Distribuição binomial negativa

Em teoria e estatísticas de probabilidade, o distribuição binomial negativa é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de falhas em uma sequência de testes Bernoulli independentes e distribuídos de forma idêntica antes de um número especificado (não aleatório) de sucessos (denominado $Não.$) ocorre. Por exemplo, podemos definir rolar um 6 em um die como um sucesso, e rolar qualquer outro número como um fracasso, e perguntar quantos rolos de falha ocorrerão antes de vermos o terceiro sucesso ($Não.$). Nesse caso, a distribuição de probabilidade do número de falhas que aparecem será uma distribuição binomial negativa.

Uma formulação alternativa é modelar o número de ensaios totais (em vez do número de falhas). Na verdade, para um número especificado (não aleatório) de sucessos (R), o número de falhas (n- Sim.R) são aleatórios porque os testes totais (n) são aleatórios. Por exemplo, poderíamos usar a distribuição binomial negativa para modelar o número de dias n (random) uma certa máquina funciona (especificado por R) antes de quebrar.

O Distribuição por Pascal (depois de Blaise Pascal) e Distribuição de polia (para George Pólya) são casos especiais da distribuição binomial negativa. Uma convenção entre engenheiros, climatologistas e outros é usar "binomial negativo" ou "Pascal" para o caso de um parâmetro de tempo de parada com valor inteiro ($Não.$) e use "Polya" para o caso real.

Para ocorrências de eventos discretos associados, como surtos de tornado, as distribuições de Polya podem ser usadas para dar modelos mais precisos do que a distribuição de Poisson, permitindo que a média e a variância sejam diferentes, ao contrário do Poisson. A distribuição binomial negativa tem uma variância ${displaystyle mu /p}$, com a distribuição se tornando idêntica a Poisson no limite ${displaystyle pto 1}$ para um determinado meio $- Sim.$ (isto é, quando as falhas são cada vez mais raras). Isso pode fazer da distribuição uma alternativa útil sobredispersa à distribuição de Poisson, por exemplo, para uma modificação robusta da regressão de Poisson. Na epidemiologia, tem sido usado para modelar a transmissão de doenças para doenças infecciosas, onde o número provável de infecções internas pode variar consideravelmente de indivíduo para indivíduo e de configuração para configuração. Mais geralmente, pode ser apropriado quando os eventos têm ocorrências positivamente correlacionadas causando uma variância maior do que se as ocorrências fossem independentes, devido a um termo de covariância positiva.

O termo "binomial negativo" provavelmente se deve ao fato de que um certo coeficiente binomial que aparece na fórmula da função de massa de probabilidade da distribuição pode ser escrito de forma mais simples com números negativos.

Definições

Imagine uma sequência de testes independentes de Bernoulli: cada julgamento tem dois resultados potenciais chamados "sucesso" e "falha". Em cada julgamento a probabilidade de sucesso é $Não.$ e da falha é $Não.$. Observamos esta sequência até um número predefinido $Não.$ de sucessos ocorre. Então o número aleatório de falhas observadas, $- Sim.$, segue o binomial negativo (ou Pascal) distribuição:

$Não. Xsim operatorname {NB} (r,p)}$

Função de massa de probabilidade

A função de massa de probabilidade da distribuição binomial negativa é

${displaystyle f(k;r,p)equiv Pr(X=k)={binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}}$

onde r é o número de sucessos, k é o número de falhas e p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Aqui, a quantidade entre parênteses é o coeficiente binomial e é igual a

${displaystyle {binom {k+r-1}{k}}={frac {(k+r-1)!}{(r-1)!,(k)!}}={frac {(k+r-1)(k+r-2)dotsm (r)}{k!}}}}$

Existem k falhas escolhidas entre k + r − 1 tentativas em vez de k + r porque o último dos testes k + r é, por definição, um sucesso.

Esta quantidade pode alternativamente ser escrita da seguinte maneira, explicando o nome "binomial negativo":

${displaystyle {begin{aligned}&{frac {(k+r-1)dotsm (r)}{k!}}[10pt]={}&(-1)^{k}{frac {overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)dotsm (-r-k+1)} Fatores ^{k{text{ }}{k!}}=(-1)^{k}{binom - Não. {-}}k}}.end{aligned}}}$

Note que pela última expressão e pela série binomial, para cada 0 ≤ p < 1 e $Não. Q=1-p$,

${displaystyle p^{-r}=(1-q)^{-r}=sum _{k=0}^{infty * - Não. {-}}k}}(-q)^{k}=sum _{k=0}^{infty * (k+r-1}{k}}q^{k}}$

portanto, os termos da função de massa de probabilidade realmente somam um, conforme abaixo.

