Decimal

Valor de lugar do número no sistema decimal

O sistema de numeração decimal (também chamado de sistema de numeração posicional base dez e denário ou decanário) é o sistema padrão para denotar números inteiros e não inteiros. É a extensão para números não inteiros do sistema de numeração hindu-arábico. A maneira de denotar números no sistema decimal é muitas vezes referida como notação decimal.

Um número decimal (também frequentemente apenas decimal ou, menos corretamente, número decimal), refere-se geralmente à notação de um número em o sistema de numeração decimal. Às vezes, os decimais podem ser identificados por um separador decimal (geralmente "." ou "," como em 25.9703 ou 3,1415). Decimal também pode se referir especificamente aos dígitos após o separador decimal, como em "3.14 é a aproximação de π para duas casas decimais". Zero-dígitos após um separador decimal servem ao propósito de significar a precisão de um valor.

Os números que podem ser representados no sistema decimal são as frações decimais. Ou seja, frações da forma a/10ⁿ, onde a é um número inteiro e n é um número inteiro não negativo.

O sistema decimal foi estendido para decimais infinitos para representar qualquer número real, usando uma sequência infinita de dígitos após o separador decimal (ver representação decimal). Nesse contexto, os numerais decimais com um número finito de dígitos diferentes de zero após o separador decimal às vezes são chamados de decimais terminais. Uma dízima periódica é uma dízima infinita que, após alguma casa, repete indefinidamente a mesma sequência de dígitos (por exemplo, 5.123144144144144... = 5.123144). Um decimal infinito representa um número racional, o quociente de dois inteiros, se e somente se for um decimal periódico ou tiver um número finito de dígitos diferentes de zero.

Origem

Dez dígitos em duas mãos, a possível origem da contagem decimal

Muitos sistemas de numeração de civilizações antigas usam dez e suas potências para representar números, possivelmente porque há dez dedos em duas mãos e as pessoas começaram a contar usando os dedos. Os exemplos são primeiramente os numerais egípcios, depois os numerais Brahmi, numerais gregos, numerais hebraicos, numerais romanos e numerais chineses. Números muito grandes eram difíceis de representar nesses antigos sistemas de numeração, e apenas os melhores matemáticos eram capazes de multiplicar ou dividir números grandes. Essas dificuldades foram completamente resolvidas com a introdução do sistema de numeração indo-arábico para representar números inteiros. Este sistema foi estendido para representar alguns números não inteiros, chamados frações decimais ou números decimais, para formar o sistema de numeração decimal.

Notação decimal

Para escrever números, o sistema decimal usa dez dígitos decimais, uma marca decimal e, para números negativos, um sinal de menos "−". Os dígitos decimais são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; o separador decimal é o ponto "." em muitos países (principalmente de língua inglesa) e uma vírgula "," em outros países.

Para representar um número não negativo, um numeral decimal consiste em

• ou uma sequência (finita) de dígitos (como "2017"), onde toda a sequência representa um inteiro,

  ummumm- Sim. - Sim. 1... ... um0Não. a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}

• ou uma marca decimal que separa duas sequências de dígitos (como "20.70828")

ummumm- Sim. - Sim. 1... ... um0.b)1b)2... ... b)nNão. a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}.

Se m > 0, ou seja, se a primeira sequência contém pelo menos dois dígitos, geralmente assume-se que o primeiro dígito a_m não é zero. Em algumas circunstâncias, pode ser útil ter um ou mais 0's à esquerda; isso não altera o valor representado pelo decimal: por exemplo, 3,14 = 03,14 = 003,14. Da mesma forma, se o dígito final à direita da marca decimal for zero, ou seja, se b_n = 0—pode ser removido; inversamente, zeros à direita podem ser adicionados após a marca decimal sem alterar o número representado; por exemplo, 15 = 15,0 = 15,00 e 5,2 = 5,20 = 5,200.

Para representar um número negativo, um sinal de menos é colocado antes de a_m .

O numeral ummumm- Sim. - Sim. 1... ... um0.b)1b)2... ... b)nNão. a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}} representa o número

umm10.m+umm- Sim. - Sim. 110.m- Sim. - Sim. 1+⋯ ⋯ +um010.0+b)110.1+b)210.2+⋯ ⋯ +b)n10.nNão. a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots + {b_{n}}{10^{n}}}}.

