Conjunto nulo

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Conjunto mensurável cuja medida é zero

O triângulo Sierpiński é um exemplo de um conjunto nulo de pontos em

mathbb {R} ^{2}

Na análise matemática, um conjunto nulo é um conjunto mensurável Lebesgue de números reais que tem medida zero. Isso pode ser caracterizado como um conjunto que pode ser coberto por uma união contável de intervalos de comprimento total arbitrariamente pequeno.

A noção de conjunto nulo não deve ser confundida com o conjunto vazio conforme definido na teoria dos conjuntos. Embora o conjunto vazio tenha medida de Lebesgue zero, também existem conjuntos não vazios que são nulos. Por exemplo, qualquer conjunto contável não vazio de números reais tem medida de Lebesgue zero e, portanto, é nulo.

Mais geralmente, em um determinado espaço de medida ${displaystyle M=(X,Sigmamu)}$ um conjunto nulo é um conjunto ${displaystyle Sin Sigma }$ tal que ${displaystyle mu (S)=0.}$

Exemplos

Todo subconjunto finito ou infinito contável dos números reais é um conjunto nulo. Por exemplo, o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números racionais são ambos contavelmente infinitos e, portanto, são conjuntos nulos quando considerados como subconjuntos dos números reais.

O conjunto de Cantor é um exemplo de conjunto nulo incontável.

Definição

Suponha $A$ é um subconjunto da linha real $mathbb{R}$ tal que para cada $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ existe uma sequência ${displaystyle U_{1},U_{2},ldots }$ de intervalos abertos (quando intervalo ${displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})subseteq mathbb {R} }$ tem comprimento ${displaystyle operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$ ) tal que

<math alttext="{displaystyle Asubseteq bigcup _{n=1}^{infty }U_{n} ~{textrm {and}}~ sum _{n=1}^{infty }operatorname {length} (U_{n})A⊆ ⊆ ⋃ ⋃ n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ UneGerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ comprimento⁡ ⁡ (Un)<ε ε ,Não. Asubseteq bigcup _{n=1}^{infty }U_{n} ~{textrm {and}}~ sum _{n=1}^{infty }operatorname {length} (U_{n})<varepsilon ,}<img alt="{displaystyle Asubseteq bigcup _{n=1}^{infty }U_{n} ~{textrm {and}}~ sum _{n=1}^{infty }operatorname {length} (U_{n})

A

Na terminologia da análise matemática, esta definição exige que haja uma sequência de capas abertas de $A$ para o qual o limite dos comprimentos das coberturas é zero.

Propriedades

O conjunto vazio é sempre um conjunto nulo. Mais geralmente, qualquer união contável de conjuntos nulos é nulo. Qualquer subconjunto de um conjunto nulo é em si um conjunto nulo. Juntos, esses fatos mostram que o $m$ - conjuntos nulos de $X$ formar um sigma-ideal em $X.$ Da mesma forma, o mensurável $m$ -null define formar um sigma-ideal da sigma-algebra de conjuntos mensuráveis. Assim, conjuntos nulos podem ser interpretados como conjuntos negligenciáveis, definindo uma noção de quase todos os lugares.

Medida de Lebesgue

A medida de Lebesgue é a forma padrão de atribuir comprimento, área ou volume a subconjuntos do espaço euclidiano.

Um subconjunto $N$ de $mathbb{R}$ tem medida Lebesgue nulo e é considerado um nulo definido em $mathbb{R}$ se e somente se:

Dado qualquer número positivo

{displaystyle varepsilon}

há uma sequência

{displaystyle I_{1},I_{2},ldots }

de intervalos em

mathbb{R}

tal que

N

está contido na união da

{displaystyle I_{1},I_{2},ldots }

e o comprimento total da união é menor do que

{displaystyle varepsilon.}

Esta condição pode ser generalizada para ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ usando $n$ -cubos em vez de intervalos. Na verdade, a ideia pode ser feita para fazer sentido em qualquer variedade, mesmo que não haja nenhuma medida de Lebesgue lá.

Por exemplo:

Com respeito a ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ todos os conjuntos de singleton são nulos, e, portanto, todos os conjuntos contáveis são nulos. Em particular, o conjunto $mathbb {Q}$ de números racionais é um conjunto nulo, apesar de ser denso em ${displaystyle mathbb {R}.}$
A construção padrão do conjunto Cantor é um exemplo de um conjunto incontável nulo ${displaystyle mathbb {R};}$ Contudo outras construções são possíveis que atribuir o Cantor definir qualquer medida.
Todos os subconjuntos de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ cuja dimensão é menor do que $n$ ter null Lebesgue medida em ${displaystyle mathbb {R} ^{n}.}$ Por exemplo, linhas retas ou círculos são conjuntos nulos em ${displaystyle mathbb {R} ^{2}.}$
Lemma de Sard: o conjunto de valores críticos de uma função lisa tem medida zero.

