Difeomorfismo

Em matemática, um difeomorfismo é um isomorfismo de variedades suaves. É uma função invertível que mapeia uma variedade diferenciável para outra, de modo que tanto a função quanto sua inversa sejam diferenciáveis.

A imagem de uma grade retangular em um quadrado sob um diffeomorphism do quadrado em si mesmo.

Definição

Dado dois coletores MNão. e NNão., um mapa diferente f:: M→ → N{displaystyle fcolon Mrightarrow N} é chamado de diffeomorphism se é uma bijeção e seu inverso f- Sim. - Sim. 1:: N→ → M{displaystyle f^{-1}colon Nrightarrow M} também é diferente. Se estas funções forem RNão. tempos continuamente diferentes, fNão. é chamado de CRNão. C^{r}}-diffeomorphism.

Dois coletores MNão. e NNão. são Diffeomorphic (geralmente denotado) M≃ ≃ NNão. Msimeq N}) se houver um diffeomorphism fNão. a partir de MNão. para NNão.. Eles são CRNão. C^{r}}- Não.Diffeomorphic se houver um RNão. mapas bijetivos continuamente diferenciados entre eles cujo inverso também é RNão. tempos continuamente diferentes.

Difeomorfismos de subconjuntos de variedades

Dado um subconjunto X- Sim. de um coletor MNão. e um subconjunto YNão. Sim. de um coletor NNão., uma função f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sim. é dito ser suave se para todos pNão. em X- Sim. há um bairro U? ? MNão. Usubset M} de pNão. e uma função suave g:U→ → N{displaystyle g:Uto N} tal que as restrições concordam: g|U─ ─ X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f|U─ ─ XNão. g_{|Ucap X}=f_{| Ucap X}} (note) gNão. é uma extensão de fNão.). A função fNão. é dito ser um diffeomorphism se é bijective, liso e seu inverso é liso.

Descrição do local

Hadamard-Caccioppoli Teorem

Se UNão., VNão. são subconjuntos abertos conectados de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} tal que VNão. é simplesmente conectado, um mapa diferente f:U→ → V{displaystyle f:Uto V} é um diffeomorphism se é apropriado e se o diferencial Dfx:Rn→ → Rn{displaystyle Df_{x}:mathbb {R} ^{n}to mathbb Não. é bijetivo (e, portanto, um isomorfismo linear) em cada ponto xNão. em UNão..

Primeira observação

É essencial para VNão. para ser simplesmente conectado para a função fNão. ser globalmente invertível (sob a única condição de que seu derivado seja um mapa bijetivo em cada ponto). Por exemplo, considere a "realização" da função quadrada complexa

(f:R2∖ ∖ ((0,0)?→ → R2∖ ∖ ((0,0)?(x,Sim.)↦ ↦ (x2- Sim. - Sim. Sim.2,2xSim.).{displaystyle {begin{cases}f:mathbb {R} ^{2}setminus {(0,0)}to mathbb {R} ^{2}setminus {(0,0)}\(x,y)mapsto (x^{2}-y^{2},2xy). end{cases}}}

Então... fNão. é surjetivo e satisfaz

- Não.Dfx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =4(x2+Sim.2)≠ ≠ 0.{displaystyle det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})neq O quê?

Assim, embora Dfx{displaystyle Df_{x}} é bijetivo em cada ponto, fNão. não é invertível porque não é injetável (por exemplo. f(1,0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(1,0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(- Sim. - Sim. 1,0)(0)=(1,0)=f(-1,0)}).

Segunda observação

Desde o diferencial em um ponto (para uma função diferencial)

Dfx:TxU→ → Tf(x)VNão. Df_{x}:T_{x}Uto T_{f(x)}V}

é um mapa linear, tem um inverso bem definido se e somente se Dfx{displaystyle Df_{x}} é uma bijeção. A representação matriz de Dfx{displaystyle Df_{x}} é o n× × n{displaystyle ntimes n} matriz de derivados parciais de primeira ordem cuja entrada na Eu...Não.-a linha e JJNão.-a coluna é ∂ ∂ fEu.../∂ ∂ xJJ{displaystyle partial f_{i}/partial x_{j}}. Esta chamada matriz jacobina é frequentemente usada para cálculos explícitos.