A parte inteira ou parte integral de um numeral decimal é o inteiro escrito à esquerda do separador decimal (consulte também truncamento). Para um numeral decimal não negativo, é o maior inteiro que não é maior que o decimal. A parte do separador decimal à direita é a parte fracionária, que é igual à diferença entre o numeral e sua parte inteira.

Quando a parte inteira de um numeral é zero, pode ocorrer, normalmente em computação, que a parte inteira não seja escrita (por exemplo, .1234, em vez de 0.1234). Na escrita normal, isso geralmente é evitado, devido ao risco de confusão entre a marca decimal e outra pontuação.

Em resumo, a contribuição de cada dígito para o valor de um número depende de sua posição no numeral. Ou seja, o sistema decimal é um sistema de numeração posicional.

Frações decimais

Frações decimais (às vezes chamado) números decimais, especialmente em contextos envolvendo frações explícitas) são os números racionais que podem ser expressos como uma fração cujo denominador é um poder de dez. Por exemplo, os decimais 0,14.89,0,00079,1.618,3.141590,8.14.89,0.00079,1.618,3.14159} representar as frações 4/5, 1489/100., 79/100000, +809/500. e +314159/100000, e são, portanto, números decimais.

Em geral, um decimal com n dígitos após o separador (um ponto ou vírgula) representa a fração com denominador 10ⁿ, cujo numerador é o número inteiro obtido removendo o separador.

Segue-se que um número é uma fração decimal se e somente se tiver uma representação decimal finita.

Expresso como uma fração totalmente reduzida, os números decimais são aqueles cujo denominador é um produto de uma potência de 2 e uma potência de 5. Assim, os menores denominadores de números decimais são

1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =20) ) 50,2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =21) ) 50,4= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =22) ) 50,5= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =20) ) 51,8= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =23) ) 50,10.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =21) ) 51,16.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =24) ) 50,20.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =22) ) 51,25= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =20) ) 52,... ... Não. 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20

Aproximação do número real

Números decimais não permitem uma representação exata para todos os números reais, ex. para o número real π. No entanto, eles permitem aproximar cada número real com qualquer precisão desejada, por exemplo, o decimal 3,14159 se aproxima do real π, sendo menor que 10 ⁻⁵ de desconto; portanto, os decimais são amplamente utilizados na ciência, engenharia e na vida cotidiana.

Mais precisamente, para todo número real x e todo número inteiro positivo n, existem dois decimais L e u com no máximo n dígitos após a marca decimal de forma que L ≤ x ≤ u e (u − L) = 10⁻ⁿ.

Os números são frequentemente obtidos como resultado de medições. Como as medições estão sujeitas à incerteza de medição com um limite superior conhecido, o resultado de uma medição é bem representado por um decimal com n dígitos após o decimal marque, assim que o erro de medição absoluto for limitado de cima por 10⁻ⁿ. Na prática, os resultados de medição geralmente são fornecidos com um certo número de dígitos após o ponto decimal, que indica os limites de erro. Por exemplo, embora 0,080 e 0,08 denotem o mesmo número, o numeral decimal 0,080 sugere uma medição com erro menor que 0,001, enquanto o numeral 0,08 indica um erro absoluto limitado por 0,01. Em ambos os casos, o valor real da quantidade medida pode ser, por exemplo, 0,0803 ou 0,0796 (ver também algarismos significativos).

Expansão decimal infinita

Para um número real x e um número inteiro n ≥ 0, seja [x]_n denota o (finito) expansão decimal do maior número que não seja maior que x que tem exatamente n dígitos após a marca decimal. Deixe d_i denotar o último dígito de [ x]_i. É fácil ver que [x]_n pode ser obtido anexando d_n à direita de [x ]_n−1. Desta forma tem-se

Não.x]_n Não.x]₀.D₁D₂...D_{n- Sim.}D_n,

e a diferença de [x]_n−1 e [x]_n equivale a

<math alttext="{\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}|Não.x]n- Sim. - Sim. Não.x]n- Sim. - Sim. 1|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Dn) ) 10.- Sim. - Sim. n<10.- Sim. - Sim. n+1{\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert = 10^{-n}<10^{-n+1}}<img alt="{\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n},

que é ou 0, se D_n = 0, ou fica arbitrariamente pequeno como n tende a infinito. De acordo com a definição de um limite, x é o limite de Não.x]_n quando n tende a infinito. Isto é escrito comox= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.n→ → ∞ ∞ Não.x]n{\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}ou

x Não.x]₀.D₁D₂...D_n...,

que é chamado de expansão decimal infinita de x.