${displaystyle sum _{k=0}^{infty * {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}=p^{-r}p^{r}=1}$

Para entender a definição acima da função de massa de probabilidade, note que a probabilidade para cada sequência específica de Rsucessos e kfalhas é p^R(1-) p)^k, porque os resultados do k+R testes devem acontecer independentemente. Desde o Ro sucesso sempre vem último, continua a escolher ktestes com falhas fora do restante k+R- 1 julgamentos. O coeficiente binomial acima, devido à sua interpretação combinatória, dá precisamente o número de todas essas sequências de comprimento k+R- 1.

Função de distribuição cumulativa

A função de distribuição cumulativa pode ser expressa em termos da função beta incompleta regularizada:

${displaystyle F(k;r,p)equiv Pr(Xleq k)=I_{p}(r,k+1). ?$

(Esta fórmula está usando a mesma parametrização que na tabela do artigo, com R o número de sucessos, e $(r+mu)}$ com $- Sim.$ a média.)

Também pode ser expresso em termos da função de distribuição cumulativa da distribuição binomial:

${displaystyle F(k;r,p)=F_{text{binomial}}(k;n=k+r,1-p).}$

Formulações alternativas

Algumas fontes podem definir a distribuição binomial negativa ligeiramente diferente da principal aqui. As variações mais comuns são onde a variável aleatória X está contando coisas diferentes. Estas variações podem ser vistas na tabela aqui:

	X está contando...	Função de massa de probabilidade	Fórmula	Fórmula alternativa (usando binomial equivalente)	Fórmula alternativa (simples usando: $- Sim.$)	Suporte
1	k falhas, dado R sucessos	${textstyle f(k;r,p)equiv Pr(X=k)=}$	$- Sim. {k+r-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$	$(k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}}$	$- Sim. {n-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$	${displaystyle } }}k=0,1,2,ldots }$
2	n julgamentos, dados R sucessos	${textstyle f(n;r,p)equiv Pr(X=n)=}$	$(n-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$	$- Sim. {n-1}{n-r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$		${displaystyle {text{para }}n=r,r+1,r+2,dotsc }$
3	n julgamentos, dados R falhas	${textstyle f(n;r,p)equiv Pr(X=n)=}$	$- Sim. {n-1}{r-1}}p^{n-r}(1-p)^{r}}$	$- Sim. {n-1}{n-r}}p^{n-r}(1-p)^{r}}$	$- Sim. {n-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$
4	k sucessos, dado R falhas	${textstyle f(k;r,p)equiv Pr(X=k)=}$	$- Sim. {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$	$- Sim. {k+r-1}{r-1}}p^{k}(1-p)^{r}}$		${displaystyle } }}k=0,1,2,ldots }$
- Não.	k sucessos, dado n testes	${textstyle f(k;n,p)equiv Pr(X=k)=}$	Esta é a distribuição binomial não o binomial negativo: $- Sim. {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$			${displaystyle } }}k=0,1,2,dotscn}$

Cada uma das quatro definições da distribuição binomial negativa pode ser expressa de formas ligeiramente diferentes, mas equivalentes. A primeira formulação alternativa é simplesmente uma forma equivalente do coeficiente binomial, ou seja: $- Sim. Não. {a}{a-b}}quad {text{para }} 0leq bleq a}$. A segunda formulação alternativa simplifica um pouco a expressão reconhecendo que o número total de ensaios é simplesmente o número de sucessos e falhas, ou seja: $Não. Não.$. Estas segundas formulações podem ser mais intuitivas para entender, no entanto, eles são talvez menos práticos como eles têm mais termos.

• A definição em que X é o número de n testes que ocorrem para um determinado número de R sucessos é semelhante à definição primária, exceto que o número de ensaios é dado em vez do número de falhas. Isso adiciona R para o valor da variável aleatória, deslocando seu suporte e média.
• A definição em que X é o número de k sucessos (ou n testes) que ocorrem para um determinado número de R falhas é semelhante à definição primária utilizada neste artigo, exceto que o número de falhas e sucessos são trocados ao considerar o que está sendo contado e o que é dado. Note no entanto, que p ainda se refere à probabilidade de "sucesso".
• A definição da distribuição binomial negativa pode ser estendida ao caso em que o parâmetro R pode assumir um valor real positivo. Embora seja impossível visualizar um número não inteiro de "falhas", ainda podemos definir formalmente a distribuição através de sua função de massa de probabilidade. O problema de estender a definição para real-valorizado (positivo) R resume-se a estender o coeficiente binomial à sua contraparte real, com base na função gama:

${displaystyle {binom {k+r-1}{k}}={frac {(k+r-1)(k+r-2)dotsm (r)}{k!}}={frac {Gamma (k+r)}{k!,Gamma (r)}}}$

Depois de substituir esta expressão na definição original, dizemos que X tem um binomial negativo (ou Pólya) distribuição se tiver uma função de massa de probabilidade:

${displaystyle f(k;r,p)equiv Pr(X=k)={frac (k+r)}{k!,Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}quad }}k=0,1,2,dotsc }$

Aqui. R é um número real e positivo.