Terceira observação

Diffeomorphisms são necessariamente entre os coletores da mesma dimensão. Imaginem. fNão. indo da dimensão nNão. a dimensão kNão.. Se <math alttext="{displaystyle nn<kNão. Não.<img alt="n então Dfx{displaystyle Df_{x}} nunca poderia ser subjetivo, e se k}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>k- Sim.k}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8afbc0693bee3f48a31d2c991ddc8b6b4a35322" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.704ex; height:2.176ex;"/> então Dfx{displaystyle Df_{x}} Nunca poderia ser injetável. Em ambos os casos, portanto, Dfx{displaystyle Df_{x}} não é uma bijeção.

Quarta observação

Se Dfx{displaystyle Df_{x}} é uma bijeção xNão. então fNão. é dito ser um diffeomorphism local (desde que, por continuidade, DfSim.Não. Df_{y}} também será bijetivo para todos Sim.- Sim. suficientemente perto de xNão.).

Quinta observação

Dado um mapa suave da dimensão nNão. a dimensão kNão., se DfNão. Df. (ou, localmente, Dfx{displaystyle Df_{x}}) é subjetivo, fNão. é dito ser uma submersão (ou, localmente, uma "submersão local"); e se DfNão. Df. (ou, localmente, Dfx{displaystyle Df_{x}}) é injetável, fNão. é dito ser uma imersão (ou, localmente, uma "imersão local").

Sexta observação

Uma bijeção diferenciada é não necessariamente um diffeomorphism. f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x3{displaystyle f(x)=x^{3}}, por exemplo, não é um diffeomorphism de R{displaystyle mathbb {R} } } para si mesmo porque seu derivado desaparece em 0 (e, portanto, seu inverso não é diferenciado em 0). Este é um exemplo de um homeomorfismo que não é um diffeomorphism.

Sétima observação

Quando fNão. é um mapa entre diferencial coletores, um diffeomorphic fNão. é uma condição mais forte do que uma homeomorfo fNão.. Para um diffeomorphism, fNão. e sua necessidade inversa de ser diferenciada; para um homeomorfismo, fNão. e sua necessidade inversa só ser contínua. Cada diffeomorphism é um homeomorphism, mas nem todo homeomorphism é um diffeomorphism.

f:M→ → N{displaystyle f:Mto N} é chamado de diffeomorphism se, em gráficos de coordenadas, satisfaz a definição acima. Mais precisamente: Escolha qualquer cobertura de MNão. por gráficos de coordenadas compatíveis e fazer o mesmo para NNão.. Vamos. φ φ - Sim. e ? ? - Sim. be charts on, respectivamente, MNão. e NNão., com UNão. e VNão. como, respectivamente, as imagens de φ φ - Sim. e ? ? - Sim.. O mapa ? ? fφ φ - Sim. - Sim. 1:U→ → V{displaystyle psi fphi ^{-1}:Uto V} é então um diffeomorphism como na definição acima, sempre que f(φ φ - Sim. - Sim. 1(U))⊆ ⊆ ? ? - Sim. - Sim. 1(V){displaystyle f(phi ^{-1}(U))subseteq psi ^{-1}(V)}.

Exemplos

Uma vez que qualquer variedade pode ser parametrised localmente, podemos considerar alguns mapas explícitos de R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} para dentro R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}.

• Vamos.

f(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x2+Sim.3,x2- Sim. - Sim. Sim.3).(x,y)=left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}right). ?

Podemos calcular a matriz jacobina:

JJf= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(2x3Sim.22x- Sim. - Sim. 3Sim.2).Não. J_{f}={begin{pmatrix}2x&3y^{2}\2x&-3y^{2}end{pmatrix}}.}

A matriz jacobina tem zero determinante se e somente se xSim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim.. Nós vemos que fNão. poderia apenas ser um diffeomorphism afastado do xNão.-axis e o Sim.- Sim.-axis. No entanto, fNão. não é bijetiva desde f(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(- Sim. - Sim. x,Sim.)(x,y)=f(-x,y)}, e assim não pode ser um diffeomorphism.

