Diofanto

Diófanto de Alexandria

Título da edição original de 1621 da tradução latina por Claude Gaspard Bachet de Méziriac de Diophantus' Aritmética

Diofanto de Alexandria (nascido c. AD 200 – c. 214; morreu c. AD 284 – c. 298) foi um matemático grego, autor de uma série de livros chamada Arithmetica, muitos dos quais agora estão perdidos. Seus textos tratam da resolução de equações algébricas.

Equações diofantinas, geometria diofantina e aproximações diofantinas são subáreas da teoria dos números que levam seu nome.

Diofanto cunhou o termo παρισότης (parisotes) para se referir a uma igualdade aproximada. Este termo foi traduzido como adaequalitas em latim, e tornou-se a técnica de adequality desenvolvida por Pierre de Fermat para encontrar máximos para funções e linhas tangentes a curvas.

Diofanto foi o primeiro matemático grego que reconheceu os números racionais positivos como números, admitindo frações como coeficientes e soluções. No uso moderno, as equações diofantinas são equações algébricas com coeficientes inteiros, para as quais soluções inteiras são procuradas.

Biografia

Pouco se sabe sobre a vida de Diofanto. Ele viveu em Alexandria, Egito, durante a era romana, provavelmente entre 200 e 214 dC a 284 ou 298. Diofanto foi descrito por historiadores como grego, possivelmente egípcio helenizado ou babilônico helenizado. pode resultar da confusão com o retórico do século IV, Diofanto, o árabe. Muito do nosso conhecimento sobre a vida de Diofanto é derivado de uma antologia grega do século V de jogos de números e quebra-cabeças criados por Metrodorus. Um dos problemas (às vezes chamado de epitáfio) afirma:

"Aqui jaz Diophantus", a maravilha.

Através da arte algébrica, a pedra diz que idade:

Deus lhe deu a sua infância um sexto da sua vida,

Uma décima segunda mais como a juventude, enquanto os assobios cresceram o rife;

E então ainda um sétimo ere casamento começou;

Em cinco anos veio um novo filho saltando.

Alas, o querido filho de mestre e sábio

Depois de atingir metade da medida da vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois de consolar seu destino pela ciência dos números por quatro anos, ele terminou sua vida. '

Este quebra-cabeça implica que Diofanto'; idade x pode ser expressa como

x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

que dá a x um valor de 84 anos. No entanto, a precisão das informações não pode ser confirmada.

Na cultura popular, esse quebra-cabeça era o quebra-cabeça nº 142 em Professor Layton and Pandora's Box como um dos quebra-cabeças mais difíceis de resolver no jogo, que precisava ser desbloqueado resolvendo outros quebra-cabeças primeiro.

Aritmética

Arithmetica é a principal obra de Diofanto e a obra mais proeminente sobre álgebra na matemática grega. É uma coleção de problemas que fornecem soluções numéricas de equações determinadas e indeterminadas. Dos treze livros originais dos quais Arithmetica consistia, apenas seis sobreviveram, embora alguns acreditem que quatro livros árabes descobertos em 1968 também sejam de Diofanto. Alguns problemas diofantinos da Arithmetica foram encontrados em fontes árabes.

Deve ser mencionado aqui que Diofanto nunca usou métodos gerais em suas soluções. Hermann Hankel, renomado matemático alemão, fez a seguinte observação sobre Diofanto.

“Nosso autor (Diofanto) não é discernível o menor traço de um método geral e abrangente; cada problema exige algum método especial que se recusa a funcionar mesmo para os problemas mais intimamente relacionados. Por esta razão é difícil para o estudioso moderno resolver o 101º problema mesmo depois de ter estudado 100 das soluções de Diofanto”.