Na regressão binomial negativa, a distribuição é especificada em termos de sua média, $- Sim.$, que é então relacionado a variáveis explicativas como em regressão linear ou outros modelos lineares generalizados. Da expressão para a média m, um pode derivar $- Sim. Não.$ e $- Sim. Não.$. Em seguida, substituindo essas expressões no um para a função de massa de probabilidade quando r é real-valorizado, produz esta parametrização da função de massa de probabilidade em termos dem:

${displaystyle Pr(X=k)={frac (r+k)}{k!,Gamma (r)}}left({frac {r}{r+m}}right)^{r}left({frac {m}{r+m}}right)^{k}quad {text{for }}k=0,1,2,dotsc }$

A variância pode então ser escrita como $- Sim. {m^{2}}{r}}}$. Alguns autores preferem definir ${displaystyle alfa - Sim. Não.$, e expressar a variância como ${textstyle m+alpha m^{2}}$. Neste contexto, e dependendo do autor, ou o parâmetro R ou seu recíproco α é referido como o "parâmetro de dispersão", "parâmetro de forma" ou "coeficiente exclusivo", ou o parâmetro "heterogeneidade" ou "agregação". O termo "agregação" é particularmente utilizado na ecologia ao descrever a contagem de organismos individuais. Diminuição do parâmetro de agregação R para zero corresponde ao aumento da agregação dos organismos; aumento de R para o infinito corresponde à ausência de agregação, como pode ser descrito pela regressão de Poisson.

Parametrizações alternativas

Às vezes, a distribuição é parametrizada em termos de média μ e variância σ²:

${displaystyle {begin{aligned}&p={frac {mu }{sigma ^{2}}},\[6pt]&r={frac {mu ^{2}}{sigma ^{2}-mu }}\[3pt]&Pr(X=k)={k+{frac {mu ^{2}}{sigma ^{2}-mu }}-1 choose r-1}left(1-{frac {mu }{sigma ^{2}}}right)^{k}left({frac {mu }{sigma ^{2}}}right)^{mu ^{2}/(sigma ^{2}-mu)}\&operatorname {E} (X)=mu \&operatorname {Var} (X)=sigma ^{2}.end{aligned}}}$

Outra parametrização popular usa r e as probabilidades de falha β:

${displaystyle {begin{aligned}&p={frac Não. }}\&Pr(X=k)={k+r-1 choose k}left({frac {beta ? }}right)^{k}left({frac {1}{1+beta }}right)^{r}\&operatorname {E} (X)=rbeta \&operatorname {Var} (X)=rbeta (1+beta).end{aligned}}}$

Exemplos

Tempo de internação

O tempo de internação hospitalar é um exemplo de dados do mundo real que podem ser bem modelados com uma distribuição binomial negativa por meio de regressão binomial negativa.

Vender doces

Pat Collis é obrigado a vender barras de chocolate para arrecadar dinheiro para a excursão do 6º ano. Pat (de forma um tanto severa) não deve voltar para casa até que cinco barras de chocolate sejam vendidas. Então a criança vai de porta em porta vendendo bombons. Em cada casa, há uma probabilidade de 0,6 de vender uma barra de chocolate e de 0,4 de não vender nada.

Qual é a probabilidade de vender a última barra de chocolate da nésima casa?

Vender doces com sucesso o suficiente é o que define nosso critério de parada (em vez de não conseguir vendê-los), então k neste caso representa o número de falhas e r representa o número de sucessos. Lembre-se de que a distribuição NegBin(r, p) descreve a probabilidade de k falhas e r sucessos em k + r Bernoulli(p) tentativas com sucesso na última tentativa. Vender cinco barras de chocolate significa obter cinco sucessos. O número de tentativas (ou seja, casas) necessárias é, portanto, k + 5 = n. A variável aleatória em que estamos interessados é o número de casas, então substituímos k = n − 5 em uma função de massa NegBin(5, 0.4) e obtemos a seguinte massa função da distribuição das casas (para n ≥ 5):

${displaystyle f(n)={(n-5)+5-1 choose n-5};(1-0.4)^{5};0.4^{n-5}={n-1 choose n-5};3^{5};{frac {2^{n-5}}{5^{n}}}.}$

Qual é a probabilidade de Pat terminar na décima casa?

${displaystyle f(10)=0.1003290624.,}$

Qual é a probabilidade de Pat terminar na ou antes de chegar à oitava casa?

