Conjunto direcionado

Em matemática, conjunto dirigido (ou um pré-venda direcionada ou um conjunto filtrado) é um conjunto vazio $Não. A.$ em conjunto com uma relação binária reflexiva e transitiva ${displaystyle ,leq ,}$ (isto é, uma pré-ordem), com a propriedade adicional que cada par de elementos tem um limite superior. Em outras palavras, para qualquer $Não.$ e $Não.$ em $Não. A.$ lá deve existir $Não.$ em $Não. A.$ com $- Sim.$ e ${displaystyle bleq c.}$ A pré-ordem de um conjunto dirigido é chamada de Direcção.

A noção definida acima às vezes é chamada de conjunto direcionado para cima. Um conjunto direcionado para baixo é definido de forma análoga, o que significa que cada par de elementos é limitado abaixo. Alguns autores (e este artigo) assumem que um conjunto direcionado é direcionado para cima, salvo indicação em contrário. Outros autores chamam um conjunto direcionado se e somente se for direcionado tanto para cima quanto para baixo.

Conjuntos direcionados são uma generalização de conjuntos não vazios totalmente ordenados. Ou seja, todos os conjuntos totalmente ordenados são conjuntos direcionados (compare os conjuntos parcialmente ordenados, que não precisam ser direcionados). Join-semilattices (que são conjuntos parcialmente ordenados) também são conjuntos direcionados, mas não inversamente. Da mesma forma, as redes são conjuntos direcionados tanto para cima quanto para baixo.

Na topologia, conjuntos direcionados são usados para definir redes, que generalizam sequências e unem as várias noções de limite usadas na análise. Conjuntos direcionados também dão origem a limites diretos na álgebra abstrata e (mais geralmente) na teoria das categorias.

Definição equivalente

Além da definição acima, existe uma definição equivalente. A conjunto dirigido é um conjunto $Não. A.$ com uma preordem tal que cada subconjunto finito de $Não. A.$ tem um limite superior. Nesta definição, a existência de um limite superior do subconjunto vazio implica que $Não. A.$ Não é nada.

Exemplos

O conjunto de números naturais ${displaystyle mathbb {N} } }$ com a ordem comum ${displaystyle ,leq ,}$ é um dos exemplos mais importantes de um conjunto direcionado (e assim é todo conjunto totalmente ordenado). Por definição, uma Rede líquida é uma função de um conjunto direcionado e uma sequência é uma função dos números naturais ${displaystyle mathbb {N}.}$ Cada sequência canonicamente torna-se uma rede ao dotar ${displaystyle mathbb {N} } }$ com ${displaystyle ,leq.,}$

Um exemplo (trivial) de um conjunto parcialmente ordenado que é não dirigido é o conjunto $Não. - Sim.$ em que as únicas relações de ordem são $- Sim.$ e ${displaystyle bleq b.}$ Um exemplo menos trivial é como o exemplo anterior dos "reais direcionados para ${displaystyle x_{0}}$" mas em que a regra de ordenação só se aplica a pares de elementos no mesmo lado de ${displaystyle x_{0}}$ (isto é, se um leva um elemento $Não.$ à esquerda de ${displaystyle x_{0},}$ e $Não.$ à sua direita, então $Não.$ e $Não.$ não são comparáveis, e o subconjunto ${displaystyle {a,b}}$ não tem nenhum limite superior).

Se ${displaystyle x_{0}}$ é um número real, então o conjunto $Não. Eu: {R} backslash lbrace x_{0}rbrace }$ pode ser transformado em um conjunto dirigido por definição $- Sim.$ se ${displaystyle left|a-x_{0}right|geq left|b-x_{0}right|}}$ (assim os elementos "maiores" estão mais próximos ${displaystyle x_{0}}$). Nós então dizemos que os reais foram rumo $Não. x_{0}.$ Este é um exemplo de um conjunto direcionado que é nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem parcialmente ordenada nem totalmente ordenada. Isso porque a antisimetria quebra para cada par $Não.$ e $Não.$ equidistante de ${displaystyle x_{0},}$ Onde? $Não.$ e $Não.$ estão em lados opostos de $Não. x_{0}.$ Explicitamente, isso acontece quando ${displaystyle {a,b}=left{x_{0}-r,x_{0}+rright}}$ para alguns real ${displaystyle rneq 0,}$ em que caso $- Sim.$ e $- Sim.$ embora $Não.$ Se esta pré-ordem tivesse sido definida ${displaystyle mathbb {R} } }$ em vez de ${displaystyle mathbb {R} backslash lbrace x_{0}rbrace }$ então ele ainda formaria um conjunto direcionado, mas agora teria um maior elemento (unique) especificamente ${displaystyle x_{0}}$; no entanto, ainda não seria parcialmente ordenado. Este exemplo pode ser generalizado para um espaço métrico $(X,d)}$ definindo em $- Sim.$ ou ${displaystyle Xsetminus left{x_{0}right}}$ a preordem $- Sim.$ se e somente se ${displaystyle dleft(a,x_{0}right)geq dleft(b,x_{0}right). ?$