• Vamos.

g(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(um0+um1,0x+um0,1Sim.+⋯ ⋯ ,b)0+b)1,0x+b)0,1Sim.+⋯ ⋯ ){displaystyle g(x,y)=left (a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+cdots b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+cdots right)}

onde o umEu...,JJ{displaystyle a_{i,j}} e b)Eu...,JJNão. b_{i,j}} são números reais arbitrários, e os termos omitidos são de grau pelo menos dois em x e Sim.. Podemos calcular a matriz jacobina em 0:

JJg(0,0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(um1,0um0,1b)1,0b)0,1).Não. J_{g}(0,0)={begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\b_{1,0}&b_{0,1}end{pmatrix}}.}

Nós vemos que g é um diffeomorphism local em 0 se, e somente se,

um1,0b)0,1- Sim. - Sim. um0,1b)1,0≠ ≠ 0,Não. a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}neq 0,

ou seja, os termos lineares nos componentes de g são linearmente independentes como polinômios.

• Vamos.

h(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(pecado⁡ ⁡ (x2+Sim.2),e⁡ ⁡ (x2+Sim.2)).{displaystyle h(x,y)=left(sin(x^{2}+y^{2}),cos(x^{2}+y^{2})right). ?

Podemos calcular a matriz jacobina:

JJh= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(2xe⁡ ⁡ (x2+Sim.2)2Sim.e⁡ ⁡ (x2+Sim.2)- Sim. - Sim. 2xpecado⁡ ⁡ (x2+Sim.2)- Sim. - Sim. 2Sim.pecado⁡ ⁡ (x2+Sim.2)).Não. J_{h}={begin{pmatrix}2xcos(x^{2}+y^{2})&2ycos(x^{2}+y^{2})\-2xsin(x^{2}+y^{2})&-2ysin(x^{2}+y^{2})end{pmatrix}}.}

A matriz jacobina tem zero determinante em toda parte! Na verdade, vemos que a imagem de h é o círculo da unidade.

Deformações de superfície

Na mecânica, uma transformação induzida pelo estresse é chamada de deformação e pode ser descrita por um diffeomorphism. Um diffeomorphism f:U→ → V{displaystyle f:Uto V} entre duas superfícies UNão. e VNão. tem uma matriz jacobina DfNão. Df. que é uma matriz invertível. Na verdade, é necessário que para pNão. em UNão., há um bairro de pNão. em que o Jacobian DfNão. Df. permanece não-singular. Suponha que em um gráfico da superfície, f(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(u,v).{displaystyle f(x,y)=(u,v). ?

O diferencial total de u é

Du= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ u∂ ∂ xDx+∂ ∂ u∂ ∂ Sim.DSim.{displaystyle du={frac {partial u}{partial x}}dx+{frac {partial u}{partial y}}dy}, e igualmente para v.

Então a imagem (Du,Dv)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(Dx,DSim.)Df(du,dv)=(dx,dy)Df} é uma transformação linear, fixando a origem e expressível como a ação de um número complexo de um tipo particular. Quando (Dx,dy) também é interpretado como esse tipo de número complexo, a ação é de multiplicação complexa no plano de número complexo apropriado. Como tal, há um tipo de ângulo (Euclidiano, hiperbólico ou declive) que é preservado em tal multiplicação. Devido a Df sendo invertível, o tipo de número complexo é uniforme sobre a superfície. Consequentemente, uma deformação superficial ou diffeomorphism de superfícies tem o propriedade conformada de preservar (o tipo apropriado de) ângulos.

Grupo de difeomorfismo

Vamos. MNão. ser um coletor diferencial que é segundo-contável e Hausdorff. O grupo de diffeomorphism de MNão. é o grupo de todos CRNão. C^{r}} diffeomorphisms of MNão. a si mesmo, denotado por DiffR(M)(M)} ou quando RNão. é compreendido, Diff(M)(M)}. Este é um grupo "grande", no sentido de que - desde MNão. não é zero-dimensional - não é localmente compacto.

