Crescimento exponencial

crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Ocorre quando a taxa de mudança instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade. Descrito como uma função, uma quantidade em crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como o crescimento quadrático). O crescimento exponencial é o inverso do crescimento logarítmico.

Se a constante de proporcionalidade for negativa, a quantidade diminui ao longo do tempo e diz -se que está passando por deterioração exponencial. No caso de um domínio discreto de definição com intervalos iguais, também é chamado de crescimento geométrico ou decaimento geométrico , pois os valores da função formam uma progressão geométrica.

A fórmula para o crescimento exponencial de uma variável x na taxa de crescimento r , como tempo t continua em intervalos discretos (ou seja, em tempos inteiros 0, 1, 2, 3, ...), é

$$Não. x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}$$

onde x 0 é o valor de x no tempo 0. O crescimento de uma colônia bacteriana é frequentemente usado para ilustrá -lo. Uma bactéria se divide em dois, cada um dos quais se divide, resultando em quatro, depois oito, 16, 32 e assim por diante. A quantidade de aumento continua aumentando porque é proporcional ao número cada vez maior de bactérias. O crescimento como esse é observado na atividade ou fenômenos da vida real, como a disseminação da infecção por vírus, o crescimento da dívida devido a juros compostos e à propagação de vídeos virais. Em casos reais, o crescimento exponencial inicial geralmente não dura para sempre, em vez de desacelerar eventualmente devido aos limites superiores causados por fatores externos e se transformar em crescimento logístico.

termos como " crescimento exponencial " às vezes são interpretados incorretamente como um rápido crescimento " De fato, algo que cresce exponencialmente pode de fato crescer lentamente a princípio.

• O número de microrganismos em uma cultura aumentará exponencialmente até que um nutriente essencial seja esgotado, de modo que não haja mais desse nutriente para que mais organismos cresçam. Tipicamente, o primeiro organismo se divide em dois organismos filhas, que então cada um se divide para formar quatro, que se dividem para formar oito, e assim por diante. Como o crescimento exponencial indica taxa de crescimento constante, é frequentemente assumido que as células exponencialmente crescentes estão em um estado constante. No entanto, as células podem crescer exponencialmente a uma taxa constante ao remodelar seu metabolismo e expressão genética.
• Um vírus (por exemplo COVID-19, ou varíola) normalmente se espalhará exponencialmente no início, se nenhuma imunização artificial estiver disponível. Cada pessoa infectada pode infectar várias novas pessoas.

• Avalanche colapso dentro de um material dielétrico. Um elétron livre torna-se suficientemente acelerado por um campo elétrico aplicado externamente que libera elétrons adicionais à medida que colide com átomos ou moléculas dos meios dielétricos. Estas são as seguintes: secundário os elétrons também são acelerados, criando um número maior de elétrons livres. O crescimento exponencial resultante de elétrons e íons pode rapidamente levar à ruptura dielétrica completa do material.
• Reação da cadeia nuclear (o conceito por trás dos reatores nucleares e das armas nucleares). Cada núcleo de urânio que sofre fissão produz vários nêutrons, cada um dos quais pode ser absorvido por átomos de urânio adjacentes, causando-os à fissão por sua vez. Se a probabilidade de absorção de nêutrons exceder a probabilidade de fuga de nêutrons (uma função da forma e massa do urânio), a taxa de produção de nêutrons e fissões de urânio induzido aumenta exponencialmente, em uma reação descontrolada. "Devido à taxa exponencial de aumento, em qualquer ponto da reação em cadeia 99% da energia terá sido liberada nas últimas 4.6 gerações. É uma aproximação razoável pensar nas primeiras 53 gerações como um período de latência que leva à explosão real, que leva apenas 3-4 gerações."
• O feedback positivo dentro da gama linear de amplificação elétrica ou eletroacústica pode resultar no crescimento exponencial do sinal amplificado, embora os efeitos de ressonância podem favorecer algumas frequências componentes do sinal sobre outros.

• O crescimento económico é expresso em termos percentuais, implicando crescimento exponencial.

• O interesse composto por uma taxa de juro constante proporciona um crescimento exponencial do capital. Veja também a regra de 72.
• Os esquemas de pirâmide ou esquemas de Ponzi também mostram este tipo de crescimento, resultando em altos lucros para alguns investidores iniciais e perdas entre um grande número de investidores.