História

Como muitos outros tratados matemáticos gregos, Diofanto foi esquecido na Europa Ocidental durante a Idade das Trevas, uma vez que o estudo do grego antigo e a alfabetização em geral diminuíram muito. A parte da Arithmetica grega que sobreviveu, no entanto, foi, como todos os textos gregos antigos transmitidos ao mundo moderno, copiada e, portanto, conhecida por estudiosos bizantinos medievais. Scholia em Diofanto pelo estudioso grego bizantino John Chortasmenos (1370-1437) são preservados juntamente com um comentário abrangente escrito pelo estudioso grego anterior Maximos Planudes (1260-1305), que produziu uma edição de Diofanto dentro da biblioteca do Mosteiro de Chora em Constantinopla bizantina. Além disso, alguma parte da Arithmetica provavelmente sobreviveu na tradição árabe (veja acima). Em 1463, o matemático alemão Regiomontanus escreveu:

“Ninguém traduziu do grego para o latim os treze livros de Diófanto, em que a própria flor de toda a aritmética está escondida.... ”

Aritmética foi traduzida pela primeira vez do grego para o latim por Bombelli em 1570, mas a tradução nunca foi publicada. No entanto, Bombelli emprestou muitos dos problemas para seu próprio livro Álgebra. A editio princeps da Arithmetica foi publicada em 1575 por Xylander. A tradução latina de Arithmetica por Bachet em 1621 tornou-se a primeira edição latina amplamente disponível. Pierre de Fermat possuía uma cópia, estudou-a e fez anotações nas margens. Uma tradução latina posterior de 1895 por Paul Tannery foi considerada uma melhoria por Thomas L. Heath, que a usou na 2ª edição de 1910 de sua tradução para o inglês.

Escrita de margem por Fermat e Chortasmenos

Problema II.8 no Aritmética (edição de 1670), anotado com o comentário de Fermat que se tornou o último teorema de Fermat.

A edição de 1621 da Arithmetica de Bachet ganhou fama depois que Pierre de Fermat escreveu seu famoso "Último Teorema" nas margens de sua cópia:

"Se um inteiro n é maior que 2, então umⁿ + b)ⁿ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = cⁿ não tem soluções em inteiros não-zero um, b)e c. Tenho uma prova verdadeiramente maravilhosa desta proposição que esta margem é demasiado estreita para conter. ”

A prova de Fermat nunca foi encontrada, e o problema de encontrar uma prova para o teorema ficou sem solução por séculos. Uma prova foi finalmente encontrada em 1994 por Andrew Wiles, depois de trabalhar nela por sete anos. Acredita-se que Fermat não tinha realmente a prova que afirmava ter. Embora a cópia original em que Fermat escreveu isso esteja perdida hoje, o filho de Fermat editou a próxima edição de Diofanto, publicada em 1670. Mesmo que o texto seja inferior à edição de 1621, as anotações de Fermat - incluindo o "Último Teorema"—foram impressos nesta versão.

Fermat não foi o primeiro matemático tão movido a escrever em suas próprias notas marginais a Diofanto; o estudioso bizantino John Chortasmenos (1370–1437) havia escrito "Tua alma, Diofanto, esteja com Satanás por causa da dificuldade de seus outros teoremas e particularmente do presente teorema" ao lado do mesmo problema.

Outras obras

Diofanto escreveu vários outros livros além de Aritmética, mas muito poucos deles sobreviveram.

Os Porismos

O próprio Diofanto se refere a uma obra que consiste em uma coleção de lemas chamada Os Porismos (ou Porismata), mas este livro está totalmente perdido.

Embora Os Porismos estejam perdidos, conhecemos três lemas ali contidos, pois Diofanto se refere a eles na Aritmética. Um lema afirma que a diferença dos cubos de dois números racionais é igual à soma dos cubos de dois outros números racionais, ou seja, dado qualquer a e b, com a > b, existem c e d, todos positivos e racionais, de tal modo que

um³ - Sim. b)³ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = c³ + D³.

Números poligonais e elementos geométricos

Diofanto também é conhecido por ter escrito sobre números poligonais, um tópico de grande interesse para Pitágoras e pitagóricos. Fragmentos de um livro que lida com números poligonais existem.

Um livro chamado Preliminares dos Elementos Geométricos tem sido tradicionalmente atribuído ao Herói de Alexandria. Foi estudado recentemente por Wilbur Knorr, que sugeriu que a atribuição a Hero é incorreta e que o verdadeiro autor é Diofanto.

