Derivado

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Taxa instantânea de mudança (matemática)

O gráfico de uma função, desenhado em preto, e uma linha tangente para aquele grafo, desenhado em vermelho. A inclinação da linha tangente é igual ao derivado da função no ponto marcado.

Em matemática, a derivada de uma função de uma variável real mede a sensibilidade à mudança do valor da função (valor de saída) em relação a uma mudança em seu argumento (valor de entrada). As derivadas são uma ferramenta fundamental do cálculo. Por exemplo, a derivada da posição de um objeto em movimento em relação ao tempo é a velocidade do objeto: isso mede a rapidez com que a posição do objeto muda quando o tempo avança.

A derivada de uma função de uma única variável em um valor de entrada escolhido, quando existe, é a inclinação da linha tangente ao gráfico da função naquele ponto. A linha tangente é a melhor aproximação linear da função perto desse valor de entrada. Por esta razão, a derivada é freqüentemente descrita como a "taxa instantânea de variação", a razão da mudança instantânea na variável dependente para aquela da variável independente.

As derivadas podem ser generalizadas para funções de várias variáveis reais. Nesta generalização, a derivada é reinterpretada como uma transformação linear cujo gráfico é (após uma tradução apropriada) a melhor aproximação linear do gráfico da função original. A matriz jacobiana é a matriz que representa essa transformação linear em relação à base dada pela escolha de variáveis independentes e dependentes. Pode ser calculado em termos de derivadas parciais em relação às variáveis independentes. Para uma função de valor real de várias variáveis, a matriz jacobiana se reduz ao vetor gradiente.

O processo de encontrar uma derivada é chamado de diferenciação. O processo inverso é chamado de antidiferenciação. O teorema fundamental do cálculo relaciona a antidiferenciação com a integração. Diferenciação e integração constituem as duas operações fundamentais no cálculo de variável única.

Definição

Uma função de uma variável real $f (x)$ é diferenciável em um ponto $a$ de seu domínio, se seu domínio contiver um intervalo aberto $I$ contendo $a$ e o limite

{displaystyle L=lim _{hto 0}{frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

existe. Isso significa que, para cada número real positivo $varepsilon$ (mesmo muito pequeno), existe um número real positivo $delta$ tal que, para cada $h$ tal que $<math alttext="{displaystyle |h||h|<δ δ |h|<delta } <img alt="{displaystyle |h|$ e ${displaystyle hneq 0}$ então ${displaystyle f(a+h)}$ é definido, e

<math alttext="{displaystyle left|L-{frac {f(a+h)-f(a)}{h}}right||L- Sim. - Sim. f(um+h)- Sim. - Sim. f(um)h|<ε ε ,{displaystyle left|L-{frac {f(a+h)-f(a)}{h}}right|<varepsilon}<img alt="{displaystyle left|L-{frac {f(a+h)-f(a)}{h}}right|

onde as barras verticais denotam o valor absoluto (ver (ε, δ)-definição de limite).

Se a função $f$ é diferente em $um$ , isto é, se o limite $L$ existe, então este limite é chamado de derivado de $f$ em $um$ , e denotado $f'(a)$ (leia como " $f$ Primeiro de $um$ ") ou ${textstyle {frac {df}{dx}}(a)}$ (leia como "o derivado de $f$ com respeito a $x$ em $um$ "ou " $Df$ por (ou mais) $Dx$ em $um$ "); veja § Notation (detalhes), abaixo.

Continuidade e diferenciabilidade

Esta função não tem um derivado no ponto marcado, pois a função não é contínua lá (especificamente, tem uma descontinuidade de salto).

Se $f$ é diferente em $um$ , então $f$ também deve ser contínuo em $um$ . Como exemplo, escolha um ponto $um$ e deixar $f$ ser a função passo que retorna o valor 1 para todos $x$ menos do que $um$ , e retorna um valor diferente 10 para todos $x$ superior ou igual a $um$ . $f$ não pode ter um derivado em $um$ . Se $h$ é negativo, então ${displaystyle a+h}$ está na parte baixa do passo, então a linha secante de $um$ para ${displaystyle a+h}$ é muito íngreme; como $h$ tende a zero, a inclinação tende a infinito. Se $h$ é positivo, então ${displaystyle a+h}$ está na parte alta do passo, então a linha secante de $um$ para ${displaystyle a+h}$ tem inclinação zero. Consequentemente, as linhas secantes não se aproximam de nenhuma única inclinação, portanto o limite do quociente de diferença não existe.

A função de valor absoluto é contínua, mas não pode ser diferenciada

x = 0

uma vez que as encostas tangentes não se aproximam do mesmo valor da esquerda como eles fazem da direita.

