=langle vrangle =left[{frac {2kT}{m}}right]^{1/2}{frac {Gamma left({frac {n+1}{2}}right)}{Gamma left({frac {n}{2}}right)}}}$
${displaystyle {begin{aligned}langle v^{2}rangle &={frac {displaystyle int _{0}^{+infty }v^{2}cdot v^{n-1}e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{displaystyle int _{0}^{+infty }v^{n-1}e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\&=left[{frac {2kT}{m}}right]{frac {Gamma ({frac {n+2}{2}})}{Gamma ({frac {n}{2}})}}\&=left[{frac {2kT}{m}}right]{frac {n}{2}}={frac {nkT}{m}}end{aligned}}}$ ${textstyle v_{text{rms}}={sqrt {langle v^{2}rangle }}=left[{frac {nkT}{m}}right]^{1/2}}$
A derivada da função de distribuição de velocidade:
${displaystyle {frac {df(v)}{dv}}={text{const.}}times e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}left(-{frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}right)=0}$
Isso produz a velocidade mais provável (modo) ${textstyle v_{text{p}}=left[{frac {(n-1)kT}{m}}right]^{1/2}}$ .

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