Elementos máximos e máximos

Um elemento $Não.$ de um conjunto pré-ordenado $(I,leq)}$ é um elemento máximo se para cada $- Sim.$ $- Sim.$ implica ${displaystyle jleq m.}$É um maior elemento se para cada $- Sim.$ ${displaystyle jleq m.}$

Qualquer conjunto pré-ordenado com um elemento maior é um conjunto direcionado com a mesma ordem. Por exemplo, em uma poset $- Sim.$ cada fechamento inferior de um elemento; isto é, cada subconjunto do formulário ${displaystyle {ain P:aleq x}}$ Onde? $Não.$ é um elemento fixo de $- Sim.$ é dirigido.

Todo elemento maximal de um conjunto pré-ordenado direcionado é um elemento máximo. De fato, um conjunto pré-ordenado direcionado é caracterizado pela igualdade dos conjuntos (possivelmente vazios) de elementos máximos e máximos.

Produto de conjuntos direcionados

Vamos. ${displaystyle mathbb {D} _{1}}$ e ${displaystyle mathbb {D} _{2}}$ ser dirigido conjuntos. Então o conjunto de produtos cartesiano ${displaystyle mathbb {D} _{1}times mathbb {D} _{2}}$ pode ser feito em um conjunto dirigido por definição ${displaystyle left(n_{1},n_{2}right)leq left(m_{1},m_{2}right)}$ se e somente se ${displaystyle n_{1}leq} m_{1}}$ e $Não. n_{2}leq m_{2}.$ Na analogia à ordem do produto esta é a direção do produto no produto cartesiano. Por exemplo, o conjunto ${displaystyle mathbb {N} times mathbb Não.$ de pares de números naturais podem ser feitos em um conjunto direcionado, definindo ${displaystyle left(n_{0},n_{1}right)leq left(m_{0},m_{1}right)}$ se e somente se $Não. n_{0}leq m_{0}}$ e $Não. n_{1}leq M_{1}.$

Inclusão de subconjunto

A relação de inclusão subconjunto ${displaystyle ,subseteq,}$ junto com sua dupla ${displaystyle ,supseteq,}$ definir ordens parciais em qualquer família de conjuntos. Uma família não vazia de conjuntos é um conjunto dirigido com respeito à ordem parcial ${displaystyle ,supseteq ,}$ (respectivamente, ${displaystyle ,subseteq ,}$) se e somente se a interseção (respectivamente, união) de qualquer dois de seus membros contiver como um subconjunto (respectivamente, é contido como um subconjunto de) algum terceiro membro. Em símbolos, uma família $Não. Eu...$ de conjuntos é dirigido com respeito a ${displaystyle ,supseteq ,}$ (respectivamente, ${displaystyle ,subseteq ,}$) se e somente se

para todos ${displaystyle A,Bin Eu...$ existe algum $Não. Cin I.$ tal que $Não. A responsabilidade$ e $Não. Bsupseteq C}$ (respectivamente, $Não. Asubseteq C}$ e $Não. Bsubseteq C}$)

ou equivalente,

para todos ${displaystyle A,Bin Eu...$ existe algum $Não. Cin I.$ tal que $Não. Acap Bsupseteq C}$ (respectivamente, $Não. Acap Bsubseteq C}$).

Muitos exemplos importantes de conjuntos direcionados podem ser definidos usando essas ordens parciais. Por exemplo, por definição, um prefiltro ou base de filtro é uma família não vazia de conjuntos que é um conjunto dirigido com respeito à ordem parcial ${displaystyle ,supseteq ,}$ e que também não contém o conjunto vazio (esta condição impede a trivialidade porque de outra forma, o conjunto vazio seria então um elemento maior com respeito a ${displaystyle ,supseteq ,}$). Cada sistema π, que é uma família não vazia de conjuntos que é fechada sob a interseção de qualquer dois de seus membros, é um conjunto dirigido com respeito a ${displaystyle ,supseteq ,.}$ Cada sistema λ é um conjunto dirigido com respeito a ${displaystyle ,subseteq ,.}$ Cada filtro, topologia e σ-algebra é um conjunto dirigido com respeito a ambos ${displaystyle ,supseteq ,}$ e ${displaystyle ,subseteq ,.}$ Se ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I.$ é qualquer rede de um conjunto direcionado $(I,leq)}$ então para qualquer índice $Não.$ o conjunto $- Não. i}:=left{x_{j}:jgeq i{text{ com }}jin Iright}}$ é chamado de cauda de $(I,leq)}$ a partir de $Não.$ A família ${displaystyle operatorname} {Tails} left(x_{bullet }right):=left{x_{geq i}:iin Iright}}$ de todas as caudas é um conjunto dirigido com respeito a ${displaystyle ,supseteq;,}$ Na verdade, é mesmo um prefiltro.