No entanto, mesmo que uma função seja contínua em um ponto, pode não ser diferente lá. Por exemplo, a função de valor absoluto dada por $f(x)=|x|$ é contínuo em $x=0$ , mas não é diferente lá. Se $h$ é positivo, então a inclinação da linha secant de 0 a $h$ é um; se $h$ é negativo, então a inclinação da linha secante de 0 a $h$ o $-1$ . Isso pode ser visto graficamente como um "pequeno" ou um "carne" no gráfico $x=0$ . Mesmo uma função com um grafo liso não é diferenciável em um ponto onde seu tangente é vertical: Por exemplo, a função dada por ${displaystyle f(x)=x^{1/3}}$ não é diferente em $x=0$ .

Em resumo, uma função que possui derivada é contínua, mas existem funções contínuas que não possuem derivada.

A maioria das funções que ocorrem na prática tem derivadas em todos os pontos ou em quase todos os pontos. No início da história do cálculo, muitos matemáticos assumiram que uma função contínua era diferenciável na maioria dos pontos. Sob condições suaves (por exemplo, se a função for monótona ou Lipschitz), isso é verdade. No entanto, em 1872, Weierstrass encontrou o primeiro exemplo de uma função contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar. Este exemplo agora é conhecido como função de Weierstrass. Em 1931, Stefan Banach provou que o conjunto de funções que possuem uma derivada em algum ponto é um conjunto escasso no espaço de todas as funções contínuas. Informalmente, isso significa que quase nenhuma função contínua aleatória tem uma derivada em um único ponto.

Derivada como uma função

O derivado em diferentes pontos de uma função diferencial. Neste caso, o derivado é igual a:

{displaystyle sin left(x^{2}right)+2x^{2}cos left(x^{2}right)}

Seja $f$ uma função que tem uma derivada em cada ponto de seu domínio. Podemos então definir uma função que mapeia cada ponto $x$ para o valor da derivada do estilo $f$ em $x$ . Esta função é escrita $f'$ e é chamada de função derivada ou a derivada de $f$ .

Às vezes $f$ tem uma derivada no máximo, mas não em todos os pontos de seu domínio. A função cujo valor em $a$ é igual a $f' (a)$ sempre que $f' (a)$ é definido e em outro lugar é indefinido também é chamado de derivado de $f$ . Ainda é uma função, mas seu domínio pode ser menor que o domínio de $f$ .

Usando essa ideia, a diferenciação se torna uma função de funções: A derivada é um operador cujo domínio é o conjunto de todas as funções que possuem derivadas em cada ponto de seu domínio e cuja imagem é um conjunto de funções. Se denotarmos esse operador por $D$ , então $D (f)$ é a função $f'$ . Como $D (f)$ é uma função, ela pode ser avaliada em um ponto $a$ . Pela definição da função derivada, $D (f)(a) = f' (a)$ .

Para comparação, considere a função de duplicação dada por $f (x) = 2 x; f é uma função de valor real de um número real, o que significa que recebe números como entradas e tem números como saídas:$

{begin{aligned}1&{}mapsto 2,\2&{}mapsto 4,\3&{}mapsto 6.end{aligned}}

O operador $D$ , entretanto, não é definido em números individuais. É definido apenas em funções:

{displaystyle {begin{aligned}D(xmapsto 1)&=(xmapsto 0),\D(xmapsto x)&=(xmapsto 1),\Dleft(xmapsto x^{2}right)&=(xmapsto 2cdot x).end{aligned}}}

Como a saída de $D$ é uma função, a saída de $D$ pode ser avaliado em um ponto. Por exemplo, quando $D$ é aplicado à função quadrada, $x \mapsto x 2$ , $D$ gera a função de duplicação $x \mapsto 2 x$ , que chamamos de $f (x)$ . Esta função de saída pode então ser avaliada para obter $f (1) = 2$ , $f (2) = 4$ , e assim por diante.

Derivados superiores

Seja $f$ uma função diferenciável e seja $f'$ seja sua derivada. A derivada de $f'$ (se houver) é escrita $f "$ e é chamada de segunda derivada de $f$ . Da mesma forma, a derivada da segunda derivada, se existir, é escrita $f "'$ e é chamada de terceira derivada de $f$ . Continuando este processo, pode-se definir, se existir, a $n$ ésima derivada como a derivada da $(n -1)$ ésima derivada. Essas derivadas repetidas são chamadas de derivadas de ordem superior. A $n$ ésima derivada também é chamada de derivada de ordem $n$ (ou $n$ derivada de ª ordem: primeira, segunda, terceira ordem derivado, etc.) e denotado $f (n)$ .

Se $x (t)$ representa a posição de um objeto no tempo $t$ , então as derivadas de ordem superior de $x$ têm interpretações específicas na física. A primeira derivada de $x$ é a velocidade do objeto. A segunda derivada de $x$ é a aceleração. A terceira derivada de $x$ é o idiota. E, finalmente, da quarta à sexta derivadas de $x$ são snap, crackle e pop; mais aplicável à astrofísica.