• Poder de processamento de computadores. Veja também a lei de Moore e a singularidade tecnológica. (No crescimento exponencial, não há singularidades. A singularidade aqui é uma metáfora, destinada a transmitir um futuro inimaginável. A ligação deste conceito hipotético com crescimento exponencial é mais vocalmente feita pelo futurista Ray Kurzweil.)
• Na teoria da complexidade computacional, algoritmos de computador de complexidade exponencial exigem uma quantidade exponencialmente crescente de recursos (por exemplo, tempo, memória de computador) para apenas um aumento constante do tamanho do problema. Então para um algoritmo de complexidade do tempo 2^x, se um problema de tamanho x = 10 requer 10 segundos para completar, e um problema de tamanho x = 11 requer 20 segundos, então um problema de tamanho x = 12 vai exigir 40 segundos. Este tipo de algoritmo geralmente se torna inutilizável em tamanhos de problema muito pequenos, muitas vezes entre 30 e 100 itens (a maioria dos algoritmos de computador precisa ser capaz de resolver problemas muito maiores, até dezenas de milhares ou mesmo milhões de itens em momentos razoáveis, algo que seria fisicamente impossível com um algoritmo exponencial). Além disso, os efeitos da Lei de Moore não ajudam a situação muito porque duplicar a velocidade do processador apenas aumenta o tamanho do problema viável por uma constante. Por exemplo, se um processador lento pode resolver problemas de tamanho x em tempo ), então um processador duas vezes mais rápido só poderia resolver problemas de tamanho x + constante ao mesmo tempo ). Então algoritmos exponencialmente complexos são mais frequentemente impraticáveis, e a busca por algoritmos mais eficientes é um dos objetivos centrais da ciência da computação hoje.

• O conteúdo da Internet, como memes de internet ou vídeos, pode se espalhar de uma forma exponencial, muitas vezes disse para "ir viral" como uma analogia à propagação de vírus. Com mídias como redes sociais, uma pessoa pode encaminhar o mesmo conteúdo para muitas pessoas simultaneamente, que, em seguida, espalhou para ainda mais pessoas, e assim por diante, causando spread rápido. Por exemplo, o vídeo Gangnam Style foi carregado no YouTube em 15 de julho de 2012, alcançando centenas de milhares de espectadores no primeiro dia, milhões no vigésimo dia, e foi cumulativamente visto por centenas de milhões em menos de dois meses.

Uma quantidade x depende exponencialmente do tempo ) se $${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }}$$onde a constante um é o valor inicial de x, $$(0)=a\,}$$ a constante b) é um fator de crescimento positivo, e ? é o tempo constante - o tempo necessário para x aumentar por um fator de b): $${\displaystyle x(t+\tau)=a\cdot b^{\frac {t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\cdot b^{\frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b\,.}$$

se τ & gt; 0 e b & gt; 1 , então x tem um crescimento exponencial. Se τ & lt; 0 e b & gt; 1 ou τ & gt; 0 e 0 & lt; b & lt; 1 , então x tem decaimento exponencial.

Exemplo: Se uma espécie de bactérias dobrar a cada dez minutos, começando com apenas uma bactéria, quantas bactérias estariam presentes após uma hora? A pergunta implica a = 1 , b = 2 e τ = 10 min .

$${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}}$$$${\displaystyle x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.}$$

Após uma hora, ou seis intervalos de dez minutos, haveria sessenta e quatro bactérias.

Muitos pares ( b , τ ) de um número não negativo sem dimensão b e uma quantidade de tempo τ (uma quantidade física que pode ser expressa como o produto de Várias unidades e uma unidade de tempo) representam a mesma taxa de crescimento, com τ proporcional a log B . Para qualquer b não é igual a 1 (por exemplo, e ou 2), a taxa de crescimento é dada pelo não zero horário τ . Para qualquer tempo diferente de zero τ A taxa de crescimento é dada pelo número positivo sem dimensão b .

Assim, a lei do crescimento exponencial pode ser escrita em formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente. As formas mais comuns são as seguintes: $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},}$$Onde? x₀ expressa a quantidade inicial x(0).

parâmetros (negativo no caso de decaimento exponencial):

• O crescimento constante k é a frequência (número de vezes por unidade de tempo) de crescimento por um fator e; em finanças também é chamado de retorno logarítmico, retorno continuamente agravado, ou força de interesse.
• O e-folding time ? é o tempo necessário para crescer por um fator e.
• O tempo de duplicação T é o tempo necessário para dobrar.
• O aumento de porcentagem R (um número sem dimensão) num período p.

As quantidades k, ?e Te para um dado p também R, tem uma conexão one-to-one dada pela seguinte equação (que pode ser derivada tomando o logaritmo natural do acima): $$- Sim. Não. - Sim. 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$$Onde? k = 0 corresponde a R = 0 e a ? e T ser infinito.

se p é a unidade do tempo o quociente t / p é simplesmente o número de unidades de tempo. Usando a notação t para o número (sem dimensão) de unidades de tempo em vez do próprio tempo, t / p pode ser substituído por t , mas para uniformidade isso foi evitado aqui. Nesse caso, a divisão por p na última fórmula também não é uma divisão numérica, mas converte um número sem dimensão na quantidade correta, incluindo unidade.