Para terminar na oitava casa ou antes, Pat deve terminar na quinta, sexta, sétima ou oitava casa. Some essas probabilidades:

${displaystyle f(5)=0.07776,}$

${displaystyle f(6)=0.15552,}$

${displaystyle f(7)=0.18662,}$

${displaystyle f(8)=0.17418,}$

${displaystyle sum _{j=5}^{8}f(j)=0.59408.}$

Qual é a probabilidade de Pat esgotar todas as 30 casas que existem na vizinhança?

Isso pode ser expresso como a probabilidade de Pat não terminar da quinta à trigésima casa:

${displaystyle 1-sum _{j=5}^{30}f(j)=1-I_{0.4}(5,30-5+1)approx 1-0.99999342=0,00000658.}$

Por causa da probabilidade bastante alta de Pat vender para cada casa (60%), a probabilidade de ela NÃO cumprir sua missão é extremamente pequena.

Propriedades

Expectativa

O número total esperado de ensaios necessários para ver R sucessos é $- Sim.$. Assim, o número esperado de falhas seria esse valor, menos os sucessos:

${displaystyle E[operatorname {NB} (r,p)]={frac {r}{p}}-r={frac {r(1-p)}{p}}}$

Expectativa de sucessos

O número total esperado de falhas em uma distribuição binomial negativa com parâmetros (r, p) é r(1 − p)/p. Para ver isso, imagine que um experimento simulando o binômio negativo seja realizado várias vezes. Ou seja, um conjunto de tentativas é realizado até que r sucessos sejam obtidos, depois outro conjunto de tentativas e depois outro, etc. testes realizados em cada experimento: a, b, c,... e conjunto a + b + c +... = N. Agora esperaríamos cerca de Np sucessos no total. Digamos que o experimento foi realizado n vezes. Depois, há nr sucessos no total. Portanto, esperaríamos nr = Np, então N/n = r/p. Veja que N/n é apenas o número médio de tentativas por experimento. Isso é o que queremos dizer com “expectativa”. O número médio de falhas por experimento é N/n − r = r/p − r = r(1 − p)/p< /span>. Isto está de acordo com a média apresentada na caixa do lado direito desta página.

Uma derivação rigorosa pode ser feita representando a distribuição binomial negativa como a soma dos tempos de espera. Vamos. $Não. X_{r}sim operatorname {NB} (r,p)}$ com a convenção $- Sim.$ representa o número de falhas observadas antes $Não.$ sucessos com a probabilidade de sucesso ser $Não.$. E deixa ${displaystyle Y_{i}sim Geom(p)}$ Onde? $Não. Y_{i}}$ representa o número de falhas antes de ver um sucesso. Podemos pensar em $Não. Y_{i}}$ como o tempo de espera (número de falhas) entre o $Não.$e $(i-1)}$O sucesso. Assim

$Não. X_{r}=Y_{1}+Y_{2}+cdots - Sim.$

A média é

$E[X_{r}]=E[Y_{1}]+E[Y_{2}]+cdots +E[Y_{r}]={frac {r(1-p)}{p}},}$

que resulta do facto $Não. E[Y_{i}]=(1-p)/p}$.

Variação

Ao contar o número de falhas antes do r-ésimo sucesso, a variação é r(1 − p)/ p². Ao contar o número de sucessos antes da r-ésima falha, como na formulação alternativa (3) acima, a variância é rp/(1 − p)².

Relação com o teorema binomial

Suponha que Y seja uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p. Suponha que p + q = 1, com p, q ≥ 0, então

${displaystyle 1=1^{n}=(p+q)^{n}.}$

Usando o teorema binomial de Newton, isso pode ser igualmente escrito como:

$(p+q)^{n}=sum _{k=0}^{infty }{n choose k}p^{k}q^{n-k},}$

em que o limite superior da soma é infinito. Neste caso, o coeficiente binomial

$(n choose k}={n(n-1)(n-2)cdots (n-k+1) over k!}.}$

é definido quando n é um número real, em vez de apenas um número inteiro positivo. Mas no nosso caso da distribuição binomial é zero quando k > n. Podemos então dizer, por exemplo

$(p+q)^{8.3}=sum _{k=0}^{infty }{8.3 choose k}p^{k}q^{8.3-k}.}$

Agora suponha que r > 0 e usamos um expoente negativo:

$Não. 1=p^{r}cdot p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}sum _{k=0}^{infty }{-r choose k}(-q)^{k}.$

Então todos os termos são positivos e o termo

${displaystyle p^{r}{-r choose k}(-q)^{k}}$

é apenas a probabilidade de que o número de falhas antes do résimo sucesso seja igual a k, desde que r seja um número inteiro. (Se r for um não inteiro negativo, de modo que o expoente seja um não inteiro positivo, então alguns dos termos na soma acima são negativos, portanto não temos uma distribuição de probabilidade no conjunto de todos os inteiros não negativos.)

