Comutador

Em matemática, o comutador indica até que ponto uma certa operação binária falha em ser comutativa. Existem diferentes definições usadas na teoria dos grupos e na teoria dos anéis.

Teoria de grupos

O comutador de dois elementos, estilo g e h, de um grupo G, é o elemento

Não.g, hNão. g^{- Sim.}h^{- Sim.}Não..

Este elemento é igual à identidade do grupo se e somente se g e h comutar (da definição gh = hg [< i>g, h], sendo [g, h] igual à identidade se e somente se gh = hg).

O conjunto de todos os comutadores de um grupo não é geralmente fechado sob a operação de grupo, mas o subgrupo de G gerado por todos os comutadores é fechado e é chamado de grupo derivado ou o subgrupo do comutador de G. Os comutadores são usados para definir grupos nilpotentes e solúveis e o maior grupo de quociente abeliano.

A definição do comutador acima é usada ao longo deste artigo, mas muitos outros teóricos do grupo definem o comutador como

Não.g, hNão. G.^{- Sim.}h^{- Sim.}.

Identidades (teoria de grupo)

Identidades de comutador são uma ferramenta importante na teoria de grupos. A expressão a^x denota o conjugado de a por x, definido como x^-1ax.

1. ${displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. $[x]=[x,y]^{-1}.}$
3. $[x,zy]=[x,y]cdot [x,z]^{y}}$ e $[xz,y]=[x,y]^{z}cdot [z,y].}$
4. ${displaystyle left[x,y^{-1}right]=[y,x]^{y^{-1}}}$ e ${displaystyle left[x^{-1},yright]=[y,x]^{x^{-1}}}$
5. ${displaystyle left[left[x,y^{-1}right],zright]^{y}cdot left[left[y,z^{-1}right],xright]^{z}cdot left[left[z,x^{-1}right],yright]^{x}=1}$ e ${displaystyle left[left[x,yright],z^{x}right]cdot left[[z,x],y^{z}right]cdot left[[y,z],x^{y}right]=1.}]$

Identidade (5) também é conhecida como identidade Hall-Witt, em homenagem a Philip Hall e Ernst Witt. É um análogo da teoria de grupo da identidade de Jacobi para o comutador da teoria do anel (veja a próxima seção).

N.B., a definição acima do conjugado de um por x é usado por alguns teóricos do grupo. Muitos outros teóricos do grupo definem a conjugação de um por x como xax^{- Sim.}. Isto é frequentemente escrito $Não.$. Ideias semelhantes mantêm para estas convenções.

Muitas identidades são usadas que são verdadeiros módulos de certos subgrupos. Estes podem ser particularmente úteis no estudo de grupos solúveis e grupos nilpotentes. Por exemplo, em qualquer grupo, as segundas potências se comportam bem:

$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

Se o subgrupo derivado for central, então

$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{binom {n}{2}}.}$

Teoria dos anéis

Os anéis geralmente não suportam divisão. Assim, o comutador de dois elementos a e b de um anel (ou qualquer álgebra associativa) é definido diferentemente por

$Não. - Ab-ba.$

O comutador é zero se e somente se a e b comutam. Na álgebra linear, se dois endomorfismos de um espaço são representados por matrizes comutantes em termos de uma base, então eles são representados em termos de todas as bases. Usando o comutador como colchete de Lie, toda álgebra associativa pode ser transformada em uma álgebra de Lie.

O anticomutador de dois elementos a e b de um anel ou álgebra associativa é definido por

$Não. {a,b}=ab+ba.}$

Às vezes $Não. [a,b]$ é usado para denotar anticomutador, enquanto $Não. [a,b]$ é então usado para comutador. O anticomutador é usado menos frequentemente, mas pode ser usado para definir álgebras de Clifford e álgebras de Jordan e na derivação da equação de Dirac na física de partículas.

O comutador de dois operadores atuando em um espaço de Hilbert é um conceito central na mecânica quântica, pois quantifica o quão bem os dois observáveis descritos por esses operadores podem ser medidos simultaneamente. O princípio da incerteza é, em última análise, um teorema sobre tais comutadores, em virtude da relação de Robertson-Schrödinger. No espaço de fase, comutadores equivalentes de produtos estrela de função são chamados de colchetes de Moyal e são completamente isomórficos às estruturas de comutador de espaço de Hilbert mencionadas.

Identidades (teoria dos anéis)

O comutador tem as seguintes propriedades:

Identidades de álgebra de mentira

1. $[A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. $[A,A]=0}$
3. $[A,B]=-[B,A]}$
4. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

A relação (3) é chamada de anticomutatividade, enquanto (4) é a identidade de Jacobi.