Por outro lado, para qualquer inteiro Não.x]₀ e qualquer sequência de dígitos(Dn)n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ {\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }} a expressão (infinita) Não.x]₀.D₁D₂...D_n... é um expansão decimal infinita de um número real x. Esta expansão é única se nem todos D_n são iguais a 9 nem todos D_n são iguais a 0 para n grande o suficiente (para todos n maior que algum número natural N).

Se tudo D_n para n > N igual a 9 e Não.x]_n Não.x]₀.D₁D₂...D_n, o limite da sequência(Não.x]n)n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ {\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }} é a fração decimal obtida substituindo o último dígito que não é um 9, ou seja: D_N, por D_N + 1, e substituindo todos os 9s subsequentes por 0s (ver 0.999...).

Qualquer fração decimal, ou seja: d_n = 0 para n > N, pode ser convertido em sua expansão decimal infinita equivalente substituindo d_N por d_N − 1 e substituindo todos subseqüentes 0s por 9s (ver 0,999...).

Em resumo, todo número real que não é uma fração decimal tem uma expansão decimal infinita única. Cada fração decimal tem exatamente duas expansões decimais infinitas, uma contendo apenas 0s após alguma casa, que é obtida pela definição acima de [x] _n, e o outro contendo apenas 9s após algum lugar, que é obtido definindo [x] _n como o maior número que é menor que x, tendo exatamente n dígitos após a marca decimal.

Números racionais

A divisão longa permite calcular a expansão decimal infinita de um número racional. Se o número racional for uma fração decimal, a divisão para eventualmente, produzindo um numeral decimal, que pode ser prolongado em uma expansão infinita adicionando infinitos zeros. Se o número racional não for uma fração decimal, a divisão pode continuar indefinidamente. No entanto, como todos os restos sucessivos são menores que o divisor, há apenas um número finito de restos possíveis e, após algum lugar, a mesma sequência de dígitos deve ser repetida indefinidamente no quociente. Ou seja, tem-se uma dízima periódica. Por exemplo,

1/81 = 0.012345679012... (com o grupo 012345679 repetindo indefinidamente).

O inverso também é verdadeiro: se, em algum ponto da representação decimal de um número, a mesma cadeia de dígitos começar a se repetir indefinidamente, o número é racional.

ou, dividindo o numerador e o denominador por 6, 692 /1665.

Cálculo decimal

Quadro de multiplicação mais antigo do mundo (C.305 a.C.) do período de Warring States

A maioria dos sistemas de hardware e software de computador modernos geralmente usam uma representação binária internamente (embora muitos computadores antigos, como o ENIAC ou o IBM 650, usassem a representação decimal internamente). Para uso externo por especialistas em computação, essa representação binária às vezes é apresentada nos sistemas octal ou hexadecimal relacionados.

Para a maioria dos propósitos, no entanto, os valores binários são convertidos de ou para os valores decimais equivalentes para apresentação ou entrada de humanos; programas de computador expressam literais em decimal por padrão. (123.1, por exemplo, é escrito como tal em um programa de computador, embora muitas linguagens de computador sejam incapazes de codificar esse número com precisão.)

Tanto o hardware quanto o software do computador também usam representações internas que são efetivamente decimais para armazenar valores decimais e fazer aritmética. Freqüentemente, essa aritmética é feita em dados que são codificados usando alguma variante de decimal codificado em binário, especialmente em implementações de banco de dados, mas há outras representações decimais em uso (incluindo ponto flutuante decimal, como em revisões mais recentes do padrão IEEE 754 para flutuação- Aritmética de pontos).

A aritmética décima é usada em computadores para que os resultados fracionários decimais de adicionar (ou subtrair) valores com um comprimento fixo de sua parte fracionária sejam sempre computados a este mesmo comprimento de precisão. Isso é especialmente importante para cálculos financeiros, por exemplo, exigindo em seus múltiplos inteiros de resultados da menor unidade monetária para fins de manutenção de livros. Isso não é possível em binário, porque os poderes negativos de 10.Não. não têm representação fracionada binária finita; e é geralmente impossível para a multiplicação (ou divisão). Veja aritmética de precisão arbitrária para cálculos exatos.

