Constante gravitacional

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Valor do $G$	Unidade
6.67430(15)×10.^{- Sim.}	Não.²< < < )^-2
6.67430(15)×10.^-8	Adicionar ao cesto²⋅g^-2
4.3009172706(3)×10.^-3	O que é isso?^{- Sim.}⋅(km/s)²

A constante gravitacional $G$ é uma quantidade fundamental na lei de Newton de gravitação universal.

A constante gravitacional é uma constante física empírica envolvida no cálculo dos efeitos gravitacionais na Lei de Gravitação Universal e na teoria da relatividade geral de Albert Einstein. Também é conhecido como constante gravitacional universal , a constante newtoniana de gravitação ou a Constant Gravitacional , indicada pela letra maiúscula $g$ .

Na lei de Newton, é a constante de proporcionalidade que conecta a força gravitacional entre dois corpos com o produto de suas massas e o quadrado inverso de sua distância. Nas equações de campo de Einstein, ele quantifica a relação entre a geometria do espaço -tempo e o tensor de energia -no momento (também chamado de tensor de tensão -energia).

O valor medido da constante é conhecido com alguma certeza de quatro dígitos significativos. Nas unidades SI, seu valor é aproximadamente 6.6743 × 10 −11 n⋅m 2 /kg 2 .

A notação moderna da lei de Newton envolvendo $g$ foi introduzida na década de 1890 por C. V. Boys. A primeira medição implícita com precisão em cerca de 1% é atribuída a Henry Cavendish em um experimento de 1798.

Definição

De acordo com a lei de Newton da gravitação universal, a magnitude da força atraente ( $F$ ) entre dois corpos cada um com uma distribuição de densidade esférica simétrica é diretamente proporcional ao produto de suas massas, $m 1$ e $m 2$ , e inversamente proporcional ao quadrado da distância, $R$ , dirigido ao longo da linha que liga seus centros de massa: $F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}}}}$ A constante da proporcionalidade, $G$ , nesta formulação não-relativista é a constante gravitacional. Colóquio, a constante gravitacional também é chamada de "Big G", distinta de "pequeno g" ( $g$ ), que é o campo gravitacional local da Terra (equivalente à aceleração da queda livre). Onde? $Não. M_{\oplus )$ é a massa da Terra e $r_{\oplus }$ é o raio da Terra, as duas quantidades estão relacionadas por: $g=G{\frac {M_{\oplus }}{r_{\oplus }^{2}}}$

A constante gravitacional aparece nas equações de campo de Einstein da relatividade geral, $Não. G_{\mu \nu }+\ Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,}$ Onde? $G μν$ é o tensor de Einstein (não a constante gravitacional apesar do uso de $G$ ), $:$ é a constante cosmológica, $g μν$ é o tensor métrico, $T μν$ é o tensor estresse-energia, e $κ$ é a constante gravitacional de Einstein, uma constante originalmente introduzida por Einstein que está diretamente relacionada à constante Newtoniana da gravitação: $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.076647(46)\times 10^{-43}\mathrm {\,N^{-1}}$

valor e incerteza

A constante gravitacional é uma constante física difícil de medir com alta precisão. Isso ocorre porque a força gravitacional é uma força extremamente fraca em comparação com outras forças fundamentais na escala laboratorial.

Nas unidades SI, o valor recomendado pelo codata da constante gravitacional é:

Não. G.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 6.67430(15)×10.^{- Sim.} m³< < < )^{- Sim.}⋅s^-2

A incerteza padrão relativa é 2.2 × 10 −5 .

Unidades naturais

Devido ao seu uso como uma constante definidora em alguns sistemas de unidades naturais, particularmente sistemas de unidades geometrizadas, como unidades Planck e unidades Stoney, o valor da constante gravitacional geralmente terá um valor numérico de 1 ou um valor próximo a ele quando expresso em termos dessas unidades. Devido à incerteza significativa no valor medido de g em termos de outras constantes fundamentais conhecidas, um nível semelhante de incerteza aparecerá no valor de muitas quantidades quando expresso em um sistema unitário.

mecânica orbital

Em astrofísica, é conveniente medir distâncias em parsecs (pc), velocidades em quilômetros por segundo (km/s) e massas em unidades solares $M ⊙$ . Nestas unidades, a constante gravitacional é: $G\approx 4.3009\times 10^{-3}\ {\mathrm {pc{\cdot }(km/s)^{2}} \,M_{\odot }}^{-1}.$ Para situações em que as marés são importantes, as escalas de comprimento relevantes são radii solar em vez de parsecs. Nestas unidades, a constante gravitacional é: $G\approx 1.90809\times 10^{5}\mathrm {\ (km/s)^{2}} \,R_{\odot }M_{\odot }^{-1$ Na mecânica orbital, o período $P$ de um objeto em órbita circular em torno de um objeto esférico obedece $GM={\frac {3\pi} V}{P^{2}}},$ Onde? $V$ é o volume dentro do raio da órbita. Daqui resulta que

Não. P^{2}={\frac {3\pi} ? {V}{M}}\approx 10.896\,\mathrm {h^{2}{\cdot }g{\cdot }cm^{-3}\,} {\frac Não.

dessa maneira de expressar $g$ mostra a relação entre a densidade média de um planeta e o período de um satélite orbitando logo acima de sua superfície.