Uma função $f$ não precisa ter uma derivada (por exemplo, se não for contínua). Da mesma forma, mesmo que $f$ tenha uma derivada, pode não ter uma segunda derivada. Por exemplo, deixe

f(x)={begin{cases}+x^{2},&{text{if }}xgeq 0\-x^{2},&{text{if }}xleq 0.end{cases}}

Cálculo mostra que $f$ é uma função diferencial cujo derivado em $x$ é dado por

f'(x)={begin{cases}+2x,&{text{if }}xgeq 0\-2x,&{text{if }}xleq 0.end{cases}}

$f ' (x)$ é duas vezes a função de valor absoluto em $x$ , e não tem um derivado em zero. Exemplos semelhantes mostram que uma função pode ter $k$ derivado para cada inteiro não negativo $k$ mas não um $(k + 1)$ derivado. Uma função que tem $k$ sucessivos derivados é chamado $k$ tempos diferentes. Se além disso, $k$ o derivado é contínuo, então a função é dito ser de classe diferencial $C k$ . (Esta é uma condição mais forte do que ter $k$ derivados, como mostrado pelo segundo exemplo de Suavidade § Exemplos.) Uma função que tem infinitamente muitos derivados é chamada infinitamente diferenciada ou suave.

Na reta real, toda função polinomial é infinitamente diferenciável. Pelas regras de diferenciação padrão, se um polinômio de grau $n$ é diferenciado $n$ vezes, torna-se uma função constante. Todas as suas derivadas subsequentes são identicamente zero. Em particular, eles existem, então polinômios são funções suaves.

As derivadas de uma função $f$ em um ponto $x$ forneça aproximações polinomiais para essa função perto de $x$ . Por exemplo, se $f$ for duas vezes diferenciável, então

f(x+h)approx f(x)+f'(x)h+{tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}

no sentido de que

{displaystyle lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}

Se $f$ é infinitamente diferenciável, então este é o começo da série de Taylor para $f$ avaliado em $x + h$ em torno de $x$ .

Ponto de inflexão

Um ponto onde o segundo derivado de uma função muda sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, o segundo derivado pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão $x = 0$ da função dada por $f(x) = x^3$ , ou pode não existir, como no caso do ponto de inflexão $x = 0$ da função dada por ${displaystyle f(x)=x^{frac {1}{3}}}$ . Em um ponto de inflexão, uma função alterna de ser uma função convexa para ser uma função côncava ou vice-versa.

Notação (detalhes)

Notação de Leibniz

Os símbolos $dx$ , $dy$ e ${frac {dy}{dx}}$ foram introduzidos por Gottfried Wilhelm Leibniz em 1675. Ainda é comumente usado quando a equação $y=f(x)$ é visto como uma relação funcional entre variáveis dependentes e independentes. Então o primeiro derivado é denotado por

{displaystyle {frac {dy}{dx}},quad {frac {df}{dx}},{text{ or }}{frac {d}{dx}}f,}

e já foi pensado como um quociente infinitesimal. Derivadas superiores são expressas usando a notação

{displaystyle {frac {d^{n}y}{dx^{n}}},quad {frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{text{ or }}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}

para a $n$ -o derivado de $y=f(x)$ . Estas são abreviações para múltiplas aplicações do operador derivado. Por exemplo,

{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={frac {d}{dx}}left({frac {dy}{dx}}right).

Com a notação de Leibniz, podemos escrever o derivado de $y$ no ponto $x=a$ de duas maneiras diferentes:

left.{frac {dy}{dx}}right|_{x=a}={frac {dy}{dx}}(a).

A notação de Leibniz permite especificar a variável para diferenciação (no denominador), que é relevante na diferenciação parcial. Também pode ser usado para escrever a regra da cadeia como

{frac {dy}{dx}}={frac {dy}{du}}cdot {frac {du}{dx}}.

Notação de Lagrange

Às vezes referido como notação principal, uma das notações modernas mais comuns para a diferenciação é devido a Joseph-Louis Lagrange e usa a marca principal, de modo que o derivado de uma função $f$ é denotado $f'$ . Da mesma forma, os segundo e terceiro derivados são denotados

{displaystyle (f')'=f''}

(f'')'=f'''.

Para indicar o número de derivadas além deste ponto, alguns autores usam algarismos romanos em sobrescrito, enquanto outros colocam o número entre parênteses:

{displaystyle f^{mathrm {iv} }}

f^{(4)}.

A última notação generaliza-se para produzir a notação $f^{(n)}$ para a nderivado de $f$ – esta notação é mais útil quando queremos falar sobre o derivado como sendo uma função em si, como neste caso a notação de Leibniz pode se tornar incômoda.

Notação de Newton

A notação de Newton para diferenciação, também chamada de notação do ponto, coloca um ponto sobre o nome da função para representar um derivado do tempo. Se ${displaystyle y=f(t)}$ , então

{dot {y}}

{ddot {y}}

denota, respectivamente, os primeiros e segundo derivados de $y$ . Esta notação é usada exclusivamente para derivados em relação ao tempo ou comprimento do arco. É tipicamente usado em equações diferenciais em física e geometria diferencial. A notação do ponto, no entanto, torna-se incontrolável para derivados de alta ordem (ordem 4 ou mais) e não pode lidar com múltiplas variáveis independentes.