Se $lambda$ é medida de Lebesgue para $mathbb{R}$ e π é medida de Lebesgue para ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ , então a medida do produto ${displaystyle lambda times lambda =pi.}$ Em termos de conjuntos nulos, a seguinte equivalência foi modelada como teorema de Fubini:

Para ${displaystyle Asubset mathbb {R} ^{2}}$ e ${displaystyle A_{x}={y:(x,y)in A},}$ $0right}right)=0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">D D (A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0⟺ ⟺ λ λ ((x:λ λ (Ax)>0?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle pi (A)=0iff lambda left(left{x:lambda left(A_{x}right)>0right}right)=0.}0right}right)=0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d3ba9de691ddc1f1f179b5ee0ca1dab1512985" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.822ex; height:2.843ex;"/>$

Usos

Conjuntos nulos desempenham um papel fundamental na definição da integral Lebesgue: se funções $f$ e $g$ são iguais, exceto em um conjunto nulo, então $f$ é integrador se e somente se $g$ é, e suas integrais são iguais. Isso motiva a definição formal de $L^{p}$ espaços como conjuntos de classes de equivalência de funções que diferem apenas em conjuntos nulos.

Uma medida na qual todos os subconjuntos de conjuntos nulos são mensuráveis é completa. Qualquer medida não completa pode ser completada para formar uma medida completa afirmando que subconjuntos de conjuntos nulos têm medida zero. A medida de Lebesgue é um exemplo de medida completa; em algumas construções, define-se como a conclusão de uma medida de Borel não completa.

Um subconjunto do conjunto de Cantor que não é mensurável por Borel

A medida Borel não está completa. Uma construção simples é começar com o conjunto Cantor padrão $K,$ que é fechado, portanto, Borel mensurável, e que tem medida zero, e encontrar um subconjunto $F$ de $K$ que não é Borel mensurável. (Desde que a medida de Lebesgue esteja completa, esta $F$ é claro que Lebesgue mensurável.)

Primeiro, temos de saber que cada conjunto de medidas positivas contém um subconjunto não mensurável. Vamos. $f$ ser a função Cantor, uma função contínua que é localmente constante em ${displaystyle K^{c},}$ e monotonicamente aumentando em ${displaystyle [0,1],}$ com $f(0)=0$ e ${displaystyle f(1)=1.}$ Obviamente. $f(K^c)$ é contável, uma vez que contém um ponto por componente de ${displaystyle K^{c}.}$ Daí $f(K^c)$ tem medida zero, então $f(K)$ tem medida um. Precisamos de uma função estritamente monotônica, por isso considere ${displaystyle g(x)=f(x)+x.}$ Desde então $f(x)$ é estritamente monotônico e contínuo, é um homeomorfismo. Além disso, $g(K)$ tem medida um. Vamos. ${displaystyle Esubseteq g(K)}$ ser não seguro, e deixe ${displaystyle F=g^{-1}(E).}$ Porque... $g$ é injetável, temos isso ${displaystyle Fsubseteq K,}$ e assim $F$ é um conjunto nulo. No entanto, se fosse Borel mensurável, então ${displaystyle f(F)}$ também seria Borel mensurável (aqui usamos o fato de que a preimagem de um Borel definido por uma função contínua é mensurável; ${displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}$ é a preimagem de $F$ através da função contínua ${displaystyle h=g^{-1}.}$ ) Portanto, $F$ é um conjunto nulo, mas não mensurável.

Haar null

Em um espaço de Banach separável ${displaystyle (X,+),}$ a operação do grupo move qualquer subconjunto $Asubseteq X$ para as traduções ${displaystyle A+x}$ para qualquer ${displaystyle xin X.}$ Quando houver uma medida de probabilidade $μ$ na σ-algebra de subconjuntos Borel de $X,$ tal que para todos $x,$ ${displaystyle mu (A+x)=0,}$ então $A$ é um Haar null set.

O termo refere-se à invariância nula das medidas de translates, associando-a à invariância completa encontrada com a medida de Haar.

Algumas propriedades algébricas de grupos topológicos têm sido relacionadas com o tamanho de subconjuntos e conjuntos nulos Haar. Haar null conjuntos foram usados em grupos polacos para mostrar que quando $A$ não é um conjunto minucioso, então ${displaystyle A^{-1}A}$ contém um bairro aberto do elemento de identidade. Esta propriedade é nomeada para Hugo Steinhaus, uma vez que é a conclusão do teorema de Steinhaus.

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