Agora também permitimos valores não inteiros de r. Então temos uma distribuição binomial negativa adequada, que é uma generalização da distribuição Pascal, que coincide com a distribuição Pascal quando r é um número inteiro positivo.

Lembre-se do que foi dito acima

A soma de variáveis aleatórias distribuídas por bionomia negativa independente R₁ e R₂ com o mesmo valor para parâmetro p é distribuído negativamente com o mesmo p mas com R- valorR₁+R₂.

Esta propriedade persiste quando a definição é assim generalizada e oferece uma maneira rápida de ver que a distribuição binomial negativa é infinitamente divisível.

Relações de recorrência

As seguintes relações de recorrência são válidas:

Para a função de massa de probabilidade

${displaystyle {begin{cases}(k+1)Pr(X=k+1)-pPr(X=k)(k+r)=0,[5pt]Pr(X=0)=(1-p)^{r}.end{cases}}}$

Para os momentos $Não. m_{k}=mathbb (E} (X^{k}),}$

$Não. m_{k+1}=rPm_{k}+(P^{2}+P){dm_{k} over dP},quad P:=(1-p)/p,quad M_{0}=1.}$

Para os cumulantes

${displaystyle kappa _{k+1}=(Q-1)Q{dkappa _{k} over dQ},quad Q:=1/p,quad kappa _{1}=r(Q-1). ?$

Distribuições relacionadas

• A distribuição geométrica (em 0, 1, 2, 3,... }) é um caso especial da distribuição binomial negativa, com

${displaystyle operatorname {Geom} (p)=operatorname {NB} (1,,p).,}$

• A distribuição binomial negativa é um caso especial da distribuição discreta do tipo fase.
• A distribuição binomial negativa é um caso especial de distribuição de Poisson composto discreto.

Distribuição de Poisson

Considere uma sequência de variáveis aleatórias binomiais negativas onde o parâmetro de parada R vai para o infinito, enquanto a probabilidade p de sucesso em cada julgamento vai para um, de modo a manter a média da distribuição (ou seja, o número esperado de falhas) constante. Denotando este meio como λ, o parâmetro p será p= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =RNão.R+λ)

${displaystyle {begin{aligned}{text{Mean:}}quad &lambda ={frac {(1-p)r}{p}}quad Rightarrow quad p={frac Não. }},\{text{Variance:}}quad &lambda left(1+{frac }{r}}right)>lambdaquad {text{thus always overdispersed}}.end{aligned}}}$

Sob esta parametrização a função de massa de probabilidade será

${displaystyle f(k;r,p)={frac (k+r)}{k!cdot Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}={frac ^{k}}{k!}}cdot (r+k)}{Gamma (r);(r+lambda)^{k}}}cdot {frac {1}{left(1+{frac }{r}}right)^{r}}$

Agora, se considerarmos o limite como r → ∞, o segundo fator convergirá para um e o terceiro para a função expoente:

${displaystyle lim _{rto infty }f(k;r,p)={frac {lambda ^{k}}{k!}}cdot 1cdot {frac {1}{e^{lambda }}},}$

que é a função de massa de uma variável aleatória com distribuição de Poisson com valor esperado λ.

Em outras palavras, a distribuição binomial negativa parametrizada alternativamente converge para a distribuição de Poisson e r controla o desvio da Poisson. Isso torna a distribuição binomial negativa adequada como uma alternativa robusta ao Poisson, que se aproxima do Poisson para r grande, mas que tem variância maior do que o Poisson para r pequeno.

${displaystyle operatorname {Poisson} (lambda)=lim _{rto infty }operatorname {NB} left(r,{frac {r}{r+lambda }}right). ?$

Mistura gama-Poisson

A distribuição binomial negativa também surge como uma mistura contínua de distribuições de Poisson (ou seja, uma distribuição de probabilidade composta), onde a distribuição mista da taxa de Poisson é uma distribuição gama. Ou seja, podemos ver o binômio negativo como uma distribuição Poisson(λ), onde λ é em si uma variável aleatória, distribuído como uma distribuição gama com forma r e escala θ = (1 − p)/p ou taxa correspondente β = p/(1 − p).

Para mostrar a intuição por trás desta afirmação, considere dois processos de Poisson independentes, "Sucesso" e "Falha", com intensidades p e 1 − p. Juntos, os processos de Sucesso e Falha são equivalentes a um único processo de Poisson de intensidade 1, onde uma ocorrência do processo é um sucesso se um lançamento de moeda independente correspondente der cara com probabilidade p; caso contrário, é um fracasso. Se r for um número de contagem, o lançamento da moeda mostra que a contagem de sucessos antes da résima falha segue uma distribuição binomial negativa com parâmetros r e p. A contagem também é, no entanto, a contagem do processo Success Poisson no tempo aleatório T da résima ocorrência no processo Failure Poisson. A contagem de sucesso segue uma distribuição de Poisson com média pT, onde T é o tempo de espera para r ocorrências em um processo de Poisson de intensidade 1 − < i>p, ou seja, T é distribuído gama com parâmetro de forma r e intensidade 1 − p. Assim, a distribuição binomial negativa é equivalente a uma distribuição de Poisson com média pT, onde a variável aleatória T é distribuída gama com parâmetro de forma r e intensidade (1 − p). O parágrafo anterior segue, porque λ = pT é distribuído gama com parâmetro de forma r e intensidade (1 − p)/p.