Notação de Euler

A notação de Euler usa um operador diferencial $D$ , que é aplicado a uma função $f$ dar o primeiro derivado $Df$ . O $n$ o derivado é denotado ${displaystyle D^{n}f}$ .

Se $y=f(x)$ é uma variável dependente, então muitas vezes o subscript $x$ é anexado ao $D$ para esclarecer a variável independente $x$ . A notação de Euler é então escrita

{displaystyle D_{x}y}

{displaystyle D_{x}f(x)}

embora este subescrito seja frequentemente omitido quando a variável $x$ é compreendido, por exemplo, quando esta é a única variável independente presente na expressão.

A notação de Euler é útil para declarar e resolver equações diferenciais lineares.

Regras de cálculo

A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculada a partir da definição, considerando o quociente de diferença e calculando seu limite. Na prática, uma vez conhecidas as derivadas de algumas funções simples, as derivadas de outras funções são calculadas mais facilmente usando regras para obter derivadas de funções mais complicadas de funções mais simples.

Regras para funções básicas

Aqui estão as regras para as derivadas das funções básicas mais comuns, onde a é um número real.

Derivados de poderes:
${displaystyle {frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.}$
Funções exonenciais e logarítmicas:
${frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$
$0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">DDxumx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umxI⁡ ⁡ (um),um>0{displaystyle {frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}ln(a),qquad a>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45f4385b350131524cc1672f79de17340944c09" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.82ex; height:5.509ex;"/>$
$0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">DDxI⁡ ⁡ (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1x,x>0.{displaystyle {frac {d}{dx}}ln(x)={frac {1}{x}},qquad x>0.}0." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5c086b15d3f8c104011b5125089811cd704fa0" style="vertical-align: -2.005ex; width:26.028ex; height:5.509ex;"/>$
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Funções trigonométricas:
${frac {d}{dx}}sin(x)=cos(x).$
${frac {d}{dx}}cos(x)=-sin(x).$
${displaystyle {frac {d}{dx}}tan(x)=sec ^{2}(x)={frac {1}{cos ^{2}(x)}}=1+tan ^{2}(x).}$
Funções trigonométricas inversas:
$<math alttext="{displaystyle {frac {d}{dx}}arcsin(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}},qquad -1<xDDxProdutos de plástico⁡ ⁡ (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =11- Sim. - Sim. x2,- Sim. - Sim. 1<x<1.{displaystyle {frac {d}{dx}}arcsin(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}}qquad -1<x<1.}<img alt="{displaystyle {frac {d}{dx}}arcsin(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}},qquad -1<x$
$<math alttext="{displaystyle {frac {d}{dx}}arccos(x)=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}},qquad -1<xDDxArcos⁡ ⁡ (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 11- Sim. - Sim. x2,- Sim. - Sim. 1<x<1.{displaystyle {frac {d}{dx}}arccos(x)=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}}}}qquad -1<x<1.}<img alt="{displaystyle {frac {d}{dx}}arccos(x)=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}},qquad -1<x$
${frac {d}{dx}}arctan(x)={frac {1}{1+x^{2}}}$

Regras para funções combinadas

Aqui estão algumas das regras mais básicas para deduzir a derivada de uma função composta a partir das derivadas de funções básicas.

Regra constante: se $f$ é constante, então para todos $x$ ,
${displaystyle f'(x)=0.}$
Regra geral:
${displaystyle (alpha f+beta g)'=alpha f'+beta g'}$ para todas as funções $f$ e $g$ e todos os números reais $alpha$ e $beta$ .
Regra de produto:
${displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ para todas as funções $f$ e $g$ . Como um caso especial, esta regra inclui o fato $(alpha f)'=alpha f'$ sempre $alpha$ é uma constante, porque $alpha 'f=0cdot f=0$ pela regra constante.
Regra quantitativa:
$left({frac {f}{g}}right)'={frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ para todas as funções $f$ e $g$ em todas as entradas onde g ≠ 0.
Regra de cadeia para funções compostas: Se $f(x)=h(g(x))$ , então
${displaystyle f'(x)=h'(g(x))cdot g'(x).}$

Exemplo de cálculo

A derivada da função dada por

{displaystyle f(x)=x^{4}+sin left(x^{2}right)-ln(x)e^{x}+7}

{displaystyle {begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{frac {dleft(x^{2}right)}{dx}}cos left(x^{2}right)-{frac {dleft(ln {x}right)}{dx}}e^{x}-ln(x){frac {dleft(e^{x}right)}{dx}}+0\&=4x^{3}+2xcos left(x^{2}right)-{frac {1}{x}}e^{x}-ln(x)e^{x}.end{aligned}}}

Aqui, o segundo termo foi calculado usando a regra da cadeia e o terceiro usando a regra do produto. As derivadas conhecidas das funções elementares x², x⁴, sin(x), ln(x) e exp(x) = e^x, assim como a constante 7, também foram usados.