História

A mais antiga tabela de multiplicação decimal do mundo foi feita a partir de escorregamentos de bambu, datando de 305 a.C., durante o período dos Estados Warring na China.

Muitas culturas antigas calculavam com numerais baseados em dez, às vezes argumentados devido às mãos humanas normalmente terem dez dedos/dígitos. Pesos padronizados usados na civilização do Vale do Indo (c. 3300–1300 aC) foram baseados nas proporções : 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500, enquanto sua régua padronizada – a régua Mohenjo-daro – foi dividido em dez partes iguais. Os hieróglifos egípcios, em evidência desde cerca de 3000 aC, usavam um sistema puramente decimal, assim como os hieróglifos cretenses (c. 1625 −1500 aC) dos minóicos cujos numerais são baseados no modelo egípcio. O sistema decimal foi transmitido às culturas consecutivas da Idade do Bronze da Grécia, incluindo Linear A (c. século 18 aC-1450 aC) e Linear B (c. 1375-1200 aC) - o sistema numérico da Grécia clássica também usava potências de dez, incluindo algarismos romanos, uma base intermediária de 5. Notavelmente, o polímata Arquimedes (c. 287–212 aC) inventou um sistema posicional decimal em seu Sand Reckoner, baseado em 10⁸ e posterior levou o matemático alemão Carl Friedrich Gauss a lamentar as alturas que a ciência já teria alcançado em seus dias se Arquimedes tivesse percebido plenamente o potencial de sua engenhosa descoberta. Os hieróglifos hititas (desde o século XV aC) também eram estritamente decimais.

Alguns textos antigos não matemáticos, como os Vedas, datados de 1700–900 aC, usam decimais e frações decimais matemáticas.

Os numerais hieráticos egípcios, os numerais do alfabeto grego, os numerais do alfabeto hebraico, os numerais romanos, os numerais chineses e os primeiros numerais indianos Brahmi são todos sistemas decimais não posicionais e exigiam um grande número de símbolos. Por exemplo, os numerais egípcios usavam símbolos diferentes para 10, 20 a 90, 100, 200 a 900, 1.000, 2.000, 3.000, 4.000 e 10.000. O sistema decimal posicional mais antigo do mundo foi o cálculo de barras chinês.

O sistema decimal posicional mais antigo do mundo
Forma vertical da linha superior
Formulário horizontal de linha inferior

Histórico das frações decimais

contando a fração decimal da haste 1/7

As frações decimais foram desenvolvidas e usadas pela primeira vez pelos chineses no final do século IV aC e depois se espalharam para o Oriente Médio e de lá para a Europa. As frações decimais chinesas escritas não eram posicionais. No entanto, as frações de bastão de contagem eram posicionais.

Qin Jiushao em seu livro Tratado Matemático em Nove Seções (1247) denotou 0,96644 por

寸

, significado

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J. Lennart Berggren observa que as frações decimais posicionais aparecem pela primeira vez em um livro do matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi escrito no século X. O matemático judeu Immanuel Bonfils usou frações decimais por volta de 1350, antecipando Simon Stevin, mas não desenvolveu nenhuma notação para representá-las. O matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmou ter descoberto as frações decimais no século XV. Al Khwarizmi introduziu a fração nos países islâmicos no início do século IX; um autor chinês alegou que sua apresentação de fração era uma cópia exata da fração matemática chinesa tradicional de Sunzi Suanjing. Esta forma de fração com numerador em cima e denominador em baixo sem uma barra horizontal também foi usada por al-Uqlidisi e por al-Kāshī em seu trabalho "Chave Aritmética".

Um precursor da notação decimal européia moderna foi introduzido por Simon Stevin no século XVI.

John Napier introduziu o uso do ponto (.) para separar a parte inteira de um número decimal da parte fracionária em seu livro sobre a construção de tabelas de logaritmos, publicado postumamente em 1620.

Línguas naturais

Um método de expressar todos os números naturais possíveis usando um conjunto de dez símbolos surgiu na Índia. Várias línguas indianas mostram um sistema decimal direto. Muitas línguas indo-arianas e dravidianas têm números entre 10 e 20 expressos em um padrão regular de adição até 10.