Se $Não. T.$ é um espaço topológico e ${displaystyle x_{0}}$ é um ponto em $Não. T,$ conjunto de todos os bairros de ${displaystyle x_{0}}$ pode ser transformado em um conjunto dirigido por escrito $Não. Uleq V}$ se e somente se $Não.$ contém $Não. V.$ Para cada $Não. U,$ $Não. V,$ e $Não. W.$:

• $Não. Uleq U}$ desde então $Não.$ contém-se.
• se $Não. Uleq V}$ e $Não. Vleq W,$ então $Não. Usupseteq V}$ e $Não. Vsupseteq W,}$ que implica $Não. Usupseteq W.}$ Assim $Não. Uleq W.$
• porque ${displaystyle x_{0}in Ucap V,}$ e desde ambos $Não. Usupseteq Ucap V}$ e $Não. Vsupseteq Ucap V,}$ nós temos $Não. Uleq Ucap V}$ e $Não. Vleq Ucap V.}$

O conjunto $(I)}$ de todos os subconjuntos finitos de um conjunto $Não. Eu...$ é dirigido com respeito a ${displaystyle ,subseteq ,}$ desde que deu dois ${displaystyle A,Bin operatorname {Finite} (I),}$ sua união $Não. Acup Bin operatorname (Finite)$ é um limite superior de $Não. A.$ e $Não.$ em $(I). ?$ Este conjunto específico dirigido é usado para definir a soma ${displaystyle {textstyle sum limits _{iin I}}r_{i}}$ de uma série generalizada de $Não. Eu...$-Recolha indexada de números ${displaystyle left(r_{i}right)_{iin I.$ (ou mais geralmente, a soma de elementos em um grupo topológico abeliano, como vetores em um espaço vetorial topológico) como o limite da rede de somas parciais $Não. Fin operatorname {Finite} (I)mapsto {textstyle sum limits _{iin F}}r_{i};}$ Isso é:

$${displaystyle sum _{iin I}r_{i}~~~~~~lim _{Fin operatorname {Finite} (I)} sum _{iin F}r_{i}~=~lim left{sum _{iin F}r_{i},:Fsubseteq I,F{text{ finito }}right}.}$$

Contraste com semilattices

Exemplo de um conjunto direcionado que não é um semilattice de união

Conjunto direcionado é um conceito mais geral do que (junto) semilattice: cada semilattice de junção é um conjunto direcionado, uma vez que a junção ou mínimo limite superior de dois elementos é o desejado $Não. C.$ O inverso não possui no entanto, testemunha o conjunto dirigido {1000,0001,1101,1011,111111} ordenado bitwise (por exemplo. ${displaystyle 1000leq 1011}$ segura, mas $- Sim.$ não, uma vez que no último bit 1 > 0), onde {1000,0001} tem três limites superiores, mas não mínimo superior, cf. imagem. (Também note que sem 1111, o conjunto não é dirigido.)

Subconjuntos direcionados

A relação de ordem em um conjunto direcionado não é necessária para ser antissimétrica, e, portanto, conjuntos direcionados nem sempre são ordens parciais. No entanto, o termo conjunto dirigido também é usado frequentemente no contexto de posets. Nesta configuração, um subconjunto $Não. A.$ de um conjunto parcialmente ordenado $(P,leq)}$ é chamado de subconjunto dirigido se é um conjunto direcionado de acordo com a mesma ordem parcial: em outras palavras, não é o conjunto vazio, e cada par de elementos tem um limite superior. Aqui a relação de ordem sobre os elementos de $Não. A.$ é herdado de $Não. P.$; por esta razão, a reflexividade e a transitividade não precisam ser exigidas explicitamente.

Um subconjunto direcionado de uma pose não precisa ser fechado para baixo; um subconjunto de um poset é direcionado se e somente se seu fechamento descendente é um ideal. Enquanto a definição de um conjunto direcionado é para um "direcionado para cima" conjunto (cada par de elementos tem um limite superior), também é possível definir um conjunto direcionado para baixo no qual cada par de elementos tem um limite inferior comum. Um subconjunto de um poset é direcionado para baixo se e somente se seu fechamento superior for um filtro.

Subconjuntos direcionados são usados na teoria de domínio, que estuda ordens parciais completas dirigidas. Estes são posets nos quais todo conjunto direcionado para cima deve ter um limite mínimo superior. Nesse contexto, subconjuntos direcionados novamente fornecem uma generalização de sequências convergentes.