A seguinte derivação formal (que não depende de r ser um número contável) confirma a intuição.

${displaystyle {begin{aligned}&int _{0}^{infty Nome do operador (Poisson} (lambda)}(k)times f_{operatorname {Gamma} left(r,,{frac {p}{1-p}}right)}(lambda),mathrm {d} lambda \[8pt]={}&int _{0}^{infty }{frac {lambda ^{k}}{k!}}e^{-lambda }times {1}{Gamma (r)}}left({frac {p}{1-p}}lambda right)^{r-1}e^{-{frac {p}{1-p}}lambda },left({frac {p}{1-p}},mathrm {d} lambda right)[8pt]={}&left({frac {p}{1-p}}right)^{r}{frac {1}{k!,Gamma (r)}}int _{0}^{infty }lambda ^{r+k-1}e^{-lambda {p+1-p}{1-p}}};mathrm {d} lambda \[8pt]={}&left({frac {p}{1-p}}right)^{r}{frac {1}{k!,Gamma (r)}} Gamma (r+k)(1-p)^{k+r}int _{0}^{infty Nome do operador {Gamma} left(k+r,{frac {1}{1-p}}right)}(lambda);mathrm {d} lambda \[8pt]={}&{frac (r+k)}{k!;Gamma (r)}};(1-p)^{k},p^{r}\[8pt]={}&f(k;r,p).end{aligned}}}$

Por causa disso, a distribuição binomial negativa também é conhecida como distribuição gama-Poisson (mistura). A distribuição binomial negativa foi originalmente derivada como um caso limite da distribuição gama-Poisson.

Distribuição de uma soma de variáveis aleatórias distribuídas geometricamente

Se Y_r é uma variável aleatória seguindo a distribuição binomial negativa com os parâmetros r e p e suporte {0, 1, 2,...}, então Y_r é uma soma de r variáveis independentes seguindo a distribuição geométrica (em {0, 1, 2,...}) com parâmetro p. Como resultado do teorema do limite central, Y_r (apropriadamente dimensionado e deslocado) é, portanto, aproximadamente normal para r< suficientemente grande /eu>.

Além disso, se B_s+r é uma variável aleatória seguindo a distribuição binomial com parâmetros s + r e p, então

${displaystyle {begin{aligned}Pr(Y_{r}leq s)&{}=1-I_{p}(s+1,r)[5pt]&{}=1-I_{p}((s+r)-(r-1),(r-1)+1\[5pt]&=1-Pr(B_{s+r}leqp)\ Pr(B_{s+r}geq r)[5pt]&{}=Pr({text{after }}s+r{text{ trials, there are at least }}r{text{ successes}}).end{aligned}}}$

Nesse sentido, a distribuição binomial negativa é a "inversa" da distribuição binomial.

A soma das variáveis aleatórias independentes distribuídas de forma binomial negativa r₁ e r₂ com o mesmo valor para o parâmetro p é distribuído binomialmente negativo com o mesmo p, mas com valor r r₁ + r₂.

A distribuição binomial negativa é infinitamente divisível, ou seja, se Y tem uma distribuição binomial negativa, então para qualquer número inteiro positivo n, existem variáveis aleatórias independentes distribuídas de forma idêntica < i>Y₁,..., Y_n cuja soma tem a mesma distribuição que S tem.

Representação como distribuição de Poisson composta

A distribuição binomial negativa NB(R,p) pode ser representado como uma distribuição composta de Poisson: Vamos. (Y_n, n ∈ ${displaystyle mathbb {N} } }$₀ denota uma sequência de variáveis aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica, cada uma com a distribuição da série logarítmica Log(p), com função de massa de probabilidade

${displaystyle f(k;r,p)={frac {-p^{k}}{kln(1-p)}},qquad kin {mathbb Não.$

Vamos. N ser uma variável aleatória, independente da sequência, e supor que N tem uma distribuição de Poisson com média λ = −R In(15) p). Então a soma aleatória

${displaystyle X=sum _{n=1}^{N}Y_{n}}$

é NB(R,p)-distribuído. Para provar isso, calculamos a função de geração de probabilidade G_X de X, que é a composição das funções geradoras de probabilidade G_N e G_Y1. Usando

${displaystyle G_{N}(z)=exp(lambda (z-1)),qquad zin mathbb (R)$

e

$Não. G_{Y_{1}}(z)={frac {ln(1-pz)}{ln(1-p)}},qquad |z|<{frac {1}{p}},}$

nós obtemos

$(em inglês)$

que é a função geradora de probabilidade da distribuição NB(r,p).