Para órbitas elípticas, aplicando a 3ª lei de Kepler, expressa em unidades características da órbita da Terra:

G=4\pi ^{2}\mathrm {\ AU^{3}{\cdot }yr^{-2}} \ M^{-1}\approx 39.478\mathrm {\ AU^{3}{\cdot }yr^{-2}} M_{\odot }^{-1},

Onde a distância é medida em termos do eixo semi-major da órbita da Terra (unidade astronômica, AU), tempo em anos e massa na massa total do sistema orbitador ( $m = m ☉ + m e + m ☾$ ).

A equação acima é exata apenas dentro da aproximação da órbita da Terra ao redor do Sol como um problema de dois corpos na mecânica newtoniana, as quantidades medidas contêm correções das perturbações de outros órgãos no sistema solar e a partir de relatividade geral.

De 1964 a 2012, no entanto, foi usado como definição da unidade astronômica e, portanto, realizada por definição: $Não. 1\ \mathrm {AU} =\left({\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\mathrm {yr} ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.495979\times 10^{11}\ \mathrm {m}.}$ Desde 2012, a UA é definida como 1.400978707×10.¹¹ m exatamente, e a equação não pode mais ser tomada como segurando precisamente.

a quantidade $gm$ - o produto da constante gravitacional e a massa de um determinado corpo astronômico como o sol ou a terra - é conhecido como O parâmetro gravitacional padrão (também denotado $μ$ ). O parâmetro gravitacional padrão $gm$ aparece como acima na lei de gravitação universal de Newton, bem como em fórmulas para a deflexão da luz causada por lente gravitacional, nas leis do movimento planetário de Kepler e na fórmula para a velocidade de fuga.

Essa quantidade fornece uma simplificação conveniente de várias fórmulas relacionadas à gravidade. O produto $gm$ é conhecido com muito mais precisão do que qualquer um dos fatores.

Valores para GM
Corpo	$μ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = GM$	Valor	incerteza relativa
Sol	$G M ?$	1.3.2712440018.(8)×10.^20. m³⋅s^-2	6×10.^{- Sim.}
Terra	$G M E$	3.986004418(8)×10.¹⁴ m³⋅s^-2	2×10.^-9

cálculos na mecânica celestial também podem ser realizados usando as unidades de massas solares, dias médios solares e unidades astronômicas em vez de unidades SI padrão. Para esse fim, a constante gravitacional gaussiana estava historicamente em uso generalizado, $k = 0.017 20209895$ radianos por dia , expressando a velocidade angular média do sistema solar-terra. O uso dessa constante, e a definição implícita da unidade astronômica discutida acima, foi obtida pela IAU desde 2012.

História da medição

História inicial

A existência da constante está implícita na lei de gravitação universal de Newton, conforme publicado na década de 1680 (embora sua notação como $g$ datas da década de 1890), mas não é calculado em sua filophophiæ naturalis Principia Mathematica , onde postula a lei da gravitação no quadrado inverso. No Principia , Newton considerou a possibilidade de medir a força da gravidade, medindo a deflexão de um pêndulo nas proximidades de uma grande colina, mas achou que o efeito seria pequeno demais para ser mensurável . No entanto, ele teve a oportunidade de estimar a ordem de magnitude da constante quando supôs que a densidade média da Terra pode ser cinco ou seis vezes maior que a densidade da água ", que é equivalente a Uma constante gravitacional da ordem:

G

? (6.7±0,6)×10.^{- Sim.} m³< < < )^{- Sim.}⋅s^-2

Uma medição foi tentada em 1738 por Pierre Bouguer e Charles Marie de la Condamine em sua expedição peruana ". Bouguer subestimou o significado de seus resultados em 1740, sugerindo que o experimento havia provado pelo menos que a Terra não poderia ser uma concha oca, como sugeriram alguns pensadores do dia, incluindo Edmond Halley.

