Condição da cadeia ascendente

Em matemática, a condição da cadeia ascendente (ACC) e a condição da cadeia descendente (DCC) são finitos propriedades satisfeitas por algumas estruturas algébricas, principalmente ideais em certos anéis comutativos. Essas condições desempenharam um papel importante no desenvolvimento da teoria da estrutura dos anéis comutativos nas obras de David Hilbert, Emmy Noether e Emil Artin. As próprias condições podem ser expressas de forma abstrata, de modo que façam sentido para qualquer conjunto parcialmente ordenado. Este ponto de vista é útil na teoria da dimensão algébrica abstrata devido a Gabriel e Rentschler.

Definição

Diz-se que um conjunto parcialmente ordenado (poset) P satisfaz a condição da cadeia ascendente (ACC) se não houver sequência infinita estritamente ascendente

<math alttext="{displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}um1<um2<um3<⋯ ⋯ Não. a_{1}<a_{2}<a_{3}<cdots }<img alt="{displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}

dos elementos de P existe. Equivalentemente, toda sequência fracamente ascendente

um1≤ ≤ um2≤ ≤ um3≤ ≤ ⋯ ⋯ ,{displaystyle a_{1}leq a_{2}leq a_{3}leq cdots}

dos elementos de P eventualmente se estabiliza, significando que existe um inteiro positivo n tal que

umn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umn+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umn+2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =⋯ ⋯ .Não. a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=cdots.}

Da mesma forma, diz-se que P satisfaz a condição da cadeia descendente (DCC) se não houver uma cadeia descendente infinita de elementos de P. Equivalentemente, toda sequência fracamente descendente

um1≥ ≥ um2≥ ≥ um3≥ ≥ ⋯ ⋯ {displaystyle a_{1}geq a_{2}geq a_{3}geq cdots }

dos elementos de P eventualmente se estabiliza.

Comentários

• Assumindo o axioma da escolha dependente, a condição de cadeia descendente em poset (possivelmente infinita) P é equivalente a P ser bem fundamentado: cada subconjunto vazio de P tem um elemento mínimo (também chamado de condição mínima ou condição mínima). Um conjunto totalmente ordenado que é bem fundado é um conjunto bem ordenado.
• Da mesma forma, a condição de cadeia ascendente é equivalente a P ser confundido bem-fundado (novamente, assumindo a escolha dependente): cada subconjunto vazio de P tem um elemento máximo (o condição máxima ou condição máxima).
• Cada poset finito satisfaz as condições de cadeia ascendente e descendente, e assim é bem fundamentado e converso bem fundamentado.

Exemplo

Considere o anel

Z.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(...... ,- Sim. - Sim. 3,- Sim. - Sim. 2,- Sim. - Sim. 1,0,1,2,3,...... ?{displaystyle mathbb {Z} ={dots-3,-2,-1,0,1,2,3,dots }}

de inteiros. Cada ideal de Z.{displaystyle mathbb {Z} } } consiste em todos os múltiplos de algum número nNão.. Por exemplo, o ideal

Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(...... ,- Sim. - Sim. 18.,- Sim. - Sim. 12,- Sim. - Sim. 6,0,6,12,18.,...... ?Não. I={dots-18,-12,-6,0,6,12,18,dots }}

consiste em todos os múltiplos de 6Não. 6. Vamos.

JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(...... ,- Sim. - Sim. 6,- Sim. - Sim. 4,- Sim. - Sim. 2,0,2,4,6,...... ?Não. J={dots-6,-4,-2,0,2,4,6,dots }}

ser o ideal que consiste em todos os múltiplos de 2Não. 2. O ideal Eu...Não. Eu... está contido dentro do ideal JJNão., desde cada múltiplo de 6Não. 6 é também um múltiplo de 2Não. 2. Por sua vez, o ideal JJNão. está contido no ideal Z.{displaystyle mathbb {Z} } }, desde cada múltiplo de 2Não. 2 é um múltiplo de 1Não. 1. No entanto, neste ponto não há um ideal maior; temos "topped out" em Z.{displaystyle mathbb {Z} } }.

Em geral, se Eu...1,Eu...2,Eu...3,...... Não. I_{1},I_{2},I_{3},dots } são ideais de Z.{displaystyle mathbb {Z} } } tal que Eu...1Não. I_{1}} está contido Eu...2{displaystyle I_{2}}, Eu...2{displaystyle I_{2}} está contido Eu...3Não. I_{3}}, e assim por diante, então há alguns nNão. para o qual todos Eu...n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...n+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...n+2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =⋯ ⋯ Não. I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=cdots }. Isto é, depois de algum ponto todos os ideais são iguais uns aos outros. Portanto, os ideais de Z.{displaystyle mathbb {Z} } } satisfazer a condição de cadeia ascendente, onde os ideais são ordenados pela inclusão definida. Daí Z.{displaystyle mathbb {Z} } } é um anel Noetherian.