A tabela a seguir descreve quatro distribuições relacionadas ao número de sucessos em uma sequência de sorteios:

(a,b,0) classe de distribuições

O binômio negativo, junto com as distribuições de Poisson e binomial, é membro da classe de distribuições (a,b,0). Todas essas três distribuições são casos especiais da distribuição Panjer. Eles também são membros de uma família exponencial natural.

Inferência estatística

Estimativa de parâmetros

MVUE para p

Suponha que p seja desconhecido e um experimento seja conduzido onde é decidido antecipadamente que a amostragem continuará até que r sucessos sejam encontrados. Uma estatística suficiente para o experimento é k, o número de falhas.

Ao estimar p, o estimador imparcial de variância mínima é

${displaystyle {widehat {p}}={frac {r-1}{r+k-1}}.}$

Estimação máxima de probabilidade

Quando r é conhecido, a estimativa de máxima verossimilhança de p é

${displaystyle } (p) = frac Não.$

mas esta é uma estimativa tendenciosa. No entanto, seu inverso (r + k)/r é uma estimativa imparcial de 1/p.

Quando r é desconhecido, o estimador de máxima verossimilhança para p e r juntos só existe para amostras para as quais a variância amostral é maior que a média amostral. A função de verossimilhança para observações N iid (k₁,..., k _N) é

${displaystyle L(r,p)=prod _{i=1}^{N}f(k_{i};r,p),!}$

a partir do qual calculamos a função log-verossimilhança

${displaystyle ell (r,p)=sum _{i=1}^{N}ln(Gamma (k_{i}+r))-sum _{i=1}^{N}ln(k_{i}!)-Nln(Gamma (r)))+sum _{i=1}^{N}k_{i}ln(1-p)+Nrln(p). ?$

Para encontrar o máximo, pegamos as derivadas parciais em relação a r e p e as igualamos a zero:

${displaystyle {frac {partial ell (r,p)}{partial p}}=-left[sum _{i=1}^{N}k_{i}{frac {1}{1-p}}right]+Nr{frac Não.$ e

${displaystyle {frac {partial ell (r,p)}{partial r}}=left[sum _{i=1}^{N}psi (k_{i}+r)right]-Npsi (r)+Nln(p)=0}$

onde

${displaystyle psi (k)={frac {Gamma '(k)}{Gamma (k)}}!}$ é a função de punção.

Resolver a primeira equação para p dá:

$- Sim. Não. _{i=1}^{N}k_{i}}}}$

Substituindo isso na segunda equação dá:

${displaystyle {frac {partial ell (r,p)}{partial r}}=left[sum _{i=1}^{N}psi (k_{i}+r)right]-Npsi (r)+Nln left({frac Não. _{i=1}^{N}k_{i}/N}}right)=0}$

Esta equação não pode ser resolvida para r na forma fechada. Se uma solução numérica for desejada, uma técnica iterativa como o método de Newton pode ser usada. Alternativamente, o algoritmo de maximização de expectativa pode ser usado.

Ocorrência e aplicações

Tempo de espera em um processo de Bernoulli

Para o caso especial em que r é um número inteiro, a distribuição binomial negativa é conhecida como distribuição Pascal. É a distribuição de probabilidade de um certo número de fracassos e sucessos em uma série de tentativas de Bernoulli independentes e distribuídas de forma idêntica. Para k + r testes de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, o binômio negativo fornece a probabilidade de k sucessos e < i>r falhas, com falha na última tentativa. Em outras palavras, a distribuição binomial negativa é a distribuição de probabilidade do número de sucessos antes da résima falha em um processo de Bernoulli, com probabilidade p de sucessos em cada tentativa. Um processo de Bernoulli é um processo de tempo discreto e, portanto, o número de tentativas, falhas e sucessos são inteiros.

Considere o seguinte exemplo. Suponha que repetidamente joguemos uma morte, e consideremos um 1 como um fracasso. A probabilidade de sucesso em cada julgamento é 5/6. O número de sucessos antes do terceiro fracasso pertence ao conjunto infinito { 0, 1, 2, 3,... }. Esse número de sucessos é uma variável aleatória distribuída binomialmente negativa.