Identidades adicionais

1. $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. $[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. $[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]]]$
4. $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC]$
6. $[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD]$
7. $[A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. $[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. $[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B]B]$
10. $[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[[C,D],A],B]+[[[[[D,A],B],C]]]]]]]]]]$

Se A é um elemento fixo de um anel R, identidade (1) pode ser interpretado como uma regra de Leibniz para o mapa ${displaystyle operatorname {ad} _{A}:Rrightarrow R.$ por ${displaystyle operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$. Em outras palavras, o anúncio do mapa_A define uma derivação no anel R. Identidades (2), (3) representam regras de Leibniz para mais de dois fatores, e são válidos para qualquer derivação. Identidades (4)–(6) também podem ser interpretadas como regras de Leibniz. Identidades (7), (8) expressa Z.-bilinearidade.

Algumas das identidades acima podem ser estendidas para o anticomutador usando a notação ± subscrita acima. Por exemplo:

1. $Não. [AB,C] A, C.$
2. $[AB,CD]_{pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{pm }B}$
3. $[A,B],[C,D]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[A,C]_{+},B]_{+},D]}]}]$
4. ${displaystyle left[A,[B,C]_{pm }right]+left[B,[C,A]_{pm }right]+left[C,[A,B]_{pm }right]=0}$
5. $Não. [A,BC]_{pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{pm }=[A,B]_{pm }Cmp B[A,C]_{-}}$
6. $[A,BC]=[A,B]_{pm }Cmp B[A,C]_{pm }}$

Identidades exponenciais

Considere um anel ou álgebra em que o exponencial ${displaystyle e^{A}=exp(A)=1+A+{tfrac {1}{2!}}A^{2}+cdots }$ pode ser definida de forma significativa, como uma álgebra de Banach ou um anel de série de poder formal.

Em tal anel, o lema de Hadamard aplicado a comutadores aninhados dá: ${textstyle e^{A}Be^{-A} = B+[A,B]+{frac {1}{2!}}[A,[A,B]+{frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]]+cdots = e^{operatorname {ad} _{A}}(B). ?$ (Para a última expressão, ver Derivação conjunta abaixo.) Esta fórmula baseia-se na expansão Baker-Campbell-Hausdorff de log(exp(A) exp(B)).

Uma expansão semelhante expressa o grupo comutador de expressões ${displaystyle e^{A}}$ (análogo a elementos de um grupo de Lie) em termos de uma série de comutadores aninhados (calças de lie),

$$Não. e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=exp !left([A,B]+{frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]+{frac {1}{3!}}left({frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[ A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]right)+cdots right).}$$

Anéis graduados e álgebras

Ao lidar com álgebras graduadas, o comutador geralmente é substituído pelo comutador graduado, definido em componentes homogêneos como

${displaystyle [omegaeta ]_{gr}:=omega eta -(-1)^{deg omega deg eta }eta omega.}$

Derivação adjunta

Especialmente se alguém lida com vários comutadores em um anel R, outra notação resulta ser útil. Para um elemento ${displaystyle xin R}$, definemos o mapeamento conjunto ${displaystyle mathrm {ad} _{x}:Rto R}$ por:

${displaystyle operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Este mapeamento é uma derivação no anel r :

${displaystyle mathrm {ad} _{x}!(yz) =mathrm {ad} _{x}!(y),z,+,y,mathrm {ad} _{x}!(z). ?$

Pela identidade de Jacobi, também é uma derivação sobre a operação de comutação:

${displaystyle mathrm {ad} _{x}[y,z] = [mathrm {ad} _{x}!(y),z],+,[y,mathrm {ad} _{x}!(z)].}$

Composição de tais mapeamentos, nós obtemos por exemplo ${displaystyle operatorname {ad} _{x}operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z],]}$ e

$${displaystyle operatorname {ad} _{x}^{2}!(z) =operatorname {ad} _{x}!(operatorname {ad} _{x}!(z) = [x,[x,z],].}$$

${displaystyle mathrm {ad} }$

${displaystyle mathrm {ad}:Rto mathrm {End} (R)}$

${displaystyle mathrm {End} (R)}$

${displaystyle mathrm {ad} }$

${displaystyle operatorname {ad} _{[x,y]}=left[operatorname {ad} _{x},operatorname {ad} _{y}right].}$

Por contraste, é não sempre um homomorfismo do anel: geralmente ${displaystyle operatorname {ad} _{xy},neq ,operatorname {ad} _{x}operatorname {ad} _{y}}$.

Regra geral de Leibniz

A regra geral de Leibniz, expandindo derivadas repetidas de um produto, pode ser escrita abstratamente usando a representação adjunta:

${displaystyle x^{n}y=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}operatorname {ad} _{x}^{k}!(y),x^{n-k}.}$

Substituição x pelo operador de diferenciação ${displaystyle partial }$e Sim. pelo operador de multiplicação $Não. m_{f}:gmapsto fg}$, nós temos ${displaystyle operatorname {ad} (partial)(m_{f})=m_{partial (f)}}$, e aplicando ambos os lados a uma função g, a identidade torna-se a regra habitual de Leibniz para o n-o derivado ${displaystyle partial ^{n}!(fg)}$.