Um método aproximado popular para calcular o tempo de duplicação da taxa de crescimento é a regra de 70, Isso é, $Não. T\simeq 70/r}$.

Gráficos comparando tempos de duplicação e meia vida de crescimentos exponenciais (linhas de corte) e decadência (linhas íngremes) e seus 70/) e 72/) aproximações. Na versão SVG, pairar sobre um gráfico para realizá-lo e seu complemento.

Se uma variável x exposições crescimento exponencial de acordo com ${\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}}$, então o log (para qualquer base) de x cresce linearmente ao longo do tempo, como pode ser visto tomando logaritmos de ambos os lados da equação de crescimento exponencial: $${\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r). ?$$

Isso permite que uma variável de crescimento exponencial seja modelada com um modelo log-linear. Por exemplo, se deseja estimar empiricamente a taxa de crescimento dos dados intertemporais em x , pode-se relembrar linearmente log x em t .

A função exponencial ${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}}$ satisfaz a equação diferencial linear: $$- Sim.$$dizendo que a mudança por instante de tempo de x no momento ) é proporcional ao valor de x())e x()) tem o valor inicial $(0)=x_{0}}$.

A equação diferencial é resolvida pela integração direta: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\[5pt]\n$$assim $${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}.}$$

Na equação diferencial acima, se k & lt; 0 , então a quantidade experimenta decaimento exponencial.

Para uma variação não linear desse modelo de crescimento, consulte a função logística.

A longo prazo, o crescimento exponencial de qualquer tipo vai ultrapassar o crescimento linear de qualquer tipo (que é a base da catástrofe malthusiana) bem como qualquer crescimento polinomial, isto é, para todos α: $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.}$$

Há uma hierarquia inteira de taxas de crescimento concebíveis que são mais lentas que exponenciais e mais rápidas que lineares (a longo prazo). Consulte o grau de um § polinômio calculado a partir dos valores da função.

As taxas de crescimento também podem ser mais rápidas do que exponencial. No caso mais extremo, quando o crescimento aumenta sem limites em tempo finito, é chamado de crescimento hiperbólico. Entre o crescimento exponencial e hiperbólico estão mais classes de comportamento de crescimento, como as hiperoperações que começam na tetração, e $A(n,n)}$, a diagonal da função Ackermann.

Na realidade, o crescimento exponencial inicial geralmente não é sustentado para sempre. Após algum período, será retardado por fatores externos ou ambientais. Por exemplo, o crescimento da população pode atingir um limite superior devido a limitações de recursos. Em 1845, o matemático belga Pierre François Verhulst propôs primeiro um modelo matemático de crescimento como esse, chamado de crescimento logístico ".

Modelos de crescimento exponencial de fenômenos físicos se aplicam apenas em regiões limitadas, pois o crescimento ilimitado não é fisicamente realista. Embora o crescimento possa ser inicialmente exponencial, os fenômenos modelados acabarão entrando em uma região na qual os fatores de feedback negativo anteriormente ignorados se tornam significativos (levando a um modelo de crescimento logístico) ou outras suposições subjacentes do modelo de crescimento exponencial, como continuidade ou feedback instantâneo, interrupção abaixo.

Estudos mostram que os seres humanos têm dificuldade em entender o crescimento exponencial. O viés de crescimento exponencial é a tendência de subestimar os processos de crescimento compostos. Esse viés também pode ter implicações financeiras.

De acordo com a lenda, Vizier Sissa Ben Dahir apresentou um rei indiano Sharim com um belo quadro de xadrez artesanal. O rei perguntou o que ele gostaria em troca de seu presente e o cortesão surpreendeu o rei pedindo um grão de arroz na primeira praça, dois grãos no segundo, quatro grãos no terceiro e assim por diante. O rei concordou prontamente e pediu que o arroz fosse trazido. Tudo correu bem no começo, mas o requisito para 2 n −1 grãos no

a segunda metade do quadro de xadrez " Refere -se ao momento em que uma influência exponencialmente crescente é ter um impacto econômico significativo na estratégia de negócios geral da organização.

As crianças francesas recebem um enigma, que parece ser um aspecto do crescimento exponencial: " a aparente repentina com a qual uma quantidade exponencialmente cresce se aproxima de um limite fixo " O enigma imagina uma planta de lírio de água crescendo em um lago. A planta dobra de tamanho todos os dias e, se deixada sozinha, sufocaria a lagoa em 30 dias matando todos os outros seres vivos na água. Dia após dia, o crescimento da planta é pequeno, por isso é decidido que não será uma preocupação até cobrir metade da lagoa. Em que dia isso será? O 29º dia, saindo apenas um dia para salvar a lagoa.

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