Definição com hiper-reais

Relativamente a uma extensão hiperreal ${displaystyle mathbb {R} subset ,^{*}!mathbb {R} }$ dos números reais, o derivado de uma função real $y=f(x)$ em um ponto real $x$ pode ser definido como a sombra do quociente ${tfrac {Delta y}{Delta x}}$ para infinitosimal $Delta x$ , onde $Delta y=f(x+Delta x)-f(x)$ . Aqui a extensão natural de $f$ para os hiperreais ainda está denotado $f$ . Aqui o derivado é dito existir se a sombra é independente do infinitosimal escolhido.

Em dimensões superiores

Funções com valor vetorial

Uma função de valor vetorial y de uma variável real envia números reais para vetores em algum espaço vetorial Rⁿ. Uma função de valor vetorial pode ser dividida em suas funções de coordenadas y₁(t), y₂(t),..., y_n(t), significando que y(t) = ( y₁(t),..., y_n(t)). Isso inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³. As funções de coordenadas são funções de valor real, então a definição acima de derivada se aplica a elas. A derivada de y(t) é definida como o vetor, chamado de vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Aquilo é,

mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),ldotsy'_{n}(t)).

Equivalentemente,

mathbf {y} '(t)=lim _{hto 0}{frac {mathbf {y} (t+h)-mathbf {y} (t)}{h}},

se o limite existir. A subtração no numerador é a subtração de vetores, não de escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y′ é outra função de valor vetorial.

Se e₁,..., e_n é a base padrão para Rⁿ, então y(t) também pode ser escrito como y₁(t) e₁ + ⋯ + y_n(t)e_n. Se assumirmos que a derivada de uma função de valor vetorial retém a propriedade de linearidade, então a derivada de y(t) deve ser

y'_{1}(t)mathbf {e} _{1}+cdots +y'_{n}(t)mathbf {e} _{n}

porque cada um dos vetores de base é uma constante.

Essa generalização é útil, por exemplo, se y(t) é o vetor posição de uma partícula no tempo t; então a derivada y′(t) é o vetor velocidade da partícula no tempo t.

Derivadas parciais

Suponha que f é uma função que depende de mais de uma variável—por exemplo,

{displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada por outras variáveis:

{displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Em outras palavras, todo valor de x escolhe uma função, denotada f_x, que é uma função de um número real. Aquilo é,

{displaystyle xmapsto f_{x},}

{displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Assim que o valor x for escolhido, diga a, então f(x , y) determina uma função f_a que envia y para a² + ay + y²:

{displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.}

Nesta expressão, a é uma constante, não uma variável, então f_a é uma função de apenas uma variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável se aplica:

{displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}

O procedimento acima pode ser executado para qualquer escolha de a. Juntar as derivadas em uma função fornece uma função que descreve a variação de f na direção y:

{displaystyle {frac {partial f}{partial y}}(x,y)=x+2y.}

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui ∂ é um d arredondado chamado símbolo de derivada parcial. Para distingui-lo da letra d, ∂ às vezes é pronunciado "der", "del" ou "parcial" em vez de "dee".

Em geral, a derivada parcial de uma função f(x₁, …, x_n) na direção x_i no ponto (a₁,..., a_n) é definido como:

{displaystyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}(a_{1},ldotsa_{n})=lim _{hto 0}{frac {f(a_{1},ldotsa_{i}+h,ldotsa_{n})-f(a_{1},ldotsa_{i},ldotsa_{n})}{h}}.}

No quociente de diferença acima, todas as variáveis, exceto x_i, são mantidas fixas. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável

f_{a_{1},ldotsa_{i-1},a_{i+1},ldotsa_{n}}(x_{i})=f(a_{1},ldotsa_{i-1},x_{i},a_{i+1},ldotsa_{n}),

e, por definição,

frac{df_{a_1,ldots,a_{i-1},a_{i+1},ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = frac{partial f}{partial x_i}(a_1,ldots,a_n).

Em outras palavras, as diferentes escolhas de a indexam uma família de funções de uma variável exatamente como no exemplo acima. Essa expressão também mostra que o cálculo de derivadas parciais se reduz ao cálculo de derivadas de uma variável.

Isto é fundamental para o estudo das funções de diversas variáveis reais. Seja $f (x 1,..., x n)$ ser uma função de valor real. Se todas as derivadas parciais $\partial f / \partial x j$ de $f$ são definidos no ponto $a = (a 1,..., a n)$ , estes parciais derivadas definem o vetor

{displaystyle nabla f(a_{1},ldotsa_{n})=left({frac {partial f}{partial x_{1}}}(a_{1},ldotsa_{n}),ldots{frac {partial f}{partial x_{n}}}(a_{1},ldotsa_{n})right),}

que é chamado de gradiente de $f$ em $a$ . Se $f$ for diferenciável em todos os pontos de algum domínio, o gradiente é uma função com valor vetorial $\nabla f$ que mapeia o ponto $(a 1 ,..., a n)$ para o vetor $\nabla f (a 1 ,..., a n)$ . Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

Derivados direcionais

Se f é uma função de valor real em r n , então os derivados parciais de f medir sua variação na direção dos eixos de coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y , então seus derivados parciais medem a variação em f na direção x e na direção y . No entanto, eles não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, como ao longo da linha diagonal y = x . Estes são medidos usando derivados direcionais. Escolha um vetor

mathbf {v} =(v_{1},ldotsv_{n}).

o Derivado direcional de f na direção de v no ponto x é o limite

D_{mathbf {v} }{f}(mathbf {x})=lim _{hrightarrow 0}{frac {f(mathbf {x} +hmathbf {v})-f(mathbf {x})}{h}}.