Topologia

O grupo de difeomorfismo tem duas topologias naturais: fraco e forte (Hirsch 1997). Quando o manifold é compacto, essas duas topologias concordam. A topologia fraca é sempre metrizável. Quando a variedade não é compacta, a topologia forte captura o comportamento das funções "no infinito" e não é metrizável. É, no entanto, ainda Baire.

Fixar uma métrica Riemannian em MNão., a topologia fraca é a topologia induzida pela família de métricas

DKK(f,g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Vamos.x∈ ∈ KKD(f(x),g(x))+Gerenciamento Gerenciamento 1≤ ≤ p≤ ≤ RVamos.x∈ ∈ KK‖Dpf(x)- Sim. - Sim. Dpg(x)‖{displaystyle d_{K}(f,g)=sup nolimits _{xin K}d(f(x),g(x))+sum nolimits _{1leq pleq r}sup nolimits _{xin K}leftD^{p}f(x)-D^{p}g(x)right|}

como KKNão. varia em subconjuntos compactos de MNão.. De facto, desde MNão. o σ σ - Sim.-compacto, há uma sequência de subconjuntos compactos KKnNão. K_{n}} cuja união é MNão.. Então:

D(f,g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento n2- Sim. - Sim. nDKKn(f,g)1+DKKn(f,g).{displaystyle d(f,g)=sum nolimits _{n}2^{-n}{frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}}

O grupo de diffeomorphism equipado com sua topologia fraca é localmente homeomorphic para o espaço de CRNão. C^{r}} vector field (Leslie 1967). Sobre um subconjunto compacto MNão., isto segue fixando uma métrica de Riemann MNão. e usando o mapa exponencial para essa métrica. Se RNão. é finito e o coletor é compacto, o espaço de campos vetoriais é um espaço Banach. Além disso, os mapas de transição de um gráfico deste atlas para outro são suaves, tornando o grupo de diffeomorphism em um colector de Banach com traduções direitas lisas; traduções esquerda e inversão são apenas contínuas. Se R= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ - Sim., o espaço de campos vetoriais é um espaço Fréchet. Além disso, os mapas de transição são suaves, tornando o grupo diffeomorphism em um coletor Fréchet e até mesmo em um grupo Fréchet Lie regular. Se o coletor é σ σ - Sim.-compactar e não compactar o grupo completo de diffeomorphism não é localmente contratual para qualquer uma das duas topologias. Deve-se restringir o grupo controlando o desvio da identidade perto do infinito para obter um grupo de diffeomorphism que é um coletor; ver (Michor & Mumford 2013).

Álgebra de mentiras

A álgebra de Lie do grupo diffeomorphism MNão. consiste em todos os campos vetoriais em MNão. equipado com o suporte de Lie de campos vetoriais. Um pouco formalmente, isso é visto fazendo uma pequena mudança para a coordenada xNão. em cada ponto no espaço:

xμ μ ↦ ↦ xμ μ +ε ε hμ μ (x){displaystyle x^{mu }mapsto x^{mu }+varepsilon h^{mu }(x)}

então os geradores infinitesimais são os campos vetoriais

Lh= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =hμ μ (x)∂ ∂ ∂ ∂ xμ μ .Não. L_{h}=h^{mu }(x){frac {partial }{partial x^{mu Sim.