Quando R = 1 obtemos a distribuição de probabilidade do número de sucessos antes da primeira falha (ou seja, a probabilidade da primeira falha que ocorre no (k+ 1)st trial), que é uma distribuição geométrica:

${displaystyle f(k;r,p)=(1-p)cdot p^{k}!}$

Poisson superdisperso

A distribuição binomial negativa, especialmente em sua parametrização alternativa descrita acima, pode ser utilizada como alternativa à distribuição de Poisson. É especialmente útil para dados discretos em um intervalo positivo ilimitado cuja variância amostral excede a média amostral. Nesses casos, as observações ficam superdispersas em relação a uma distribuição de Poisson, para a qual a média é igual à variância. Portanto, uma distribuição de Poisson não é um modelo apropriado. Como a distribuição binomial negativa possui um parâmetro a mais que a Poisson, o segundo parâmetro pode ser utilizado para ajustar a variância independentemente da média. Consulte Cumulantes de algumas distribuições de probabilidade discretas.

Uma aplicação disto é às contagens anuais de ciclones tropicais no Atlântico Norte ou às contagens mensais a semestrais de ciclones extratropicais de inverno na Europa, para os quais a variância é maior que a média. No caso de uma sobredispersão modesta, isto pode produzir resultados substancialmente semelhantes a uma distribuição de Poisson sobredispersa.

A distribuição binomial negativa também é comumente usada para modelar dados na forma de contagens de leitura de sequências discretas de experimentos de sequenciamento de RNA e DNA de alto rendimento.

Observações de Multiplicidade (Física)

A distribuição binomial negativa tem sido o modelo estatístico mais eficaz para uma ampla gama de observações de multiplicidade em experimentos de colisão de partículas, por exemplo, ${displaystyle p{bar {p}}, hh, hA, AA, e^{+}e^{-}}$ (Veja para uma visão geral), e é argumentado ser uma propriedade de matéria invariável em escala, fornecendo o melhor ajuste para observações astronômicas, onde prevê o número de galáxias em uma região do espaço. A justificação fenomenológica para a eficácia da distribuição binomial negativa nesses contextos permaneceu desconhecida por cinquenta anos, desde sua primeira observação em 1973. Em 2023, uma prova dos primeiros princípios foi eventualmente demonstrada por Scott V. Tezlaf, onde foi mostrado que a distribuição binomial negativa emerge de simetrias nas equações dinâmicas de um conjunto canônico de partículas no espaço de Minkowski. Raramente, dado um número esperado de ensaios ${displaystyle langle nrangle }$ e número esperado de sucessos ${displaystyle langle rrangle }$, onde

${displaystyle langle {mathcal {n}}rangle -langle rrangle =k,quad quad langle prangle ={frac {langle rrangle }{langle {mathcal {n}}rangle }}quad quad quad quad implie quad quad langle langle {mathcal {n}}rangle ={frac {k}{1-langle prangle }\quadquad$

um conjunto isomórfico de equações pode ser identificado com os parâmetros de uma densidade de corrente relativística de um conjunto canônico de partículas massivas, via

${displaystyle c^{2}langle rho ^{2}rangle -langle j^{2}rangle =c^{2}rho _{0}^{2},quad quad quad langle beta _{v}^{2}rangle ={frac {langle j^{2}rangle }{c^{2}langle rho ^{2}rangle }}quad quad implies quad quad quad c^{2}langle rho ^{2}rangle ={frac {c^{2}rho _{0}^{2}}{1-langle beta _{v}^{2}rangle }},quad quad quad langle j^{2}rangle ={frac {c^{2}rho _{0}^{2}langle beta _{v}^{2}rangle }{1-langle beta _{v}^{2}rangle }},}$

Onde? ${displaystyle rho _{0}}$ é a densidade do resto, ${displaystyle langle rho ^{2}rangle }$ é a densidade quadrada média relativista, ${displaystyle langle j^{2}rangle }$ é a densidade de corrente quadrada média relativista, e ${displaystyle langle beta _{v}^{2}rangle =langle v^{2}rangle /c^{2}}$, onde ${displaystyle langle v^{2}rangle }$ é a velocidade quadrada média do conjunto de partículas e $Não.$ é a velocidade da luz — tal que se pode estabelecer o seguinte mapa bijetivo:

${displaystyle c^{2}rho _{0}^{2}mapsto k,quad quad langle beta _{v}^{2}rangle mapsto langle pranglequad quad c^{2}langle rho ^{2}rangle mapsto langle {mathcal {n}}ranglequad quad langle j^{2}rangle mapsto langle rrangle.}$

Uma prova alternativa rigorosa da correspondência acima também foi demonstrada através da mecânica quântica através da integral de caminho de Feynman.

Histórico

Essa distribuição foi estudada pela primeira vez em 1713 por Pierre Remond de Montmort em seu Essay d'analyse sur les jeux de hazard, como a distribuição do número de tentativas necessárias em um experimento para obter um determinado número de sucessos. Já havia sido mencionado anteriormente por Pascal.