Em alguns casos, pode ser mais fácil calcular ou estimar a derivada direcional após alterar o comprimento do vetor. Freqüentemente, isso é feito para transformar o problema no cálculo de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha que v = λu onde u é um vetor unitário na direção de v. Substitua h = k/λ no quociente de diferença. O quociente de diferença torna-se:

{frac {f(mathbf {x} +(k/lambda)(lambda mathbf {u}))-f(mathbf {x})}{k/lambda }}=lambda cdot {frac {f(mathbf {x} +kmathbf {u})-f(mathbf {x})}{k}}.

Isso é λ vezes o quociente de diferença para a derivada direcional de f em relação a u. Além disso, tomar o limite quando h tende a zero é o mesmo que tomar o limite quando k tende a zero porque h e k são múltiplos um do outro. Portanto, D_v(f) = λD_u(f). Devido a esta propriedade de redimensionamento, as derivadas direcionais são freqüentemente consideradas apenas para vetores unitários.

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção v pela fórmula:

D_{mathbf {v} }{f}({boldsymbol {x}})=sum _{j=1}^{n}v_{j}{frac {partial f}{partial x_{j}}}.

Esta é uma consequência da definição da derivada total. Segue-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f).

A mesma definição também funciona quando f é uma função com valores em R^m. A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Neste caso, a derivada direcional é um vetor em R^m.

Derivada total, diferencial total e matriz jacobiana

Quando f é uma função de um subconjunto aberto de Rⁿ a R^m, então a derivada direcional de f em uma direção escolhida é a melhor aproximação linear para f em nesse ponto e nessa direção. Mas quando n > 1, nenhuma derivada direcional pode fornecer uma imagem completa do comportamento de f. A derivada total fornece uma imagem completa considerando todas as direções de uma só vez. Ou seja, para qualquer vetor v começando em a, a fórmula de aproximação linear é válida:

f(mathbf {a} +mathbf {v})approx f(mathbf {a})+f'(mathbf {a})mathbf {v}.

Assim como a derivada de variável única, f ′(a) é escolhido para que o erro neste aproximação é a menor possível.

Se n e m forem ambos um, então a derivada f ′(a ) é um número e a expressão f ′(a)v é o produto de dois números. Mas em dimensões superiores, é impossível que f ′(a) seja um número. Se fosse um número, então f ′(a)v seria um vetor em Rⁿ enquanto os outros termos seriam vetores em R^m e, portanto, a fórmula não faria sentido. Para que a fórmula de aproximação linear faça sentido, f ′(a) deve ser uma função que envia vetores em Rⁿ para vetores em R^m, e f ′(a)v deve denotar esta função avaliada em v.

Para determinar que tipo de função é, observe que a fórmula de aproximação linear pode ser reescrita como

f(mathbf {a} +mathbf {v})-f(mathbf {a})approx f'(mathbf {a})mathbf {v}.

Observe que, se escolhermos outro vetor w, essa equação aproximada determinará outra equação aproximada substituindo w por v. Ele determina uma terceira equação aproximada substituindo w por v e a + v para a. Subtraindo essas duas novas equações, obtemos

f(mathbf {a} +mathbf {v} +mathbf {w})-f(mathbf {a} +mathbf {v})-f(mathbf {a} +mathbf {w})+f(mathbf {a})approx f'(mathbf {a} +mathbf {v})mathbf {w} -f'(mathbf {a})mathbf {w}.

Se assumirmos que v é pequeno e que a derivada varia continuamente em a, então f ′(a + v) é aproximadamente igual a f ′(a ) e, portanto, o lado direito é aproximadamente zero. O lado esquerdo pode ser reescrito de maneira diferente usando a fórmula de aproximação linear com v + w substituído por v. A fórmula de aproximação linear implica:

{begin{aligned}0&approx f(mathbf {a} +mathbf {v} +mathbf {w})-f(mathbf {a} +mathbf {v})-f(mathbf {a} +mathbf {w})+f(mathbf {a})\&=(f(mathbf {a} +mathbf {v} +mathbf {w})-f(mathbf {a}))-(f(mathbf {a} +mathbf {v})-f(mathbf {a}))-(f(mathbf {a} +mathbf {w})-f(mathbf {a}))\&approx f'(mathbf {a})(mathbf {v} +mathbf {w})-f'(mathbf {a})mathbf {v} -f'(mathbf {a})mathbf {w}.end{aligned}}