Exemplos

• Quando M= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =GNão. M=G é um grupo de Lie, há uma inclusão natural de GNão. G. em seu próprio grupo de diffeomorphism através de esquerda-tradução. Vamos. Diff(G)(G)} denotar o grupo diffeomorphism de GNão. G., então há uma separação Diff(G)≃ ≃ G× × Diff(G,e){displaystyle {text{Diff}}(G)simeq Gtimes {text{Diff}}(G,e)}, onde Diff(G,e)(G,e)} é o subgrupo de Diff(G)(G)} que corrige o elemento de identidade do grupo.
• O grupo diffeomorphism do espaço Euclidean Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} consiste em dois componentes, consistindo dos diffeomorfismos de preservação de orientação e de mudança de orientação. Na verdade, o grupo linear geral é um retrato de deformação do subgrupo Diff(Rn,0){displaystyle {text{Diff}}(mathbb {R} ^{n},0)} de diffeomorphisms fixando a origem sob o mapa f(x)→ → f()x)/),)∈ ∈ (0,1]{displaystyle f(x)to f(tx)/t,tin (0,1]}. Em particular, o grupo linear geral também é um retract de deformação do grupo diffeomorphism completo.
• Para um conjunto finito de pontos, o grupo diffeomorphism é simplesmente o grupo simétrico. Da mesma forma, se MNão. é qualquer variedade há uma extensão de grupo 0→ → Diff0(M)→ → Diff(M)→ → Σ Σ (D D 0(M)){displaystyle 0to {text{Diff}}_{0}(M)to {text{Diff}}(M)to Sigma (pi _{0}(M)})}. Aqui. Diff0(M)(M)} é o subgrupo de Diff(M)(M)} que preserva todos os componentes de MNão.e Σ Σ (D D 0(M)){displaystyle Sigma (pi _{0}(M)} é o grupo de permutação do conjunto D D 0(M)(M)} (os componentes de MNão.). Além disso, a imagem do mapa Diff(M)→ → Σ Σ (D D 0(M)){displaystyle {text{Diff}}(M)to Sigma (pi _{0}(M)} são as bijeções de D D 0(M)(M)} que preservam classes de diffeomorfismo.

Transitividade

Para um coletor conectado MNão., o grupo diffeomorphism atua transitivamente em MNão.. Mais geralmente, o grupo diffeomorphism atua transitivamente no espaço de configuração CkMNão. C_{k}M. Se MNão. é pelo menos bidimensional, o grupo diffeomorphism atua transitivamente no espaço de configuração FkMNão. F_{k}M e a acção MNão. é multiply transitive (Banyaga 1997, p. 29).

Extensões de difeomorfismos

Em 1926, Tibor Radó perguntou se a extensão harmônica de qualquer homeomorfismo ou difeomorfismo do círculo unitário ao disco unitário produzia um difeomorfismo no disco aberto. Uma prova elegante foi fornecida logo depois por Hellmuth Kneser. Em 1945, Gustave Choquet, aparentemente sem saber desse resultado, produziu uma prova completamente diferente.

O grupo de diffeomorfismo (preservação de orientação) do círculo está ligado no caminho. Isto pode ser visto observando que qualquer tal diffeomorphism pode ser levantado para um diffeomorphism fNão. dos reais satisfazendo Não.f(x+1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x)+1][f(x+1)=f(x)+1]}; este espaço é convexo e, portanto, ligado ao caminho. Um caminho suave, eventualmente constante para a identidade dá uma segunda maneira mais elementar de estender um diffeomorphism do círculo ao disco da unidade aberta (um caso especial do truque de Alexander). Além disso, o grupo diffeomorphism do círculo tem o tipo de homotopia do grupo ortogonal O(2)Não..

O problema de extensão correspondente para diffeomorphisms de esferas de maior dimensão Sn- Sim. - Sim. 1Não. S^{n-1}} foi muito estudado na década de 1950 e 1960, com contribuições notáveis de René Thom, John Milnor e Stephen Smale. Uma obstrução a tais extensões é dada pelo grupo abeliano finito )) nNão. Gamma _{n}}, o "grupo de esferas torcidas", definido como o quociente do grupo componente abeliano do grupo diffeomorphism pelo subgrupo de classes que se estende aos diffeomorphisms da bola BnNão. B^{n}}.

Conectividade

Para variedades, o grupo de difeomorfismo geralmente não é conectado. Seu grupo de componentes é chamado de grupo de classe de mapeamento. Na dimensão 2 (ou seja, superfícies), o grupo de classes de mapeamento é um grupo finitamente apresentado gerado por torções de Dehn (Dehn, Lickorish, Hatcher). Max Dehn e Jakob Nielsen mostraram que pode ser identificado com o grupo de automorfismo externo do grupo fundamental da superfície.