O idioma húngaro também usa um sistema decimal direto. Todos os números entre 10 e 20 são formados regularmente (por exemplo, 11 é expresso como "tizenegy" literalmente "um em dez"), assim como aqueles entre 20 e 100 (23 como " huszonhárom" = "três em vinte").

Um sistema simples de classificação decimal com uma palavra para cada ordem (10 十, 100 百, 1000 千 , 10.000 万), e no qual 11 é expresso como dez-um e 23 como dois-dez-três, e 89.345 é expresso como 8 (dez mil) 万 9 (mil) 千 3 (cem) 百 4 (dezenas) 十 5 é encontrado em chinês e em vietnamita com algumas irregularidades. Japonês, coreano e tailandês importaram o sistema decimal chinês. Muitos outros idiomas com sistema decimal têm palavras especiais para os números entre 10 e 20 e décadas. Por exemplo, em inglês 11 é "onze" não "dez-um" ou "um adolescente".

As línguas incas, como o quíchua e o aimará, têm um sistema decimal quase direto, no qual 11 é expresso como dez com um e 23 como dois-dez com três.

Alguns psicólogos sugerem que irregularidades nos nomes dos numerais em inglês podem prejudicar a capacidade de contagem das crianças.

Outras bases

Algumas culturas usam, ou usaram, outras bases de números.

• Culturas pré-colombianas, como os maias, usavam um sistema base-20 (talvez com base no uso de todos os vinte dedos e dedos).
• A língua Yuki na Califórnia e as línguas Pamean no México têm sistemas octal (base-8) porque os falantes contam usando os espaços entre os dedos em vez dos próprios dedos.
• A existência de uma base não-decimal nos primeiros traços das línguas germânicas é atestada pela presença de palavras e glosses significando que a contagem está em decimal (cognados para "dez-conta" ou "sensível"); tal seria esperado se a contagem normal não é decimal, e incomum se fosse. Onde este sistema de contagem é conhecido, é baseado no "longocento" = 120, e um "longo mil" de 1200. As descrições como "longo" só aparecem após as "pequenas centenas" de 100 apareceram com os cristãos. Gordon's Introduction to Old Norse Arquivado em 2016-04-15 no Wayback Machine p. 293, dá nomes de números que pertencem a este sistema. Uma expressão conhaque para cem e oitenta traduz-se para 200, e o cognato para "duascentas" traduz-se para 240. A Goodare detalha o uso das centenas longas na Escócia na Idade Média, dando exemplos como cálculos onde o transporte implica i C (ou seja, cem) como 120, etc. Que a população geral não estava alarmada para encontrar tais números sugere uso comum suficiente. Também é possível evitar números como cem usando unidades intermediárias, tais como pedras e libras, em vez de uma longa contagem de libras. Goodare dá exemplos de números como a pontuação vii, onde se evita as centenas usando pontuações estendidas. Há também um artigo de W.H. Stevenson, em 'Long Hundred e seus usos na Inglaterra'.
• Muitas ou todas as línguas Chumashan originalmente usaram um sistema de contagem base-4, no qual os nomes para números foram estruturados de acordo com múltiplos de 4 e 16.
• Muitas línguas usam sistemas de números quinários (base-5), incluindo Gumatj, Nunggubuyu, Kuurn Kopan Noot e Saraveca. Destes, Gumatj é a única verdadeira linguagem de 5–25 conhecida, na qual 25 é o grupo maior de 5.
• Alguns nigerianos usam sistemas duodecimais. Assim como algumas pequenas comunidades na Índia e no Nepal, como indicado por suas línguas.
• A língua huli da Papua-Nova Guiné tem números base-15. Ngui significa 15, Ngui ki significa 15 × 2 = 30, e ngui ngui significa 15 × 15 = 225.
• Umbu-Ungu, também conhecido como Kakoli, é relatado ter números base-24. Tokapu significa 24, Tokapu talu significa 24 × 2 = 48, e Tokapu tokapu significa 24 × 24 = 576.
• Ngiti é relatado para ter um sistema de números base-32 com ciclos base-4.
• A língua Ndom de Papua Nova Guiné é relatada ter námeros base-6. Mer. significa 6, me thef significa 6 × 2 = 12, Não. significa 36, e nif thef significa 36×2 = 72.