Desigualdade triangular

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Três exemplos da desigualdade de triângulo para triângulos com lados de comprimentos $x$ , $Sim.$ , $zangão.$ . O exemplo superior mostra um caso em que $zangão.$ é muito menos do que a soma $x + Sim.$ dos outros dois lados, e o exemplo inferior mostra um caso onde o lado $zangão.$ é apenas ligeiramente menos do que $x + Sim.$ .

Em matemática, a desigualdade triangular afirma que, para qualquer triângulo, a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados deve ser maior ou igual ao comprimento do lado restante. Esta afirmação permite a inclusão de triângulos degenerados, mas alguns autores, especialmente aqueles que escrevem sobre geometria elementar, excluirão esta possibilidade, deixando assim de fora a possibilidade de igualdade. Se $x$ , $y$ , e $z$ são os comprimentos dos lados do triângulo, sem que nenhum lado seja maior que $z$ , então a desigualdade triangular afirma que

{displaystyle zleq x+y,}

com igualdade apenas no caso degenerado de um triângulo com área zero.

Na geometria euclidiana e em algumas outras geometrias, a desigualdade triangular é um teorema sobre distâncias e é escrita usando vetores e comprimentos de vetores (normas):

{displaystyle |mathbf {x}} +mathbf {y} |leq |mathbf {x} |+|mathbf {y} |,}

onde o comprimento $zangão.$ do terceiro lado foi substituído pela soma vetorial $x + Sim.$ . Quando $x$ e $Sim.$ são números reais, eles podem ser vistos como vetores em ${displaystyle mathbb {R} ^{1}}$ , e a desigualdade de triângulo expressa uma relação entre valores absolutos.

Na geometria euclidiana, para triângulos retos a desigualdade de triângulo é uma consequência do teorema de Pitágora, e para triângulos gerais, uma consequência da lei de cossenos, embora possa ser provado sem esses teoremas. A desigualdade pode ser vista intuitivamente em qualquer ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ ou ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ . A figura à direita mostra três exemplos começando com clara desigualdade (top) e aproximação à igualdade (bottom). No caso Euclidiano, a igualdade ocorre apenas se o triângulo tiver um $180°$ ângulo e dois $0°$ ângulos, fazendo os três vértices collinear, como mostrado no exemplo inferior. Assim, na geometria euclidiana, a distância mais curta entre dois pontos é uma linha reta.

Na geometria esférica, a distância mais curta entre dois pontos é um arco de um círculo máximo, mas a desigualdade triangular é válida desde que seja feita a restrição de que a distância entre dois pontos em uma esfera seja o comprimento de um segmento de linha esférico menor (isto é, um com ângulo central em $[0, π]$ ) com esses pontos finais.

A desigualdade triangular é uma propriedade definidora de normas e medidas de distância. Esta propriedade deve ser estabelecida como um teorema para qualquer função proposta para tais fins para cada espaço particular: por exemplo, espaços como os números reais, espaços euclidianos, os espaços Lp ( $p \geq 1$ ) e espaços de produtos internos.

Geometria euclidiana

Euclides provou a desigualdade triangular para distâncias em geometria plana usando a construção da figura. Começando com o triângulo $ABC$ , um triângulo isósceles é construído com um lado considerado $BC$ e a outra perna igual $BD$ ao longo da extensão do lado $< span style="text-decoration:overline;">AB$ . Argumenta-se então que o ângulo $β$ tem medida maior que o ângulo $α$ , então lado $AD < /span> é maior que o lado AC . No entanto:$

Não. - Sobrelinha (AD) {AB}}+{overline {BD}}={overline {AB}}+{overline {BC}}}

portanto, a soma dos comprimentos dos lados $AB e BC é maior que o comprimento de AC . Esta prova aparece nos Elementos de Euclides, Livro 1, Proposição 20.$

Expressão matemática da restrição nos lados de um triângulo

Para um triângulo próprio, a desigualdade triangular, conforme declarada em palavras, se traduz literalmente em três desigualdades (dado que um triângulo próprio tem comprimentos laterais $a, b, c$ que são todos positivos e excluem o caso degenerado de área zero):

{displaystyle a+b>c,quad b+c>a,quad c+a>b.}

Uma forma mais sucinta deste sistema de desigualdade pode ser mostrada como

|a-b|

Outra maneira de afirmar isso é

{displaystyle max(a,b,c)

implicando

{displaystyle 2max(a,b,c)

e, portanto, que o comprimento do lado mais longo seja menor que o semiperímetro.