Influência

Diofanto' trabalho teve uma grande influência na história. As edições da Arithmetica exerceram uma profunda influência no desenvolvimento da álgebra na Europa no final do século XVI e durante os séculos XVII e XVIII. Diofanto e suas obras também influenciaram a matemática árabe e tiveram grande fama entre os matemáticos árabes. Diofanto' work criou uma base para o trabalho em álgebra e, de fato, grande parte da matemática avançada é baseada na álgebra. O quanto ele afetou a Índia é uma questão de debate.

Diofanto é freqüentemente chamado de “o pai da álgebra”; porque ele contribuiu muito para a teoria dos números, a notação matemática e porque a Aritmética contém o uso mais antigo conhecido da notação sincopada. No entanto, isso geralmente é debatido, porque Al-Khwarizmi também recebeu o título de "o pai da álgebra", no entanto, ambos os matemáticos foram responsáveis por abrir o caminho para a álgebra hoje.

Análise diofantina

Atualmente, a análise diofantina é a área de estudo onde soluções inteiras (número inteiro) são procuradas para equações, e as equações diofantinas são equações polinomiais com coeficientes inteiros para as quais apenas soluções inteiras são procuradas. Geralmente é bastante difícil dizer se uma dada equação diofantina é solúvel. A maioria dos problemas em Aritmética leva a equações quadráticas. Diofanto olhou para 3 tipos diferentes de equações quadráticas: ax² + bx = c, ax² = bx + c e ax² + c = bx. A razão pela qual havia três casos para Diofanto, enquanto hoje temos apenas um caso, é que ele não tinha nenhuma noção de zero e evitou coeficientes negativos considerando os números dados a , b, c ser todos positivos em cada um dos três casos acima. Diofanto sempre se satisfez com uma solução racional e não exigia um número inteiro, o que significa que aceitava frações como soluções para seus problemas. Diofanto considerava soluções de raiz quadrada negativas ou irracionais "inúteis", "sem sentido" e até mesmo "absurdas". Para dar um exemplo específico, ele chama a equação 4 = 4x + 20 'absurdo' porque levaria a um valor negativo para x. Uma solução era tudo o que ele procurava em uma equação quadrática. Não há nenhuma evidência que sugira que Diofanto tenha percebido que poderia haver duas soluções para uma equação quadrática. Ele também considerou equações quadráticas simultâneas.

Notação matemática

Diofanto fez avanços importantes na notação matemática, tornando-se a primeira pessoa conhecida a usar notação algébrica e simbolismo. Antes dele, todos escreviam equações completamente. Diofanto introduziu um simbolismo algébrico que usava uma notação abreviada para operações frequentes e uma abreviação para o desconhecido e para os poderes do desconhecido. O historiador matemático Kurt Vogel afirma:

“O simbolismo que Diófanto introduziu pela primeira vez, e sem dúvida inventou-se, forneceu um meio curto e facilmente compreensível de expressar uma equação... Uma vez que uma abreviação também é empregada para a palavra "iguais", Diófanto deu um passo fundamental da álgebra verbal para a álgebra simbólica. ”

Embora Diofanto tenha feito avanços importantes no simbolismo, ele ainda carecia da notação necessária para expressar métodos mais gerais. Isso fez com que seu trabalho se preocupasse mais com problemas particulares do que com situações gerais. Algumas das limitações de Diofanto' notação são que ele só tinha notação para uma incógnita e, quando os problemas envolviam mais de uma incógnita, Diofanto foi reduzido a expressar "primeira incógnita", "segunda incógnita", etc.. Ele também não tinha um símbolo para um número geral n. Onde escreveríamos 12 + 6n/n² − 3, Diofanto tem que recorrer a construções como: "... um número sêxtuplo aumentado por doze, que é dividido pela diferença pela qual o quadrado do número excede três". A álgebra ainda tinha um longo caminho a percorrer antes que problemas muito gerais pudessem ser escritos e resolvidos de forma sucinta.