O experimento de Schiehallion, proposto em 1772 e concluído em 1776, foi a primeira medição bem sucedida da densidade média da Terra e, portanto, indiretamente da constante gravitacional. O resultado relatado por Charles Hutton (1778) sugeriu uma densidade de 4.5 g/cm³ (4+1/2 vezes a densidade da água), cerca de 20% abaixo do valor moderno. Isso imediatamente levou a estimativas sobre as densidades e massas do Sol, da Lua e dos planetas, enviadas por Hutton a Jérôme Lalande para inclusão em suas mesas planetárias. Como discutido acima, estabelecer a densidade média da Terra é equivalente a medir a constante gravitacional, dada o raio médio da Terra e a aceleração gravitacional média na superfície da Terra, estabelecendo $Não. G=g{\frac (R_ }^{2}}{M_{\oplus } } } } } } } } } } } } } } } } R_{\oplus }\rho _{\oplus }}}}$ Com base nisso, o resultado de 1778 de Hutton é equivalente a $G ? 8 \times 10. - Sim. m 3 < < < ) - Sim. \cdots -2$ .

A primeira medição direta da atração gravitacional entre dois corpos no laboratório foi realizada em 1798, setenta e um anos após a morte de Newton, por Henry Cavendish. Ele determinou um valor para $g$ implicitamente, usando um equilíbrio de torção inventado pelo geólogo Rev. John Michell (1753). Ele usou um feixe de torção horizontal com bolas de chumbo cuja inércia (em relação à constante de torção) que ele podia dizer, cronometrando a oscilação do feixe. Sua fraca atração por outras bolas colocadas ao lado do feixe foi detectável pela deflexão que causou. Apesar do projeto experimental devido a Michell, o experimento agora é conhecido como o experimento Cavendish por sua primeira execução bem -sucedida pela Cavendish.

O objetivo declarado de Cavendish foi a pesagem da terra da terra, ou seja, determinando a densidade média da terra e a massa da Terra. Seu resultado,

ρ 🜨 < /span>5.448(33) g\cdotcm -3

corresponde ao valor de

g = < span class = "nowrap"> 6,74 (4) \times 10 -11 m 3 \cdotkg -1 \cdots -2

< /span>. É surpreendentemente preciso, cerca de 1% acima do valor moderno (comparável à incerteza padrão relativa reivindicada de 0,6%).

século XIX

A precisão do valor medido de $g$ aumentou apenas modestamente desde o experimento original de Cavendish. $g$ é bastante difícil de medir porque a gravidade é muito mais fraca do que outras forças fundamentais, e um aparelho experimental não pode ser separado da influência gravitacional de outros corpos.

As medições com pêndulos foram feitas por Francesco Carlini (1821, 4,39 g/cm 3 ), Edward Sabine (1827, 4,77 g/cm 3 < /span>), Carlo Ignazio Giulio (1841, 4,95 g/cm 3 ) e George Biddell Airy (1854, 6,6 g/cm 3 ).

O experimento de Cavendish foi repetido pela primeira vez por Ferdinand Reich (1838, 1842, 1853), que encontrou um valor de < /span>5.5832(149) G⋅CM −3 , que é realmente pior que o resultado de Cavendish, diferindo do valor moderno em 1,5%. Cornu e Baille (1873), encontrados 5.56 g⋅cm −3 .

O experimento de Cavendish provou resultar em medições mais confiáveis do que os experimentos de pêndulo do Schiehallion " (Deflexão) Tipo ou " Peruviano " (período em função da altitude) Tipo. As experiências de pêndulo ainda continuaram sendo realizadas, por Robert von Sterneck (1883, resultados entre 5.0 e 6.3 g/cm 3 ) e Thomas Corwin Mendenhall (1880, 5.77 g/cm 3 ).

O resultado

de Cavendish foi melhorado pela primeira vez por John Henry Poynting (1891), que publicou um valor de 5.49 (3) G⋅CM −3 , diferindo do valor moderno em 0,2%, mas compatível com o valor moderno dentro da incerteza padrão relativa citada de 0,55%. Além de Poynting, as medidas foram feitas por C. V. Boys (1895) e Carl Braun (1897), com resultados compatíveis sugerindo $g$ = 6.66 (1) × 10 −11 m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 . A notação moderna envolvendo a constante $g$ foi introduzida por meninos em 1894 e se torna padrão no final da década de 1890, com valores geralmente citados no sistema CGS . Richarz e Krigar-Menzel (1898) tentaram uma repetição do experimento Cavendish usando 100.000 kg de chumbo para a massa atraente. A precisão do resultado de 6.683 (11) × 10 −11 m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 era, no entanto, da mesma ordem de magnitude que os outros resultados na época.

Arthur Stanley Mackenzie em As leis da gravitação (1899) revisam o trabalho realizado no século XIX. Poynting é o autor do artigo " gravitação " na Encyclopædia Britannica Décima Primeira edição (1911). Aqui, ele cita um valor de $g$ = < /span>6.66