Isso sugere que f ′(a) é uma transformação linear do espaço vetorial Rⁿ para o espaço vetorial R^m. De fato, é possível fazer uma derivação precisa medindo o erro nas aproximações. Suponha que o erro nesta fórmula de aproximação linear seja limitado por uma constante vezes ||v||, onde a constante é independente de v, mas depende continuamente de a . Então, depois de adicionar um termo de erro apropriado, todas as igualdades aproximadas acima podem ser reformuladas como desigualdades. Em particular, f ′(a) é uma transformação linear até um pequeno termo de erro. No limite como v e w tendem a zero, deve ser, portanto, uma transformação linear. Como definimos a derivada total tomando um limite quando v vai para zero, f ′(a) deve ser uma transformação linear.

Em uma variável, o fato de a derivada ser a melhor aproximação linear é expresso pelo fato de ser o limite dos quocientes de diferença. No entanto, o quociente de diferença usual não faz sentido em dimensões maiores porque geralmente não é possível dividir vetores. Em particular, o numerador e o denominador do quociente de diferença não estão no mesmo espaço vetorial: o numerador está no contradomínio R^m enquanto o denominador está no domínio Rⁿ. Além disso, a derivada é uma transformação linear, um tipo de objeto diferente tanto do numerador quanto do denominador. Para tornar precisa a ideia de que f ′(a) é a melhor aproximação linear, é necessário adaptar uma fórmula para a derivada de uma variável na qual esses problemas desaparecem. Se f: R → R, a definição usual da derivada pode ser manipulada para mostrar que a derivada de f em a é o número único f ′(a) tal que

{displaystyle lim _{hto 0}{frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)}{h}}=0.}

Isto é equivalente a

{displaystyle lim _{hto 0}{frac {|f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)|}{|h|}}=0}

porque o limite de uma função tende a zero se e somente se o limite do valor absoluto da função tende a zero. Esta última fórmula pode ser adaptada à situação de muitas variáveis, substituindo os valores absolutos por normas.

A definição da derivada total de f em a, portanto, é que ela é a única transformação linear f ′(a): Rⁿ → R^m tal que

{displaystyle lim _{mathbf {h} to 0}{frac {lVert f(mathbf {a} +mathbf {h})-(f(mathbf {a})+f'(mathbf {a})mathbf {h})rVert }{lVert mathbf {h} rVert }}=0.}

Aqui h é um vetor em Rⁿ, então a norma no denominador é o comprimento padrão em Rⁿ. No entanto, f′(a)h é um vetor em R^m, e a norma no numerador é o comprimento padrão em R^m. Se v é um vetor começando em a, então f ′(a)v é chamado de pushforward de v por f e às vezes é escrito f_∗v.

Se a derivada total existe em a, então todas as derivadas parciais e direcionais de f existem em a, e para todos v, f ′(a)v é o direcional derivada de f na direção v. Se escrevermos f usando funções de coordenadas, de modo que f = (f₁, f₂,..., f_m), então a derivada total pode ser expressa usando as derivadas parciais como uma matriz. Esta matriz é chamada de matriz jacobiana de f em a:

f'(mathbf {a})=operatorname {Jac} _{mathbf {a} }=left({frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}right)_{ij}.

A existência da derivada total f′(a) é estritamente mais forte do que a existência de todas as derivadas parciais, mas se as derivadas parciais existirem e forem contínuas, então a derivada total existe, é dada pelo jacobiano e depende continuamente de a.

A definição da derivada total inclui a definição da derivada em uma variável. Isto é, se f é uma função de valor real de uma variável real, então a derivada total existe se e somente se a derivada usual existe. A matriz jacobiana se reduz a uma matriz 1×1 cuja única entrada é a derivada f′(x). Esta matriz 1×1 satisfaz a propriedade que f(a + h) − (f (a) + f ′(a)h) é aproximadamente zero, em outras palavras que

f(a+h)approx f(a)+f'(a)h.

Até variáveis em mudança, esta é a afirmação de que a função $xmapsto f(a)+f'(a)(x-a)$ é a melhor aproximação linear para f em um.

A derivada total de uma função não fornece outra função da mesma forma que o caso de uma variável. Isso ocorre porque a derivada total de uma função multivariável precisa registrar muito mais informações do que a derivada de uma função de variável única. Em vez disso, a derivada total dá uma função do fibrado tangente da fonte ao fibrado tangente do alvo.

O análogo natural das derivadas totais de segunda, terceira e ordem superior não é uma transformação linear, não é uma função no fibrado tangente e não é construído tomando repetidamente a derivada total. O análogo de uma derivada de ordem superior, chamada jato, não pode ser uma transformação linear porque as derivadas de ordem superior refletem informações geométricas sutis, como a concavidade, que não podem ser descritas em termos de dados lineares, como vetores. Não pode ser uma função no fibrado tangente porque o fibrado tangente só tem espaço para o espaço de base e as derivadas direcionais. Como os jatos capturam informações de ordem superior, eles recebem como argumentos coordenadas adicionais que representam mudanças de direção de ordem superior. O espaço determinado por essas coordenadas adicionais é chamado de jet bundle. A relação entre a derivada total e as derivadas parciais de uma função é paralela à relação entre o jato de késima ordem de uma função e suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a k.