Uma formulação matematicamente equivalente é que a área de um triângulo com lados $a, b, c$ deve ser um número real maior que zero. A fórmula de Heron para a área é

{displaystyle {begin{aligned}4cdot {text{area}}&={sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}&={sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}

Em termos de qualquer expressão de área, a desigualdade triangular imposta em todos os lados é equivalente à condição de que a expressão sob o sinal de raiz quadrada seja real e maior que zero (portanto, a expressão de área é real e maior que zero).

A desigualdade de triângulo fornece duas restrições mais interessantes para triângulos cujos lados são $um, b), c$ , onde $um \geq b) \geq c$ e $- Sim.$ é a relação de ouro, como

{displaystyle 1<{frac (a+c){b}<3}

{displaystyle 1leq min left({frac {a}{b}},{frac {b}{c}}right)

Triângulo retângulo

No caso de triângulos retângulos, a desigualdade triangular se especializa na afirmação de que a hipotenusa é maior que qualquer um dos dois lados e menor que sua soma.

A segunda parte deste teorema já foi estabelecida acima para qualquer lado de qualquer triângulo. A primeira parte é estabelecida utilizando a figura inferior. Na figura, considere o triângulo retângulo $ADC$ . Um triângulo isósceles $ABC$ é construído com lados iguais $AB = AC$ . A partir do postulado do triângulo, os ângulos do triângulo retângulo $ADC$ satisfazem:

{displaystyle alpha +gamma =pi /2.}

Da mesma forma, no triângulo isósceles $ABC$ , os ângulos satisfazem:

{displaystyle 2beta +gamma =pi .}

Portanto,

{displaystyle alpha =pi /2-gamma mathrm {while} beta =pi /2-gamma /2}

e então, em particular,

{displaystyle alpha

Isso significa lado $AD$ ângulo oposto $α$ é mais curto que o lado $AB$ oposto ao ângulo maior $β$ . Mas $AB = AC$ . Por isso:

{displaystyle {overline {AC}}>{overline Não.

Uma construção semelhante mostra $AC > DC$ , estabelecendo o teorema.

Uma prova alternativa (também baseada no postulado do triângulo) procede considerando três posições para o ponto $B$ : (i) como representado (o que deve ser provado), ou (ii) $B$ coincidente com $D$ (o que significaria que o triângulo isósceles tinha dois ângulos retos como ângulos de base mais o ângulo do vértice $γ$ , o que violaria o postulado do triângulo), ou por último, (iii) $B$ interior do triângulo retângulo entre pontos $A$ e $D$ (nesse caso, o ângulo $ABC$ é um ângulo externo de um triângulo retângulo $BDC$ e, portanto, maior que $π /2$ , o que significa que o outro ângulo da base do triângulo isósceles também é maior que $π /2$ e sua soma excede $π$ em violação do postulado do triângulo).

Este teorema que estabelece desigualdades é aprimorado pela teoria de Pitágoras. teorema da igualdade de que o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

Exemplos de uso

Considere um triângulo cujos lados estão em uma progressão aritmética e sejam os lados $a, a + d, a + 2 d$ . Então a desigualdade triangular exige que

{displaystyle {begin{array}{rcccl}0&<&a&<&2a+3d,\0&

Desigualdade triangular

Geometria euclidiana

Expressão matemática da restrição nos lados de um triângulo

Triângulo retângulo

Exemplos de uso

Contenido relacionado