William Thurston refinou esta análise classificando elementos do grupo de classe mapping em três tipos: aqueles equivalentes a um diffeomorphism periódico; aqueles equivalentes a um diffeomorphism deixando uma curva fechada simples invariant; e aqueles equivalentes aos diffeomorphisms pseudo-Anosov. No caso do torus S1× × S1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =R2/Z.2Não. S^{1}times S^{1}=mathbb {R} ^{2}/mathbb (Z} ^{2}}, o grupo de classe de mapeamento é simplesmente o grupo modular SL(2,Z.){displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {Z})} e a classificação torna-se clássica em termos de matrizes elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Thurston realizou sua classificação observando que o grupo de classe mapping agiu naturalmente em uma compactação do espaço Teichmüller; como este espaço ampliado era homeomorfo para uma bola fechada, o teorema de ponto fixo Brouwer tornou-se aplicável. Smale conjecturou que se MNão. é um manifold liso orientado, o componente de identidade do grupo de diffeomorphisms de preservação de orientação é simples. Isto foi inicialmente provado para um produto de círculos por Michel Herman; foi provado em total generalidade por Thurston.

Tipos de homotopia

• O grupo diffeomorphism de S2{displaystyle S^{2}} tem o tipo de homotopia do subgrupo O(3)Não.. Isto foi provado por Steve Smale.
• O grupo diffeomorphism do torus tem o tipo de homotopia de seus automorfismos lineares: S1× × S1× × GL(2,Z.)Não. S^{1}times S^{1}times {text{GL}}(2,mathbb {Z})}.
• Os grupos de diffeomorphism de superfícies orientadas do gênero 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g>1- Sim.1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3aa256fb29a830d501693b50832d0e09f65557" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.377ex; height:2.509ex;"/> têm o tipo de homotopia de seus grupos de classe de mapeamento (isto é, os componentes são contratáveis).
• O tipo de homotopia dos grupos de diffeomorphism de 3 variedades são bastante bem compreendidos através do trabalho de Ivanov, Hatcher, Gabai e Rubinstein, embora haja alguns casos abertos pendentes (principalmente 3-manifolds com grupos fundamentais finitos).
• O tipo de homotopia de grupos de diffeomorphismo nNão.- coletores para 3}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>3Não.3" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257030caae597fd034c2cbcff2cff9dfc4272d20" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> são mal compreendidos. Por exemplo, é um problema aberto se ou não Diff(S4)(S^{4})} tem mais de dois componentes. Via Milnor, Kahn e Antonelli, no entanto, é conhecido que fornecido 6}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>6- Sim.6}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255e18708489bb215e50c53a18726f6a93255002" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>, Diff(Sn){displaystyle {text{Diff}}(S^{n})} não tem o tipo de homotopia de um complexo CW finito.

Homeomorfismo e difeomorfismo

Como todo difeomorfismo é um homeomorfismo, dado um par de variedades que são difeomorfas entre si, elas são, em particular, homeomorfas entre si. A recíproca não é verdadeira em geral.

Embora seja fácil encontrar homeomorfismos que não sejam difeomorfismos, é mais difícil encontrar um par de variedades homeomorfas que não sejam difeomorfas. Nas dimensões 1, 2 e 3, qualquer par de variedades suaves homeomórficas são difeomórficas. Na dimensão 4 ou superior, existem exemplos de pares homeomorfos, mas não difeomorfos. O primeiro desses exemplos foi construído por John Milnor na dimensão 7. Ele construiu uma variedade lisa de 7 dimensões (chamada agora de esfera de Milnor) que é homeomórfica à 7-esfera padrão, mas não difeomórfica a ela. Existem, de fato, 28 classes de difeomorfismo orientado de variedades homeomorfas à 7-esfera (cada uma delas é o espaço total de um feixe de fibras sobre a 4-esfera com a 3-esfera como fibra).

fenômenos mais incomuns ocorrem para 4 variedades. No início da década de 1980, uma combinação de resultados devido a Simon Donaldson e Michael Freedman levou à descoberta do exótico R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}: há incontavelmente muitos subconjuntos abertos não-diffeomorphic em pares de R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}} cada um dos quais é homeomorfo R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}, e também há incontavelmente muitos coletores diferenciais não-diffeomorphic para R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}} que não incorporam suavemente em R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}.