Tomando repetidamente a derivada total, obtém-se versões superiores da derivada de Fréchet, especializada para R^p. A derivada total de késima ordem pode ser interpretada como um mapa

D^{k}f:mathbb {R} ^{n}to L^{k}(mathbb {R} ^{n}times cdots times mathbb {R} ^{n},mathbb {R} ^{m})

que pega um ponto x em Rⁿ e atribui a ele um elemento do espaço de k-lineares de Rⁿ a R^m – o "melhor" (em certo sentido preciso) aproximação k-linear para f naquele ponto. Ao pré-compor com o mapa diagonal Δ, x → (x, x), uma série de Taylor generalizada pode ser iniciada como

{displaystyle {begin{aligned}f(mathbf {x})&approx f(mathbf {a})+(Df)(mathbf {x-a})+left(D^{2}fright)(Delta (mathbf {x-a}))+cdots \&=f(mathbf {a})+(Df)(mathbf {x-a})+left(D^{2}fright)(mathbf {x-a}mathbf {x-a})+cdots \&=f(mathbf {a})+sum _{i}(Df)_{i}(x_{i}-a_{i})+sum _{j,k}left(D^{2}fright)_{jk}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})+cdots end{aligned}}}

onde f(a) é identificado com uma função constante, x_i − a_i são os componentes do vetor x − a e (Df)_i e (D²f)_jk são os componentes de Df e D ²f como transformações lineares.

Generalizações

O conceito de derivada pode ser estendido para muitas outras configurações. O ponto comum é que a derivada de uma função em um ponto serve como uma aproximação linear da função naquele ponto.

Uma generalização importante do derivado diz respeito a funções complexas de variáveis complexas, como funções de (um domínio em) os números complexos $mathbb {C}$ para $mathbb {C}$ . A noção do derivado dessa função é obtida substituindo variáveis reais por variáveis complexas na definição. Se $mathbb {C}$ é identificado com $R^2$ escrevendo um número complexo $z$ como ${displaystyle x+iy}$ , então uma função diferente de $mathbb {C}$ para $mathbb {C}$ é certamente diferente como uma função de $R^2$ para $R^2$ (no sentido de que todos os seus derivados parciais existem), mas o converso não é verdadeiro em geral: o derivado complexo só existe se o derivado real é complexo linear e isso impõe relações entre os derivados parciais chamados as equações de Cauchy-Riemann – ver funções holomorfônicas.
Outra generalização diz respeito a funções entre coletores diferenciados ou lisos. Intuitivamente falando tal coletor $M$ é um espaço que pode ser aproximado perto de cada ponto $x$ por um espaço vetorial chamado seu espaço tangente: o exemplo prototípico é uma superfície lisa em $mathbb{R} ^{3}$ . O derivado (ou diferencial) de um mapa (diferenciável) $f:Mto N$ entre coletores, em um ponto $x$ em $M$ , é então um mapa linear do espaço tangente de $M$ em $x$ para o espaço tangente de $N$ em $f(x)$ . A função derivada torna-se um mapa entre os feixes tangentes de $M$ e $N$ . Esta definição é fundamental na geometria diferencial e tem muitos usos – ver pushforward (diferencial) e pullback (geometria diferencial).
A diferenciação também pode ser definida para mapas entre espaços vetoriais dimensionais infinitos, como espaços Banach e espaços Fréchet. Há uma generalização tanto do derivado direcional, chamado de derivado de Gateaux, e do diferencial, chamado de derivado de Fréchet.
Uma deficiência do derivado clássico é que muitas funções não são diferenciadas. No entanto, há uma maneira de estender a noção do derivado para que todas as funções contínuas e muitas outras funções possam ser diferenciadas usando um conceito conhecido como derivado fraco. A ideia é incorporar as funções contínuas em um espaço maior chamado o espaço de distribuições e apenas exigir que uma função seja diferente "em média".
As propriedades do derivado inspiraram a introdução e o estudo de muitos objetos semelhantes em álgebra e topologia — ver, por exemplo, álgebra diferencial.
O equivalente discreto de diferenciação é diferenças finitas. O estudo do cálculo diferencial é unificado com o cálculo de diferenças finitas no cálculo da escala do tempo.
Veja também derivado aritmético.

História

Cálculo, conhecido no início de sua história como cálculo infinitesimal, é uma disciplina matemática focada em limites, funções, derivadas, integrais e séries infinitas. Isaac Newton e Gottfried Leibniz descobriram o cálculo independentemente em meados do século XVII. No entanto, cada inventor alegou que o outro roubou seu trabalho em uma disputa acirrada que continuou até o fim de suas vidas.

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